Rational 2-functions are abelian
Felipe Müller
证明了有理2-函数的系数包含在阿贝尔数域中。更确切地说，我们表明，这些功能的极点是一阶极点，并给出了根的单位和合理的剩余。
We show that the coefficients of rational 2-functions are contained in an abelian number field. More precisely, we show that the poles of such functions are poles of order one and given by roots of unity and rational residue.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Rational points and Brauer--Manin obstruction on Shimura varieties of level one classifying abelian varieties with quaternionic multiplication
该研究探讨具有四元数乘法的阿贝尔簇对应的一级志村簇的有理点问题，证明这类志村簇极少存在有理点，为数论中志村簇有理点分布研究提供了结论。
On the $p$-adic closure of a subgroup of rational points on an Abelian variety
2007年，B. Poonen（未发表）研究了$p$ -进封闭的子群的有理点的交换代数群。最近，J. Bellaïche对阿贝尔簇的特殊情况提出了同样的问题。这些问题是$p$ --前面B. Mazur关于实拓扑的有理点的稠密性.对于一个简单的阿贝尔簇的领域的有理数，我们表明，实际的$p$ -进秩至少是第三个的期望值。
Every finite abelian group is the group of rational points of an ordinary abelian variety over $\mathbb{F}_2$, $\mathbb{F}_3$ and $\mathbb{F}_5$
本文证明每个有限阿贝尔群在特征2、3、5的有限域上可实现为普通阿贝尔簇的有理点群，并给出一般有限域的部分结果及循环群的无穷多实现。
Rational points on Shimura varieties classifying abelian varieties with quaternionic multiplication
本文研究具有四元数乘法的阿贝尔簇的适当水平结构诱导的特征，并证明参数化它们的Shimura簇很少有有理点。
On rational Bianchi newforms and abelian surfaces with quaternionic multiplication
我们研究的理性Bianchi新形式（重量2，平凡的字符，与合理的Hecke特征值）的LMFDB，没有相关的椭圆曲线，而是阿贝尔曲面与四元数乘法。其中两个例子表现出一种相当特殊的行为：我们表明，它们产生于扭曲的基础变化的一个经典的新形式与neuroypus字符的顺序4和8内部扭曲。
The rational points on certain Abelian varieties over function fields
本文考虑函数域上的阿贝尔簇，它是由不可约拟射影簇的循环覆盖对阿贝尔簇的扭曲而产生的。然后，利用与循环覆盖相关的Prym簇，证明了其Mordell-Weil群的一个结构定理.我们的结果给出了一个明确的方法来建设的椭圆曲线，超和超椭圆雅可比行列式，具有大的秩在某些品种的功能领域。
Extended genus fields of abelian extensions of rational function fields
本文研究了全局有理函数域有限阿贝尔扩张的广义亏格域，通过分析素数幂次循环扩张及分圆扩张复合域的性质，显式给出了基于“分圆投影”的一般有限阿贝尔扩张广义亏格域的求解结果。
Non-abelian arboreal Galois groups associated to PCF rational maps
本文证明了对于PCF有理映射和非预周期基点，数域的树状Galois扩张绝非阿贝尔的，为多项式确立了Andrews-Petsche猜想的新已知情形，并指出反例若存在必稀疏。
Examples of non-simple abelian surfaces over the rationals with non-square order Tate-Shafarevich group
