The maximum crossing number of $C_3 \times C_3$
Michael Haythorpe, Alex Newcombe
我们确定$C_3 \times C_3$的最大交叉数为78，这关闭了以前最好的已知范围68和80之间。证明使用了几种技术，这可能是有用的，在确定其他图的最大交叉数。
We determine that the maximum crossing number of $C_3 \times C_3$ is 78, which closes the previously best known range of between 68 and 80. The proof uses several techniques which may be useful in determining the maximum crossing number of other graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A Note on the Maximum Rectilinear Crossing Number of Spiders
图$G$的最大直线交叉数是在平面上$G$的好的直线图中交叉的最大数目。在一个好的图形中，任何两条边最多相交于一个点（算上端点），没有三条边有一个公共的内点，并且边的内部不包含顶点。蜘蛛是$K_{1,k}$的一个亚类。我们提供了蜘蛛的最大直线交叉数的上界和下界。虽然关于无限图族的最大直线交叉数的结果不多，但我们的方法可以用来找到$K_{1,k}$的精确最大直线交叉数，其中每条边精确细分一次。这是计算任意树的最大直线交叉数的第一步。
Crossing-critical graphs with large maximum degree
Richter和Salazar关于对于固定交叉数$k$是临界的图的一个猜想是它们具有有界带宽。Richter的一个较弱的著名猜想是它们的最大度是根据$k$有界的。本文通过给出最大度为任意大的$k$ -交叉-临界图的例子，证明了对每一个$k\ge 171$的这些命题是不成立的。
The Maximum of the Maximum Rectilinear Crossing Numbers of d-regular Graphs of Order n
本文将已知的关于圈图（C_n）和完全图（K_n）的最大直交数的结果推广到一般d-正则图类R_{n,d}.给出了n阶d-正则图S_{n,d}的广义星图，其中n + d = 1mod 2，并证明了它们的最大直线交叉数最大化.引入了S_{n,d}的星形图n = d = 0 mod 2，我们猜想，这种图最大化最大的直线交叉数，太。我们提供了一个更简单的证明两个结果最初证明了毛茸茸和Kleitman作为部分结果在这个猜想的方向。
Lower bounds on the maximum number of non-crossing acyclic graphs
本文是对点集上几何图计数问题的一个贡献。更具体地说，我们研究非交叉生成树和森林的最大数量。我们证明了N个点的所谓双链点配置具有Omega（12.52^N）非交叉生成树和Omega（13.61^N）非交叉森林。这改进了Dumitrescu，Schulz，Sheffer和Tóth给出的一般位置上所有N点集之间的非交叉生成树和非交叉森林的最大数目的下界.我们的分析依赖于分析组合学的工具，这使我们能够计算某些家庭的森林在凸位置的点，并估计其平均数量的组件。本文还得到了双链非交叉生成树个数的一个新的O（22.12 ^N）的上界.
