On the first sign change in Mertens' Theorem
Jan Büthe
已知函数$\sum_{p\leq x} \frac{1}{p} - \log\log(x) - M$经常无限地改变符号，但是到目前为止，所有计算值都是正的。在本文中，我们证明了第一个符号的变化发生之前$\exp(495.702833165)$。
The function $\sum_{p\leq x} \frac{1}{p} - \log\log(x) - M$ is known to change sign infinitely often, but so far all calculated values are positive. In this paper we prove that the first sign change occurs well before $\exp(495.702833165)$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Mertens' theorem and prime number theorem for Selberg class
1874年，Mertens在$s=1$上证明了黎曼ζ函数的部分欧拉积的近似公式，称为Mertens定理。本文推广了Selberg类的Mertens定理，给出了Selberg类的素数定理.
Explicit Mertens' Theorems for Number Fields
假设广义黎曼假设，我们得到统一的，有效的数域类似的梅尔滕斯定理。
On graph theory Mertens' theorems
本文利用Ihara zeta函数的基本性质研究了Mertens定理的图论类比。我们的结果之一是夏普和波利科特提出的动力系统梅尔滕斯第二定理的特殊情况的改进。
Variations on theorems of Mertens
我们提出的变化定理的Mertens密度假设的特殊情况。此外，我们还研究了关于Lang-Weil估计的一个Serre估计.
On the constants in Mertens' theorems for primes in arithmetic progressions
本文在广义黎曼猜想下，对算术级数中素数Mertens第二定理的常数给出有效描述，基于Norton1976年的渐近结果。
Unconditional Explicit Mertens' Theorems for Number Fields and Dedekind Zeta Residue Bounds
我们得到无条件的，有效的数域类似物的三个Mertens定理，所有明确的常数和有效的$x\geq 2$。我们的误差项是显式有界的次数和判别式的数域。为此，我们提供了无条件的界限，明确的常数，在$s=1$相应戴德金ζ函数的残留物。
Generalised Mertens and Brauer-Siegel Theorems
在这篇文章中，我们证明了一个推广的Mertens定理的素数数域和代数簇上的有限域，注意到域的亏格（或贝蒂数的品种），以使它趋于无穷大，从而指出它之间的联系和著名的Brauer-Siegel定理。利用这一点，我们推导出一个明确的版本下GRH的广义Brauer-Siegel定理，并统一证明了这个定理的渐近精确的家庭几乎正常的数域。
Mertens's theorem for splitting primes and more
无数的文章致力于梅尔滕斯定理。在另一个例子中，我们只想提请注意哈代的一个证明，它使用了朗道的一个陶伯定理，“以直接和优雅的方式得出结论”。哈代的证明也是相当适应性，它很容易与著名的结果从素数理论相结合。我们证明了这一点，证明了一个版本的定理素数在等差数列与均匀性的模，以及一个非阿贝尔类似物。
The Farey Sequence and the Mertens Function
Franel和Landau推导出了一个涉及法里序列的算术语句，它相当于黎曼假设。既然Mertens函数和黎曼假设之间存在关系，那么Mertens函数和法里序列之间也应该存在关系。引入了类似于Mertens函数的法里序列中分式子集的函数。米克拉斯证明了某些Mertens函数值的总和是1。类似于Mikolas定理的结果是这些函数的定义性质。假定了法里序列与黎曼假设之间的关系，而不是与Franel-Landau定理之间的关系。这个猜想涉及Mertens定理和第二Chebyshev函数。
Sign changes in Mertens' first and second theorems
我们表明，功能$\sum_{p\leq x} (\log p)/p - \log x - E$和$\sum_{p\leq x} 1/p - \log \log x -B$改变符号无限频繁，并在一定的假设下，他们表现出强烈的偏向正值。这些结果建立在Diamond & Pintz和Lamzouri关于Mertens乘积公式振荡的最近工作的基础上，并回答了Rosser和Schoenfeld提出的肯定问题。
Oscillations in Mertens Theorems and Other Finite Sums and Products
本文简化了Martens定理中关于素积振动性的一个新结果的证明，并给出了误差项的定量表达式。此外，还给出了素数的倒数的有限和及其它有限和与乘积的相应振动性结果。
Mertens' theorem for Chebotarev sets
本文将Mertens乘积定理推广至数域Galois扩张中的素理想Chebotarev集合，扩展了Williams的论证，并计算了abel扩张、$S_3$六次扩张及二次型表示素数集合中的乘积。
On Mertens-Cesàro Theorem for Number Fields
设$K$是一个具有整数环$\mathcal O$的数域。在引入了$\mathcal O$子集的密度概念，推广了$\mathbb Z$子集的自然密度概念之后，我们证明了代数整数的互素$m$ -元组集合的密度是${1/ζ_K(m)}$，其中$ζ_K$是$K$的戴德金ζ函数.
