Maps on manifolds onto graphs locally regarded as the quotient maps onto Reeb spaces of some differentiable maps and a new construction problem
流形上的函数或映射的Reeb空间被定义为原像的所有连通分支的空间，并表示流形的完备性。事实上，Reeb空间是所谓的Morse函数和更一般的映射的几何理论中的基本和有用的工具。我们能否构造一个将给定图诱导为Reeb空间（Reeb图）的显式好函数？这些问题是由Sharko在2000年代提出的，并已被几位研究人员明确解决。作为相关的开拓性研究，作者还发现并解决了奇异点和原像等附加约束的问题。本文讨论了这些工作中的新问题。本文定义了图上的映射类，并对这些映射类的问题进行了思考和挑战。这些映射类局部地被看作是由合适类的光滑函数导出的Reeb空间上的映射类。
2022-02-26 math.GN math.GT
On smooth functions with two critical values
本文证明每个平滑闭流形都存在仅含两个临界值的Reeb函数，可规定其极值集合为PL子复形，并利用此类函数刻画了3维及$n\geq 5$维流形的拓扑结构与Heegaard分解。
2022-07-19 math.GT
On Reeb graphs induced from smooth functions on 3-dimensional closed orientable manifolds with finitely many singular values
光滑流形上函数的Reeb图是作为水平集的所有连通分支的空间得到的图，使得所有顶点的集合与包括奇点的水平集的所有连通分支的集合重合。Reeb图在Morse函数及其推广的代数和微分拓扑理论中是基本的和重要的。本文作为一个相关的基础性和重要的研究，对给定的图，构造了一些光滑函数，使这些图成为Reeb图。这些作品已经被Masumoto，Michalak，Saeki，Sharko等展示过，自2000年代以来也被作者展示过。通过显式构造性方法，给出了适当的$3$维闭可定向流形上新的光滑函数.
2021-07-27 math.GN math.GT
Reeb components of leafwise complex foliations and their symmetries II
本文研究了由一定的Hopf构造得到的叶状复叶理的Reeb分支的叶状全纯光滑自同构群。特别是，在边界holonomy是无限切线的身份的情况下，我们确定的结构组的叶全纯自同构。
2015-11-11 math.GT
Approximation of Metric Spaces by Reeb Graphs: Cycle Rank of a Reeb Graph, the Co-rank of the Fundamental Group, and Large Components of Level Sets on Riemannian Manifolds
对于连通局部路连通拓扑空间$X$和其上的连续函数$f$，使得它的Reeb图$R_f$是有限拓扑图，我们证明了$R_f$的圈秩秩，即，第一个Betti数$b_1(R_f)$在计算几何学中称为\emph{number of loops}，由基本群$π_1(X)$的余秩从上限定，局部路径连通性的条件是重要的，因为通常$b_1(R_f)$甚至可以超过$b_1(X)$。我们给出了计算$π_1(X)$的协秩和与之密切相关的各向同性指数的一些实用方法。我们应用我们的界限，以提高上界的失真的Reeb商映射，从而对Gromov-Hausdorff近似的空间由Reeb图，距离函数的紧凑测地线空间和一个简单的莫尔斯函数的封闭黎曼流形。这种失真由度量空间$M$的Reeb宽度$b(M)$限定，它保证$M$上的任何实值连续函数都有足够大的轮廓（水平集的连通分量）。我们证明了对于黎曼流形，$b(M)$是非零的，并根据流形的特征给出了它的一个下界。特别是，我们表明，任何实值连续函数的闭欧几里德单位球$E$的尺寸至少为2有一个轮廓$C$与$diam(C\cap\partial E)\ge\sqrt3$。
2019-03-02 math.GT math.MG
Ricci Curvature, Reeb Flows and Contact 3-Manifolds
给定一个切触3-流形，我们考虑一个给定的函数何时可以实现为切触结构的Reeb向量场的里奇曲率的问题。我们将使用拓扑工具来证明每个容许函数可以实现为这样的里奇曲率的奇异度量，这是一个诚实的相容度量远离测度零集。然而，我们将看到，解决这样的奇点依赖于接触拓扑数据，尚未完全理解。
2019-11-25 math.DG math.GT math.SG