Maximum Rectilinear Crossing Number of Uniform Hypergraphs
本文研究均匀超图的直线交叉数，改进完全超图下界，确定四维完全超图最大交叉数并证明相关猜想，还证明一般情形NP-难并给出随机近似方案。
Coloring plane graphs with independent crossings
我们证明了每个最大面尺寸为4的平面图是循环5-可着色的，并且所有面尺寸为4的面都是顶点不相交的。这回答了艾伯森的一个问题，即在平面上画的所有交叉点都独立的图是否是5-可着色的。
The maximum size of adjacency-crossing graphs
本文证明了n顶点邻接交叉图的边数上界为5n-10，直线段绘制时为5n-11，且两界限均紧致，并提供了比相关独立工作更简单直接的证明。
A Bijection for Crossings and Nestings
对于一个子类的匹配，集分区，和排列，我们描述了一个直接双射只涉及弧注释图，不仅互换最大嵌套和交叉数，但也交叉和嵌套数的所有改进。此外，我们表明，双射不能适用于一个类似的类的彩色弧注释图。
Maximal 1-plane graphs with the maximum number of crossings
本文引入拟最优1-平面图的概念，证明了极大1-平面图达到最大交叉数当且仅当其为拟最优1-平面图，并展示了其在反驳相关交叉数上界中的应用。
The maximum number of digons formed by pairwise crossing pseudocircles
本研究将Grünbaum关于两两相交伪圆排列中二角形最大数量为2n−2的猜想，从柱面排列、几何圆情形推广至任意简单两两相交伪圆排列，给出了该猜想的完整证明，解决了悬置五十余年的公开问题。
On the Maximum Number of Crossings in Star-Simple Drawings of $K_n$ with No Empty Lens
图的星型简单图是相邻边不相交的图。相反，对两个独立边之间的交叉数没有限制。当允许空透镜时（由2-循环界定的两条边引起的排列中的面），两条独立的边可以在星形简单图中任意多次交叉。我们考虑没有空透镜的$K_n$的星型简单图。在这种情况下，我们证明了上界的$3((n-4)!)$的最大数目的交叉之间的任何一对边缘。因此，交叉的总数是有限的，并且上界为$n!$。
A slightly better bound on the crossing number in terms of the pair-crossing number
图$G$的交叉数${\mbox{cr}}(G)$是图的最小交叉数，对交叉数${\mbox{pcr}}(G)$是图$G$的所有图上交叉边对的最小数目。在本文中，我们表明，${\mbox{cr}}(G)=O({\mbox{pcr}}(G)^{3/2}\log{\mbox{pcr}}(G))$，这是一个改进的结果Matoušek，由一个对数因子。
Improvement on the crossing number of crossing-critical graphs
图$G$的交叉数是平面中所有$G$图上的最小边交叉数。一个图$G$是$k$ -交叉临界的，如果它的交叉数至少是$k$，但如果我们删除$G$的任何边，它的交叉数下降到$k$以下。有一些$k$交叉-临界图的示例，这些图不包含具有精确$k$交叉的图形。1993年，Richter和Richassen证明了如果$G$是$k$ -交叉临界的，那么它的交叉数至多是$2.5k+16$。我们改进了这个界限到$2k+6\sqrt{k}+44$。
The Orchard crossing number of an abstract graph
我们引入果园交叉数，这是以类似的方式定义的著名的直线交叉数。我们计算了一些简单图族的Orchard交叉数。我们还证明了这个交叉数的一些性质。此外，我们还定义了这个交叉数的一个变体，它与直线交叉数紧密相连，并对一些简单的图族计算了它。
The circular $k$-partite crossing number of $K_{m,n}$
定义了一类新的交叉数，它推广了二部交叉数和外平面交叉数。我们计算了许多完全二部图的交叉数的精确值，并给出了一个下界。
An algorithm for estimating the crossing number of dense graphs, and continuous analogs of the crossing and rectilinear crossing numbers
本文提出稠密图交叉数的确定性近似与随机画法构造算法，并引入 graphon 的交叉密度和直线交叉密度作为连续类比。
Triple crossing numbers of graphs
本文引入了图的三重交叉数，它是交叉数的一种变化，是图在所有图中只有三重交叉的最小交叉点数。对于可平面图，它被定义为零，除非一个图只允许有三重交叉，否则它是无限的。本文确定了包括所有完全图在内的所有完全多部图的三重交叉数。
Space crossing numbers
定义了图G到R ^3的嵌入的交叉数，并证明了它的一个下界，该下界几乎包含了经典的交叉引理。我们还给出了伪随机图的空间交叉数的精确界。
On the crossing number of K_13
由于K_{12}的交叉数现在已知为150，所以众所周知，简单计数参数和用于K_{2n+1}的交叉数的Kleitman奇偶定理与K_{13}的特定绘图相结合，以表明K_{13}的交叉数是{217，219，221，223，225}中的数之一。我们证明了交叉数不是217。
