Computation on Elliptic Curves with Complex Multiplication
给出了1-13度数域上具有复乘的椭圆曲线的可能扭子群的完整列表。此外，我们描述了用于计算这些扭子群的算法及其实现。
2013-11-12 math.NT
Complex Multiplication Tests for Elliptic Curves
本文研究了定义在给定数域上的椭圆曲线是否有复乘的问题。我们研究了两个多项式时间算法，一个随机的和其他确定性。随机化算法可以适于产生曲线的自同态环的判别式。
2004-09-26 math.NT
Frobenius lifts and elliptic curves with complex multiplication
利用Frobenius提升的交换族给出了Shimura型椭圆曲线的一个新的刻画，并加强了束类域的一个旧的主理想定理.这两个结果相结合产生的存在性的整体极小模型的椭圆曲线的Shimura型，推广的结果格罗斯。一路上，我们还证明了一些小的，但新的结果，椭圆曲线与复乘。
2020-11-06 math.NT
Non-monogenic Division Fields of Elliptic Curves
对于各种正整数$n$，我们证明了在$n$上存在具有$n$ -除域$\mathbb{Q}(E[n])$的非单演椭圆曲线无限族，即，整数环不允许幂整基。我们明确地参数化其中的一些族。此外，我们还证明了每个不含CM的$E/\mathbb{Q}$都有无穷多个非单演可除域。我们的主要技术结合了一个全球性的描述Frobenius杜克大学和Tóth一个简单的算法的基础上思想的戴德金。
2020-07-24 math.NT
A framework for deterministic primality proving using elliptic curves with complex multiplication
我们提供了一个框架，用于使用椭圆曲线和复乘来确定性准二次时间中位于特殊序列中的整数的素性或复合性。我们用它来寻找大素数，包括目前已知的最大素数，其素数性无法用经典方法证明。
2014-10-11 math.NT
Power residues of Fourier coefficients of elliptic curves with complex multiplication
固定m >= 1，设E是Q上的椭圆曲线，具有复乘。我们用公式表示素数p（与1模m全等）的密度，其中E的第p个傅里叶系数是模p的m次幂;这些密度通常不同于1/m的朴素期望。我们还证明了我们的代数m除以单位根的数目躺在CM域E;最涉及的情况是m=4和复乘Q（i）。
2006-04-03 math.NT
Tate Safarevich groups of elliptic curves with complex multiplication
我们证明了${\Bbb Q}_p/{\Bbb Z}_p$在${\Bbb Q}$上具有复数乘法的椭圆曲线$E$的Tate-Shafarevich群中的拷贝数至多为$2p - g$，其中$g$是$E({\Bbb Q})$的秩，并且对于所有足够大的好的普通素数$p$。
2009-01-24 math.NT
On the 2-part of the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture for elliptic curves with complex multiplication
给定Q上椭圆曲线E的复乘在2处有好约化，研究了一类二次扭转的L值在1处的代数部分的2-adic赋值.特别是，我们证明了一个下界，这个估值的玉川数的形式预测的猜想的桦树和Swinnerton-Dyer。
2013-04-06 math.NT
Elliptic analogue of irregular prime numbers for the $p^{n}$-division fields of the curves $y^{2} = x^{3}-(s^{4}+t^{2})x$
一个素数$p$被称为不规则的，如果它能整除第$p$个分圆域$\mathbb{Q}(ζ_{p}) = \mathbb{Q}(\mathbb{G}_m[p])$的类数。本文研究了椭圆曲线除域的椭圆模拟。更确切地说，对于素数$p \geq 5$和正整数$n$，我们研究了$y^{2} = x^{3}-(s^{4}+t^{2})x$形式的椭圆曲线$E$的$p^{n}$ -除域$\mathbb{Q}(E[p^{n}])$的类数的$p$ -整除性.特别地，我们构造了一个由曲线组成的无限子族，这些曲线具有新的性质，即它们的Mordell-Weil秩为1，并且它们的$p^{n}$ -可除域的类数可被$p^{2n}$整除.此外，我们还可以证明这些可除域彼此不同构。在我们的结构中，我们使用第一作者最近获得的结果。
2022-05-18 math.NT
Lower bound for the 2-adic valuations of central $L$-values of elliptic curves with complex multiplication
令$E_{-D}$是定义在$K=\mathbb{Q}(i)$上的椭圆曲线$y^2=x^3+Dx$，其中$D\in K$与2互质。本文给出了与$E_{-D}$相关的Hecke $L$ -函数的中心值的代数部分的2-adic赋值的一个下界.
