关于“多项式的零点何时都是实的且唯一的？”一文的注记"

关于Rakhmanov和Steklov猜想公式的注记

Remark on the formula by Rakhmanov and Steklov's conjecture

猜想斯捷克洛夫解决了消极的拉赫曼诺夫在1979年。他原来的证明是基于公式的正交多项式获得增加点群众的措施正交性。在本说明中，我们将展示如何通过应用最近开发的方法来证明Steklov的问题的尖锐的下界，这个多项式可以得到。

2015-09-02math.CA

关于Euler和伯努利多项式及其与二项式系数和修正Pascal矩阵的关系的几点注记

A few remarks on Euler and Bernoulli polynomials and their connections with binomial coefficients and modified Pascal matrices

我们证明了某些身份涉及欧拉和伯努利多项式，可以被视为递归。我们使用这些和其他已知的身份，以表明连接欧拉和伯努利数与条目的逆建立的某些下三角形的二项式系数。换句话说，我们用修改后的帕斯卡矩阵来解释欧拉数和伯努利数。

2013-07-01math.CAmath.RA

关于正多项式的一个注记

A remark about positive polynomials

证明了以下定理。{ \bf定理。}令\it为具有正系数的多项式。如果不等式$\frac{a_{2k+1}^2}{a_{2k}a_{2k+ 2}} < \frac{1}{cos^2(\fracπ{n+2})} $对所有$ k=0, 1, ..., n-1, $成立，则$P(x)>0$对每个$x\in\mathbb{R} $成立。}我们证明了这个定理中的常数$\frac{1}{cos^2(\fracπ{n+2})}$不能增加。我们还提出了这个定理的一些推论。

2009-10-24math.CAmath.CV

Krall多项式零点的新性质

New Properties of the Zeros of Krall Polynomials

我们确定了一类显着的代数关系所满足的Krall正交多项式的零，是线性微分算子的阶高于2的特征函数。给定一个正交多项式族{p_n（x）}，对于每个m <= N，我们将多项式p_N的零点与p_m的零点联系起来（m=N的情况对应于只涉及p_N的零点的关系）。这些恒等式是通过对线性微分算子的谱矩阵表示和（插值）伪谱矩阵表示进行相似变换，并以多项式p_N的零点作为插值结点而得到的.该框架将经典正交多项式的已知性质推广到Krall型非经典多项式族的情形。通过证明Krall-Legendre、Krall-Laguerre和Krall-Jacobi正交多项式满足的新的显着恒等式，说明了一般结果.

2017-01-19math.CA

正交多项式简介

Orthogonal polynomials, a short introduction

本文简要介绍了正交多项式的一般理论和几类特殊的正交多项式。它结束了一些关于使用计算机代数这个理论的意见。

2021-11-11math.CA

关于量子对称空间构造的几点注记

Some remarks on the construction of quantum symmetric spaces

本文综述了紧致量子对称空间的构造及其用$q$ -正交多项式分析带状球函数的一些最新进展。特别地，我们在$\Uq(\gog\gol(n,\CC))$中定义了一个单参数的双边余理想族，并将相应的量子射影空间上的带状球函数表示为包含两个连续参数和一个离散参数的Askey-Wilson多项式.

1995-12-21math.CAmath.QA

什么时候多项式的根是实的和不同的？的图形视图

When are the roots of a polynomial real and distinct? A graphical view

我们证明了经典的结果，这至少可以追溯到傅立叶，一个多项式与实际系数的所有零实和独特的当且仅当多项式，也是所有的非常衍生物只有负极小值和正极大值。直觉的结果，涉及照明图片，详细描述。傅立叶定理推广到某些一阶整函数（这是自然的）表明，黎曼假设千年问题的官方描述错误地描述了黎曼假设的等价性。这篇论文是合理的独立的，旨在让那些已经学了两个学期微积分的学生（可能在一些帮助下）可以阅读。