On the pseudolinear crossing number
如果存在伪线布置使得每条伪线仅包含图形的一条边，则图形的绘制是{ \em伪线性}。图$G$的{ \em伪线性交叉数}是图$G$的伪线性图中边的最小成对交叉数。我们建立了几个事实的伪线性交叉数，包括它的计算复杂性和它的关系，通常的交叉数和直线交叉数。这项调查的动机是开放的问题和问题所提出的马库斯谢弗在他的全面调查的许多变种的交叉数的一个图。
Generalizations of the Crossing Lemma
本文回顾了交叉数领域最重要的不等式Crossing Lemma的若干推广与应用。
On the Crossing Number of Complete Graphs with an Uncrossed Hamiltonian Cycle
本文证明了一个完全图的交叉数的新的下界，假设它是以这样一种方式画的，它包含一个哈密顿圈没有交叉。
Minor crossing number is additive over arbitrary cuts
本文证明了：如果$G$是一个最小边割$F$为3的图，且$G_1$，$G_2$是$G-F$的两个（增广）分支，则$G$的交叉数等于$G_1$和$G_2$的交叉数之和.结合已知结果，这意味着对于$d\in\{0, 1, 2, 3\}$，交叉数在$d$大小的边割上是可加的，而对于每个$d\ge 4$都有反例.该技术推广到表明，次要的交叉数是可加的任意大小的边割，以及提供边界的交叉数可加性在任意表面。指出了交叉数的精确计算和交叉临界图的几个应用，并给出了任意图与树的笛卡儿积的次交叉数的一个非常一般的下界.
The Minor Crossing Number of Graphs with an Excluded Minor
图$G$的“次交叉数”是包含$G$作为次交叉的图的最小交叉数。证明了对每个图$H$，都存在一个常数$c$，使得不含$H$ -子图的图$G$最多有$c|V(G)|$的子交叉数.
Crossing lemma for the odd-crossing number
一个图是$1$ -平面的，如果它可以画在平面上，使得在每条边上最多有一个交叉。已知$1$ -可平面图至多有$4n-8$边.我们证明了下面的奇偶推广。如果一个图可以画在平面上，使得每一条边都最多与另一条边相交{ \em奇数次}，那么它被称为1-奇平面的，并且它最多有$5n-9$条边。因此，如果邻边交叉偶数次，我们改进了交叉引理中的常数。我们还给出了$k$ -奇-可平面图的边数的上界。
On the Crossing Number of the Cartesian Product of a Sunlet Graph and a Star Graph
确切的交叉数只为少数几个图族所知。许多已确定交叉数的族对应于两个图的笛卡儿积。本文首次考虑了Sunlet图（记为$\mathcal{S}_n$）与Star图（记为$K_{1,m}$）的笛卡儿积。证明了$\mathcal{S}_n \Box K_{1,2}$的交叉数为$n$，$\mathcal{S}_n \Box K_{1,3}$的交叉数为$3n$ .给出了$\mathcal{S}_n \Box K_{1,m}$交叉数的一个上界.
On the Simple Quasi Crossing Number of $K_{11}$
证明了$K_{11}$的简单拟交叉数为$4$ .
Expected Crossing Numbers
研究了随机赋权图的赋权交叉数的期望值。证明了期望交叉引理的一个变形。我们专注于边权重是均匀分布在[0，1]上的独立随机变量的情况。
The crossing number of cubes with small order
图$G$的{ \it交叉数}是图$G$中边的最小成对交叉数。本文给出了阶数不超过4的超立方体的几种变形的交叉数的精确值，包括交叉立方体、局部扭曲立方体和莫比乌斯立方体。
On the decay of crossing numbers of sparse graphs
Richter和Richassen证明了每个图都有一条边$e$使得$G-e$的交叉数$\ucr(G-e)$至少为$(2/5)\ucr(G) - O(1)$ .福克斯和C Tóth证明了稠密图有很大的边集（与边的总数成比例），去掉这些边后，图的交叉数与原图的交叉数成比例;这个结果后来被Čern，Kynčl和G.托特这些结果使我们对稠密图中交叉数{衰变}的理解基本上完整。在本文中，我们证明了一个类似的结果，大型稀疏图中的边缘数是不是人为膨胀的操作，如边缘细分。我们还讨论了交叉数和预期交叉数的衰减之间的联系，最近推出的概念Mohar和Tamon。
Graphs with at most one crossing
图$G$的交叉数是在$G$的所有可能图上的最小交叉数。本文给出了交叉数为1的图的一个结构刻画。
A new bound for the crossing number of wrapped butterflies
我们修正了[13]中关于包裹蝴蝶的交叉数的界中的一个错误。新的边界比先前提供的边界更精细。
On the outerplanar crossing numbers of complete multipartite graphs
本文计算了完全多部图的外平面交叉数，其中完全多部图的$n$部集的顶点为$m$，一部集的顶点为$p$，其中$p|mn$或$mn|p$ .
