Explicit Mertens' Theorems for Number Fields
Stephan Ramon Garcia, Ethan Simpson Lee
假设广义黎曼假设，我们得到统一的，有效的数域类似的梅尔滕斯定理。
Assuming the Generalized Riemann Hypothesis we obtain uniform, effective number-field analogues of Mertens' theorems.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Mertens' theorem and prime number theorem for Selberg class
1874年，Mertens在$s=1$上证明了黎曼ζ函数的部分欧拉积的近似公式，称为Mertens定理。本文推广了Selberg类的Mertens定理，给出了Selberg类的素数定理.
On graph theory Mertens' theorems
本文利用Ihara zeta函数的基本性质研究了Mertens定理的图论类比。我们的结果之一是夏普和波利科特提出的动力系统梅尔滕斯第二定理的特殊情况的改进。
Variations on theorems of Mertens
我们提出的变化定理的Mertens密度假设的特殊情况。此外，我们还研究了关于Lang-Weil估计的一个Serre估计.
On the constants in Mertens' theorems for primes in arithmetic progressions
本文在广义黎曼猜想下，对算术级数中素数Mertens第二定理的常数给出有效描述，基于Norton1976年的渐近结果。
Unconditional Explicit Mertens' Theorems for Number Fields and Dedekind Zeta Residue Bounds
我们得到无条件的，有效的数域类似物的三个Mertens定理，所有明确的常数和有效的$x\geq 2$。我们的误差项是显式有界的次数和判别式的数域。为此，我们提供了无条件的界限，明确的常数，在$s=1$相应戴德金ζ函数的残留物。
Generalised Mertens and Brauer-Siegel Theorems
在这篇文章中，我们证明了一个推广的Mertens定理的素数数域和代数簇上的有限域，注意到域的亏格（或贝蒂数的品种），以使它趋于无穷大，从而指出它之间的联系和著名的Brauer-Siegel定理。利用这一点，我们推导出一个明确的版本下GRH的广义Brauer-Siegel定理，并统一证明了这个定理的渐近精确的家庭几乎正常的数域。
Mertens's theorem for splitting primes and more
无数的文章致力于梅尔滕斯定理。在另一个例子中，我们只想提请注意哈代的一个证明，它使用了朗道的一个陶伯定理，“以直接和优雅的方式得出结论”。哈代的证明也是相当适应性，它很容易与著名的结果从素数理论相结合。我们证明了这一点，证明了一个版本的定理素数在等差数列与均匀性的模，以及一个非阿贝尔类似物。
The Farey Sequence and the Mertens Function
Franel和Landau推导出了一个涉及法里序列的算术语句，它相当于黎曼假设。既然Mertens函数和黎曼假设之间存在关系，那么Mertens函数和法里序列之间也应该存在关系。引入了类似于Mertens函数的法里序列中分式子集的函数。米克拉斯证明了某些Mertens函数值的总和是1。类似于Mikolas定理的结果是这些函数的定义性质。假定了法里序列与黎曼假设之间的关系，而不是与Franel-Landau定理之间的关系。这个猜想涉及Mertens定理和第二Chebyshev函数。
Sign changes in Mertens' first and second theorems
我们表明，功能$\sum_{p\leq x} (\log p)/p - \log x - E$和$\sum_{p\leq x} 1/p - \log \log x -B$改变符号无限频繁，并在一定的假设下，他们表现出强烈的偏向正值。这些结果建立在Diamond & Pintz和Lamzouri关于Mertens乘积公式振荡的最近工作的基础上，并回答了Rosser和Schoenfeld提出的肯定问题。
On the first sign change in Mertens' Theorem
已知函数$\sum_{p\leq x} \frac{1}{p} - \log\log(x) - M$经常无限地改变符号，但是到目前为止，所有计算值都是正的。在本文中，我们证明了第一个符号的变化发生之前$\exp(495.702833165)$。
Oscillations in Mertens Theorems and Other Finite Sums and Products
本文简化了Martens定理中关于素积振动性的一个新结果的证明，并给出了误差项的定量表达式。此外，还给出了素数的倒数的有限和及其它有限和与乘积的相应振动性结果。
Mertens' theorem for Chebotarev sets
本文将Mertens乘积定理推广至数域Galois扩张中的素理想Chebotarev集合，扩展了Williams的论证，并计算了abel扩张、$S_3$六次扩张及二次型表示素数集合中的乘积。
On Mertens-Cesàro Theorem for Number Fields
设$K$是一个具有整数环$\mathcal O$的数域。在引入了$\mathcal O$子集的密度概念，推广了$\mathbb Z$子集的自然密度概念之后，我们证明了代数整数的互素$m$ -元组集合的密度是${1/ζ_K(m)}$，其中$ζ_K$是$K$的戴德金ζ函数.