设A是定数域上的阿贝尔曲面.如果A是主极化的，则已知A的泰特-沙法列维奇群的阶如果是有限的，则必须是平方或平方的两倍。A的情况主要不是两极分化的仍然不清楚。对于{1，2，3，5，6，7，10，13}中的每个k，我们在其Tate-Shafarevich群的阶为k乘平方的有理数上构造一个非简单的非主极化阿贝尔曲面。为了得到这个结果，我们探讨了Birch和Swinnerton-Dyer猜想在等距条件下的不变性。
On abelian covers of the projective line with fixed gonality and many rational points
有限域$\mathbb{F}_q$上的光滑几何连通曲线至多有${γ(q+1)}$有理点。第一作者和Grantham证明了，存在每个具有角性$γ$的足够大的亏格的曲线达到这个界。在本文中，我们证明了这个界可以实现一个无穷序列的属使用阿贝尔覆盖的射影线。我们还认为，阿贝尔覆盖将不足以证明完整的猜想。
A refined non-vanishing of the $p$-adic logarithm of a rational point on an abelian variety
研究p进对数下阿贝尔簇非 torsion 点非消失问题，主要针对GL₂型阿贝尔簇及其与希格纳点相关的情形，采用p进解析子群定理作为主要工具。
Torsion of rational elliptic curves over the maximal abelian extension of Q
令$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，并且令$\mathbb{Q}^{ab}$是$\mathbb{Q}$的最大阿贝尔扩张。在这篇文章中，我们分类的集团，可以出现为$E(\mathbb{Q}^{ab})_{\text{tors}}$同构。该方法说明了用于找到混合水平结构的模曲线的显式模型的技术。此外，我们提供了一个显式算法来计算任何椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$的$E(\mathbb{Q}^{ab})_{\text{tors}}$。
Number Fields in Fibers: the Geometrically Abelian Case with Rational Critical Values
设X是Q上的代数曲线，t是X上的非常数Q-有理函数，使得Q（t）是Q（X）的真子域.对于每个整数n，在X上取一个点P_n，使得t（P_n）=n。我们猜想，对于大N，在数域Q（P_1），. Q（P_N）至少有cN个不同的。在t定义了射影直线的几何阿贝尔覆盖，且t的临界值都是有理数的特殊情况下，证明了这一猜想。这意味着，特别是，我们的猜想如下一个著名的猜想Schinzel。
Lehmer-Type bounds and counting rational points of bounded heights on Abelian varieties
本文研究了数域K上阿贝尔簇A的$\bar{K}$-点Néron-Tate高度的Lehmer型界，估计了高度$\leq \log B$的K-有理点数量，并针对椭圆曲线及其乘积将估计中的常数C变为显式可计算。
Integral points on punctured abelian varieties
设$A$是有理数上的阿贝尔簇，并假设$A(\mathbb{Q})=0$ .设$\ell$是一个有理素数。在$A$的mod $\ell$表示的温和条件下，我们证明了打孔变种$A-0$没有超过100%循环度$\ell$数域的积分。
Abelian Calabi-Yau threefolds: Néron models and rational points
我们研究了由交换曲面构成的Calabi-Yau三重纤维，特别是它们的算术性质，例如，Néron模型和Zebraki密度。
Small Heights in Large Non-Abelian Extensions
设E是有理数域上的椭圆曲线。设L是有理数的无限Galois扩张，其局部度在几乎所有素数处一致有界。我们将考虑有理数的无限扩张L（E_tor），其中我们邻接E的扭点的所有坐标。本文证明了L（E_tor）中非单位单位根的非零元素高度的一个有效下界。
Uniform bounds on prime levels of abelian division fields of elliptic curves over number fields without rationally defined CM
本文在去除 GRH 假设后，证明无有理复乘的数域上椭圆曲线的阿贝尔除子域素级的性质等价于无有理复乘，推广了相关研究结果。
Rational torsion points on abelian surfaces with quaternionic multiplication