Combinatorial of restricted permutations according to the number of crossings
在这篇论文中，我们介绍并进行了一个组合研究的排列，避免一个或两个模式的长度为3的统计数量的交叉。为了这个目的，我们操纵Elizalde和Pak的双射，并构造了其他双射，以保持交叉的数量。作为结果，我们发现，在这些双射，各种关系的交叉数的分布上的限制排列，以及组合的解释方面的交叉数的排列与禁止模式的一些著名的三角形在文献中。
New Bounds on the Biplanar Crossing Number of Low-dimensional Hypercubes
本文给出了8维超立方体双平面交叉数的一个改进的上界。$k$ -图$cr_k(G)$的平面交叉数是当$G$的每条边必须在$k$不同平面之一时所需的交叉数。在Czabarka等人中表明，我们将$cr_2(Q_8) \leq 256$改进为$cr_2(Q_8) \leq 128$。我们的方法突出了对称图纸和$k$ -平面交叉数的研究之间的关系。最后，我们提出了几个关于这种关系的公开问题。
Domination and independence number of large $2$-crossing-critical graphs
在2016年描述了$2$ -交叉-临界图之后，它们最一般的子类，大$3$ -连通$2$ -交叉-临界图，引起了单独的关注。本文给出了它们的控制数和独立数的精确上界和下界。
Crossing numbers of complete tripartite and balanced complete multipartite graphs
图G的交叉数cr（G）是指图G的非退化平面图中交叉的最小数目。图G的直线交叉数cr '（G）是图G的直线非退化平面图（边为直线段）中交叉的最小数目。Zarankiewicz在1952年证明了cr '（K_{n_1,n_2}）\le Z（n_1，n_2）：= n_1/2*（n_1-1）/2*n_2/2*（n_2-1）/2.本文对完全三部图K_{n_1,n_2,n_3}定义了一个类似的界A（n_1，n_2，n_3），并证明了cr '（K_{n_1,n_2,n_3}）\le A（{n_1，n_2，n_3}）.当n足够大时，我们还证明了0.973 A（n，n，n）\le cr '（K_{n,n,n}）和0.666 A（n，n，n）\le cr（K_{n,n,n}），并通过使用旗代数建立了更紧的直线下界.一个完全多部图是平衡的，如果所有的部集具有相同的基数。研究了平衡完全r-部图的交叉数的渐近性质。Richter和Killassen在1997年证明了cr（K_{n,n}）的n \to \infty的极限在K_{n,n}图的最大交叉数上存在，并且最多为1/4。定义z（r）=3（r^2-r）/8（r^2+r-3），证明了对于一个固定的r和平衡的完全r-部图，z（r）是图中交叉数除以最大交叉数的上界的一个上界.
The crossing number of folded hypercubes
图$G$的{ \it交叉数}是图$G$中边的最小成对交叉数。{ \it $n$ -维折叠超立方体} $FQ_n$是由$n$ -维超立方体通过添加所有互补边而获得的图。本文给出了$FQ_n$交叉数的上、下界.