On the mean values of the error terms in Mertens' theorems
本文研究Mertens定理误差项积分的正性，证明对前两个定理其与黎曼猜想等价，并推广至特征扭曲及算术级数情形。
Mertens' Third Theorem for Number Fields: A New Proof, Cramér's Inequality, Oscillations, and Bias
本文给出了数域上默滕斯第三定理的新证明，证明了误差项在技术条件下无穷多次变号所需的数域克拉梅尔不等式，推广了拉姆祖里关于误差项为正的对数密度结果，并对两个二次域进行了数值研究。
Mertens' Proof of Mertens' Theorem
我们提出了一个独立的小学和详细的阐述梅尔滕斯自己的证明他的定理的分歧系列的倒数的素数和比较它与现代的证据。他的证明包含明确的数值误差估计和计算的梅尔滕斯“常数”，这两个都是失踪的现代博览会。由于他的策略和技术与今天的方法大不相同，他的原始方法值得更好地了解。
On near superperfect numbers, the Goormaghtigh conjecture, and Mertens' theorem
本文扩展近超完美数的研究，将其与Goormaghtigh猜想和Mertens定理中的素数乘积关联，并引入II型近超完美数，证明类似结论。
Sectorial Mertens and Mirsky formulae for imaginary quadratic number fields
我们扩展公式Mertens和Mirsky的渐近行为的标准欧拉函数的欧拉函数的主环的整数虚二次数域，给出版本的角扇区和同余。
Multiple Mertens theorems for arithmetic progressions
本文研究了算术级数中素数倒数和的渐近公式，推导了多重梅滕斯评估的扩展结果，并将渐近展开系数与递归函数的泰勒级数联系起来。
On a Mertens-type conjecture for number fields
本研究提出数域版Mertens猜想，证明其对任意给定次数的绝大多数数域不成立，拓展Ng的工作得到类似Mertens函数的对数极限分布，并借助Artin因子分解研究双循环数域广义Mertens函数的性质。
Higher Mertens constants for almost primes II
对于$k\ge1$，令$R_k(x)$表示具有$k$素因子的数的倒数和直到$x$，以重数计数。在以前的工作中，作者获得了$R_k(x)$的估计，扩展了Mertens的第二定理，以及对任何$N > 0$的$R_2(x)$的更细尺度估计，直到$(\log x)^{-N}$误差。在这篇文章中，我们建立了极限行为的高Mertens常数的$R_2(x)$估计。我们还将这些结果推广到$R_3(x)$，并对一般情况$k\ge4$进行了评述。
Multiple Mertens evaluations
Mertens第一定理给出了如下的渐近公式\begin{equation*} \sum_{\substack{p\leq x\\ p~prime}}\frac{lnp}{p}=lnx+O(1), \end{equation*}，Mertens第二定理指出存在一个常数$B\approx 0.261$，称为Mertens常数，使得\begin{equation*} \sum_{\substack{p\leq x\\ p~prime}}\frac{1}{p}=ln(lnx)+B+O\left(\frac{1}{lnx}\right). \end{equation*}本文利用Abel求和公式和Dirichlet双曲线方法，将它们推广到多种情况。
On Maximal Values of Gronwall Numbers for Integers with Given Greatest Prime Factor and Remainder in Modified Mertens Formula
研究整数最大格罗旺数与修改后的梅特恩公式中素数倒数和余数之间的关系，不依赖黎曼假设，提出新的极限关系。
Generalized Mertens sums
扩展的经典估计Mertens的倒数的第一个素数的总和，我们提供了一个明确的剩余公式的产品的任意，但固定的，数量的素数。
On the arithmetic of crossratios and generalised Mertens' formulas
我们发展双曲几何和算术equidistribution问题之间的关系，所产生的行动的算术群对真正的双曲空间，特别是在维高达5。我们证明了二次虚数域和有理数上的定四元数代数的Mertens公式的推广，关于两种不同自然复杂度的二次无理数的计数结果，以及具有误差界的二进制二次、Hermitian和Hamilton形式的（代数）整数表示的计数结果。对于每一个这样的陈述，我们证明了相应的算术定义点的等分布结果。进一步，我们研究了这类点的交比的渐近性质，推广了Pollicott关于Schottky-Klein素函数的最新结果.