本文研究具有非分裂四元数乘法的阿贝尔曲面的有理挠点，证明其挠子群为12-挠且阶至多18，并在GL₂-型条件下给出完整分类。
Torsion of elliptic curves with rational $j$-invariant over the maximal elementary abelian 2-extension of $\mathbb{Q}$
本文针对定义在有理数域所有二次扩张合成域上、j不变量为非0或1728的有理数的椭圆曲线，完成了对其可能挠子群结构的分类。
Computing the mod-3 Galois image of a principally polarized abelian surface over the rationals
针对有理数域上主极化阿贝尔曲面的mod-3伽罗瓦表示像的计算问题，提出以GSp(4,F₃)子群共轭类分布为关键要素的算法，用多种技术解决ℓ=3时Gassmann等价子群的区分难题，且无需已知自同态信息。
Cyclotomic and abelian points in backward orbits of rational functions
本文研究数域上有理函数向后轨道中的阿贝尔点与分圆点，证明阿贝尔点生成扩张仅在有限素数分歧，并给出二次有理函数及Lattès映射的相关分类与条件。
On the density of abelian l-extensions
本文导出了有理函数域上素度的阿贝尔扩张个数的一个渐近公式。具体地说，令$\ell$是一个有理素数，$K$是一个有理函数域$\Bbb F_q(t)$，其中有$\ell \nmid q$。令$\textup{Disc}_f\left(F/K\right)$表示$F$对$K$的有限判别式。用$a_{\ell}(n)$表示具有$\textup{deg}\left(\textup{Disc}_f(F/K)\right) = (\ell-1)αn$的交换$\ell$ -扩展$F/K$的个数，其中$α=α(q, \ell)$是乘法群$\left(\Bbb Z/\ell \Bbb Z\right)^\times$中$q$的阶。我们给出了$a_\ell(n)$的一个显式渐近公式。在具有$q\equiv 2 \pmod 3$的三次扩张的情况下，我们的公式给出了Cohn经典公式的精确模拟。
Genus fields of abelian extensions of congruence rational function fields
在这篇论文的公开版本[Finite Fields and Their Applications {\bf 20}（2013）40--54]中，在该论文定理4.2的证明中存在错误。本文对定理4.2，4.5和5.2给出了同余函数域的亏格域的构造。首先，我们考虑割圆函数域的情况下的想法Leopoldt，然后一般情况下。作为应用，我们给出了Kummer，Artin-Schreier和循环$p$-扩张的亏格域. Kummer扩张是由G. Peng和Artin-Schreier扩张由S. Hu和Y.李
Abelian varieties over finite fields and their groups of rational points
本文研究有限域上自同态环交换的阿贝尔簇的有理点群，证明其结构由自同态环决定，并刻画无平方同源类及对偶性质。
Examples of abelian surfaces failing the local-global principle for isogenies
我们提供了数域$K$上的阿贝尔曲面的例子，这些曲面在几乎所有的好素数上的约化都具有剩余域上的素数度$\ell$有理数的等距，但它们本身不允许$K$ -有理数$\ell$ -等距。这建立在Cullinan和Sutherland的工作基础上。当$K=\mathbb{Q}$，我们确定一定的重量- $2$新形式$f$与二次傅里叶系数，其相关的模块化阿贝尔表面$A_f$表现出这样的失败的局部-全局原则的同源性。
The Tate conjecture for abelian fivefolds over finite fields
本文在假设维数至多四的阿贝尔簇满足Tate猜想的前提下，证明了维数五阿贝尔簇在所有余维数和素数下的Tate猜想，并借助Künneth分解、CM半扭转及Kahn定理等工具，同时建立了标准猜想与Parshin猜想。
Function field genus theory for non-Kummer extensions
本文首先得到有限交换非Kummer $l$的亏格域--整体有理函数域的扩张.然后，利用整体有理函数域的两个相对互素度的阿贝尔扩张的合成的亏格域等于它们各自的亏格域的合成，并利用我们以前的结果，导出了整体有理函数域的有限阿贝尔扩张的亏格域的一般表达式.