The crossing number of locally twisted cubes
图$G$的{ \it交叉数}是图$G$中边的最小成对交叉数。受最近工作的启发[Faria，L.，Figueiredo，C.M.H. de，Sykora，O.，弗尔托岛：超立方体交叉数的一个改进的上界。J.图论{ \bf 59}，145- 161（2008）]解决了Erdens和Guy提出的关于$n$维超立方体交叉数的上界猜想，给出了超立方体的一种变体--局部扭曲立方体交叉数的上界和下界.
Proof of Lemma 6.3 in ``The crossing number of $K_{4,n}$ on the torus and the Klein bottle"
我们发现“环面上$K_{4,n}$与克莱因瓶的交叉数“一文中的引理6.3是错误的。
Tanglegrams with a Unique 1-Crossing-Critical Subtanglegram have Tangle Crossing Number 1
本文证明恰好包含一个交叉诱导子纠缠图的纠缠图其纠缠交叉数必为1，并探讨包含k个此类子纠缠图时交叉数是否有界。
The complexity of computing the cylindrical and the $t$-circle crossing number of a graph
一个图的平面图是{ \em柱面}，如果存在两个包含图的所有顶点的同心圆，并且没有边与任何这些圆相交（除了在其端点处）。图形\(G\)的{ \em圆柱交叉数}是\(G\)圆柱图形中的最小交叉数。在他有影响力的调查的变种的定义交叉数的一个图，谢弗列出的复杂性计算的圆柱交叉数的一个图作为一个开放的问题。在本文中，我们解决了这个问题，表明这个问题是NP完全的。此外，我们还证明了圆柱交叉数的自然推广，即\(t\) -{ \em圆交叉数}的类似结果。
Crossing numbers of periodic graphs
一个图是周期性的，如果它可以通过以循环的方式连接相同的部分来获得。证明了周期图的极限交叉数是可计算的。这回答了Benny Pinontoan和Bruce Richter（2004）的一个问题。
New upper bounds for the crossing numbers of crossing-critical graphs
一个图$G$是{ $k$ -crossing-critical}，如果$cr(G)\ge k$，但$cr(G\setminus e)<k$对于每个边$e\in E(G)$，其中$cr(G)$是$G$的交叉数。已知对于任何$k$ -交叉-临界图$G$，$cr(G)\le 2.5k+16$成立，特别地，如果$δ(G)\ge 4$，则$cr(G)\le 2k+35$成立，其中$δ(G)$是$G$的最小度.在本文中，我们将这些上界分别改进为$2.5k +2.5$和$2k+8$。特别地，对于任何具有$n$顶点的$k$ -交叉-临界图$G$，如果$δ(G)\ge 5$，则$cr(G)\le 2k-\sqrt k/2n+35/6$成立.
On a conjecture of Pach-Spencer-Tóth for graph crossing numbers
本文证实了Pach-Spencer-Tóth关于满足单调性质的图交叉数最优下界的25年猜想，并解决了Pach和Tóth在2000年提出的关于交叉数、度序列与二分宽度相互作用的公开问题。
The Crossing Number of Circulant Graph C(3k+1;{1,k}) on the Projective Plane
本文证明了循环图$C(3k+1;\{1,k\})$在射影平面上的交叉数是$k$ for $k \geq 3$ .
