The moduli space of gradient flow lines and Morse homology
我们提出了一套说明莫尔斯同源性，这增长了讲座的第一个命名autor在路德维希-马克西米利安大学在慕尼黑，首尔国立大学和奥格斯堡大学。虽然我们不讨论弗洛尔同调在这些笔记，他们写有弗洛尔同调铭记。因此，我们使用的概念，可以推广到半无限维的情况。在有限维的情况下，它们可能并不总是最有效的，但另一方面，有限维的情况有一个优点，即这些概念比半无限维的情况更容易形象化，给读者正确的直觉，弗洛尔同调是如何工作的。
2020-05-21 math.AT math.GT math.SG
Homology of planar polygon spaces
本文研究了给定边长的闭平面多边形簇的拓扑。我们将模空间的贝蒂数描述为长度向量的函数。我们还发现了仅依赖于链接数n的模空间的贝蒂数的和的上界。我们的方法是基于一个显着的Morse函数和对合之间的相互作用的条件下，对合的不动点与Morse函数的临界点重合的观察。
2006-09-05 math.AT
Morse field theory
本文定义并研究了流形M中度量图流的模空间。这是一个从有限图到M的光滑映射空间，当限制到每一条边时，它是M上光滑（一般是Morse）函数的梯度流线。利用Gromov-Witten理论的模型，用这个模空间代替辛流形中的稳定全纯曲线空间，得到了M中的（余）同调不变量.在此设置中获得的不变量是经典的上同调运算，如上积，Steenrod平方和Stiefel-Whitney类。我们表明，这些操作满足不变性和胶合性质，适合在一起，给拓扑量子场论的结构。通过考虑关于图的自同构群的作用的等变运算，域论具有更多的结构。它类似于同调共形域论。特别是，我们表明，经典的关系，如Adem关系和Cartan公式的后果，这些场论性质。使用两种不同的方法定义和研究这些操作。首先，我们使用代数拓扑技术来定义适当的虚拟基本类的这些模空间。这允许我们通过模空间的相应相交数来定义运算。其次，我们利用几何和分析技巧研究了这些模空间的光滑性和紧性。这将允许我们通过适当地计算具有特定边界条件的度量图流，在Morse-Smale链复形的水平上定义这些操作。
2005-09-28 math.AT math.GT
Star clusters in the Matching, Morse, and Generalized Morse complex
本文利用星团坍缩和星团引理确定了复形族的Morse复形和匹配复形的同伦类型。我们计算的同伦类型的莫尔斯复杂的一个扩展的概念的星图，以及同伦类型的匹配复杂的荷兰风车图。此外，我们提供交替计算的同伦类型的莫尔斯复杂的路径，同伦类型的匹配复杂的路径，同伦类型的匹配复杂的循环。然后，我们使用相同的方法计算同伦类型的匹配复杂和广义莫尔斯复杂的同伦类型之间的关系进行调查。
2022-07-27 math.AT math.CO
Higher algebra of $A_\infty$ and $ΩB As$-algebras in Morse theory I
在Abouzaid和Mescher工作的基础上，我们证明了对于光滑紧致流形上的Morse函数，通过计算扰动Morse梯度树的模空间，可以赋予其Morse上链复形一个$ΩB As$ -代数结构.这个丰富的结构下降到它已知的$A_\infty$ -代数结构。然后，我们引入了两个$ΩB As$ -代数之间的$ΩB As$ -态射的概念，并证明了给定两个Morse函数，通过计算双色扰动Morse梯度树的模空间，可以在它们的关联$ΩB As$ -代数之间构造一个$ΩB As$ -态射.这个态射在诱导的$A_\infty$ -代数之间诱导出标准的$A_\infty$ -态射。我们的工作与整数系数，并提供到这个程度上的符号公约$A_\infty$（分别详细说明。$ΩB As$）-代数和$A_\infty$（resp. $ΩB As$）-态射，使用多面体（resp.模空间），其显式地实现对它们进行编码的DG运算对象。我们的证明还涉及到在多面体的水平上表明，$ΩB As$ -代数之间的$ΩB As$ -态射自然地诱导$A_\infty$ -代数之间的$A_\infty$ -态射。本文特别对运算、$A_\infty$ -代数和$A_\infty$ -态射、结合面体和多重面体作了一个简短的综述。详细讨论了Morse上链上的代数结构所对应的模空间的横截性、胶合映射、符号和定向等问题。此外，它奠定了基础的第…
2022-04-01 math.AT math.CO math.CT
Metrics of positive scalar curvature and generalised Morse functions, part II
Gromov和Lawson的外科手术技术可用于构造由Morse函数参数化的正数量曲率度量族。这对研究光滑流形上正数量曲率度量空间及其相应的模空间起了重要作用。在本文中，我们将这种技术推广到广义莫尔斯函数，即光滑函数与莫尔斯和生灭奇点的家庭工作。
2011-07-14 math.AT math.DG
On the classifying space of a Morse flow category
University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）
本文展示了一个 tame Morse 函数的流形分类空间恢复了 M 的同伦类型，同时通过构造反例说明 tameness 假设的重要性，澄清了流形分类空间与同伦类型的关联。
2026-11-02 math.AT
Morse-Bott homology
通过构造一个Morse-Bott-Smale函数的链复形，给出Morse同调定理的一个新的证明.当Morse-Smale函数为Morse-Smale函数时，该链复形化为Morse-Smale-Witten链复形;当Morse-Smale函数为常数时，该链复形化为光滑奇异$N$ -立方体链的链复形.利用不定常梯度流线的紧化模空间证明了一个Floer型延拓定理，证明了链复形的同调与Morse-Bott-Smale函数无关.
