Computing homology and persistent homology using iterated Morse decomposition
在本文中，我们提出了一种新的方法来计算同调（域系数）和持久的同调。我们使用离散的莫尔斯理论的概念，提供一个算法，它可以单独表示在单图的理论操作。我们使用迭代Morse分解，这使我们能够转移与标准离散莫尔斯理论相关的许多问题。特别是，这种方法在任何维度上都是正确的。
2012-10-25 cs.DS math.AT
Heegaard Floer homology and Morse surgery
我们建立了一个由K_{p/q}诱导的三元流形Y中的零同调结K上的p/q手术相关的Heegaard弗洛尔同调过滤的手术公式。这里，K_{p/q}是附着的实心环面的核心（产生手术）。这推广了Ozsvath和Szabo的一个结果。作为K_{p/q}的纽结弗洛尔同调的非零结果的推论，我们将重新证明对非平凡纽结进行手术不能产生S^3。
2006-03-09 math.AT math.GT
Borel-Moore Homology of 2-Particle Unordered Configuration Spaces of Graphs via Discrete Morse Theory
本研究通过离散莫尔斯理论定义图的2粒子无序构形空间的开正则胞腔复形上的莫尔斯函数，借助同构关系得出其Borel-Moore同调群由图的第一贝蒂数决定的结论。
2026-08-20 math.AT
Invariant and Coinvariant Morse Homologies for Orbifolds
University of Minnesota（明尼苏达大学）
本文构建了任意紧致有效或bi-fold的不变和共变Morse链复形，证明其同调为或bi-fold不变量，并推测共变复形同调可计算底层拓扑空间的奇异同调，改进了Cho-Hong的构造。
2026-03-30 math.AT math.GT
Circle valued Morse theory and Novikov homology
从代数的观点介绍圆值莫尔斯理论和诺维科夫同调。
2001-11-30 math.AT math.DG
Graph magnitude homology via algebraic Morse theory
我们利用代数莫尔斯理论计算各种图的大小同调。具体地说，我们（1）给出了树是对角图的另一种证明，（2）确定了一类新的对角图，（3）证明了二十面体图是对角图，（4）计算了圈的大小同调。这些结果回答了Hepworth和Willerton [HW 17]的几个问题。
2018-09-19 math.AT math.CO
Transport functions for principal bundles and Morse homology with differential graded coefficients
Universität Freiburg（弗赖堡大学）
本文用Morse理论描述主丛，通过断裂梯度流线的传输函数编码转移函数，并基于此构造微分分次系数的Morse链复形，证明其同调为伴随丛的同调。
2026-07-22 math.AT math.GT
A Morse Mayer-Vietoris Sequence for Cosheaf Homology on Simplicial Complexes
该研究针对有限单纯复形上余层同调，构造迈耶-菲托里斯短正合序列并结合离散莫尔斯理论得到莫尔斯链复形的对应序列，建立其与标准序列的拟同构，还涉及范畴论视角的相关探讨。
2025-08-16 math.AT
The moduli space of generalized Morse functions
研究了d-流形上广义Morse函数空间的模，并确定了d-流形上广义Morse函数空间的同伦类型。这个模空间与论文math.AT/0212321中研究的所有Morse函数的模空间以及相应的配边范畴的分类空间密切相关。
2010-04-16 math.AT
Morse homology: orientation of the moduli space of gradient flow lines, coherence and applications
本文计算了一类整系数Morse函数$f$的链复形和相应的同调。正确的边界算子的定义需要仔细构造（伪）梯度流线方向的模空间。然后我们将应用这种构造来计算4-流形上的这些同调群。
2020-07-17 math.AG math.AT
Morse Theoretic Templates for High Dimensional Homology Computation
我们介绍了离散莫尔斯理论的模板的概念。模板为计算同调不变量（例如，同源性，持续同源性，康利复合物）。我们证明了有效性的模板在两种设置：第一，通过计算的同源性的某些立方复合物是同伦等价于$\mathbb{S}^d$的$1\leq d \leq 20$，第二，通过计算康利复合物和连接矩阵的收集所产生的例子从康利-莫尔斯理论空间的辫子图。