An estimation of Hempel distance by using Reeb graph
设$P, Q$是闭可定向三维流形的Heegaard曲面.本文介绍了利用由$P$和$Q$导出的Rubinstein-Scharlemann图的周围空间$[0,1]\times[0,1]$中某一水平弧导出的Reeb图，给出$P$的Hempel距离上界的一种方法.这是一个完善的一部分约翰逊的论点，用于确定稳定的属翻转高距离Heegaard分裂。
2010-05-20 math.GT
One dimensional non-Hausdorff manifolds and foliations of the plane
最初的文章题为“Variétés（non séparées）à une dimension et structures feuilletées du plan”发表于1957年的法文《L 'Enseignement Mathématique》。它建立了一个美丽的连接之间的叶理的平面和非豪斯多夫$1$维流形自然产生的叶空间的叶理。自从它的出现，这个理论已经铺平了道路的几个结果有关动力系统和叶理的平面和$2$ -流形。Haefliger和Reeb的文章启发了许多结果在理论的叶理的$3$ -流形以及：我们提到感兴趣的读者丹尼Calegari的书的主题。Haefliger和Reeb的文章也被应用到拓扑动力学之外的领域。这篇文章已经在迄今为止的$43$论文中被引用，并帮助构建了许多不错的结果。在文献中，本文的主要定理通常被称为Haefliger-Reeb理论或“Haefliger和Reeb的经典结果”。然而，据我们所知，目前没有这篇文章的英文版本。除了增加数字和更正几处印刷错误外，这篇文章完全没有改动。我们希望这个翻译对更广泛的读者有用。
2022-08-23 math.GT
On Reeb graphs induced from smooth functions on closed or open manifolds
对于一类光滑流形上的光滑函数，原像的所有连通分支的空间是图，称为{ \it Reeb图}。Reeb图是Morse函数和更一般的不太疯狂的函数的代数和微分拓扑理论的基本工具。本文研究了将一个给定的图诱导为Reeb图，能否构造出一个具有良好几何性质的光滑函数。这个问题在2000年代基本上由Sharko提出，Masumoto，Michalak，Saeki等人给出了各种答案，最近作者提出了一个新的显式问题并给出了答案。在作者结果之前的研究中，所考虑的函数是闭曲面上的光滑函数或Morse函数，使得正则值的原像是标准球面的不相交并。另一方面，作者在适当的$3$维闭连通可定向流形上构造了一个光滑函数，使得正则值的原像是任意的闭曲面.在此基础上，我们将用几个新的观点，考虑曲面和流形上的光滑函数，并给出问题的答案。
2022-03-25 math.GN math.GT
Dynamics and Topology of Conformally Anosov Contact 3-Manifolds
我们提供的障碍存在共形Anosov Reeb流的3流形，部分概括类似的障碍Anosov Reeb流。特别是，我们表明$\mathbb{S}^3$不承认共形Anosov Reeb流。我们还给出了与切触结构兼容的度量上的黎曼几何条件，这意味着Reeb场是Anosov。由此，我们可以给出与切触结构相容的度量上的曲率条件，该度量尤其暗示了切触结构的普适紧性。
2019-08-21 math.DS math.GT math.SG
Reeb graph invariants of Morse functions and $3$-manifold groups
本文研究闭流形上具有非平凡 Reeb 图的 Morse 函数，针对 $3$-流形给出最少临界点刻画，并引入流形群新不变量，借助 Heegaard 分裂与 Freiheitssatz 判定无序 Morse 函数。
2024-03-04 math.GR math.GT
On Reeb graphs induced from smooth functions on 3-dimensional closed manifolds which may not be orientable
本文研究3维闭流形（可能不可定向）上光滑函数诱导的Reeb图，扩展了先前可定向情形下将预设图实现为Reeb图的结果。
2021-09-08 math.GN math.GT
Notes on fold maps obtained by surgery operations and algebraic information of their Reeb spaces
