Some fundamental groups in arithmetic geometry
这些是2015年夏季代数几何研究所的笔记。我们报告Deligne的有限性定理$\ell$ -进表示光滑簇定义在有限域上，其结晶版本，以及如何几何étale基本群的一个光滑的投影品种定义在一个特征$p>0$字段控制晶体上的无穷小网站，并应控制那些在结晶网站。v2：将最后结果添加到报告中，并纠正了一些拼写错误。
2016-09-08 math.AG
Deformation theory of periodic Higgs-de Rham flows
本文研究周期（对数）Higgs-de Rham流的形变理论。在适当的数值假设下，这等价于扭转（对数）Fontaine-Faltings模的变形理论。作为应用，我们给出了一个\emph{ordinarity}条件，它提供了一个$p^n$ -扭晶表示变形为$p^{n+1}$ -扭晶表示的充分条件.
2020-05-01 math.AG
Log-crystalline representations and $(φ, Γ)$-modules
本文研究绝对非分歧混合特征局部域上小仿射代数的对数平展基本群的p-adic表示，通过平展(φ,Γ)-模进行分类，并定义对数晶体表示，证明其与Wach模等价，推广了先前晶体情形结果。
2026-09-11 math.AG math.NT
Correspondences in log Hodge cohomology
我们在任意特征的完满域上构造了对数Hodge理论中的对应.这些都是由类的上同调层的微分形式与日志极点，特别是日志零上的笛卡儿积的品种。从一个角度来看，这推广了Chatzistamatiou和Rülling的工作，他们在任意特征的完满域上开发了（非对数）霍奇对应;从另一个角度来看，我们通过放松对所考虑的对应的有限性和严格性条件，提供了Binda，Park和Jesstvær最近关于对数霍奇对应的工作的部分推广。
2023-01-02 math.AG
Explicit crystalline lattices in rigid cohomology
受点计数算法中使用p-adic上同调的应用程序的启发，我们给出了一个明确的描述，在刚性上同调空间，p-adically近似对数结晶上同调模块的积分格。这些格表示为扭曲对数de Rham复形的整体瓣。证明了具有光滑超平面截面的光滑真超曲面对的主要定理，并在加权射影空间中得到了这类曲面对的商的结果。我们将展示如何使用这些结果，以减少必要的p-adic精度，其中一个必须工作计算zeta函数的品种在有限域。
2011-10-18 math.AG math.NT
Logarithmic adic spaces: some foundational results
结合adic空间和log schemes的理论，建立了log adic空间的理论，并研究了这类空间的Kummer étale和pro-Kummer étale拓扑.在此基础上，我们建立了本原比较定理，并由此推出了一些相关的上同调有限性或消失性结果。
2022-10-30 math.AG math.NT
On syntomic regulators I: constructions
我们表明，经典的陈类从更高的（$p$ -adic）$K$ -理论的同伦上同调扩展到对数同伦上同调。这些Chern类在适当的意义上与加法、乘积和$λ$运算兼容。它们也与规范的Gysin序列相容，并且通过周期映射与对数的陈省身类相容。此外，他们诱导对数晶体陈类。这使用作为一个关键的新成分，最近比较的syntomic上同调与$p$ -进附近的周期和$p$ -进motivic上同调。
2016-07-18 math.AG math.KT math.NT
The Geometry of Hida Families and Λ-adic Hodge Theory
我们构造了Λ-adic de Rham和Hida的普通Λ-adic etale上同调的晶体类似物，并通过利用\Q_p的分圆扩张上的模曲线的积分模型的几何，我们证明了在每种情况下适当的有限性和控制定理。然后我们利用积分p-adic Hodge理论证明了我们的上同调和Hida的etale上同调之间的Λ-adic比较同构。作为我们工作的应用，我们给出了Dee的Hida的普通Λ-adic etale上同调的一个（λ，Γ）-模族的“上同调”构造，并给出了Hida有限性和控制定理的一个新的纯几何证明.我们还能够证明Mazur-Wiles和Ohta定理的改进;特别是，我们证明了普通Λ-adic尖形的模和Igusa塔的结晶上同调的Frobenius可逆作用的部分之间存在典范同构。
2012-09-04 math.AG math.NT
Logarithmic $A_{\mathrm{inf}}$-cohomology, Part II
本文为充分对数光滑的 $p$-进形式概形建立带系数的对数 $A_{\mathrm{inf}}$-上同调理论，证明与 étale、de Rham、晶体上同调的比较同构，并由此给出半稳定局部系统 $C_{\mathrm{st}}$ 猜想的新证明。
2026-09-09 math.AG math.NT
On the crystalline cohomology of Deligne-Lusztig varieties
设$X\to Y^0$是特征为$p>0$的理想域$k$上光滑格式的阿贝尔素数到$p$ Galois覆盖.设$Y$是$Y^0$的光滑紧化，使得$Y-Y^0$是$Y$上的正规交叉因子.我们描述了一个对数$F$-晶体上的$Y$，其合理的结晶上同调是刚性上同调的$X$，特别是提供了一个自然的$W[F]$-晶格内后者;这里$W$是维特矢量环的$k$。如果有限群$G$相容地作用于$X$，$Y^0$和$Y$，那么我们的构造是$G$-等变的.作为一个例子，我们将其应用到Deligne-Lusztig品种。对于有限域$k$，如果${\mathbb G}$是定义在$k$上的连通约化代数群，${\mathbb L}$是满足一定标准条件的$k$-有理环面，我们得到了相应Deligne-Lusztig簇的上同调（$\ell$-adic或rigid）中的有意义的等变$W[F]$-格及其约化模$p$用等变Hodge上同调群表示.