2020-10-29math.CAmath.NT

五次多项式与笛卡尔符号法则

Degree 5 polynomials and Descartes' rule of signs

对于一个没有零系数的一元实多项式，笛卡尔的符号规则（通过傅立叶的观察来完成）说，它的正根数$pos$和负根数$neg$（用重数计数）分别被其系数序列中符号变化和符号不变化的数$c$和$p$优化，并且差值$c-pos$和$p-neg$是偶数。对于5次多项式，A.~ Albouy和Y.~ Fu证明不存在这样的多项式，其具有三个不同的正根且没有负根，并且其系数的符号是$(+,+,-,+,-,-)$（或具有三个不同的负根且没有正根，并且其系数的符号是$(+,-,-,-,-,+)$）。对于阶数为5且首项系数为正时，这些都是正根和负根的数目（都是不同的）以及系数的符号与笛卡尔符号规则相容的情况，但不存在这样的多项式。我们通过显示多项式族$x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d$的判别集以及坐标轴的图片来解释$d=5$的这种不存在性以及在所有其他情况下的存在性。

2020-05-05math.CA

关于Ramanujan函数$A_{q}(z)$的注记

Remarks on Ramanujan Function $A_{q}(z)$

本文给出了Ismail和Masson的缩放$q^{-1}$ -Hermite正交多项式的一个不等式，缩放Stieltjes-Wigert的一个不等式，Ramanujan函数的两个不等式和Ramanujan函数的两个定积分.

2006-11-29math.CAmath.CV

关于Erdés相异子集和问题的几点注记

Some Remarks on the Erdős Distinct Subset Sums Problem

设$\left\{a_1, \dots, a_n\right\} \subset \mathbb{N}$是一组正整数，$a_n$表示最大的元素，使得对于任何两个$2^n$子集，所有元素的和是不同的。Erdibs问这是否意味着$a_n \geq c \cdot 2^n$适用于某种通用的$c>0$。我们证明，稍微扩展的结果Elkies，任何$a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}_{>0}$ $$ \int_{\mathbb{R}} \left( \frac{\sin{ x}}{ x} \right)^2 \prod_{i=1}^{n} \cos{( a_i x)^2} dx \geq \fracπ{2^{n}}$$与平等的当且仅当所有子集和$1-$分离。这导致了一个新的证明，目前最好的下界$a_n \geq \sqrt{2/πn} \cdot 2^n$。主要的新见解是，具有不同的子集和和$a_n$小需要随机变量$X = \pm a_1 \pm a_2 \pm \dots \pm a_n$接近高斯在精确的意义上。

2023-01-02math.CAmath.COmath.NT

多项式系数线性常微分方程的整体非振动性

On global non-oscillation of linear ordinary differential equations with polynomial coefficients

本文证明了一个多项式系数的线性常微分方程在$\mathbb{C} P^1$中是全局非振动的当且仅当它是Fuchsian的，并且在它的每一个奇点，任何两个不同的特征指数有不同的实部.作为我们研究的一个副产品，我们得到了一个新的显式上界的指数多项式在一个水平带的零点的数目。

2015-03-13math.CAmath.CV

关于与给定多项式的所有幂正交的多项式

On polynomials orthogonal to all powers of a given polynomial on a segment

本文研究了如下“多项式矩问题”：对于复多项式$P(z)$和不同的复数$a,b$，描述了在线段$[a,b].$上正交于$P(z)$的所有非负整数次幂的多项式$q(z)$

2004-08-02math.CAmath.CV

余弦多项式零点的计数：关于Littlewood问题

Counting Zeros of Cosine Polynomials: On a Problem of Littlewood

证明了如果$A$是一个非负整数的有限集，则$A$在$[0,2π]$中的零点个数至少为$(\log \log \log |A|)^{1/2-\varepsilon}$ .这给出了Littlewood问题的第一个无条件下界，解决了Borwein，Erdélyi，Ferguson和Lockhart的一个猜想，并改进了Borwein和Erdélyi的工作。我们还证明了一个结果，适用于更一般的余弦多项式与“几个”不同的合理系数。在证明的主要成分之一，也许是独立的利益：我们表明，如果$f$是一个指数多项式与“几个”不同的整数系数和$f$“相关”与低次指数多项式$P$，然后$f$有一个非常特殊的结构。

2019-02-05math.CAmath.CO

经典正交多项式零点附近的扰动

Perturbations around the zeros of classical orthogonal polynomials

从经典正交多项式的不定常Schroedinger方程的N次解出发，导出了描述多项式N个零点附近扰动的线性矩阵方程.该矩阵具有显著的丢番图性质。它的特征值与零点无关。对应的特征向量提供了较低次数（0，1，.，N-1）多项式的次数。这些结果对所有经典的正交多项式都是普遍有效的，包括超几何正交多项式的Askey格式及其q-模拟.

2014-11-12hep-thmath-phmath.CA