Moduli of roots of hyperbolic polynomials and Descartes' rule of signs
实一元多项式的所有根都是实的，称为双曲多项式。根据双曲多项式（HP）的笛卡尔符号规则，当系数序列中有$c$符号变化和$p$符号变化时，HP恰好有$c$正根和$p$负根.对于$c=2$和度$6$ HP，我们讨论了这样一个问题：当HP的$6$根的模在实半直线上按递增顺序排列时，它的两个正根的模取决于系数序列中两个符号变化的位置在什么位置？
2019-09-12 math.CA
A tropical analog of Descartes' rule of signs
证明了对任意次数d，存在有限序列a_0，a_1，.，a_d为正数，使得对于任何d次实多项式P，其实根的数目小于或等于多项式P的所谓本质热带根的数目，该多项式通过将其系数乘以a_0，a_1，. A_D分别。特别地，对于任何具有非零常数项的d次实一元多项式P，我们猜想可以取a_k = e^{-k^2}，k = 0，.。，d.后一种主张可以被认为是笛卡尔符号规则的热带推广。我们解决这个猜想高达4度以及一个较弱的声明为任意实多项式。此外，我们描述了应用后者猜想的经典Karlin问题的零递减序列。
2015-10-12 math.CA
On Descartes' rule of signs
以$+$开始的$d+1$符号$+$和$-$的序列称为{ \em符号模式（SP）}。我们说实多项式$P:=x^d+\sum _{j=0}^{d-1}a_jx^j$、$a_j\neq 0$定义SP $σ:=(+$、sgn $(a_{d-1})$、$\ldots$、sgn $(a_0))$。根据笛卡尔的符号规则，对于正的量$pos$（分别为），$neg$阴性）$P$的根，一个具有$pos\leq c$（分别为$neg\leq p=d-c$），其中$c$和$p$是$σ$中符号变化和符号省略的数量;数字$c-pos$和$p-neg$是偶数。我们说$P$用对$(pos, neg)$实现SP $σ$。对于具有$c=2$的SP，我们给出了形式为$(0,d-2k)$，$k=1$，$\ldots$，$[(d-2)/2]$的对$(pos, neg)$的（非）可实现性的充分条件.
2019-05-06 math.CA
Beyond Descartes' rule of signs
针对所有根为实数的实单变量多项式，研究当系数符号变化位置已知时，负根模位置的取值范围，证明了几个新结果，表明答案远非平凡。
2023-02-10 math.CA
Polynomials, sign patterns and Descartes' rule of signs
根据笛卡尔的符号规则，具有所有非零系数的实次数$d$多项式$P$，在其系数序列（$c+p=d$）中具有$c$符号变化和$p$符号变化，具有$pos\leq c$正根和$neg\leq p$负根，其中$pos\equiv c($ \，mod $2)$和$neg\equiv p($ \，mod $2)$。对于$1\leq d\leq 3$，对于$P$的系数的符号序列的每一种可能的选择（称为符号模式）和对于满足这些条件的每一对$(pos, neg)$，存在具有精确的$pos$正根和精确的$neg$负根的多项式$P$（它们都是简单的）。对$d\geq 4$来说，情况并非如此。观察到对于$4\leq d\leq 10$，在所有不可实现的情况下，$pos=0$或$neg=0$。据证实，任何$d\geq 4$均是如此。我们证明了一个反例，这个猜想$d=11$。也就是说，我们证明了对于符号模式$(+,-,-,-,-,-,+,+,+,+,+,-)$和$(1,8)$对，不存在具有$1$正、$8$负单根和复共轭对的多项式。
2017-08-18 math.CA
On a problem inspired by Descartes' rule of signs
研究所有根为实数且恰有两个正根的实单变量多项式，针对三种特殊系数模式，穷尽刻画了两个正根模在根模序列中的可能位置。
2024-04-22 math.CA
A non-realization theorem in the context of Descartes' rule of signs
对于具有所有非零系数的实次数$d$多项式$P$，在其系数序列（$c+p=d$）中具有$c$符号变化和$p$符号替换，笛卡尔的符号规则表明$P$具有$pos\leq c$正根和$neg\leq p$负根，其中$pos\equiv c($ \，mod $2)$和$neg\equiv p($ \，mod $2)$。对于$1\leq d\leq 3$，对于$P$的系数的符号序列的每一种可能的选择（称为符号模式），以及对于满足这些条件的每一对$(pos, neg)$，存在一个多项式$P$，它恰好具有$pos$正根和$neg$负根（它们都是简单的）;也就是说，所有这些情况都是可实现的。这对$d\geq 4$不成立，但对$4\leq d\leq 8$（对于这些度，可实现性问题的详尽答案是已知的）在所有不可实现的情况下，无论是$pos=0$还是$neg=0$。据证实，任何$d\geq 4$均是如此。对于$d=9$，我们给出了这个猜想的一个反例：对于符号模式$(+,-,-,-,-,+,+,+,+,-)$和$(1,6)$对，不存在$1$为正，$6$为负的单根和复共轭对的多项式，在等价的情况下，这是$d=9$的唯一情况。
2019-11-26 math.CA
Further than Descartes' rule of signs
该研究拓展笛卡尔符号法则相关研究，提出一族依赖双整数参数的不可实现（符号模式，正负根数对）组合，并给出d=9时含两次符号变化的可实现组合完整列表。
2023-02-09 math.CA
Could René Descartes have known this?