On the mean values of the error terms in Mertens' theorems
本文研究Mertens定理误差项积分的正性，证明对前两个定理其与黎曼猜想等价，并推广至特征扭曲及算术级数情形。
Mertens' Third Theorem for Number Fields: A New Proof, Cramér's Inequality, Oscillations, and Bias
本文给出了数域上默滕斯第三定理的新证明，证明了误差项在技术条件下无穷多次变号所需的数域克拉梅尔不等式，推广了拉姆祖里关于误差项为正的对数密度结果，并对两个二次域进行了数值研究。
Mertens' Proof of Mertens' Theorem
我们提出了一个独立的小学和详细的阐述梅尔滕斯自己的证明他的定理的分歧系列的倒数的素数和比较它与现代的证据。他的证明包含明确的数值误差估计和计算的梅尔滕斯“常数”，这两个都是失踪的现代博览会。由于他的策略和技术与今天的方法大不相同，他的原始方法值得更好地了解。
On near superperfect numbers, the Goormaghtigh conjecture, and Mertens' theorem
本文扩展近超完美数的研究，将其与Goormaghtigh猜想和Mertens定理中的素数乘积关联，并引入II型近超完美数，证明类似结论。
Multiple Mertens theorems for arithmetic progressions
本文研究了算术级数中素数倒数和的渐近公式，推导了多重梅滕斯评估的扩展结果，并将渐近展开系数与递归函数的泰勒级数联系起来。
Higher Mertens constants for almost primes II
对于$k\ge1$，令$R_k(x)$表示具有$k$素因子的数的倒数和直到$x$，以重数计数。在以前的工作中，作者获得了$R_k(x)$的估计，扩展了Mertens的第二定理，以及对任何$N > 0$的$R_2(x)$的更细尺度估计，直到$(\log x)^{-N}$误差。在这篇文章中，我们建立了极限行为的高Mertens常数的$R_2(x)$估计。我们还将这些结果推广到$R_3(x)$，并对一般情况$k\ge4$进行了评述。
Multiple Mertens evaluations
Mertens第一定理给出了如下的渐近公式\begin{equation*} \sum_{\substack{p\leq x\\ p~prime}}\frac{lnp}{p}=lnx+O(1), \end{equation*}，Mertens第二定理指出存在一个常数$B\approx 0.261$，称为Mertens常数，使得\begin{equation*} \sum_{\substack{p\leq x\\ p~prime}}\frac{1}{p}=ln(lnx)+B+O\left(\frac{1}{lnx}\right). \end{equation*}本文利用Abel求和公式和Dirichlet双曲线方法，将它们推广到多种情况。
Meissel's theorem in additive arithmetical semigroups
本文在加法算术半群的背景下讨论了如何控制Mertens公式及相关定理中的误差项，并推广了Meissel的一个相关结果。
A bias in Mertens' product formula
Rosser和Schoenfeld指出，对于所有的$2\leq x\leq 10^8$，乘积$\prod_{p\leq x}(1-1/p)^{-1}$都超过了$e^γ \log x$，并提出了一个问题，即这个差值是否会无限频繁地改变符号。这在Diamond和Pintz最近的一篇论文中得到了证实。在本文中，我们表明（在一定的假设下），有一个很强的偏见之间的比赛产品$\prod_{p\leq x}(1-1/p)^{-1}$和$e^γ\log x$，这解释了计算的Rosser和Schoenfeld。
Bounds for Mertens Sums
本文为默滕斯和与乘积提供了新的更优界，运用新技巧改进了相关研究成果，还证明了该默滕斯和的全新精确黎曼-吉南显式公式，结果可用于多领域应用。
Orbit-counting in non-hyperbolic dynamical systems