2021-06-29 math.AT math.DS
A perfect Morse function on the moduli space of flat connections
在穿孔曲面上的平坦SU（2）联络的模空间，在穿孔周围具有规定的完整性，如果规定是一般的，则是紧致光滑流形.本文给出了一个直接的初等证明，证明了在模空间上，完整性关于某个环的迹决定了一个Bott-Morse函数是完备的，这意味着Morse不等式是等式.这导致了模空间的贝蒂数的一个有吸引力的递归，在完整性为-1的一次穿刺的情况下，这与Harder-Narasimhan公式一致。
1998-12-01 math.AG math.AT math.SG
A chain-level model for Chas-Sullivan products in Morse homology with differential graded coefficients
IRMA, Université de Strasbourg（斯特拉斯堡大学 IRMA）
本文提出了一种基于 Morse 理论的链级模型，用于研究自由循环空间的 Chas-Sullivan 乘积，并构建了微分格版本的 Künneth 公式和 Pontryagin-Thom 构造。
2025-11-25 math.AT math.GT
Multiparameter persistent homology via generalized Morse theory
定义了一类由拓扑空间上的单参数函数族所产生的多参数持久模，并证明了这类持久模是稳定的。我们表明，这种结构可以产生不可分解的持久性模块与任意大的维度。对于紧致流形上的光滑函数，我们应用协边理论和Cerf理论研究了由此得到的持久模.我们给出的例子中，我们得到一个完整的描述的持久性模块作为一个直和的不可分解的被加数，并提供相应的可视化。
2022-05-06 math.AT math.GT
A Discrete Morse Theory for Hypergraphs
从单纯复形中删除一些非极大单纯形可以得到超图。文[11]给出了超图的一个相伴的单纯复形。文[4]证明了超图的嵌入同调是其下确界链复形的同调，或等价地是其上确界链复形的同调.本文推广了R. Forman [5-7]的方法，给出了超图的离散莫尔斯理论。利用关联单纯复形的临界单纯形构造了下确界链复形的子链复形和上确界链复形的子链复形，证明了超图的嵌入同调同构于所构造的链复形的同调.此外，我们定义了超图上的离散Morse函数，并计算了临界超边的嵌入同调。作为副产品，我们得到了一些Morse不等式和超图的崩溃结果。
2020-06-03 math.AT
A combinatorial construction of the moduli space of flowlines in discrete Morse theory
本研究在离散Morse理论领域，通过组合方式构造了离散Morse函数的指标2流线模空间，为离散Morse同调中Morse微分平方为零的结论提供了新的证明方法。
2023-10-02 math.AT math.CO math.DG
Wrapping Cycles in Delaunay Complexes: Bridging Persistent Homology and Discrete Morse Theory
该研究在形状重建语境下探究持续同调与离散莫尔斯理论的关联，证明Delaunay复形中任意环的字典序最优同调环支撑于同参数Wrap复形，通过环约简与梯度流的基础关联推导结论，打通两类方法的联系。
2024-03-21 cs.CG math.AT math.GT
Discrete Morse theory for moduli spaces of flexible polygons, or solitaire game on the circle
在多边形连杆机构的模空间上引入了一个完全离散Morse函数。构造的成分是：（1）模空间上的细胞结构，以及（2）离散的莫尔斯理论方法，该方法允许将细胞的数量减少到最小可能。
2016-01-23 math.AT math.CO
Three approaches to Morse-Bott homology
本文综述了用Morse-Bott函数计算有限维紧致光滑闭流形同调的三种方法，并讨论了这三种方法之间的关系。第一种方法是将函数扰动为Morse函数，第二种方法是使用级联的模空间，第三种方法是使用Morse-Bott多重复形。对于一个显式扰动（它可以用来推导Morse-Bott不等式），前两种方法得到相同的链复形直到符号。第三种方法是根本不同的。它将奇异立方链和Morse链合并在同一个复形中，提供了一种奇异立方链复形和Morse-Smale-Witten链复形之间的插值方法.