2023-01-10 math.NT
Non-vanishing theorems for central $L$-values of some elliptic curves with complex multiplication
本文利用Iwasawa理论在素数$p=2$上证明了Gross椭圆曲线族的某些二次扭的复$L$ -级数在$s=1$上的值与域$K = \BQ(\sqrt{-q})$的复乘的非消灭定理，其中$q$是任意素数$\equiv 7 \mod 8$ .我们的结果建立了D. Rohrlich使用复杂的分析方法。这样的非消灭定理是重要的，因为已知它们暗示了$K$的Hilbert类域上相应的椭圆曲线的Mordell-Weil群和Tate-Shafarevich群的有限性。研究高维交换簇的复乘的Iwasawa理论是证明的必要条件，它是由Gross引入的特殊椭圆曲线的复乘的$K$上的标量限制得到的。
2020-05-05 math.NT
On fields of definition of torsion points of elliptic curves with complex multiplication
对于定义在有理数上的任何椭圆曲线E，对于每个素数p，我们描述了附在E上的mod p伽罗瓦表示的图像。我们推导出这些曲线的扭点的定义域的信息，特别是我们分类所有的情况下，有扭点的伽罗瓦数域不包含CM的定义域。
2010-06-04 math.NT
Method for constructing elliptic curves using complex multiplication and its optimizations
利用复乘理论，在有限域上按一定的阶数构造椭圆曲线。该方法中计算时间最长的一步是重构整系数多项式。我们将证明理论结果，并详细说明方法本身，以及如何使用上述多项式的系数在有理数领域的某些扩展的除数。
2012-07-30 math.NT
Arithmetic over the Gaussian Number Field on a Certain Family of Elliptic Curves with Complex Multiplication
这项工作是作者之一（Y. J.）以前的工作的续集，该工作处理了椭圆高斯和与双纽线正弦函数的原点处的幂级数展开系数之间的某些同余关系。本文推广了以前在\cite{O}中只涉及非零椭圆高斯和的结果。本文给出双纽余弦函数的幂级数系数之间的新的同余关系，当且仅当相应的椭圆高斯和为零。
2021-08-20 math.NT
On graded Lie algebras associated to once-punctured elliptic curves with complex multiplication
Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University（京都大学数学科学研究所）
本文研究具有复乘法的单 punctured 椭圆曲线的格雷德李代数，并在适当条件下提供有理化李代数的最小生成集。
2026-09-22 math.NT
Elliptic curves with maximally disjoint division fields
与给定的有理椭圆曲线$E$相关的许多有趣的代数对象之一是它的全挠表示$ρ_E:\mathrm{Gal}(\bar{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})\to\mathrm{GL}_2(\hat{\mathbf{Z}})$。推广这个想法，可以创建另一个全挠伽罗瓦表示，$ρ_{(E_1,E_2)}:\mathrm{Gal}(\bar{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})\to\left(\mathrm{GL}_2(\hat{\mathbf{Z}})\right)^2$与一对$(E_1,E_2)$有理椭圆曲线相关联。本文的目标是提供一个无限多的具体的例子对椭圆曲线，其相关的全挠伽罗瓦表示$ρ_{(E_1,E_2)}$具有最大的形象。图像的大小与由$E_1$和$E_2$定义的各种划分字段的交叉的大小成反比。当这些分割域最大不相交时，表示$ρ_{(E_1,E_2)}$具有最大像，本文主要研究这些相交。
2015-07-27 math.NT
A note on 8-division fields of elliptic curves
令$K$是不同于$2$的特征场，并且令$E$是$K$上的椭圆曲线，其由具有次数$3$的形式为$y^{2} = f(x)$的方程定义，或者作为由具有次数$4$的形式为$y^{2} = f(x)$的方程定义的曲线的雅可比矩阵。我们获得发电机在$K$的$8$ -司领域$K(E[8])$的$E$作为公式的多项式$f$的根，我们明确地描述了行动的一个特定的自同构$\mathrm{Gal}(K(E[8]) / K)$。
2017-08-02 math.NT
Non-vanishing theorems for central $L$-values of some elliptic curves with complex multiplication II
令$q$是任何素数$\equiv 7 \mod 16$，$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-q})$，并令$H$是$K$的希尔伯特类域。令$A/H$是定义在$H$上的Gross椭圆曲线，其具有与$K$的整数环的复乘。我们证明了存在一个大的显式无限族的二次扭曲的$A$，其复杂的$L$ -系列不为零，在$s=1$。当$q > 7$。它的证明至关重要地依赖于我们以前的论文中建立的结果岩泽理论在素数$p=2$的交换品种$B/K$，这是限制标量从$H$ $K$的椭圆曲线$A$。