There are no Cubic Graphs on 26 Vertices with Crossing Number 10 or 11
我们证明了26阶三次图的交叉数不大于9，从而证明了Ed Pegg Jr和Geoffrey Exoo关于交叉数为11的最小三次图有28个顶点的猜想.这个结果是通过首先消除所有围长为3的图来实现的，然后使用最近开发的QuickCross启发式算法来找到每个剩余图的良好嵌入。在发现的嵌入有10个或更多的交叉的情况下，启发式重新运行与不同的参数设置，直到嵌入少于10个crosssses是found.We提供了一个最小的例子，一个三次图的28个顶点的交叉数为10，也首次展示了一个三次图的30个顶点的交叉数为12，我们猜想是最小的。
Planar Decompositions and the Crossing Number of Graphs with an Excluded Minor
图的树分解在结构和算法图论中具有重要意义。平面分解通过允许任意可平面图对分解进行索引来推广树分解。我们证明了，每一个图，排除一个固定的图作为一个小有界的宽度和线性袋数的平面分解。图的交叉数是指在平面上画出的图的最小交叉数。我们证明了平面分解是密切相关的交叉数。特别地，有界度图具有线性交叉数当且仅当它具有有界宽度的平面分解和线性袋数。由上面关于平面分解的结果可以得出：每个度有界且有一个排除子图的图都有线性交叉数。对于凸交叉数和直线交叉数也证明了类似的结果。特别地，每个度有界且树宽有界的图都有线性凸交叉数，每个度有界的$K_{3,3}$ -minor自由图都有线性直线交叉数。
The k-planar crossing number of random graphs and random regular graphs
本文给出了Spencer关于Erdos-Renyi随机图$G(n,p)$的双平面交叉数的结果的一个显式推广。特别地，我们证明了$G(n,p)$的k-平面交叉数几乎必然是$Ω((n^2p)^2)$ .沿着同样的思路，我们证明了，对于任何固定的$k$，$k$ -平面交叉数的各种模型的随机$d$ -正则图是$Ω((dn)^2)$为$d > c_0$的某些常数$c_0=c_0(k)$。
Infinite families of crossing-critical graphs with prescribed average degree and crossing number
Siran构造了无限族的k-交叉-临界图的每一个k=>3和Kochol构造了这样的家庭的单图的每一个k=>2。Richter和Richassen认为，对于任意给定的k>=1和r>=6，只有1000个简单的k-交叉-临界图具有最小度r。Salazar观察到，同样的论证意味着对于规定的平均度r>6的简单k-交叉-临界图也有这样的结论。他建立了存在的无限家庭的简单k-交叉-临界图与任何规定的合理平均度r在[4，6]无限多k，并要求他们的存在r在（3，4）。这个问题是部分解决了Pinontoan和里希特，谁回答了它积极的r（7/2，4）。目前的贡献使用两个新的建设交叉临界单图随着一个开发的Pinontoan和里希特统一这些结果，并回答萨拉查的问题，由以下声明：对于（3，6）中的每一个有理数r，存在一个整数N_r，使得对于任意k>N_r，存在无限族平均度为r、交叉数为k的简单3连通交叉-临界图。此外，在（3，6）中，对于任何闭区间I中的有理数，k的一个普遍下界也适用。
On the Rectilinear Crossing Number of Complete Uniform Hypergraphs
本文考虑平面上画完全图的直线交叉数问题的一个推广形式。$d$ -一致超图的$d$ -维直线图中超边交叉对的最小数目称为超图的$d$ -维直线交叉数.对于$d$ -一致超图，其$n$-维直交数的下界是$\mathbb{R}^d$.在本文中，我们将这个下界改进为$Ω(2^d) {n \choose 2d}$。我们还考虑了$d$ -一致超图的所有顶点都位于$d$ -维矩曲线上的特殊情况。对于这类顶点为$n$的完全$d$ -一致超图，我们证明了两两交叉超边的个数为$Θ(\frac{4^d}{\sqrt{d}}) {n \choose 2d}$。
On the Crossing Numbers of Cartesian Products of Small Graphs with Paths, Cycles and Stars
有大量的研究致力于计算图族的交叉数，这些图族是由具有任意大的路径、圈和星的小图的笛卡儿积产生的。对于具有四个或更少顶点的图，这些都已经计算过了，但是对于具有五个或更多顶点的图，仍然存在各种差距。我们通过确定15个这样的家庭的交叉数为这一领域做出了贡献。
On the crossing number of some complete multipartite graphs
本文给出了完全多部图$K_{1,1,1,1,n}$，$K_{1,2,2,n}$，$K_{1,1,1,2,n}$和$K_{1,4,n}$的交叉数.