流形上Morse函数及其高维形式或折叠映射的理论及其在流形几何理论中的应用是几何与数学的重要分支之一。与此相关的研究始于20世纪50年代，由Thom和Whitney等微分拓扑学家开始，并得到了积极的研究。本文研究了基本折叠映射的外科手术所得到的折叠映射，特别是Reeb空间，Reeb空间定义为原像的所有连通分支的空间，在适当的情况下继承了基本的和重要的代数不变式，如（co）同调群.一般来说，Reeb空间是研究流形的基本和重要工具。作者已经研究了Reeb空间的同调群，得到了一些结果，本文研究了Reeb空间的上同调环在几种特殊情况下的性质，作为更精确的信息。这些研究的动机是一个问题，即明确的折叠映射的建设是重要的调查（世界显类）流形的几何和建设性的方式和困难。对于最简单的流形，如标准球面、标准球面的乘积和表示为它们的连通和的流形，构造这些映射并不困难。通过系统地构造折叠映射，我们可以看到Reeb空间的各种类型的上同调环。
2020-07-19 math.GT math.KT
Combinatorial modifications of Reeb graphs and the realization problem
本文研究闭流形上Reeb图的组合实现问题，证明满足定向与圈秩条件的图均可实现，并确定Reeb数等于基本群余秩，将已有结果推广至不可定向流形。
2024-03-04 math.GT
Characterizing families of graph manifolds via suitable classes of simple fold maps into the plane and embeddability of the Reeb spaces in some 3-dimensional manifolds
图流形是一类重要的$3$维闭可定向流形。例如，{ \it Seifert}流形是图流形，而双曲流形不是。在应用可微映射的奇点理论来理解流形的全局拓扑时，Saeki和作者已经证明了图流形的特征在于允许所谓的简单折叠映射进入显式类平面。本文给出了几个相关的新结果。折叠映射是Morse函数的高维变体，简单的折叠映射形成简单类，推广了一般Morse函数类。此类到$3$维封闭且可定向流形上的平面的映射会导出到所谓的没有顶点的简单多面体的商映射，这些多面体是$2$维的。这也与$3$维流形的{ \it阴影}理论密切相关。我们还通过这些多面体在某些$3$维流形中的可嵌入性讨论了图流形的不变量。
2022-08-15 math.GN math.GT
Generalizations of Reeb spaces of special generic maps and applications to a problem of lifts of smooth maps
Reeb空间被定义为光滑映射的逆像的所有连通分量的空间，它是研究光滑流形的基本工具，使用一般的光滑映射，其余维不是正的，如Morse函数，其高维版本包括折叠映射和一般稳定映射。一类特殊的一般映射是同伦球面上的一个折叠映射和Morse函数的推广，Morse函数只有两个奇点，Reeb空间是一个紧流形，它的维数等于目标流形的维数，并且可以浸入到目标流形中.本文将商映射推广到一类特殊的一般映射的Reeb空间上。本文定义一个局部到多面体上的映射为由一个特殊的一般映射导出的商映射。此外，利用广义映射构造了一类Morse函数的提升，提升与正则投影的合成就是原函数.这是光滑映射的提升研究中一个显式问题的解答，也是使得所发现的映射和正则投影的合成是原映射的研究中的一个显式问题的解答，它在光滑映射的研究以及在流形的代数拓扑和微分拓扑中的应用中是基本的和重要的.
2018-05-28 math.GN math.GT
Realization problems of graphs as Reeb graphs of Morse functions with prescribed preimages
本文研究图作为带指定原像的Morse函数的Reeb图的实现问题，介绍了Reeb图的定义与应用价值，指出作者此前已开展相关构造研究并取得成果。
2023-06-15 math.GN math.GT
On the growth rate of Reeb orbit on star-shaped hypersurfaces
研究星形超曲面上的Reeb轨道增长速率，证明在特定拓扑条件下，存在无限多个简单闭轨，且其数量随时间增长至少与素数分布一致。
2026-05-12 math.DS math.GT math.SG
An elementary study on realizable changes of homology groups of Reeb spaces of fold maps by fundamental surgery operations