2013-01-03 math.AT math.DS
A Fibration Theorem and Chas-Sullivan product for Morse-Novikov Homology with differential graded coefficients
本文将具有微分 graded 系数的 Morse 同调及 Chas-Sullivan 积扩展至 Morse-Novikov 同调，构建了相应的 Morse-Novikov 复形，并在纤维化条件下证明了 Novikov 完备化同调上存在 Chas-Sullivan 类型的积。
2025-08-13 math.AT math.DG math.GT
Discrete Morse Theory for Weighted Simplicial Complexes
本文在加权同调的背景下研究了Forman的离散莫尔斯理论.我们发展加权版本的经典定理在离散莫尔斯理论。加权情况下的一个关键区别是单纯坍缩不一定保持加权同调。给出了塌缩保持加权同调的充分条件，并研究了初等移除对加权同调的影响。序列分析中的应用，我们研究了序列的加权有序复合体。
2019-12-10 math.AT
Moduli Spaces of Morse Functions for Persistence
我们认为不同的概念的等价Morse函数的范围内的持久性同源的领域，并引入新的不变量来研究这些等价类。这些新的不变量是简单的，但比现有的拓扑不变量，如持久性条形码和Reeb图更有辨别力。通过考虑图等价的Morse函数，给出了用一系列基本移动将球面上任意两个Morse-Smale向量场联系起来的方法.我们还探讨了高度等效Morse函数的组合丰富的世界，被认为是高度功能的嵌入领域的$\mathbf R^3$。他们的水平集不变量，一个偏序集产生的嵌套磁盘和annuli从水平集，让洞察到模空间的莫尔斯功能共享相同的持久性条形码。
2020-06-30 math.AT math.CO math.GT
Discrete Morse Theory for Computing Filtered Cosheaf Homology
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
本文将离散莫尔斯理论扩展至固定胞腔复形上胞腔余层过滤的持续同调计算，提出FilteredScythe算法并证明其正确性与复杂度界，为相关计算提供了方法支持。
2026-10-14 math.AT
Loop coproduct in Morse and Floer homology
本文通过直接定义 Rabinowitz 环路同调、证明 Viterbo 同构与次级 pair-of-pants 余积相容，并引入约化环路同调，揭示了环路空间同调与辛同调之间更深层的代数结构对应关系。
2023-08-07 math.AT math.SG
Orbifold Morse-Smale-Witten complex
我们构造了一个有效的可定向orbifold的Morse-Smale-Witten复形。对于一个整体商轨道，我们还构造了一个Morse-Bott复形。我们表明，某些类型的临界点的Morse函数已被丢弃，以构建这样一个复杂的，和梯度流应计数与适当的权重。在自指标假设下，证明了这些复形的同调同构于商空间的奇异同调。
2013-07-17 math.AT math.SG
Fiber of Persistent Homology on Morse functions
设$f$是光滑紧致流形$M$上的Morse函数.路径组件$\mathrm{PH}_f^{-1}(D)$包含$f$的莫尔斯函数空间产生相同的持久同调$D=\mathrm{PH}(f))$被证明是相同的轨道下预组合$ϕ\mapsto f\circ ϕ$的$M$是同位素的身份。因此，我们得到的纤维$\mathrm{PH}_f^{-1}(D)$的拓扑性质：特别是我们计算它的同伦类型的许多紧凑的表面$M$。在$1$ -维设置$M$是单位间隔或圆，我们扩展到连续函数的分析，并表明，纤维是由收缩和圆形组件分别。
2022-11-11 math.AT
Homología de Morse en variedades compactas
给定一个紧致黎曼流形$(M g)$和Morse函数$f:m\to \mathbb{R}$，其梯度流满足Morse-Smale条件（即f的稳定流形和非稳定流形横向相交），我们构造了一个链复形，称为Morse-Witten复形.本文的目的是证明Morse-Witten复形的同调同构于$M$的奇异同调.