对于具有双曲行为的动力系统，有著名的素数定理和Mertens定理的类似物。这里我们考虑最简单的非双曲代数系统的相同问题。轨道计数函数的渐进行为由相关紧群上的旋转决定，并且在简单的例子中，我们展示了轨道计数函数的无数个不同的渐进增长率。梅尔滕斯定理也在这种情况下成立，一个明确的合理的首项系数从算术性质的非双曲特征方向。
Complete Asymptotic Expansion of the Additive Mertens Sum $S_k(x)$
研究加法默滕斯和 \(S_k(x)\)，通过实变量素数定理、变量缩放等方法，建立其完整渐近展开，给出系数表达式，还得到 \(E_{k,0}\)、\(E_{k,1}\) 等的闭式及 \(S_2(x)\)、\(S_3(x)\) 展开的前三项。
Automorphisms with exotic orbit growth
我们展示了两个不同的增长尺度上的连续性的动力学Mertens'定理的遍历自同构的一维？
Mertens Sums requiring Fewer Values of the Möbius function
我们讨论某些身份涉及$μ(n)$和$M(x)=\sum_{n\leq x}μ(n)$，职能莫比乌斯和Mertens。这些恒等式允许计算$M(N^d)$，对于$d=2,3,4,\ldots\ $，作为$O_d \left( N^d(\log N)^{2d - 2}\right)$项的和，每个项是形式$μ(n_1) \cdots μ(n_r)$与$r\leq d$和$n_1,\ldots , n_r\leq N$的乘积。我们证明了一个更一般的身份，其中$M(N^d)$是由$M(g,K)=\sum_{n\leq K}μ(n)g(n)$，其中$g(n)$是一个任意的全乘法函数，而每个$n_j$有自己的范围内的总和，$1,\ldots , N_j$取代。我们专注于$d=2$，$K=N^2$，$N_1=N_2=N$的情况下，其中的身份具有形式$M(g,N^2) = 2 M(g,N) - {\bf m}^{\rm T} A {\bf m}$，与$A$是元素$a_{mn}=\sum _{k \leq N^2 /(mn)}\,g(k)$的$N\times N$矩阵，而${\bf m}=(μ(1)g(1),\ldots ,μ(N)g(N))^{\rm T}$。此外，我们在第2节和第3节中的结果假定，对于所有的$n$，$g(n)$等于$1$。在这种情况下，Perron-Frobenius定理适用：我们发…
Newman's Tauberian theorem, the Riemann-Lebesgue Lemma, and abstract analytic number theory
本文改进了新曼泰贝定理，并应用其研究抽象解析半群，证明了素数定理及梅特恩函数的估计。
Orbit counting with an isometric direction
素数定理和Merten定理的类似物对于具有双曲行为的动力系统是众所周知的。本文研究了倍圆映射的3-adic扩张。该地图有一个3-adic本征方向，它的行为就像一个等距，双曲性的损失导致较弱的渐近结果轨道计数比双曲映射。
Sharper bounds for the error in the prime number theorem assuming the Riemann Hypothesis
该研究在假设黎曼猜想成立的前提下，推导了切比雪夫ψ、ϑ函数与素数定理主项误差的更紧显式上界，并以此改进了Mertens定理的误差界。
Large bias for integers with prime factors in arithmetic progressions
本文证明了整数个数$\leq x$的一个渐近公式，它可以表示为$k ~(\geq 2)$个不同的素数$p_1\cdots p_k$与等差数列$p_j\equiv a_j \bmod q$中每个素数因子的乘积，$(a_j, q)=1$ $(q \geq 3, 1\leq j\leq k)$ .对于任何$A>0$，我们的结果对于$2\leq k\leq A\log\log x$都是一致的.此外，我们还证明了对某些等差数列$(a_1 \bmod q, \cdots, a_k \bmod q)$存在较大的偏差，这种偏差与Mertens定理和等差数列中的最小素数有关.