2019-04-11 math.NT
Degree bounds for projective division fields associated to elliptic modules with a trivial endomorphism ring
令$k$是全局字段，令$A$是具有$\text{Quot}(A) = k$的Dedekind域，并且令$K$是随机生成的字段。利用椭圆曲线和定义在$K$上并具有平凡自同态环的Drinfeld模$M$的统一方法，在前一种情况下具有$k= \mathbb{Q}$，$A = \mathbb{Z}$，而$k$是全局函数域，$A$在后一种情况下其函数环正则远离固定素数，对于任何非零理想$\mathfrak{a} \lhd A$，我们证明了$\mathfrak{a}$的子场在$K$上的度的范数$|\mathfrak{a}|$中的最佳可能估计。由标量固定的$M$的除法字段。
2020-02-19 math.NT
On 7-division fields of CM elliptic curves
设$\mathcal{E}$是定义在数域$K$上的CM椭圆曲线，具有Weiestrass形式$y^3=x^3+bx$或$y^2=x^3+c$。对于每一个正整数$m$，我们用${\mathcal{E}}[m]$表示${\mathcal{E}}$的$m$ -扭子群，用$K_m:=K({\mathcal{E}}[m])$表示$m$ -次除域，即由${\mathcal{E}}[m]$中的点的坐标生成的$K$的扩张。我们分类所有领域$K_7$。特别地，我们给出了$K_7/K$的显式生成元，并产生了所有的伽罗瓦群${\textrm{Gal}}(K_7/K)$。我们还展示了局部-全局整除问题和模曲线的一些应用。
2022-02-16 math.NT
On factorizations of certain Kummer characters associated to once-punctured elliptic curves with complex multiplication
Keio University（庆应义塾大学）；RIKEN Center for Advanced Intelligence Project (AIP)（理化学研究所先进智能研究中心）
本文研究了带有复乘的单 punctured 椭圆曲线的 Kummer 特征分解，通过 Soulé 特征和广义 Bernoulli 数的组合，给出了特征 surjectivity 判据和 Coleman-Ihara 公式类比。
2025-03-26 math.NT
Polarized products of elliptic curves with complex multiplication and field of moduli $\mathbb{Q}$
本文建立了由二次虚域极大序$R$复乘法的椭圆曲线乘积型极化阿贝尔簇范畴与整埃尔米特$R$-格范畴的等价性，并应用该等价枚举了模域为$\boldsymbol{\rm{Q}}$、雅可比同构于上述椭圆曲线乘积的亏格2和3曲线。
2025-02-14 math.NT
Steinitz class of Mordell groups of elliptic curves with complex multiplication
设E是一条椭圆曲线，它与K=Q（\sqrt{-D}）的整数全环O_K相乘，H=K（j（E））是K的Hilbert类域.则Mordell-Weil群E（H）是一个O_K-模，其结构依赖于它的Steinitz类St（E），本文研究了它的Steinitz类。当D为素数时，证明了当D为素数时，若D \equiv 3（mod 4），则St（E）=1;若D \equiv 1（mod 4），则St（E）=[P]^t，其中[P]为K的理想类，由K中为2的素因子P表示，t为固定整数.讨论了St（E）和戴德金整环上模的一般结构.这些结果发展了D. Dummit和W. Miller对于D=10和某些椭圆曲线到更一般的D和一般的椭圆曲线。
1998-09-03 math.NT
Division by 2 on elliptic curves
讨论了椭圆曲线上的有理点群可被2整除的非计算初等方法。
2016-05-30 math.AG math.NT
Uniform bounds on the level of cyclotomic division fields of elliptic curves
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文研究了椭圆曲线cyclotomic分裂域的水平的统一界，基于数域和广义黎曼假设给出了相关结果。
2025-11-28 math.NT
Integral points on elliptic curves and explicit valuations of division polynomials
假定椭圆曲线上无挠点高度的Lang限制下界，证明了存在一个绝对常数C，使得对任意椭圆曲线E/Q和E（Q）中的无挠点P，至多存在一个整数倍[n]P，使得n > C.该证明是一个修改的证明英格拉姆给一个无条件的，但不统一的约束。新的成分是一个明确的公式集合的序列的估值的司多项式。对于非奇异约化的P，这样的序列在大多数情况下已经得到了很好的描述，但是对于奇异约化的P，我们定义了一类新的序列，称为椭圆troublemaker序列，它度量了Neron局部高是二次的失败。作为Lang和Hall猜想的一个推论，我们得到了具有两个大整数倍的整数点的h（P）/h（E）的一致上界.