2011-05-06 math.AT
A Discrete Morse Theory for Digraphs
有向图是图的推广，其中每条边被分配有一个方向或两个方向。本文定义了有向图上的离散Morse函数，证明了传递有向图的Morse复形的同调与路同调是同构的。我们还研究了由离散梯度向量场定义的坍缩。设$G$是有向图，$f$是离散Morse函数.假设$G$上$f$的任意零点的出度和入度都为1。证明了原有向图$G$及其$\mathcal{M}$ -折叠图$\tilde{G}$具有相同的路同调群.
2020-07-27 math.AT
Stable foliations and semi-flow Morse homology
对于闭黎曼流形的自由回路空间上的热流，通过构造与闭路空间的奇异同调的自然同构，建立了半流Morse同调的非平凡性.这种结构在有限维中也是新的。主要思想是在热流的时间- $T$ -映射下利用康利对及其原像建立Morse滤波。关键的一步是将每一个康利对收缩到它在非稳定流形中的那部分。为了实现这一目标，我们使用最近发现的向后$λ$ -引理[31]为Conley对构建稳定的叶状结构。这些叶理是独立的利益[23]。
2014-08-17 math.AP math.AT math.DG
Persistent homology of Morse decomposition in Markov chains based on combinatorial multivector fields
本文提出一种基于组合多向量场的持续框架，用于马尔可夫链中的Morse分解，通过转移概率定义过滤，构建多向量场并应用Morse分解，得到不变集的层次结构及持续图，以分析有限状态随机过程的复发性和稳定性。
2025-03-28 math.AT math.CO math.DS
Persistence modules with operators in Morse and Floer theory
我们引入了一个新的概念，持久化模块赋予运营商。它封装了Floer类型持久化模块上的额外结构，这些结构来自与环境（量子）同源性中的类的交集积，以及一些其他几何情况。我们提供了示例应用程序的$C^0$ -几何的莫尔斯函数和哈塞尔的几何的哈密顿量的同形，超越了谱不变量和传统的持久同源。
2017-03-04 math.AT math.DS math.SG
Persistent Homology of Morse Decompositions in Combinatorial Dynamics
本文研究了单纯复形上的组合动力系统，它被认为是{ \em有限拓扑空间}。这样的系统以自然的方式从采样动态中产生，并且可以用于直接从样本重建动态的一些特征。我们研究的同调持久性{ \em莫尔斯分解}这样的系统，一个重要的描述符的动力学，作为一种工具，用于验证重建。我们的框架可以被看作是一个步骤，将经典的持久性理论扩展到“向量云”数据。我们提出了两个数值例子的实验结果。
2018-07-11 cs.CG math.AT math.DS
(Co)Homology of Lie Algebras via Algebraic Morse Theory
E. Sköldberg的莫尔斯理论的代数学观点和M. Jöllenbeck的代数离散莫尔斯理论及其在交换代数中的应用是R. Forman胞腔复形的离散莫尔斯理论，在自由模的一般链复形的背景下进行了讨论。利用这一点，我们计算了所有三角矩阵$\frak{sol}_n$在$\mathbb{Q}$或$\mathbb{Z}_p$上的李代数的Chevalley-Eilenberg（上）同调，对于足够大的素数$p$。我们确定$H_k(\frak{sol}_n;\mathbb{Z})$的表中$p$ -扭转首次出现的列和行。每个$\mathbb{Z}_{p^k}$都显示为某个$H_k(\frak{sol}_n;\mathbb{Z})$的直接被加数。模$H_k(\frak{sol}_n;\mathbb{Z}_p)$表示为所有严格三角矩阵$\frak{nil}_n$的李代数的链子复形的同调，使用Künneth公式。所有结论都附有计算机实验。然后我们将一些结果推广到更一般的关于$[n]$上任意偏序$\preceq$的（严格）三角矩阵$\frak{gl}_n^\prec$和$\frak{gl}_n^\preceq$的李代数.此外，所使用的匹配可以类似地定义为其他李代数家族，并用于理论和计算目的。
2019-08-07 math.AT
Singular Morse-Smale Flows on Pseudomanifolds with Spherical-Cone Singularities: Conley Theory and Intersection Homology