在Morse函数和高维形式的折叠映射的奇异性和微分拓扑理论及其在流形的代数和微分拓扑中的应用中，构造显式折叠映射并研究其源流形是一个基本的、重要的和困难的问题。受Kobayashi，Saeki等人研究的启发，自1990年以来，作者将外科手术操作（冒泡操作）引入到折叠映射中，并明确地证明了由这些操作的迭代构造的映射的Reeb空间的同调群在几种情况下是灵活的.这种操作似乎是强有力的工具，在建设的地图和精确的研究流形。更确切地说，作者还注意到，所得群表示为原始同调群与适当的同调生成交换群的直和。映射的Reeb空间是映射的逆像的所有连通分量的空间。Reeb空间继承了流形的基本不变量，如同调群等，在简单的情况下，作为多面体，其维数等于目标空间的维数。本文对折叠映射的Reeb空间的同调群通过外科手术变换的性质进行了新的研究。我们提出了明确的变化，通过初等理论的数列和基本连续或可微函数的方法。
2019-07-26 math.GT math.KT
Smooth functions on 2-torus whose Kronrod-Reeb graph contains a cycle
设$f:M\to \mathbb{R}$是连通紧致曲面$M$上的Morse函数，$\mathcal{S}(f)$和$\mathcal{O}(f)$分别是$f$关于同构群$\mathcal{D}(M)$右作用的稳定子和轨道.在一系列的论文中，第一作者描述了同伦类型的连通组件的$\mathcal{S}(f)$和$\mathcal{O}(f)$的情况下，当$M$是一个$2$ -磁盘或圆柱或$χ(M)<0$。此外，在最近的两篇论文中，作者认为特殊类的光滑函数的$2$ -环面$T^2$，并表明，计算的$π_1\mathcal{O}(f)$为这些功能减少的情况下，$2$ -磁盘和圆柱体。本文考虑一类KR-图恰好有一个圈的Morse函数$f:T^2\to\mathbb{R}$，证明了对于每一类这样的函数，都存在一个次函数$Q\subset T^2$，它与圆柱同构，使得$π_1\mathcal{O}(f)$通过$f$到$Q$的限制的基本群$π_1\mathcal{O}(f|_{Q})$来表示.这一结果适用于一类较大的光滑函数$f:T^2\to \mathbb{R}$具有以下性质：对于$f$的每个临界点$z$，$f$在$z$的胚芽光滑地等价于没有多个因子的齐次多项式$\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$。
2014-11-25 math.GT
Approximations of Lipschitz maps via Ehresmann fibrations and Reeb's sphere theorem for Lipschitz functions
作为我们的主要定理，我们证明了如果从紧致黎曼流形$M$到连通紧致黎曼流形$N$的Lipschitz映射，其中$\dim M \geq \dim N$在F.H. Clarke，则该映射允许通过Ehresmann纤维化的光滑近似。我们还证明了Lipschitz函数的Reeb球面定理，即，如果一个闭的黎曼流形允许一个Lipschitz函数在Clarke意义下恰好有两个奇点，则该流形同胚于球面。
2021-06-29 math.DG math.FA math.GT
Constructing fold maps by surgery operations and their Reeb spaces
本文作为二十世纪五十年代由Thom和Whitney等微分拓扑学家开始并得到积极研究的Morse函数及其高维形式或折叠映射理论及其在流形几何理论中的应用的基础性研究，研究了某些折叠映射及其源流形的代数和微分拓扑性质.更确切地说，我们研究了基本折叠映射的手术操作所获得的折叠映射，特别是Reeb空间的同调群，Reeb空间被定义为逆像的所有连通分量的空间，通常继承了流形的重要不变量，如同调群和研究流形的基本和重要工具。本文的研究特别受到满足良好（微分）拓扑性质的折叠映射的研究流的启发，例如Saeki和Sakuma在20世纪70年代定义并从20世纪90年代开始研究的特殊一般映射，以及作者在2012- 2014年引入的圆折叠映射及其源流形。此外，由Kobayashi和Saeki等人研究的通过基本手术来构造一般映射以使用一般映射来研究流形，这也是本研究的动机。
2019-01-07 math.GT math.KT
Smooth functions which are Morse on preimages of values not being local extrema and constructing natural functions of the class on connected sums of manifolds admitting these functions
本文研究在非局部极值原像上为 Morse 的光滑函数（I-Morse）及关于 Reeb 图整洁的 N-Reeb 函数，并在给定流形的连通和上构造尊重两个此类函数的 IN-Morse-Reeb 函数。
2025-10-10 math.CO math.GN math.GT