Meissel's theorem in additive arithmetical semigroups
本文在加法算术半群的背景下讨论了如何控制Mertens公式及相关定理中的误差项，并推广了Meissel的一个相关结果。
Mertens' prime product formula, dissected
1874年，梅尔滕斯证明了乘积$p/(p-1)$在所有素数$p$到$x$上的渐近公式。另一方面，人们可以将Mertens的素积展开为只有小素因子的数$n$上的级数。很自然地将这样的级数限制为具有固定数量的素因子$k$的数$n$。在这篇文章中，我们得到了这些系列的公式为每个$k$，一起剖析Mertens的原始估计。证明是由组合风味的基本方法。
A New Strategy for Riemann Hypothesis
无平方数整数是不能被任何素数的平方整除的正整数。Merten函数，$M(x)$被定义为具有偶数个素因子的无平方整数的数量与具有奇数个素因子的无平方整数的数量之间的差，直到$x$。众所周知，$M(x)=O(x^{1/2+ε})$与黎曼假设是等价的。在本文中，我们推导出一个新的方程，涉及默顿的功能，导致一个有前途的技术黎曼假设。
Orbit-counting in non-hyperbolic dynamical systems
对于具有双曲行为的动力系统，有著名的素数定理和Mertens定理的类似物。这里我们考虑最简单的非双曲代数系统的相同问题。轨道计数函数的渐进行为由相关紧群上的旋转决定，并且在简单的例子中，我们展示了轨道计数函数的无数个不同的渐进增长率。梅尔滕斯定理也在这种情况下成立，一个明确的合理的首项系数从算术性质的非双曲特征方向。
Randomness of Mobius coefficents and brownian motion: growth of the Mertens function and the Riemann Hypothesis
黎曼假设（RH）关于黎曼$ζ$ -函数的非平凡零点位置的有效性与梅尔滕斯函数$M(x) \,=\,\sum_{k=1}^x μ(k)$的增长直接相关，其中$μ(k)$是整数$k$的莫比乌斯系数：RH确实为真，如果梅尔滕斯函数渐近地成为$M(x) \sim x^{1/2 + ε}$，其中$ε$是一个任意的严格正数。这种行为可以建立在一个新的概率方法的基础上的整体性质的Mertens函数。为了这个目的，我们推导出一系列的概率结果关于素数分布沿一系列的平方免费的号码，这表明，Mertens函数服从正态分布。我们还证明了RH的有效性也意味着Dirichlet $L$ -函数的广义黎曼假设的有效性。接下来，我们研究Mertens函数的局部性质，即由每个莫比乌斯系数限制到无平方数引起的变化。我们对这些系数进行了大量的统计分析，对它们进行了一系列随机性测试，这些测试的精度和复杂性不断提高，总共有18个不同的测试。所有这些测试的成功输出（每个测试的置信度都是$99\%$，即所有被分析的子序列确实是随机的）可以被看作是令人印象深刻的“实验”，证实了受限莫比乌斯系数的布朗性质和之前分析建立的梅尔滕斯函数的概率正态分布。鉴于理论上的概率论证和大量的统计检验，我们可以得出结论，虽然严格地说违反RH不是不可能的，但它是极不可能的。
Automorphisms with exotic orbit growth
我们展示了两个不同的增长尺度上的连续性的动力学Mertens'定理的遍历自同构的一维？
Mertens products in arithmetic progressions over function fields
本文研究了函数域中多项式环F_q[t]上素数算术进展的梅尔滕斯公式，并在无条件情况下得到了类似于GRH强度渐进行为的结果。
Newman's Tauberian theorem, the Riemann-Lebesgue Lemma, and abstract analytic number theory
本文改进了新曼泰贝定理，并应用其研究抽象解析半群，证明了素数定理及梅特恩函数的估计。
Explicit estimates for $ζ(s)$ in the critical strip under the Riemann Hypothesis
假设黎曼假设，我们提供有效的上限和下限估计$\left|ζ(s)\right|$的权利的临界线。作为应用，我们给出了Mertens函数的Titchmarsh条件界和无$k$数的Montgomery-Vaughan条件界.