2014-08-14 math.AG math.RT
p-adic derived de Rham cohomology
受Beilinson最近工作的启发，本文研究了F_p和p-adic格式的导出de Rham上同调。推广Illusie的工作，我们构建了一个自然的同构派生德拉姆上同调和结晶上同调的LCI地图等计划，以及对数的变种。这些比较给出了在p-adic Hodge理论中通常的周期环和相关映射的德拉姆描述。把这些思想放在Beilinson构造的框架中，得到了Fontaine的结晶猜想和Fontaine-Jannsen的半稳定猜想的新证明。
2012-04-30 math.AG math.NT
Projective Crystalline Representations of Étale Fundamental Groups and Twisted Periodic Higgs-de Rham Flow
本文有三个新结果。{ \bf 1}.我们引入了投影晶体表象和扭曲周期Higgs-de Rham流的新概念。这些新概念推广了[7，10]中引入的经典基本群的晶体表示和[19]中引入的周期Higgs-de Rham流。通过引入扭曲Fontaine-Faltings模范畴，我们建立了投影晶体表象范畴与扭曲周期Higgs-de Rham流范畴之间的等价性. { \bf 2.}我们研究了这些对象的基础变化非常分歧的估值环，并表明，一个稳定的周期性希格斯束产生了一个几何上绝对不可约的结晶表示。{ \bf 3.}研究了在$n\geq 4$上的秩2稳定的1次Higgs丛模空间上Higgs-de Rham流诱导的自映射的动力学性质，并构造了$D:=\{x_1,\,...,x_n\}$的无穷多个几何绝对不可约的$\mathrm{PGL_2}(\mathbb Z_p^{\mathrm{ur}})$ -结晶表示.我们找到了$\{0,\,1,\,\infty,\,λ\}$情形下的自映射的一个显式公式，并猜想Higgs丛是周期的当且仅当Higgs场的零点是由$ y^2=x(x-1)(x-λ)$定义的与$p$互质的椭圆曲线$\mathcal{C}_λ$上挠点的像.
2019-03-05 math.AG math.NT
Logarithmic Cartier Transform
本文推广了Cartier变换到log光滑方案，通过构造带有Higgs场和可积连接的晶体，并利用log微分环的Azumaya性质建立了相应范畴的等价性。
2026-09-22 math.AG
Duality for cohomology of curves with coefficients in abelian varieties
本文给出并证明了阿贝尔簇的Neron模型中具有系数的正特征完满域上曲线的上同调的一个对偶。这是一个全球功能领域的版本，作者以前的工作，当地的对偶性和Grothendieck的对偶猜想。它推广了有限基域情形下Cassels-Tate对的完备性。证明使用了上述的局部对偶，Artin-Milne的整体有限平坦对偶，高度配对的非退化性和晶体上同调的有限性。所有这些成分都是在早期开发的rational etale网站的形式主义下组织的。
2019-01-02 math.AG math.NT
Perfectoid towers and their tilts : with an application to the étale cohomology groups of local log-regular rings
National Institute of Technology, Gunma College（国立冈山工业高等专门学校）；Proxima Technology Inc.（Proxima科技有限公司）；Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
本文引入 perfectoid 塔及其 tilt，证明 tilt 保持同调不变量与有限性，并据此比较 étale 上同调，推出混合特征局部 log-正则环除子类群的 prime-to-p 挠子群有限。
2025-01-07 math.AC math.AG math.NT
Logarithmic A$_{\rm inf}$-cohomology
本文将 Bhatt-Morrow-Scholze 的 A$_{\ m inf}$-上同调推广到对数完美oid基上的对数 $p$-进形式概形，证明其与多种 $p$-进上同调理论的比较定理，并引入伪饱和映射这一新概念。
2024-02-23 math.AG math.NT
Semi-stable representations as limits of crystalline representations
本文构造收敛于给定二维半稳定表示的例外权晶态表示序列，在刚性解析胀开空间中研究其收敛性，得到Stevens公式，并利用zig-zag猜想推进小权半稳定表示约化的计算与相关性质研究。
2025-05-19 math.AG math.NT
The $A_{inf}$-cohomology in the semistable case
对于$p$ -adic域$K$上的适当的光滑格式$X$，我们证明了$X$的任何适当的，平坦的，半稳定的$\mathcal{O}_K$ -模型$\mathcal{X}$，其对数de Rham上同调是无挠的，确定了$H^i_{dR}(X/K)$内部的相同的$\mathcal{O}_K$ -格，而且，这个格在$X$中是函子.为此，我们推广Bhatt-Morrow-Scholze的结果的建设和分析的$A_{inf}$值上同调理论的$p$-进正式的，适当的，光滑的$\mathcal{O}_{\overline{K}}$ -计划$\mathfrak{X}$的半稳定的情况。$A_{inf}$ -上同调与$p$ -adic tale和对数晶体上同调的关系使我们能够重新证明Fontaine-Jannsen的半稳定猜想.
2018-10-04 math.AG math.NT