2014-12-29 math.NT
A mean value formula for elliptic curves
本文证明了椭圆曲线上任意一点的n分点x坐标的均值等于x坐标，n分点y坐标的均值等于y坐标的n倍。
2011-07-04 math.NT
The maximal abelian extension contained in a division field of an elliptic curve over $\mathbb{Q}$ with complex multiplication
本文研究了定义在 $\mathbb{Q}$ 上且具有复乘的椭圆曲线的除子域，界定了其伽罗瓦群的换位子群，并分类了其中包含的极大阿贝尔扩张。
2024-08-28 math.NT
Extremal primes of elliptic curves without complex multiplication
在Q上固定一条椭圆曲线E。E的一个极素数是一个具有好约化的素数p，使得E上模p的有理点的数目相对于Hasse界是最大或最小的。假设所有与E相关的对称幂L-函数都是自守的，并且满足广义黎曼假设，当E是一条没有复乘的曲线时，我们给出了这类素数个数的第一个非平凡上界.为了得到这个界，我们使用明确的等分布的Sato-Tate措施，在工作中的劳斯和索恩纳（arXiv：1305.5283），并完善某些中间估计，利用这一事实，极值素数有一个非常小的Sato-Tate措施。
2019-07-01 math.NT
Linnik's Theorem for Sato-Tate Laws on Elliptic Curves with Complex Multiplication
设$E/\mathbb{Q}$是一条具有复乘（CM）的椭圆曲线，对于每个良好约化的素数$p$，用$a_E(p) = p + 1 - \#E(\mathbb{F}_p)$表示Frobenius的迹.通过Hasse界限，$a_E(p) = 2\sqrt{p} \cos θ_p$表示唯一的$θ_p \in [0, π]$。本文证明了最小素$p$使得$θ_p \in [α, β] \subset [0, π]$满足\[ p \ll \left(\frac{N_E}{β- α}\right)^A, \]，其中$N_E$是$E$的导体，隐含常数和指数$A > 2$是绝对的和有效的可计算的.我们的结果是CM椭圆曲线的Linnik定理的算术级数，其中规定，最小的素数$p \equiv a \pmod q$的$(a,q)=1$满足$p \ll q^L$的绝对常数$L > 0$。
2015-10-14 math.NT
The conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer for certain elliptic curves with complex multiplication
本文在 L(E/F,1) 非零且扭转扩张为阿贝尔的假设下，完整证明了具有复乘的椭圆曲线及 CM 阿贝尔簇的 Birch-Swinnerton-Dyer 猜想及其 Gross 等变细化。
2023-09-04 math.NT
Trace of Frobenius endomorphism of an elliptic curve with complex multiplication
设E是一条椭圆曲线，它与R作复乘，其中R是虚二次域K的判别式D<-4的阶.若素数p在与R相关的环类域上完全分解，则E在K的素理想P上有好约化，且存在正整数u和v使得4p=u^2-Dv^2.众所周知，E的模P约简的弗罗贝纽斯自同态的迹a_P的平方等于u^2。在R的类数为2或3，D被3，4或5整除的情况下，我们确定a_P=u还是a_P=-u。本文是作者预印本DMIS-RR-02- 5，2002的修订版。
2004-01-22 math.NT
Efficient arithmetic on elliptic curves in characteristic 2
我们提出的规范形式的椭圆曲线在一个领域的特征$2$类似爱德华兹规范形式，并确定基地的补充法律，提供了惊人的简单表达式的群体法律。我们推导出有效的算法点加法和标量乘法这些形式。由此产生的算法适用于任何椭圆曲线上的一个领域的特征$2$与$4$ -扭点，通过同构的正规形式之一。我们推导出算法的重复时间$2M + 5S + 2m_c$和时间点$7M + 2S$，其中$M$是乘法的成本，$S$的平方成本，和$m_c$乘以常数的成本。通过对Kummer曲线$\mathcal{K} = E/\{[\pm1]\}$的研究，提出了一种点恢复的标量乘算法，该算法计算点$P$的倍数，每比特有$4M + 4S + 2m_c + m_t$，其中$m_t$是乘以一个依赖于$P$的常数。
2016-01-14 math.NT