Abelian fibrations and rational points on symmetric products
给定数域上的一个簇，它的有理点是否潜在稠密，即，是否存在一个有限扩张，在其上的有理点是Zebraki稠密的？本文研究了曲面的对称积的势密度问题。与曲线的情况相反，有理点在足够高的对称乘积上不一定是潜在密集的。我们的主要结果是，有理点是潜在的密集的第N次对称产品的K3曲面，其中N是明确确定的几何曲面。其基本构造是，对于一定的N，K3曲面的N次对称幂是P^N上阿贝尔纤维化的双有理曲面。寻找具有此性质的最小N是一个有趣的几何问题。
On the arithmetic of special values of $L$-functions for certain abelian varieties with a rational isogeny
本研究针对具有有理同源的特定阿贝尔簇，证明其偶二次扭的$p$-艾森斯坦部分的模$p$版本BSD猜想，是Mazur关于奇二次扭相关结果的偶二次扭类比。
Arithmetic properties of the Frobenius traces defined by a rational abelian variety (with two appendices by J-P. Serre)
令$A$是$\mathbb{Q}$上维数为$g$的阿贝尔簇，使得其相关联的绝对伽罗瓦表示$ρ_A$的像在$\operatorname{GSp}_{2g}(\hat{\mathbb{Z}})$中是开的。本文研究了在$ρ_A$下，在$\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$中的Frobenius在$p$上的迹$a_{1, p}$的算法，模变素数$p$ .特别是，我们得到的计数函数$\#\{p \leq x: a_{1, p} = t\}$的上界，我们证明了一个Erdös-Kac型定理的数量的素因子的$a_{1, p}$。我们还提出了一个关于$\#\{p \leq x: a_{1, p} = t\}$的渐近行为的猜想，它推广了S. Lang和H. Trotter从1976年开始研究椭圆曲线。
The modularity of an abelian variety
本文研究了阿贝尔簇在有理数域上的模性，扩展了椭圆曲线的模性概念，并提出简单阿贝尔簇的模性猜想。
Rationality of the zeta function of the subgroups of abelian $p$-groups
给定一个有限交换$p$ -群$F$，我们证明了一个关于$σ_a(F)=\sum_{\substack{H\leq F}}|H|^a$的有效递归公式，其中$H$的范围是$F$的子群.我们从这个公式中推断出在$r$为常数的$p$ -秩群上相应的ζ-函数的$p$ -分量是有单分母的有理数.我们还提供了两个明确的例子，秩$r=3$和$r=4$以及一个闭公式$σ_a(F)$。
On the distribution of rational points on ramified covers of abelian varieties
证明了特征为零的广义生成域$k$上阿贝尔簇的分歧覆盖上有理点分布的新结果。例如，给定一个分歧覆盖$π: X \to A$，其中$A$是$k$上的阿贝尔簇，具有$k$ -有理点的稠密集，我们证明了存在一个有限指标陪集$C \subset A(k)$，使得$π(X(k))$与$C$不相交。我们的结果似乎并不在目前可用的其他方法的范围内，它们证实了预测来自郎的aptutures的有理点，也去的方向提出的一个问题塞尔关于可能的应用程序的逆伽罗瓦问题。最后，我们的工作的结论可以看作是一个尖锐版本的希尔伯特的不可约定理的阿贝尔簇。
Genus Field and Extended Genus Field of an Elementary Abelian Extension of Global Fields
本文给出了有理函数域的初等交换$l$ -扩张的亏格域和扩张亏格域的构造，其中$l$是素数.在Kummer情形下，如果$K$包含在分圆函数域中，则利用狄利克雷特征标，利用Leopoldt的思想给出了该构造.根据Anglès和Jaulent关于扩张Hilbert类域的定义，得到了有理函数域的初等交换$l$ -扩张的扩张亏格域.
Principally polarized abelian surfaces with surjective galois representations on l-torsion
给定一个定义在$K$上的有理簇$V$，我们考虑一个定义在$V$上的维数为$g$的主极化阿贝尔簇$A$.对于每个素数l，我们考虑$A_t$的$l$ -挠上的伽罗瓦表示，其中$t$是$V$的$K$ -有理点。最大可能的图像是$GSp_{2g}(\mathbb{F}_l)$，在情况$g=1$和2中，我们能够得到所有$l$和几乎所有$t$的满射性。在$g=1$的情况下，这恢复了最初由威廉·杜克证明的定理。
Rational points on solvable curves over $\mathbb{Q}$ via non-abelian Chabauty
研究了$\mathbb{Q}$上定义的亏格至少为2的光滑射影曲线的Selmer簇，这些曲线在CM Jacobian下几何占优.我们推广了Coates和Kim的一个结果，证明了Kim的非阿贝尔Chabauty方法适用于这样的曲线。结合Bogomolov-Tschinkel和Poonen关于非分歧对应的结果，我们推导出$\mathbf{P}^1$上任何具有可解伽罗瓦群的覆盖，特别是$\mathbb{Q}$上的任何超椭圆曲线，在$\mathbb{Q}$上只有1000个有理点.