2007-10-12 math.AT math.DS math.GT
Three approaches to Morse-Bott homology
本文综述了用Morse-Bott函数计算有限维紧致光滑闭流形同调的三种方法，并讨论了这三种方法之间的关系。第一种方法是将函数扰动为Morse函数，第二种方法是使用级联的模空间，第三种方法是使用Morse-Bott多重复形。对于一个显式扰动（它可以用来推导Morse-Bott不等式），前两种方法得到相同的链复形直到符号。第三种方法是根本不同的。它将奇异立方链和Morse链合并在同一个复形中，提供了一种奇异立方链复形和Morse-Smale-Witten链复形之间的插值方法.
2013-01-03 math.AT math.DS
Topology of the spaces of Morse functions on surfaces
设$M$是光滑的闭可定向曲面，并且设$F$是$M$上的Morse函数空间，使得$F$的每个函数的至少$χ(M)+1$临界点由不同的标签标记（枚举）。赋予空间$F$ $C^\infty$ -拓扑。证明了同伦等价$F\sim R\times{\widetilde{\cal M}}$，其中$R$是流形${\mathbb R}P^3$，$S^1\times S^1$和$χ(M)$的符号依赖点之一，${\widetilde{\cal M}}$是框架Morse函数的泛模空间，是光滑分层流形.得到了空间$F$中Betti数的Morse不等式.
2011-06-15 math.AT math.GT
Conley-Morse-Forman theory for generalized combinatorial multivector fields on finite topological spaces
该研究推广拓展了组合多向量场的Conley-Morse-Forman理论，去掉多向量唯一极大元假设，将场景从Lefschetz复形拓展到有限拓扑空间，定义了相关概念并证明了Conley指标可加性与Morse不等式。
2020-07-03 math.AT math.CO math.DS
Homotopic distance and generalized motion planning
本文证明了定义在流形上的两个映射之间的同伦距离在任意Morse-Bott函数的临界子流形上的子空间距离之和上有界。这推广了Lusternik-Schnirelmann定理（对于Morse函数），以及Farber对于拓扑复杂性的类似结果。类似地，我们证明了，对于解析流形，同伦距离是有界的任何子流形上的子空间距离和它的割迹。作为一个应用程序，我们展示了如何导航功能可以用来解决广义运动规划问题。
2021-05-27 math.AT
Special framed Morse functions on surfaces
设$M$是光滑闭可定向曲面。设$F$是$M$上的Morse函数空间，$\mathbb{F}^1$是框架Morse函数空间，两者都具有$C^\infty$ -拓扑.定义了特殊框架Morse函数空间$\mathbb{F}^0$。证明了包含映射$\mathbb{F}^0\hookrightarrow\mathbb{F}^1$是同伦等价的.当$F$的每个函数的$χ(M)+1$临界点至少被标记时，证明了同伦等价$\mathbb{\widetilde K}\sim\widetilde{\cal M}$和$F\sim\mathbb{F}^0\sim{\mathscr D}^0\times\mathbb{\widetilde K}$，其中$\mathbb{\widetilde K}$是框架Morse函数的复形，$\widetilde{\cal M}\approx\mathbb{F}^1/{\mathscr D}^0$是框架Morse函数的泛模空间，${\mathscr D}^0$是$M$同伦于恒等式的自同构群.
