Remarks on Ramanujan Function $A_{q}(z)$
Ruiming Zhang
本文给出了Ismail和Masson的缩放$q^{-1}$ -Hermite正交多项式的一个不等式，缩放Stieltjes-Wigert的一个不等式，Ramanujan函数的两个不等式和Ramanujan函数的两个定积分.
In this short notes we will derive an inequality for scaled $q^{-1}$-Hermite orthogonal polynomials of Ismail and Masson, an inequality for scaled Stieltjes-Wigert, two inequalities for Ramanujan function and two definite integrals for Ramanujan function.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On A Limiting Relation Between Ramanujan's Entire Function $A_{q}(z)$ And $θ$-Function
我们将使用一个离散模拟的经典拉普拉斯方法表明，主要的长期渐近展开的某些整个功能，包括拉马努金的整个功能$A_{q}(z)$，可以表示在$θ$ -功能。
Ramanujan's formula for the logarithmic derivative of the gamma function
我们证明了一个显着的拉马努金公式的对数导数的Γ函数，收敛速度比经典的扩展，这是没有证明拉马努金的笔记本电脑。该公式有一些非常有趣的后果，我们得出，包括一个优雅的双曲求和，拉马努金公式的黎曼ζ函数评价在奇数正整数，和新的公式欧拉常数，伽玛。
On The Chaotic Asymptotics of Ramanujan's Entire Function $A_q(z)$
我们将使用经典的\emph{Laplace}方法的离散模拟来证明，对于无穷多个正整数$n$，标度合流基本超几何函数的渐近展开式的主项，包括Ramanujan整函数$A_{q}(z)$，可以用$θ$ -函数来表示，而误差项依赖于某些实标度参数的遍历性质.
A Generalized Ramanujan Master Theorem and Integral Representation of Meromorphic Functions
本文将 Ramanujan 主定理推广至含任意阶极点的亚纯函数，得到其类似定理及具有有趣性质的积分表示，为后续研究提供新途径。
Ramanujan's Master Theorem and two formulas for zero-order Hankel transform
利用Ramanujan主定理，导出了用逆Mellin变换定义偶函数的零阶Hankel变换的两个公式，只要这些函数及其导数满足特殊条件.一些例子说明了它们的有效性。利用其中一个公式，计算了贝塞尔函数J_0（x）的一个未知参数的反常积分。
$q$-Bessel Functions and Rogers-Ramanujan Type Identities
我们评估$q$ -Bessel函数在一个无穷序列的点，并介绍了推广的Ramanujan函数，并给出了$m$ -版本的Rogers-Ramanujan身份证的扩展。我们还证明了几个生成函数的Stieltjes-Wigert多项式的参数依赖于程度。此外，我们给出了几个Rogers-Ramanujan型恒等式。
A connection formula between the Ramanujan function and the $q$-Airy function
给出了两个不同的$q$ -Airy函数之间的一个连接公式。一个是拉马努金函数，出现在拉马努金的“丢失的笔记本”中。另一个是在研究第二类$q$ -Painlevé方程时得到的$q$ -Airy函数。我们使用$q$ -Borel变换和$q$ -Laplace变换。张以获得连接公式。
Ramanujan's cubic transformation inequalities for zero-balanced hypergeometric functions
本文以不等式的形式证明了零平衡高斯超几何函数$F(a,b;a+b;x)$，$a,b>0$的Ramanujan三次变换的一个推广.
Integrals and Series Representations of $q$-Polynomials and Functions: Part II Schur Polynomials and the Rogers-Ramanujan Identities
给出了Ramanujan函数$A_q$和Stieltjes-Wigert多项式的几个展开式和恒等式.我们的恒等式的特殊值给出了$m$ -罗杰斯-拉马努金类型恒等式的斯莱特列表上的一些项目的版本。我们还研究了基本超几何函数理论中某些变换的双边扩张。
Zeros of Ramanujan Type Entire Functions
在这项工作中，我们建立了一些多项式和整函数只有实零点。这些多项式是q Laguerre多项式$L_{n}^{(α)}(x;q)$的推广，而整函数是Ramanujan整函数$A_{q}(z)$，q Bessel函数$J_ν^{(2)}(z;q)$，$J_ν^{(3)}(z;q)$和合流基本超几何级数的推广.
On the generalized Dirichlet beta and Riemann zeta functions and Ramanujan-type formulae for beta and zeta values
本文利用双曲正割与余割函数的幂积分定义广义Dirichlet beta和Riemann zeta函数，建立其函数方程，并由奇整数zeta值的Ramanujan恒等式导出新的Ramanujan型公式。
An affirmative answer to an open problem on Ramanujan's asymptotic formula of zero-balanced hypergeometric function
本文利用递归法及beta函数和Ramanujan $R$-函数的新性质，证明了与零平衡超几何函数的Ramanujan渐近公式相关函数的绝对单调性，从而肯定地回答了1997年提出的公开问题。
On the irrationality of Ramanujan's mock theta functions and other q-series at an infinite number of points
我们证明了所有的Ramanujan的3阶模拟θ函数、Watson的3个3阶模拟θ函数、Rogers-Ramanujan q-级数和6个5阶模拟θ函数在q= \pm 1/2、\pm 1/3、\pm 1/4、.