On the $p$-part of the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture for elliptic curves with complex multiplication by the ring of integers of $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$
研究了椭圆曲线$E = X_0(27)$的二次和三次扭曲的无限族。对于二次扭曲族，我们建立了复$L$ -级数在$s=1$上的值的代数部分的$2$ -adic赋值的下界，对于三次扭曲族，我们建立了同一$L$ -值的代数部分的$3$ -adic赋值的下界.我们表明，我们的下界正是那些预测的著名猜想的伯奇和Swinnerton-Dyer。
2017-11-08 math.NT
Primality proving using elliptic curves with complex multiplication by imaginary quadratic fields of class number three
本文将Abatzoglou等人的复乘椭圆曲线素性证明框架推广到类数为三的虚二次域，利用2分裂的类数三虚二次域得到更高效的素性证明算法，并给出基于Q(√-23)和Q(√-31)的两个特殊整数序列及计算结果。
2024-08-09 math.NT
On the non-commutative Main Conjecture for elliptic curves with complex multiplication
在arXiv：math/0404297中，已经制定了$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的非交换Iwasawa主猜想。本文证明了它对定义在$\mathbb{Q}$上的所有CM-椭圆曲线$E$都成立。这是在（loc.）（同上）没有证据，我们现在想提供假设扭转猜想在这种情况下成立。在此基础上，我们首先证明了$E$的（非交换的）$p$ -adic $L$ -函数的存在性，其次证明了（非交换的）主要猜想是由Katz-测度的存在性、Yager的工作和Rubin的二元主要猜想的证明得出的。主要问题是比较所涉及的周期，并表明（非交换）$p$ -adic $L$ -函数是在（loc.\（同上）系数环。此外，我们将我们的考虑推广到CM-椭圆尖点形式的情况。
2010-06-08 math.NT
Uniform bounds on prime levels of abelian division fields of elliptic curves over number fields without rationally defined CM
Ajou University（亚洲大学）
本文在去除 GRH 假设后，证明无有理复乘的数域上椭圆曲线的阿贝尔除子域素级的性质等价于无有理复乘，推广了相关研究结果。
2026-08-18 math.NT
Fast Elliptic Curve Arithmetic and Improved Weil Pairing Evaluation
我们提出了一种算法，它的速度标量乘法的一般椭圆曲线上的估计3.8%至8.5%的最知名的一般方法时，使用仿射坐标。当我们从曲线上的给定点P，Q计算2P+Q时，通过消除域乘法来实现。我们给出了同时多标量乘法和椭圆曲线因式分解方法的应用。我们展示了如何与另一个想法一起，这种改进可以加快计算的韦尔和泰特配对高达7.8%。
2003-01-22 math.NT
On the division fields of an elliptic curve and an effective bound to the hypotheses of the local-global divisibility
我们研究了$m$ -除法域$K({\mathcal{E}}[m])$的某些方面，其中$\mathcal{E}$是定义在具有${\textrm{char}}(K)\neq 2,3$的域$K$上的椭圆曲线，$m$是正整数.当$m=p^r$，其中$p\geq 5$是素数，$r$是正整数时，我们证明了$K(\mathcal{E}[p^r])=K(x_1,ζ_p,y_2)$，其中$\{(x_1, y_1),(x_2,y_2)\}$是${\mathcal{E}}[p^r]$的生成系，$ζ_p$是单位元的本原$p$次根.若$\mathcal{E}$有一个$K$ -有理序点$p$，则有$K(\mathcal{E}[p^r])=K(ζ_{p^r},\sqrt[m_1]{a})$，有$a\in K(ζ_{p^r})$和$m_1|p^r$。此外，当$K$是一个数字字段，我们产生一个上限的对数高度的判别式的扩展$K(\mathcal{E}[m])/K$，所有$m\geq 3$。作为结果，我们给出了一个显式的有效版本的假设的局部-整体整除问题的椭圆曲线在数域上。
2021-07-06 math.NT