Aix-Marseille University（艾克斯-马赛大学）；Institut de Mathématiques de Marseille（马赛数学研究所）；Federal University of ABC（ABC联邦大学）
将Morse-Conley理论推广到具有球锥奇点的伪流形，通过引入奇异Morse-Smale流，建立了奇点Conley指数的局部动力学公式，证明了全局Lyapunov函数的存在性，并利用磨光化方法关联奇异与光滑情形，最后通过动力系统方法计算交合同调。
2026-08-07 math.AT math.DS
A Weak $\infty$-Functor in Morse Theory
根据Witten和Floer提出的Morse同调的思想，我们构造了两个$\infty$ -范畴$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$ .弱的$\mathcal{A}$来自Morse-Samle对及其高阶同伦，而严格的$\mathcal{B}$涉及Morse函数的链复形.基于含参数Morse函数梯度流线紧化模空间的边界结构，建立了弱$\infty$ -函子$\mathcal{F}: \mathcal{A}\rightarrow \mathcal{B}$ .从拓扑量子场论缺陷的角度揭示了Morse同调背后的高级代数结构。
2022-08-25 math.AT
Floer Homology: From Generalized Morse-Smale Dynamical Systems to Forman's Combinatorial Vector Fields
本文通过计数闭轨道与孤立临界点间的流线，构造广义Morse-Smale系统的Floer型边缘算子，并推广到Forman组合向量场，从而直接恢复光滑与离散结构的$\mathbb{Z}_2$同调。
2024-12-09 cs.DM math.AT math.CO
Discrete Morse theory for open complexes
University of Florida（佛罗里达大学）；Ursinus College（厄里森学院）
针对开放单纯复形K=X\T，通过阶复形S_K上的离散Morse函数研究K的拓扑变化，并证明K的Borel-Moore同调与梯度向量场诱导的同调同构，推导弱Morse不等式。
2026-02-20 math.AT
Computations in the unstable homology of moduli spaces of Riemann surfaces
本文综述了黎曼曲面的模空间$\mathfrak{M}_{g,1}^m$与亏格为$g\geqslant 0$、单边界曲线和$m\geqslant 0$穿刺的模空间的同调计算.虽然合理和稳定的这个问题有一个满意的答案，马德森-韦斯定理，不稳定的同调仍然是众所周知的复杂。我们讨论计算积分，模-2，和合理的系数。此外，我们确定，在大多数情况下，明确的发电机使用同调操作。
2022-09-16 math.AT math.GT
Discrete Morse Theory for Computing Zigzag Persistence
我们引入了一个理论和计算框架，使用离散Morse理论作为一个有效的预处理，以计算曲折持久同源。从复形$(K_i)$的Z字形滤子出发，引入了Z字形Morse滤子，其复形$(A_i)$是原复形$(K_i)$的Morse约化，并证明了它们具有相同的持久同调.这种锯齿形莫尔斯过滤概括了Mischaikow和Nanda的过滤莫尔斯复合体，定义为标准持久性。锯齿形莫尔斯过滤中的映射是向前和向后包含，这是锯齿形持续性中的标准映射，也是一种新型映射，它会导致莫尔斯复形边界算子的非平凡变化。我们详细研究了这最后一个映射，并设计了算法来计算更新时，在复杂的水平和在同源矩阵的水平计算锯齿持久性。我们推导出一个算法来计算锯齿形持久性的过滤，主要取决于复杂的关键细胞的数量，并通过实验表明，它在实践中表现得更好。
2019-07-11 cs.CG math.AT
The Goresky-Hingston Coproduct in Morse Homology with DG Coefficients
本文通过拟同构描述自由环路空间上的Goresky-Hingston余积，并计算了形如$S^n/G$流形的实系数余积，附录提供所需$\nathcal{A}_\infty$-模态射求逆结果。
2025-10-27 math.AT
Homology of moduli spaces of linkages in high-dimensional Euclidean space