An effective analytic formula for the number of distinct irreducible factors of a polynomial
我们得到了多项式$f \in \mathbb{Z}[x]$的不同不可约因子个数的一个有效的解析公式，并给出了显式常数。我们使用一个显式版本的梅尔滕斯定理数域估计相关的和有理素数。对于一个给定的$f \in \mathbb{Z}[x]$，我们的结果产生一个有限的素数列表，证明了$f$的不同的不可约因子的数量。
Orbit counting with an isometric direction
素数定理和Merten定理的类似物对于具有双曲行为的动力系统是众所周知的。本文研究了倍圆映射的3-adic扩张。该地图有一个3-adic本征方向，它的行为就像一个等距，双曲性的损失导致较弱的渐近结果轨道计数比双曲映射。
Sharper bounds for the error in the prime number theorem assuming the Riemann Hypothesis
该研究在假设黎曼猜想成立的前提下，推导了切比雪夫ψ、ϑ函数与素数定理主项误差的更紧显式上界，并以此改进了Mertens定理的误差界。
Probabilistic Proofs of Some Generalized Mertens' Formulas Via Generalized Dickman Distributions
经典的梅尔滕斯公式指出，$ \prod_{p\le N}\big(1-\frac1p)^{-1}\sim e^γ\log N, $其中的产品是在所有素数$p$小于或等于$N$，和$γ$是欧拉-马斯切罗尼常数。通过欧拉乘积公式，这等价于以下陈述之一：$$ \begin{aligned} &i. \lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{n:p|n\Rightarrow p\le N}\thinspace\frac1n}{\sum_{n\le N}\frac1n}=e^γ \ &ii. \sum_{n:p|n\Rightarrow p\le N}\thinspace\frac1n\sim e^γ\log N. \end{aligned} $$通过一些随机整数构造和分布弱收敛于所谓广义Dickman分布的准则，我们得到了一些广义Mertens公式，其中一些是新的，其中一些已经用数论工具证明。例如，在精神（i），我们表明，如果$A$是一个子集的素数，它具有自然密度$θ\in(0,1]$关于所有素数的集合，然后$$ \lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{n:p|n\Rightarrow p\le N\thinspace\text{and}\thinspace p\in A}\frac1n} {\sum_{n\le N:p|n\Rightarrow p\in…
Factorization Theorems for Relatively Prime Divisor Sums, GCD Sums and Generalized Ramanujan Sums
We generalize recent matrix-based factorization theorems for Lambert series generating functions generating the coefficients $(f \ast 1)(n)$ for some arithmetic function $f$ . Our new factorization theorems provide analogs to these established expansions generating sums of the form $\sum_{d: (d,n)=1} f(d)$ (type I) and the Anderson-Apostol sums $\sum_{d|(m,n)} f(d) g(n/d)$ (type II) for any arithmetic functions $f$ and $g$ . Our treatment of the type II sums includes a matrix-based factorization method relating the partition function $p(n)$ to arbitrary arithmetic functions $f$ . We also concl…
Oscillation of partial sums of the Möbius function and zeros of Riemann's zeta function
该研究围绕莫比乌斯函数部分和M(x)的振荡，证明其平均阶随Y趋向无穷大，且对大Y与黎曼-冯·曼戈尔特素数公式的最大误差项高度吻合。
Partial Euler products as a new approach to Riemann hypothesis
本文证明了黎曼假设（关于zeta函数在临界带上的零点）等价于欧拉积的解析延拓，该延拓是通过将欧拉积限制在素数集合的适当子集$M_k$，$k\geq 1$上而得到的.这些欧拉积中的每一个都定义了一个部分zeta函数$ζ_{k}(s)$，它等于$\sum ε(n)/n^s$形式的狄利克雷级数，系数$ε(n)$等于0或1，因为n属于或不属于由$M_k$生成的整数总体。我们表明，通常的公式的算术适应自己这样的人口（Moebius，Mertens，兰伯特系列，.）。我们还设想研究这些人口和新的功能（广义的整数部分功能，调和级数）直接连接到分析连续的存在。
New proof of Tauberian theorem of Laplace Transform and Prime Number Theorem
本文利用测度论和有界变差函数论给出了复拉普拉斯变换的一个Tauberian定理的新证明。而我们推导出了素数定理的简单证明。