Torsion growth over cubic fields of rational elliptic curves with complex multiplication
本文是对椭圆曲线在基变换下的挠增长性分类的一个贡献。本文讨论有理数域上椭圆曲线的复乘情形。对于这种特殊的情况下，我们给出了一个描述的可能扭转增长的立方领域和一个完全明确的描述这种增长的一些不变量附加到一个给定的椭圆曲线。
2019-09-02 math.AG math.NT
On the unramified Iwasawa module of a $\mathbb{Z}_p$-extension generated by division points of a CM elliptic curve
本文研究由复乘椭圆曲线除点生成的 $\mathbb{Z}_p$-扩张的非分歧 Iwasawa 模，指出 Greenberg 猜想对该扩张失效，并主要探讨其弱形式猜想的类比。
2022-09-05 math.NT
Some remarks on the two-variable main conjecture of Iwasawa theory for elliptic curves without complex multiplication
针对虚二次域上无复乘的椭圆曲线的岩泽理论的二元主猜想建立了几个结果，即（i）在Hida和Perrin-Riou的工作基础上，存在适当的p-adic L-函数，（ii）在Coates，Hachimori-Venjakob等人的工作基础上，对偶Selmer群的基本结构理论，以及（iii）具有基底变化的二面体或反分圆主结构的含义。（i）的结果是从Hida和Perrin-Riou的构造中推导出来的，特别是可以看到它给出了一个有界分布。（ii）的结果使我们能够推导出椭圆曲线的Tate-Shafarevich群在虚二次域的Z_p^2-扩张中的p-准素部分的corank公式。最后，（iii）允许我们推导出一个标准的一个整除的两个变量的主要猜想在专业化的分圆字符，格林伯格的建议，以及通过basechange细化。
2011-10-27 math.NT
The Tate-Shafarevich group for elliptic curves with complex multiplication II
设E是Q上具有复乘的椭圆曲线.本文的目的是加强\cite{CZS}的理论和数值结果。对于每个素数p，设t_{E/Q, p}表示E/Q的Tate-Shafarevich群的p-准素子群的Z_p-余秩。对于每个ε 0，我们证明了对于所有足够大的好的普通素数p，t_{E/Q, p}上界为（1/2 + ε）p。我们还对一个秩为3的E和5个秩为2的E进行了数值计算，表明在所有情况下，对于所有p <30，000的好的普通素数，t_{E/Q, p} = 0。事实上，我们证明了，除了在这个范围内可能存在一个好的普通素数，只有一条秩为2的曲线，该曲线的Tate-Shafarevich群的p-准素子群为零（总是假设p是好的普通素数）。
2010-05-27 math.NT
Inversion of the $j$--function and testing complex multiplication
我们开发了一个算法，在拟线性时间反转$j$ -函数，并将其应用于测试是否椭圆曲线有复乘。
2020-11-18 math.NT
Torsion points on elliptic curves with complex multiplication
本文给出了数域上CM椭圆曲线的素数阶扭点结构的七个定理。前三个结果通过考虑CM阶的类数和CM域中素数的分裂，改进了Silverberg和Prasad-Yogananda的界.在许多情况下，我们可以证明我们的改进的界限是最优的或渐近最优的。我们还得到了X_1（N）上CM-点的最小次数的渐近上界和下界。通过与X_1（N）上存在无穷多个有理点的最小次数的界的比较，我们推出：对于足够大的N，X_1（N）将有一个有理CM点，其次数小于至少所有非CM点的次数，但不超过100个非CM点。
2009-07-15 math.NT
Explicit valuation of elliptic nets for elliptic curves with complex multiplication
University of Warwick（华威大学）；Warwick Mathematics Institute（华威数学研究所）
针对具有复乘的椭圆曲线，给出了椭圆网多项式在点乘倍下的公共赋值公式，并应用于证明椭圆可除序列满足递推关系。
2026-06-29 math.NT
p-adic L-functions and Selmer varieties associated to elliptic curves with complex multiplication
我们展示了如何非零的p-adic L函数控制的尺寸Selmer品种与补充的原点在一个椭圆曲线CM。作为推论，我们得到了Siegel定理在这类曲线上的π_1-证明.