Combinatorial Reeb dynamics on punctured contact 3-manifolds
该研究利用切触手术图构造带洞切触3-流形上的切触形式，建立闭Reeb轨道与Reeb弦循环字的对应，发展全纯曲线研究工具，并构造出首批切触同调消失但Heegaard-Floer切触类非零的紧闭切触流形例子。
2021-10-11 math.GT math.SG
HF=HM II: Reeb orbits and holomorphic curves for the ech/Heegaard-Floer correspondence
这是第二个五个文件，建设之间的同构Seiberg-Witten弗洛尔同调和Heegaard弗洛尔同调的一个给定的紧凑，面向3流形。的同构是作为一个组成的三个同构，其中第一个涉及到一个版本的嵌入式接触同源的辅助流形的Heegaard弗洛尔同调的原始。本文描述了这一辅助流形，它的几何，嵌入接触同调链复形的生成元与Heegaard Floer链复形的生成元之间的关系.伪全纯曲线，定义嵌入式接触同调链复形上的微分，这里也被描述为第一步，后者复杂的微分与Heegaard Floer复杂。
2010-10-18 math.GT math.SG
Fat distributions with Reeb directions need not be complex contact
Universidad Complutense de Madrid（马德里康普顿斯大学）
研究证明肥分布具有两个Reeb方向时不一定支持复接触结构，首次构造了不支持复接触结构的肥分布例子，并证明复接触germ空间在肥分布germ空间中具有无限余维数。
2026-07-31 math.DG math.GT math.SG
The Weinstein conjecture for stable Hamiltonian structures
利用嵌入接触同调与Seiberg-Witten弗洛尔同调之间的等价性，对Weinstein猜想进行了如下改进.设Y是具有稳定Hamilton结构的闭定向连通三维流形，R表示Y上的关联Reeb向量场.证明了若Y不是S^1上的T^2-丛，则R有一个闭轨道。证明了：如果Y是一个闭的定向连通3-流形，其接触形式使得所有的Reeb轨道都是非退化椭圆的，则Y是一个透镜空间.相关的论证表明，如果Y是一个具有切触形式的闭定向三维流形，使得所有的Reeb轨道都是非退化的，并且Y不是一个透镜空间，则至少存在三个不同的嵌入Reeb轨道.
2008-08-31 math.GT math.SG
Structures of cobordism-like modules induced from generic maps of codimension -2
余维为负的光滑映射的Reeb空间是定义为逆像的所有连通分量的空间。对于一般的映射，如莫尔斯函数和它们的高维版本，它们是多面体，其维数等于目标流形的维数，并且具有与源流形和目标流形的（规范）单纯结构相容的单纯结构，并且在相当多的情况下，它们继承了源流形的基本和重要的不变量。实际上，Reeb空间是一般映射的代数和微分拓扑理论或整体奇点理论的基本工具。作为对Reeb空间的整体拓扑性质的研究之一，Hiratuka和Saeki在2013年证明，对于一般映射或更准确地说，与流形的单纯结构相容的映射，在Reeb空间上诱导单纯结构，并且具有正则值的逆像的连通分量不是零协边，具有适当的Reeb空间的系数环的顶维同调群不为零。后来作者推广了这个定理：作者引入了基于正则值的逆像的连通分支的邻接关系的类配边群，并给出了一个类似的定理。
2019-01-14 math.GN math.GT
Constructions controlees de champs de Reeb et applications
在每一个紧的、可定向的、不可约的、环面的或具有环面边界分量的3-流形V上，我们构造了一个切触1-形式，其Reeb向量场R不具有任何可收缩的周期轨道，并且与边界相切。此外，如果bdry V非空，则Reeb向量场R横截于张紧叶理。利用Hessel，Wysocki和Zehnder的结果，证明了在一定条件下，沿bdry V由Dehn填充得到的3-流形是不可约的，并且不同于3-球面.关于三维空间V的所有变化，可定向的，不可约的，不可约的，边界是两个或两个圆环的，与Reeb R相接触的形式是无轨道周期收缩和边界相切的。此外，如果V的边界不可见，则R的冠军是横向的。利用赫恩、威索基和曾德尔的结果，在一定的条件下，由德恩封闭V长边得到的各种结果在球面S ^[3]上是不可约的，也是不同的。
2005-12-12 math.GT math.SG
The Seiberg-Witten equations and the Weinstein conjecture II: More closed integral curves of the Reeb vector field