On local solutions of the Ramanujan equation and their connection formulae
给出了Ramanujan方程在原点和无穷远点之间的局部解的联系公式。这些解由Ramanujan函数、$q$ -Airy函数和发散的基本超几何级数${}_2φ_0(0,0;-;q,x)$给出。我们使用两种不同的$q$ -Borel-Laplace变换来得到我们的连接公式。
Cubic and quintic analogues of Ramanujan's septic theta function identity
受Ramanujan七次θ函数恒等式补全的启发，本文提出三次和五次类似，并结合Ramanujan类不变量，为其著名θ函数φ(q)提供了多种求值。
Two-dimensional series evaluations via the elliptic functions of Ramanujan and Jacobi
本文第一次以封闭形式给出了某些二重级数的值，这些级数是满格和的。椭圆函数、奇异模、类不变量和Rogers-Ramanujan连分数在我们的评估中起着核心作用
Identities for the Ramanujan zeta function
我们证明公式的Ramanujan τ zeta函数的特殊值。我们的公式表明，$L(Δ, k)$是一个周期的意义上的Kontsevich和Zagier时，$k\ge12$。作为一个例子，当$L(Δ, k)$。
Connection Formulae for a Generalised Ramanujan Entire Function
本文推广拉马努金-$q$-艾里连接公式至单参数变形，通过$q$-波雷尔反演和离散求和，给出整函数无穷远处的发散渐近展开及连接系数，并证明余项估计。
On Certain Generalizations of Rogers-Ramanujan Type Identities
我们的国家和证明了一些单边和双边的$q$系列的身份，并探讨他们的一些后果。这些包括某些概括的$q$ -二项式和也概括了$q$ -Airy功能介绍了拉马努金，以及某些身份与一个有趣的可变参数对称性的基础上限制情况下海涅变换的基本hypergeomteric功能。
Generalizations of Ramanujan integral associated with infinite Fourier cosine transforms in terms of hypergeometric functions and its applications
本文给出了Srinivasa Ramanujan [$\textbf{R}_{C}(m,n)$.，XLIV，75-86，1915]，使用超几何方法，梅林变换，无限傅立叶余弦变换，无穷级数分解恒等式和Pochhammer符号的一些代数性质。本文还将Ramanujan积分$\textbf{R}_{C}(m,n)$推广为积分$\textbf{I}^{*}_{C}(\upsilon,b,c,λ,y), \textbf{J}_C (\upsilon,b,c,λ,y), \textbf{K}_{C} (\upsilon,b,c, λ,y), \textbf{I}_{C}(\upsilon,b,λ,y)$的形式，并用普通的超几何函数${}_2 F_3$求解，并给出了适当的收敛条件。作为Ramanujan积分$\textbf{R}_{C}(m,n)$的应用，得到了与超几何函数${}_{0}F_{1}$，${}_{1}F_{2}$和${}_{2}F_{3}$有关的九个新的无穷求和公式.
Some definite integrals of Srinivasa Ramanujan and its consequences
本文给出了Srinivasa Ramanujan [Mess.数学、XLIV，75-86，1915]通过使用$ \sin(βx^{2}),\cos(βx^{2}), x\sin(βx^{2})$和$x\cos(βx^{2})$的拉普拉斯变换，根据Meijer的$G$ -函数。进一步得到了与Meijer G-函数有关的无穷求和公式和某些无穷级数的数值
New Proofs of Ramanujan's Identities on False Theta Functions
在不使用Rogers-Fine恒等式和Bailey变换的情况下，对Ramanujan关于假θ函数的五个有趣恒等式给出了新的证明.