2011-06-15 math.AT math.GT
Homology of moduli spaces of linkages in high-dimensional Euclidean space
本文研究了\R^d中闭连杆的模空间的拓扑结构，它依赖于长度向量\ell \in \R^n.特别地，我们使用等变Morse理论来获得关于这些空间的同调群的信息，这对于奇数d最有效。在d = 5的情况下，我们根据编码在长度向量中的组合信息来计算庞加莱多项式。
2013-01-02 math.AT math.GT
On cycles and merge trees
本研究提出含1维环信息的广义合并树概念，建立1维正则CW复形上离散Morse函数的等价关系，解决二者逆问题，并给出消去临界单纯形的最优离散Morse函数构造算法。
2025-01-13 math.AT math.CO
Multiparameter persistent homology via generalized Morse theory
定义了一类由拓扑空间上的单参数函数族所产生的多参数持久模，并证明了这类持久模是稳定的。我们表明，这种结构可以产生不可分解的持久性模块与任意大的维度。对于紧致流形上的光滑函数，我们应用协边理论和Cerf理论研究了由此得到的持久模.我们给出的例子中，我们得到一个完整的描述的持久性模块作为一个直和的不可分解的被加数，并提供相应的可视化。
2022-05-06 math.AT math.GT
Morse theory, graphs, and string topology
在这些讲义中，我们讨论了一个机构的工作，其中莫尔斯理论是用来构建各种同调和上同调运算。在经典的设置代数拓扑，这是通过构建一个模空间的图形流，使用同伦理论的方法来构建一个虚拟的基本类，并评估上同调类这个基本类。通过使用类似的结构的基础上“脂肪”或带状图，我们描述了如何构建弦拓扑操作的闭路空间的流形，使用莫尔斯理论技术。最后，我们讨论了如何将这些弦拓扑运算与余切丛中J -全纯曲线的计数联系起来。最后，我们推测的关系的绝对和相对Gromov-Witten理论的余切丛，和开闭弦拓扑的基础流形。
2004-11-11 math.AT math.GT math.SG
The Morse theory of Čech and Delaunay complexes
给定$\mathbb R^n$中的有限点集和半径参数，我们根据广义离散Morse理论研究了Čech，Delaunay-Čech，Delaunay（或Alpha）和Wrap复形.建立的Čech和Delaunay复合物作为子级集的广义离散Morse函数，我们证明了这四个复合物是简单同伦等价的一个序列的单纯崩溃，这是明确地描述了一个单一的离散梯度场。
2016-04-30 cs.CG math.AT math.GT
Floer Homology: From Generalized Morse-Smale Dynamical Systems to Forman's Combinatorial Vector Fields
本文通过计数闭轨道与孤立临界点间的流线，构造广义Morse-Smale系统的Floer型边缘算子，并推广到Forman组合向量场，从而直接恢复光滑与离散结构的$\mathbb{Z}_2$同调。
2024-12-09 cs.DM math.AT math.CO
The space of framed functions is contractible
根据Kiyoshi Igusa的一个广义Morse函数在一个n维流形M是一个光滑函数只有Morse和生灭奇点和一个框架函数是一个广义Morse函数与一个额外的结构：一个框架的负特征空间在每个临界点的功能f。在他的论文“框架函数的空间”（美国数学学会，301（1987），431-477）Igusa证明了框架广义Morse函数空间是（n-1）-连通的。在论文“论分类拓扑域论“（arXiv：0905.0465）雅各布卢里给了一个代数拓扑证明，空间的框架功能是收缩。本文在我们的论文“光滑映射的褶皱- II”的精神下，给出了Igusa-Lurie定理的一个几何证明。嵌入的褶皱和K.Igusa定理”（拓扑学，39（2000），711-732。
2011-08-04 math.AT math.GT
Generalized Morse Theory of Distance Functions to Surfaces for Persistent Homology
本文将Morse理论推广至具有光滑边界的有界集欧氏距离函数，证明了一般嵌入下符号距离函数存在有限个非退化临界点，从而实现用持久同调严格量化复杂形状纹理，并在模拟与真实血管数据上验证了该方法。
2023-07-02 math.AT math.GN
Discrete Morse functions for graph configuration spaces
我们提出了一个替代的应用程序的离散莫尔斯理论的两粒子图配置空间。与以前基于离散Morse向量场的构造相反，我们的方法是通过Morse函数，该函数具有很好的物理解释，即从单体势构造的两体势。我们还简要介绍了离散Morse理论。我们的动机来自于网络上粒子的量子统计问题，对于网络，可以出现任意子统计的广义版本。
2012-09-02 math-ph math.AT math.MP
Revisiting the Cohen-Jones-Segal construction in Morse-Bott theory
该研究重探Morse-Bott理论中的Cohen-Jones-Segal构造，严格构造稳定法标架并验证其稳定同伦型，拓展了相容标架对应的Thom谱结果，还补充了模空间角结构、延拓映射构造及标架条件放宽等相关内容。
2025-01-13 math.AT math.GT math.SG