Non-existence of certain semistable abelian varieties
证明了当p = 2，3，5或7时，不存在定义在有理数上且在一个素数p之外具有好约化的半稳定变元.
Construction of Hecke Characters for Three-dimensional CM Abelian Varieties
众所周知，对于具有复乘的椭圆曲线，$\mathbb{Q}$ -有理模型的存在等价于其模域等于$\mathbb{Q}$，或者其自同态环是9个可能域的整数环（$\ast$）。Murabayashi和Umegaki证明了交换曲面的类似结果。对于三维CM阿贝尔簇合理领域的模，春缩小到37个可能的CM领域的列表。在本文中，我们证明了他的列表是准确的。通过构造满足Shimura定理的某些Hecke特征，我们证明了这些阿贝尔簇的28个Isabel类具有$\mathbb{Q}$ -模型。因此，在这里完全类比$(\ast)$是失败的。
Ramification groups and Artin conductors of radical extensions of the rationals
计算了有理数根扩张的高阶分歧群和Artin导子.作为应用，我们给出了它们的判别式（使用导体判别式）。对这类数域的兴趣是因为它们是有理数的最简单的非阿贝尔扩张（因此不被类域理论分类）。我们证明了这种扩张在上级分歧群中具有非整数跳跃，这与阿贝尔扩张的情况（如Hasse-Arf定理所规定的）相反。
Explicit Small Heights in Infinite Non-Abelian Extensions
设$E$是有理数上的椭圆曲线。我们将考虑有理数的无限扩张$\mathbb{Q}(E_{\text{tor}})$，其中我们邻接$E$的扭点的所有坐标。在本文中，我们将证明一个明确的下界的高度非零元素在$\mathbb{Q}(E_{\text{tor}})$，不是一个单位根，只取决于导体的椭圆曲线。作为一个副结果，我们将给出一个明确的界限，一个小的超奇异素数的椭圆曲线。
Weil polynomials of abelian varieties over finite fields with many rational points
本文考虑定义在有限域$\mathbb{F}_q$上的$g$维阿贝尔簇的同构类的有限集，其中自同态代数是域。证明了在任意素数偶次幂$q$足够大的条件下，该集合中具有最多有理点的簇是唯一的.我们描述了它的Weil多项式，我们证明了类是普通的和循环的素数外划分一个整数，只依赖于$g$。在维数$3$中，证明了该类是普通的循环类，并对任意素数偶次幂$q$，给出了该类的Weil多项式.
Finite descent obstructions and rational points on curves
设k是数域，X是光滑k-簇.本文研究了在有限k-群格式下通过torsors下降可获得的关于X上的k-有理点在顶点内的位置的信息。我们的主要结果是：如果曲线C/k非平凡地映射到阿贝尔簇A/k，使得A（k）是有限的，并且Sha（k，A）没有非平凡的可分元素，那么来自有限阿贝尔下降的信息精确地切掉了C的有理点.我们猜想，这是所有的曲线亏格至少2的情况。我们与有限下降障碍的Brauer-Manin障碍，特别是，我们证明，在曲线上，Brauer集等于一套削减有限阿贝尔下降。因此，我们的猜想意味着Brauer-Manin对曲线上唯一一个有理点的阻塞。
Surjectivity of Galois Representations in Rational Families of Abelian Varieties
本文证明了在具有大单值性的有理基上的任意非等平凡交换簇族，具有象尽可能大的阿德尔伽罗瓦表示的簇族构成一个密度- $1$子集.我们的结果可以应用到一些有趣的阿贝尔簇的交换品种，如合理的家庭支配的超椭圆曲线，三角曲线，或平面曲线的雅可比矩阵的模。因此，我们证明了对于任何维数$g \geq 3$，有无穷多个交换阿贝尔簇在$\mathbb Q$上具有伽罗瓦表示其像等于所有的$\operatorname{GSp}_{2g}(\widehat{\mathbb Z})$。
On tamely ramified Iwasawa modules for the cyclotomic Z_p-extension of abelian fields
设p是奇素数，k_ \infty是交换域k的分圆Z_p扩张.对于不包含p的有限有理素数集S，我们考虑k_ \infty上的极大S-分歧Abel pro-p扩张M_S（k_ \infty）.本文给出了Gal（M_S（k_ \infty）/k_ \infty）的Z_p秩的计算公式。证明了M_{q}（k_ \infty）/L（k_PDMATHABMM）对每个实阿贝尔域k和每个不同于p的有理素数q都是有限扩张，其中L（k_ \infty）是k_ \infty上的最大非分歧阿贝尔pro-p扩张.