本文研究了\R^d中闭连杆的模空间的拓扑结构，它依赖于长度向量\ell \in \R^n.特别地，我们使用等变Morse理论来获得关于这些空间的同调群的信息，这对于奇数d最有效。在d = 5的情况下，我们根据编码在长度向量中的组合信息来计算庞加莱多项式。
2013-01-02 math.AT math.GT
Generalized Morse Theory of Distance Functions to Surfaces for Persistent Homology
本文将Morse理论推广至具有光滑边界的有界集欧氏距离函数，证明了一般嵌入下符号距离函数存在有限个非退化临界点，从而实现用持久同调严格量化复杂形状纹理，并在模拟与真实血管数据上验证了该方法。
2023-07-02 math.AT math.GN
Homology of the moduli spaces and mapping class groups of framed, r-Spin and Pin surfaces
我们给出了框架曲面、r-Spin曲面和Pin曲面的模空间的定义。我们应用作者早期的工作表明，这些模空间表现出同调稳定性，我们确定了稳定的积分同调与某些无限闭路空间在每种情况下。我们进一步证明了这些模空间中的每一个都有路径分量，它们分别是框架、r-Spin和Pin映射类群的Eilenberg-MacLane空间，因此我们也证明了这些群的稳定群同调.特别是：稳定的框架映射类群具有平凡的有理同调，其阿贝尔化为Z/24，稳定的Pin映射类群的有理同调与不可定向的映射类群的有理同调一致，其阿贝尔化对Pin^+为Z/2，对Pin^-为（Z/2）^3.
2013-05-10 math.AT math.GT
Statistical topology via Morse theory, persistence and nonparametric estimation
在本文中，我们将探讨多元统计的拓扑方法的使用。利用计算代数拓扑学中的持久同调，利用随机样本构造持久同调的估计。然后可以使用估计的持久同源性和真实持久同源性之间的瓶颈距离来评估该估计过程。与统计学的联系来自这样一个事实，即当被视为非参数回归问题时，瓶颈距离由超范数损失限制。从而在Holder函数类上的超范数风险下，确定了流形上非参数回归问题的一个尖锐的渐近Minimax界.这为持久同源性估计在预期瓶颈距离方面提供了良好的收敛性质。
2010-03-04 math.AT math.ST stat.TH
Optimal Discrete Morse Theory Simplification (Expository Survey)
拓扑数据分析中的一个中心问题是计算给定单纯复形的同调。所述复形可以具有任意大量的单形，例如，如果空间是大型数据云的Rips-Vietoris或Cech复形，则可能发生这种情况。因此，对单纯复形进行预处理，得到一个具有相同同调群的较小复形，然后将同调算法应用于较小复形，是近年来的一个活跃的研究课题。在这篇综述中，我们讨论了最近的一些论文，这些论文通过离散莫尔斯理论来研究这种简化的复杂性。这项调查是作为俄亥俄州立大学计算拓扑学课程的期末项目而准备的。
2021-11-10 math.AT math.CO
Morse field theory
本文定义并研究了流形M中度量图流的模空间。这是一个从有限图到M的光滑映射空间，当限制到每一条边时，它是M上光滑（一般是Morse）函数的梯度流线。利用Gromov-Witten理论的模型，用这个模空间代替辛流形中的稳定全纯曲线空间，得到了M中的（余）同调不变量.在此设置中获得的不变量是经典的上同调运算，如上积，Steenrod平方和Stiefel-Whitney类。我们表明，这些操作满足不变性和胶合性质，适合在一起，给拓扑量子场论的结构。通过考虑关于图的自同构群的作用的等变运算，域论具有更多的结构。它类似于同调共形域论。特别是，我们表明，经典的关系，如Adem关系和Cartan公式的后果，这些场论性质。使用两种不同的方法定义和研究这些操作。首先，我们使用代数拓扑技术来定义适当的虚拟基本类的这些模空间。这允许我们通过模空间的相应相交数来定义运算。其次，我们利用几何和分析技巧研究了这些模空间的光滑性和紧性。这将允许我们通过适当地计算具有特定边界条件的度量图流，在Morse-Smale链复形的水平上定义这些操作。
2005-09-28 math.AT math.GT
Magnitude homology of graphs and discrete Morse theory on Asao-Izumihara complexes