A survey of graphs with known or bounded crossing numbers
我们提出，尽作者所知，所有已知的结果（平面）交叉数的特定的图形和图形的家庭。结果分为不同的类别，具体而言，一般的图形家庭的结果，从各种图形产品所产生的图形的结果，以及递归图形的建设结果。
A crossing lemma for multigraphs
设$G$是图的一个图，它有$n$顶点和$e>4n$边，其中没有两条邻边相交，且任何一对独立边至多相交一次.根据Ajtai、Chvátal、Newborn、Szemerédi和Leighton的著名交叉引理，对于合适的常数$c>0$，$G$中的交叉数至少为$c{e^3\over n^2}$。在一篇开创性的论文中，Székely将这个结果推广到多重图，建立了下界$c{e^3\over mn^2}$，其中$m$表示$G$中边的最大重数。我们摆脱的依赖$m$表明，在原来的交叉引理，交叉的数量至少是$c'{e^3\over n^2}$的一些$c'>0$，提供的“透镜”包围的每对平行边在$G$包含至少一个顶点。这解决了考夫曼的一个猜想。
Note on k-planar crossing numbers
图$G=(V,E)$的交叉数$cr(G)$是平面中$G$的所有图上的最小边交叉数。对于任何$k\ge 1$，$G$的$k$ -平面交叉数$cr_k(G)$定义为所有具有$\cup_{i=0}^{k-1}G_i=G$的图$G_0, G_1,\ldots, G_{k-1}$上的$cr(G_0)+cr(G_1)+\ldots+cr(G_{k-1})$的最小值。证明了对于每个$k\ge 1$，我们有$cr_k(G)\le \left(\frac{2}{k^2}-\frac1{k^3}\right)cr(G)$。如果我们将常数$\frac{2}{k^2}-\frac1{k^3}$替换为任何小于$\frac1{k^2}$的数，则该界限不保持为真。一些结果扩展到$k$ -平面交叉数的直线变体。
On k-crossings and k-nestings of permutations
我们引入了置换的k-交叉和k-嵌套。我们证明了置换的交叉数和嵌套数具有对称的联合分布。作为推论，k-非交叉置换的数目等于k-非嵌套置换的数目。对于k的某些值，我们也给出了k-非交叉置换的一些计数结果。
A linear upper bound on the rectilinear crossing number
证明了树宽有界、度有界的图的直交数与顶点数成线性关系。* 本文作者已撤回。* 结果已经被作者与Jan Arne Telle的论文超级种子：“Planar decompositions and the crossing number of graphs with an excluded minor”，http://arxiv.org/math/0604467。
The crossing number of the cone of a graph
受Richter提出的一个问题和Harary-Hill猜想的启发，我们研究了图$G$的交叉数与其锥$CG$的交叉数之间的关系.简单的例子表明，对于任何固定的$k=cr(G)$，差值$cr(CG)-cr(G)$可以任意大。在这项工作中，我们感兴趣的是找到最小的可能的差异，即，对于每个非负整数$k$，找到最小的$f(k)$，对于该最小的$f(k)$，存在交叉数至少为$k$的图和交叉数为$f(k)$的锥。对于小值的$k$，我们给出了精确值的$f(k)$的问题时，仅限于单图，并显示$f(k)=k+Θ(\sqrt {k})$时，重边是允许的。
An extremal problem on crossing vectors
对于正整数$w$和$k$，如果存在两个坐标$i$和$j$使得$A[i]-B[i]\geq k$和$B[j]-A[j]\geq k$，则来自$\mathbb{Z}^w$的两个向量$A$和$B$称为$k$交叉。在$\mathbb{Z}^w$中，两两$1$交叉和两两非$k$交叉的载体家族的最大大小是多少？我们提出一个猜想，即答案是$k^{w-1}$。证明了对$w\leq 3$的猜想，并给出了对$w\geq 4$较弱的上界.此外，对于所有的$k$和$w$，我们构建了几个非常不同的例子所需的大小$k^{w-1}$的家庭。本研究的动机是一个自然的问题，关于一个偏序集的最大反链格的宽度。
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