An explicit basis for the rational higher Chow groups of abelian number fields
我们回顾并简化了A。Beilinson构造了分圆域上一点的动机上同调基，然后将基元提升到更高的Chow圈上，并计算了它们上的KLM调节映射.
Weak approximation versus the Hasse principle for subvarieties of abelian varieties
本文研究阿贝尔簇子簇的弱逼近失效问题，证明了有限下降作为有理点存在的唯一障碍可推导出弱逼近失效由有限下降解释，并推广至 Mordell-Weil 筛障碍。
Small Height and Infinite Non-Abelian Extensions
设$E$是定义在有理数上的椭圆曲线，不需要复乘。由$E$的所有扭点生成的场$F$是有理数的无限非交换伽罗瓦扩张，它在所有素数之上具有无界的野分支。我们证明了$F$的一个元素的绝对对数Weil高度要么为零，要么从下面有界的正常数只取决于$E$。我们还证明了Néron-Tate高度在$E(F)$上有一个类似的间隙，并利用这个间隙来确定群$E(F)$的结构。
Class fields, Dirichlet characters and extended genus fields of global function fields
得到了有理函数域的阿贝尔扩张的扩张亏格域。我们遵循Anglès和Jaulent的定义，它使用了类域理论。首先证明了利用Dirichlet特征标得到的分圆函数域的扩张亏格域的自然定义与Anglès和Jaulent给出的定义是一致的。接下来，我们研究了扩展的亏格领域的有限阿贝尔扩张的有理函数域沿着研究亏格领域的阿贝尔扩张的有理函数域，并比较这种方法与一个由Anglès和Jaulent。
Generalization of the "Stark unit" for abelian L-functions with multiple zeros
对于数域的阿贝尔扩张，我们证明了对所有r阶为零的Artin L函数的Stark猜想等价于在较大数域单位元的Galois模的r次外幂的有理跨距中存在一个特殊元.
Rational points of the group of components of a Neron model
设A_K是离散赋值域K上的阿贝尔簇.设A是K的整数环O_K上A_K的Neron模型，A_k是其特殊纤维.研究了A_k的分支群有理点的集合.特别是，我们看看的情况下，A_K是一个雅可比矩阵或A_K是一个阿贝尔簇具有半稳定的减少。我们也考虑代数环面在K上，而不是阿贝尔簇。
Computing isogeny classes of typical principally polarized abelian surfaces over the rationals
提出一种高效算法，计算有理数上几何自同态环为整数环的主极化阿贝尔曲面的所有同源类，并应用于1440894个亏格2曲线雅可比簇的同源类验证其有效性。
Algebraic and abelian solutions to the projective translation equation
令$\mathbf{x}=(x,y)$。投影二维流是二维投影平移方程（PrTE）$(1-z)ϕ(\mathbf{x})=ϕ(ϕ(\mathbf{x}z)(1-z)/z)$，$ϕ:\mathbb{C}^{2}\mapsto\mathbb{C}^{2}$的解。以前我们已经找到了所有的解决方案的PrTE是有理函数。有理流产生一个向量场$\varpi(x,y)\bullet\varrho(x,y)$，它是一对2-齐次有理函数。另一方面，只有非常特殊的2-齐次有理函数对，如向量场，才会产生有理流。分类定理证明的主要内容是一对2-齐次有理函数的归约算法。这种简化方法实际上允许导出更多的结果。也就是说，在这项工作中，我们发现所有的射影流的有理向量场的轨道是代数曲线。我们称这些流为阿贝尔射影流，因为这些流或者由阿贝尔函数参数化，并且借助于1-齐次双有理平面变换（1-BIR），这些流的轨道可以变换成代数曲线$x^{A}(x-y)^{B}y^{C}\equiv\mathrm{const.}$（阿贝尔流的类型I），或存在1-BIR的转换成线$y\equiv\mathrm{const.}$的轨道（类型II的阿贝尔流），并且一般地，后者的流根据非算术函数来描述。我们的第二个结果分类所有的交换流，这是由两个变量代数函数。我们称这些流为代数射影流，它们是第一类阿贝尔流。我们还提供了许多例子的代数，阿贝尔和非阿贝…