Factorization Theorems for Relatively Prime Divisor Sums, GCD Sums and Generalized Ramanujan Sums
We generalize recent matrix-based factorization theorems for Lambert series generating functions generating the coefficients $(f \ast 1)(n)$ for some arithmetic function $f$ . Our new factorization theorems provide analogs to these established expansions generating sums of the form $\sum_{d: (d,n)=1} f(d)$ (type I) and the Anderson-Apostol sums $\sum_{d|(m,n)} f(d) g(n/d)$ (type II) for any arithmetic functions $f$ and $g$ . Our treatment of the type II sums includes a matrix-based factorization method relating the partition function $p(n)$ to arbitrary arithmetic functions $f$ . We also concl…
Refined Upper Bounds for $L(1,χ)$
本文针对模 $q$ 的非主 Dirichlet 特征，证明了 $L(1,\chi)$ 的一个更精细上界，将误差项改进为 $O(\log\log q/\log q)$，并由此得到关于素数丰富模数的下确界估计。
Exact formulas for partial sums of the Möbius function expressed by partial sums weighted by the Liouville lambda function
Mertens函数$M(x) := \sum_{n \leq x} μ(n)$被定义为经典默比乌斯函数的求和函数。狄利克雷反函数$g(n) := (ω+1)^{-1}(n)$是根据移位的强加性函数$ω(n)$定义的，该函数计算$n$的不同素因子的数目而没有重数。$g(n)$的Dirichlet生成函数（DGF）是$\Re(s) > 1$的$ζ(s)^{-1} (1+P(s))^{-1}$，其中$P(s) = \sum_p p^{-s}$是素zeta函数。本文研究了$\Re(s) > 1$的无符号函数$|g(n)|$与DGF $ζ(2s)^{-1}(1-P(s))^{-1}$和$C_Ω(n)$与DGF $(1-P(s))^{-1}$的分布。建立了$\log C_Ω(n)$的平均阶和方差的计算公式，证明了$\log C_Ω(n)$的值在整数$n \leq x$上的分布为$x \rightarrow \infty$的中心极限定理. $g(n)$的部分和与素数计数函数的离散卷积提供了新的$M(x)$的精确公式。
Asymptotic equivalents of partial sums of the reciprocals of prime numbers via the von Mangoldt function
本文提出一种结合 von Mangoldt 函数部分和、Abel 求和公式与第二 Chebyshev 函数性质的替代方法，推导素数倒数部分和的渐近等价，并展示其在研究大素因子整数中的应用。
On the verification of a Nicolas inequality
本文研究Nicolas不等式，指出其验证依赖于Mertens估计中误差项的符号，并分析了该误差项的符号。
The distribution of intermediate prime factors
该数论研究拓展了α位置素因子的已有分布结果，得到对应素因子计数的渐近公式，给出中间素因子几何均值等应用，还拓展了Lichtman的分解Mertens定理和相关工作。
Correlations of error terms for weighted prime counting functions
本文研究加权素数计数函数归一化误差项之间的相关性，证明某些持续不等式等价于黎曼假设，并在RH与LI假设下计算了误差项符号关系的对数密度。
A Short Note on the Bruinier-Kohnen Sign Equidistribution Conjecture and Halász' Theorem
本文利用Halász定理的一个结果改进了半整权模本征形关于自然密度的Bruinier-Kohnen符号等分布猜想.此外，应用塞尔的结果，我们删除所有未经证明的假设。
Sign changes in the prime number theorem
令$V(T)$表示$x\in[1, T]$的$ψ(x) - x$中符号变化的数量。我们证明了$\liminf_{\;T\rightarrow\infty} V(T)/\log T \geq γ_{1}/π+ 1.867\cdot 10^{-30}$，其中$γ_{1} = 14.13\ldots$表示黎曼ζ函数的最低非平凡零点的纵坐标。这改进了Kaczorowski的长期结果。
A variant of multiplicity one theorems for half-integral weight modular forms
我们表明，傅里叶系数的迹象，在某些子家庭，确定半积分权尖点特征形唯一的，直到一个积极的常数。我们还研究了两个不同的半整数权特征形的傅里叶系数的乘积的符号变化结果。
The sign changes of Fourier coefficients of Eisenstein series
在本文中，我们证明了一些定理，确定在何种程度上的符号的Hecke特征值的爱森斯坦newform确定newform。我们广泛地解决这个问题，并提供个人和统计性质的定理。这些结果中有许多是著名的尖点形式定理的爱森斯坦级数类似物。例如，我们确定爱森斯坦新形式的第p个傅里叶系数以固定符号序列\varepsilon_p = { \pm 1，0}开始的频率。此外，我们还证明了强重一定理的一个变形：对于密度大于大于1/2的素数集合，一个Eisenstein新形式是由它的Hecke特征值的符号唯一确定的。
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