下面我们讨论实一元多项式的空间根据系数的正根和负根的数目和符号的划分。我们提出了几个系列的不可实现的组合的符号连同正负根的数量。我们提供了一个详细的信息，可能的不可实现的组合，如上述高达8度，以及对这种组合的一般猜想。
2015-01-05 math.CA
On realizability of sign patterns by real polynomials
经典的笛卡尔符号法则通过系数序列中符号变化的次数来限制一元实一元多项式的正根的个数。人们可以问这样一个问题，根据这一规则和其他一些自然条件选择的非负整数对$(p,n)$，可以是具有规定系数符号的实多项式的正负根的数目对。本文解决了这个问题的次数$8$多项式。
2017-03-09 math.CA
Three realization problems about univariate polynomials
Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）
研究一元实多项式符号模式与根分布的实现问题，揭示四次多项式中符号模式与根数关系的几何解释。
2026-01-15 math.CA
An extension of the Hermite-Biehler theorem with application to polynomials with one positive root
如果一个实多项式$f(x)=p(x^2)+xq(x^2)$是赫尔维茨稳定的（如果$f$的每个根都在左半开平面上），那么厄米-比勒定理说多项式$p(-x^2)$和$q(-x^2)$有交错的实根。我们将这一结果推广到一般的多项式给出了一个下界的实根数的$p(-x^2)$和$q(-x^2)$，并表明这些实根交错。这个界限取决于位于左半平面中的$f$的根的数目。多项式理论中的另一个经典结果是笛卡尔的符号规则，它根据多项式系数中符号变化的数量来限制多项式的正根的数量。我们利用推广的Hermite-Biehler定理给出了一个正根多项式的符号逆规则。
2017-01-27 math.CA
A mapping defined by the Schur-Szegő composition
形式为$(x+1)^k(x^n+c_1x^{n-1}+\cdots +c_n)$、$k\in \mathbb{N}$的每一阶$n+k$多项式可表示为形式为$(x+1)^{n+k-1}(x+a_j)$的$n$多项式的Schur-SzegIgncomposition。本文研究仿射映射$Φ_{n,k}$ ~：~ $(c_1,\ldots ,c_n)$ $\mapsto$ $(σ_1, \ldots ,σ_n)$的性质，其中$σ_i$是数$a_j$的初等对称多项式.我们还研究性质的类似映射的功能的形式$e^xP$，其中$P$是一个多项式，$P(0)=1$，我们扩展笛卡尔规则。
2015-04-08 math.CA
Something You Always Wanted to Know About Real Polynomials (But Were Afraid to Ask)
著名的笛卡尔规则的迹象，从1637年给出了上界的数目正根的一个真正的一元多项式方面的一些符号变化的系数，一直是一个不可或缺的来源的灵感，为一代又一代的数学家。试图扩展和锐化这一规则，我们考虑下面的一组所有真正的一元多项式的一个给定的程度，一个给定的收集的迹象，他们的系数，和一个给定的数量的积极和消极的根源。尽管我们研究的主要对象的基本定义，这是一个非平凡的问题，对于相应的集合是非空的符号模式和正负根的数量。本文的主要结果是发现了一个新的无穷族符号模式和正负根个数的不可实现组合。
2017-03-13 math.CA
Hyperbolic polynomials and canonical sign patterns
实一元多项式是双曲的，如果它的所有根都是实的。根据笛卡尔的符号规则，所有系数都不为零的双曲多项式（HP）具有用重数计数的正根$c$和负根$p$，其中$c$和$p$是其系数序列中符号变化和符号消除的次数.我们讨论这个问题：如果所有$c+p$根的模在正半轴上是不同的和有序的，那么负根的$p$模在哪些位置可以取决于多项式系数的正号和负号的位置？我们特别感兴趣的是这些符号的选择，这正是一个顺序的模的根是可能的。
2020-06-25 math.CA
Degree $6$ hyperbolic polynomials and orders of moduli
该研究针对系数非零的6次实根单变量多项式，解答了在根的模互不相同且排列于实正半轴的条件下，负根的模的位置如何由系数符号决定的问题。
2023-10-23 math.CA
Hyperbolic polynomials and rigid moduli orders
双曲多项式（HP）是所有根都是实的实一元多项式。根据笛卡尔的符号规则，所有系数都不为零的HP具有用重数计数的精确$c$正根和精确$p$负根，其中$c$和$p$是其系数序列中符号变化和符号消隐的数目。我们认为HP与不同的模量的根。我们问的问题时，负根的模的顺序w.r.t.实正半直线上的正根完全决定多项式系数的符号。当存在至少一个正根和至少一个负根时，这恰好在负根的模与正根交错时是可能的（因此一半或大约一半的根是正的）。在这种情况下，HP的系数的符号是$(+,+,-,-,+,+,-,-,\ldots )$或$(+,-,-,+,+,-,-,+,\ldots )$。
2020-08-26 math.CA
A Probabilistic Sign Rule for Quotients of Positive Series and Integral Transforms
Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）
提出一种概率符号法则，将函数商数的单调性、对数超模性和对数凸性转化为基于核单调性、诱导律随机序和协方差/方差恒等式的符号判据，并应用于广义超几何、Stieltjes变换和Prabhakar商数。
2026-07-03 math.CA math.PR
Symbolic methods for the evaluation of sum rules of Bessel functions
使用的本影形式主义允许一个显着的简化推导的总和规则，涉及产品的特殊功能和多项式。用这种方法重新推导了贝塞尔函数的求和规则和加法定理。此外，我们还得到了一组新的包含各种特殊多项式和Bessel函数的封闭式求和规则。我们考虑的例子是相关的应用范围从等离子体物理量子光学。
2013-07-02 math-ph math.CA math.MP