本文研究 Asao-Izumihara 复形的同伦型与图幅度同调可对角化性的关系，证明 pawful 图的该复形同伦等价于球面的一点并，并推广 pawful 图概念，找到新的直径为 2 的非 pawful 可对角化图。
2022-06-02 math.AT math.CO math.MG
An effective Mayer-Vietoris Theorem for discrete Morse homology
Institute for Advancing Intelligence (IAI), TCG CREST（智能推进研究所（IAI），TCG CREST）；Academy of Scientific and Innovative Research (AcSIR)（科学与创新研究学院（AcSIR））
本文提出一种利用离散示性理论计算同调群的有效梅耶-维托里斯定理，通过梯度向量场的轨迹信息直接计算空间的同调群，无需依赖子空间的同调群。
2026-03-13 math.AT math.CO
On the local homology of Artin groups of finite and affine type
利用加权离散莫尔斯理论研究了Artin群的局部同调.在所有有限和仿射的情况下，我们能够构造一种特殊类型的莫尔斯匹配（我们称之为“精确匹配”）。精确匹配的存在意味着同调有无平方挠率。这个性质是已知的阿廷群的有限型，但不是一般的阿廷群的仿射型。我们还利用构造的匹配计算了所有例外情况下的局部同调，修正了文献中的一些结果。
2018-06-30 math.AT math.CO math.GR
Homology of spaces of regular loops in the sphere
本文计算了圆到$n$ -球面的浸入空间的奇异同调。在Chas-Sullivan环积的作用下，这些同调群是分次交换代数，并计算了这些代数.我们丰富了Morse谱序列，使之能用于自由闭路空间的纤维化和环路积，这为弦拓扑提供了一些新的计算工具。
2009-03-27 math.AT math.GT
Homology of planar polygon spaces
本文研究了给定边长的闭平面多边形簇的拓扑。我们将模空间的贝蒂数描述为长度向量的函数。我们还发现了仅依赖于链接数n的模空间的贝蒂数的和的上界。我们的方法是基于一个显着的Morse函数和对合之间的相互作用的条件下，对合的不动点与Morse函数的临界点重合的观察。
2006-09-05 math.AT
Persistent homology for functionals
研究为一大类泛函引入确保持续同调模满足持久图的拓扑条件，并以此在现代框架下重证 Unstable Minimal Surface Theorem。
2022-05-24 math.AT math.FA
Higher algebra of $A_\infty$ and $ΩB As$-algebras in Morse theory I
在Abouzaid和Mescher工作的基础上，我们证明了对于光滑紧致流形上的Morse函数，通过计算扰动Morse梯度树的模空间，可以赋予其Morse上链复形一个$ΩB As$ -代数结构.这个丰富的结构下降到它已知的$A_\infty$ -代数结构。然后，我们引入了两个$ΩB As$ -代数之间的$ΩB As$ -态射的概念，并证明了给定两个Morse函数，通过计算双色扰动Morse梯度树的模空间，可以在它们的关联$ΩB As$ -代数之间构造一个$ΩB As$ -态射.这个态射在诱导的$A_\infty$ -代数之间诱导出标准的$A_\infty$ -态射。我们的工作与整数系数，并提供到这个程度上的符号公约$A_\infty$（分别详细说明。$ΩB As$）-代数和$A_\infty$（resp. $ΩB As$）-态射，使用多面体（resp.模空间），其显式地实现对它们进行编码的DG运算对象。我们的证明还涉及到在多面体的水平上表明，$ΩB As$ -代数之间的$ΩB As$ -态射自然地诱导$A_\infty$ -代数之间的$A_\infty$ -态射。本文特别对运算、$A_\infty$ -代数和$A_\infty$ -态射、结合面体和多重面体作了一个简短的综述。详细讨论了Morse上链上的代数结构所对应的模空间的横截性、胶合映射、符号和定向等问题。此外，它奠定了基础的第…
2022-04-01 math.AT math.CO math.CT
Discrete Morse theory on $ΩS^2$
本文利用离散Morse理论和Milnor的F+K构造，对球面S^2的环路空间建立离散梯度并识别临界胞腔，通过计算边界算子恢复了ΩS^2的第一同调。
2024-07-16 math.AT