Estimates for the number of rational points on simple abelian varieties over finite fields
设$A$是域$\mathbb{F}_q$上维数$g$的简单阿贝尔簇.本文对$A(\mathbb{F}_q)$的Weil估计进行了改进.对于$q$的任意值，我们证明了$(\lfloor(\sqrt{q}-1)^2 \rfloor + 1)^g \leqslant A(\mathbb{F}_q) \leqslant (\lceil(\sqrt{q}+1)^2 \rceil - 1)^{g}$在有许多例外的情况下成立。我们计算改进的界限$q$的各种小值。例如，魏尔边界$q=3,4$给一个平凡的估计$A(\mathbb{F}_q) \geqslant 1$，我们证明$A(\mathbb{F}_3) \geqslant 1.359^g$和$A(\mathbb{F}_4) \geqslant 2.275^g$持有许多例外。我们用这些结果来描述所有有限域上的阿贝尔簇，在某些有限域扩张中没有新的点。
Genus fields of finite abelian extensions
本文给出了整体有理函数域的有限阿贝尔扩张的亏格域。我们引入这些扩展的长期导体常数，并确定它在其他不变量。我们研究了有限交换$p$ --扩张的特殊情况，并给出了它们的亏格域的明确描述。
Rational points and ramified covers of products of two elliptic curves
Corvaja和Zannier证明了数域上的阿贝尔簇满足希尔伯特性质的一个修改版本。利用Kawamata关于交换阿贝尔簇的分歧覆盖的结构结果和Faltings关于高阶亏格曲线上有理点的有限性定理，研究了他们关于椭圆曲线乘积的猜想.
Two variants of the support problem for products of abelian varieties and tori
设G是定义在数域K上的一个阿贝尔簇与一个环面的乘积。设P和Q是G上的K-有理点.假设对于K的所有素数p，除了p的个数，（Q mod p）的阶除（P mod p）的阶。则存在G的一个K-自同态f和一个非零整数c使得f（P）=cQ.此外，我们能够证明上述结果与较弱的假设：而不是比较点的顺序，我们只比较根的顺序（激进的支持问题）或l-adic估值的顺序为一些固定的有理素数l（l-adic支持问题）。
The Brauer-Manin obstruction for subvarieties of abelian varieties over function fields
证明了对于整体函数域上的阿贝尔簇的一大类子簇，关于顶点的Brauer-Manin条件恰好截出有理点.这一结果是从更一般的结果有关的交叉点的一个子品种的adelic封闭的群体的有理点的阿贝尔簇。
Counting abelian extensions by Artin-Schreier conductor
本文通过定义 Artin-Schreier 导子，对特征 p 整体函数域的有限阿贝尔 p-群 étale 扩张进行计数，并证明其生成函数为有理函数，从而得到精确计数结果。
Prescribing valuations of the order of a point in the reductions of abelian varieties and tori
设G是定义在数域K上的一个阿贝尔簇与一个环面的乘积。设R是G上无限级的K-有理点.称n_R为G的R所属的最小代数K-子群的连通分支数。证明了对于K中除n个素数p以外的所有素数，n_R是能整除（R mod p）阶的最大正整数.进一步，设m>0是n_R的倍数，S是有理素数的有限集.则存在K的素数p的正Dirichlet密度，使得对S中的每一个l，（R mod p）阶的l-adic赋值等于v_l（m）.
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