2007-10-28 math.AG math.NT
The GL_2 main conjecture for elliptic curves without complex multiplication
岩泽理论的主要内容提供了目前已知的唯一通用方法，用于研究纯算术问题与复L-函数的特殊值之间的神秘关系，以Birch和Swinnerton-Dyer猜想及其推广为代表。我们在本文中的目标是发展代数技术，使我们能够制定一个精确的版本，这样一个主要猜想的动机超过一大类的p-进李扩展数域。本文最后给出并简要讨论了关于有理数Q上的椭圆曲线E在其p次幂分割点坐标生成的域上的主要猜想，其中p是E的好的普通约化的大于3的素数。
2004-04-16 math.NT
A remark on the characteristic elements of anticyclotomic Selmer groups of elliptic curves with complex multiplication at supersingular primes
本文针对超奇异素数处带复乘的椭圆曲线，基于Burungale--Kobayashi--Ota的局部点结构研究突破，建立了反分圆扩张下余挠带符号Selmer群与精细Selmer群的特征理想关联，补充了Agboola--Howard的相关结果。
2023-07-22 math.NT
Integral Points on Elliptic Curves and Modularity
本文利用Chabauty-Kim方法证明了无复乘的穿孔有理椭圆曲线的S-整点集的有限性。这推广了Kim在复乘情形下的结果.我们的方法的关键输入是使用模块化技术来证明消失的某些Selmer组中涉及的Chabauty-Kim方法。
2020-06-08 math.NT
Coincidences of division fields
令$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，并且令$ρ_E\colon {\rm Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\to {\rm GL}(2,\widehat{ \mathbb{Z} })$是与伽罗瓦在$E(\overline{\mathbb{Q}})$的扭点上的自然作用相关联的椭圆表示。根据Serre定理，$ρ_{E}$的象是开的，但由于分光场之间存在一定的二次纠缠，在${\rm GL}(2,\widehat{\mathbb{Z}})$中，象的指数总是至少为$2$.在本文中，我们研究了其他类型的阿贝尔纠缠。更具体地说，我们分类的椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，并素数$p$和$q$，使$\mathbb{Q}(E[p])\cap \mathbb{Q}(ζ_{q^k})$是非平凡的，并确定的重合度。因此，我们对所有椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$和整数$m,n$进行分类，使得第$m$次和第$n$次除法字段重合，即，当$\mathbb{Q}(E[n])=\mathbb{Q}(E[m])$时，当除法字段是阿贝尔时。
2021-06-23 math.NT
Mahler's measure and elliptic curves with potential complex multiplication
给定定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线$E$，它与虚二次域$K$的整数环$\mathcal{O}_K$有潜在的复乘，我们构造了一个多项式$P_E \in \mathbb{Z}[x,y]$，它是$E$的平面模型，并且使得Mahler测度$m(P_E) \in \mathbb{R}$与$L$ -函数$L(E,s)$在$s = 2$的特殊值有关.
2020-05-08 math.AG math.NT
Galois action on the $\bar\mathbb{Q}$-isogeny classes of abelian surfaces with quaternionic multiplication
数域上的阿贝尔簇称为L-阿贝尔簇，如果对于数域L的绝对伽罗瓦群的任何元素，共轭阿贝尔簇通过保持自同态环上伽罗瓦作用的同构与给定的阿贝尔簇同构。我们可以认为它们是定义在L上的阿贝尔簇的推广，其自同态也定义在L上。在一维情况下，定义在L上的椭圆曲线产生由其Tate模上的伽罗瓦作用提供的伽罗瓦表示。这种经典的伽罗瓦表示在过去的几十年里一直是数论研究的中心对象。此外，给定椭圆L-曲线，可以构造以前的伽罗瓦表示的投影模拟。在这项工作中，我们在二维情况下构建了类似的射影表示，即通过四元数乘法或假椭圆曲线附着到阿贝尔L曲面。此外，我们证明了这样的射影表示也描述了Galois作用的椭圆L-曲线的Isonite类，在经典的情况下，或阿贝尔L-曲面与四元数乘法，在一般情况下。
2014-04-10 math.NT
Explicit characterization of the torsion growth of rational elliptic curves with complex multiplication over quadratic fields
在一系列的论文中，我们分类的可能扭转结构的有理椭圆曲线基扩展到数域的一个固定的程度。本文主要研究有理数域上定义有复乘的椭圆曲线在二次域上的挠率如何增长的问题。我们更进一步，我们给一个明确的表征的二次域的挠增长的一些不变量附加到曲线。
2021-03-02 math.AG math.NT