设M表示一个紧致的、可定向的三维流形，a表示M上的切触1-形式;因此a与da的楔积在任何地方都不为零。本文解释了对于M上任意给定的Spin-C结构定义的Seiberg-Witten弗洛尔同调群如何给出生成da核的向量场的闭合积分曲线。
2007-02-16 math.GT math.SG
Quantization of Contact 3-Manifolds and the Reeb Gravitational Field
Institute of Mathematics, Henan Academy of Sciences（河南省科学院数学研究所）
提出闭接触3-流形的典范几何量子化方案，通过嵌入到C^3构造全纯线丛，证明Reeb向量场在Sasakian条件下是测地线且模拟爱因斯坦引力，并给出区分T^3上紧接触结构的量子不变量。
2026-06-16 math-ph math.GT math.MP
Relations between Reeb graphs, systems of hypersurfaces and epimorphisms onto free groups
本文构造了紧流形基本群到自由群的满同态与带框不可分离超曲面系统间的对应关系，并利用Reeb图给出了闭流形上满同态的表示，为曲面群满同态的等价分类提供了纯几何拓扑证明。
2024-03-04 math.GR math.GT
Branched surfaces homeomorphic to Reeb spaces of simple fold maps
分支曲面类是曲面类或二维流形类的扩展，它们满足适当的性质并以各种方式定义。适当类光滑映射到余维数为负的曲面的Reeb空间被认为是分支曲面。它们是原像的所有连通分支的空间和域的流形的自然商空间。它们是对一般光滑映射和微分拓扑中的重要拓扑对象定义的。它们在数学的应用或应用中也发挥着重要作用，例如数据分析和可视化中的投影。本文研究了分支曲面的全局拓扑，并通过基本运算构造了从分支曲面到目标曲面的正则映射.这类导出映射将紧致曲面的光滑浸入类推广到无边界曲面。它也被认为是一类所谓的通用光滑映射之间的这些表面的变体。我们研究所谓的“地理”，这样的地图作为一个自然的，重要的和新的研究，并研究全球的拓扑性质的分支表面，如嵌入到$3$维封闭和连通流形。
2022-08-13 math.AT math.GN math.GT
Explicit remarks on the torsion subgroups of homology groups of Reeb spaces of explicit fold maps
折叠映射是Morse函数的高维形式，是研究流形的代数和微分拓扑性质的基本和重要工具：作为Morse和高维形式的理论，由Thom和Whitney开始，后来由Eliashberg，Levine等积极研究，最近由Kobayashi，Saeki，Sakuma等研究，明确显示这一点。构造显式折叠映射并研究其源流形是这一领域的基础、重点和难点之一。从1990年起，受Kobayashi等人研究的启发，作者将外科手术操作（冒泡操作）作为系统构造的基本和强有力的工具引入到折叠地图中。作者明确地证明了由这些运算的迭代构造的映射的Reeb空间的同调群一般是灵活的，并在几种特殊情况下受到限制。映射的Reeb空间定义为映射的逆像的所有连通分支的空间，在相当多的情况下继承了流形的基本不变量，如同调群等，是该领域的基本而重要的工具。本文明确地注记了同调群的扭子群。更确切地说，在明确的代数约束下，我们看到扭子群的明确的强限制，其中同调群似乎是非常灵活的一般。我们注意到，这项工作是类似的几个作品作者之前，但工作在一个新的情况下，新的技术，如著名的基本理论的抽象代数将被使用。
2019-06-19 math.GT math.KT
On the existence of supporting broken book decompositions for contact forms in dimension 3
证明了在3维空间中，每个非退化切触形式都可由断书分解进行。作为应用，我们得到了：如果M是一个非图流形的闭不可约定向3-流形，例如双曲流形，则M上的每个非退化Reeb向量场都有正的拓扑熵.进一步证明了在闭三维流形上，每个非退化Reeb向量场都有两个或无穷多个周期轨道，并且两个周期轨道只可能在球面或透镜空间上存在.
2022-03-09 math.DS math.GT math.SG
Reconstruction of real algebraic functions into curves with prescribed Reeb graphs
本文首次研究将光滑实代数映射重构为曲线值函数并使其Reeb图与任意给定有限图一致的问题，推广了Sharko等人的可微情形工作，为实代数几何提供了新的显式构造方法。
2025-07-20 math.AG math.CO math.GT