Ramanujan Series for Epstein Zeta Functions
在Ramanujan的思想下，我们得到了Hecke同余群$ \varGamma_0(N),N\in\mathbb Z_{>0}$上的Epstein zeta函数$ E^{\varGamma_0(N)}(z,s)$的指数快速收敛级数，其中$z$是上半平面$ \mathfrak H$上的任意点，而$s\in\mathbb Z_{>1}$是上半平面$ \varGamma_0(N),N\in\mathbb Z_{>0}$上的任意点.在Eichler积分的框架下，这些Ramanujan级数可以被重新表述为模形式的积分。这些Eichler积分的特殊情况恢复了Wan和Zucker（arXiv：1410.7081v1）最近报道的部分结果。
A degeneration of the generalized Zwegers' $μ$-function according to the Ramanujan difference equation
本文引入了小$μ$-函数，它是广义$μ$-函数的退化极限。通过$q$-Borel求和得到该函数，用于处理Ramanujan方程的发散解。同时给出了小$μ$-函数的对称性和连接公式，以及与$q,t$-斐波那契序列和罗杰斯-拉马努金连分数相关的连续关系。
On Volterra functions and Ramanujan integrals
Volterra函数在二十世纪初被引入作为某些具有对数核的卷积型积分方程的解。从那时起，很少有作者研究了这个家庭的职能和面临的问题，提供了一个清晰的了解他们的渐近行为的大小参数。本文综述了Volterra函数的一些重要结果，特别是在一个相当一般的框架内，收集了关于Volterra函数的渐近展开的几个结果，这些结果不仅有助于充分理解Volterra函数的行为，而且有助于Volterra函数的数值计算。与积分的Ramanujan型，其中有几个重要的应用，也进行了讨论。
Ramanujan Summation and the Exponential Generating Function $ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}ζ^{\prime}(-k)$
在第六章他的笔记本拉马努金介绍了一种方法，总结发散系列分配给该系列的价值相关联的欧拉-麦克劳林常数所产生的应用欧拉-麦克劳林求和公式的部分和系列。这种方法现在被称为拉马努金求和过程。本文计算了指数母函数$\sum_{n\geq 1}\log n e^{nz}$和$\sum_{n\geq 1}H_n^{(j)} e^{-nz}$的Ramanujan和，其中$H_n^{(j)}=\sum_{m=1}^n \frac{1}{m^j}$ .我们发现一个令人惊讶的关系，两个总和时，$j=1$从以下公式连接的衍生物的黎曼zeta函数在负整数的Ramanujan求和的分歧欧拉和$\sum_{n\ge 1} n^kH_n, k \ge 0$，其中$H_n= H_n^{(1)}$。此外，我们表示我们的结果在拉马努金求和的经典求和过程称为波莱尔和。
Ninth degree analogue of Ramanujan's septic theta function identity
本文提出了Ramanujan七次θ函数恒等式的九次类似，并应用其笔记簿中的三次方程条目、用θ函数解释三角恒等式，最后计算了五个φ(e^{-π√n})的例子。
Explicit values for Ramanujan's theta function $φ(q)$
本文给出了Ramanujan的θ函数$φ(q)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}$的特殊值，当$q=e^{-π\sqrt{n}}$，其中$n$是一个正的有理数。首先，描述用于评估θ函数的工具。其次，对经典价值观进行了简要的论述。第三，某些价值观，由于拉马努金和后来的作者。第四，描述了用于确定这些值的方法。最后，一个不完整的评价发现拉马努金的笔记本丢失，但现在完成和证明，讨论了其证明的草图。
Ramanujan's cubic transformation and generalized modular equation
在Ramanujan广义模方程理论中研究了超几何函数$a\in(0,1/2]$的商，利用$μ_{a}^*(r)$的性质和Ramanujan的三次变换，得到了$μ_{1/3}^*(r)$的无穷乘积公式.此外，给出了超几何函数的一个新的三次变换公式，它是对Ramanujan三次变换的补充。
Ramanujan's theta functions and linear combinations of four triangular numbers
令$\Bbb Z$和$\Bbb Z^+$分别是整数集和正整数集。对于$a,b,c,d,n\in\Bbb Z^+$，令$t(a,b,c,d;n)$为通过$ax(x+1)/2+by(y+1)/2+cz(z+1)/2+dw(w+1)/2$ $(x,y,z,w\in\Bbb Z)$表示$n$的数量。本文利用Ramanujan的θ函数$φ(q)$和$ψ(q)$给出了关于$t(a,b,c,d;n)$的许多公式和图解。
On a function of Ramanujan twisted by a logarithm
本文利用拉马努金《遗失笔记》中的模关系和德宁格函数导数的近期结果，推导出涉及双伽马函数与对数因子的无穷级数函数方程，并研究了其中起关键作用的积分 $\mathscr{H}(x)$ 的多种表示。
Generalizations (in the spirit of Koshliakov) of some formulas from Ramanujan's Lost Notebook
本文在科什利亚科夫理论框架下推广了拉马努金遗失笔记中关于除数函数和戴德金η函数对数变换的若干恒等式。
Stirling's approximation and a hidden link between two of Ramanujan's approximations
建立了指数函数的Ramanujan渐近逼近与指数积分的Ramanujan渐近逼近之间的一个严格关系。证明涉及斯特林数，二阶欧拉数，修改这两个，和斯特林的近似的Γ函数。我们的工作提供了新的信息，斯特林近似的系数和它们的连接到拉马努金的近似系数。一个更分析的第二个证明的主要结果也包括在附录中。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。