The prime number theorem through one-sided Tauberian theorems
本文提供了单边Ingham-Karamata Tauberian定理的优雅证明，并以此为基础简短推导出素数定理。
Note on the Prime Number Theorem
综述了素数定理的经典结果
Fermat's Last Theorem: Algebra and Number Theory
在我们的工作中，我们给出了应用费马大定理解决代数和数论中一些问题的例子。
An analogue of the prime number theorem for finite fields
我们证明了有限域上素数定理的一个类似定理。
The Duffin-Schaeffer theorem in number fields
Duffin-Schaeffer定理是度量数论的一个著名结果，它将Khinchin定理从单调函数推广到更广泛的一类逼近函数。近年来，人们对在各种广义环境中从丢番图逼近证明经典定理的版本产生了一些兴趣。在数域的情况下，有一个版本的欣钦定理证明，它适用于所有数域，和一个版本的达芬-谢弗定理证明，只在虚二次域。在本文中，我们证明了一个版本的Duffin-Schaeffer定理的所有数域。
The error term in the prime number theorem
明确了Pintz关于素数定理中误差项的一个定理.这给出了一个改进的版本的素数定理与误差项大致平方根的，这是以前已知的。我们将其应用到一个长期存在的问题，关于拉马努金研究的不平等。
A Bombieri-Vinogradov theorem for sectors in real quadratic number fields
本文在实二次数域中建立扇区的Bombieri-Vinogradov定理，研究数论中的分布问题。
An alternative proof of the Dirichlet prime number theorem
等差数列的狄利克雷定理又称狄利克雷素数定理，是数论中的一个经典结果. Atle Selberg \cite{Selberg}给出了这个定理的初等证明。在本文中，我们给出了一个替代证明的基础上，我们以前的结果。在特殊情况下，得到了素计数函数的一个估计.
A Conditional Explicit Result for the Prime Number Theorem in Short Intervals
在黎曼假设下，给出了短区间上素数定理的一个显式界。
On Littlewood's proof of the prime number theorem
在本说明中，我们研究Littlewood的证明素数定理。我们证明，这可以扩展到提供素数定理与一条线上的Riemann zeta函数的非零性之间的等价性。我们的方法通过理论的殆周期函数，是自包含的。
Bernoulli Numbers, Wolstenholme's Theorem, and p^5 Variations of Lucas' Theorem
本文将改进D.F.贝利[卢卡斯定理的两个p^3变体，JNT 35（1990），pp. [208-215]通过研究（p，p-3）形式的不规则对与Wolstenholme定理的改进版本之间的关系，将其推广到高阶素幂模。
The Prime Number Theorem via Karamata's proof of the Landau-Ingham Tauberian theorem
这是一个博览会，在12页，包括所有的先决条件和概括，卡拉马塔的鲜为人知的基本证明的兰道，英厄姆Tauberian定理，结果在实分析，其中素数定理如下几行。我们相信这是最透明的基本证明的PNT。
Mean value theorems with smooth numbers
本文研究了光滑数指数和的均值问题，提出了新的均值定理，在以往方法不适用的区域实现了相对平凡界限的幂次节省。
On the properties of generalized harmonic and oscillatory numbers. Simple proof of the Prime Number Theorem
我们导出了广义调和数和相应的振动数的和恒等式，并对这些和恒等式应用了筛法。所得结果使我们能够更好地理解这些数的性质及其渐近行为。在这些恒等式的基础上，给出了素数定理的一个简单证明。
An average theorem for tuples of k-free numbers in arithmetic progressions
我们得到了一个渐近公式，在蒙哥马利-胡利细化的Barban-Davenport-Halbernut定理的精神，方差与元组的k-自由数等差数列。
Halász's theorem for Beurling generalized numbers
我们证明了在广义数系的两个温和假设下，Halász定理对Beurling数成立：广义整数存在正密度和广义素数存在Chebyshev上界。
Ome new theorems on generating functions and their applications on odd and even certain numbers attached to p and q parameters
在本研究中，我们首先利用对称化算子给出了一些新的定理。然后，利用这些定理，我们引入了（p，q）-斐波那契数，（p，q）-Lucas数，（p，q）-Pell数，（p，q）-Pell Lucas数，（p，q）-Jacobsthal数和（p，q）-Jacobsthal Lucas数的奇项和偶项的生成函数族.然后给出了这些（p，q）-数与（p，q）-数的奇、偶项乘积的新的生成函数。
On a theorem of Garza regarding algebraic numbers with real conjugates
本文为Garza关于实共轭代数数高度估计的定理提供了一种新颖而简洁的证明。
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