Point sets that minimize $(\le k)$-edges, 3-decomposable drawings, and the rectilinear crossing number of $K_{30}$
所有已知的$K_n$的交叉最小化几何图形共有两个属性，对于$n$是3的倍数。首先，对于所有$0\le k < n/3$，这些绘图的基础$n$ -点集具有精确的$3\binom{k+2}{2}$ $(\le k)$ -边.第二，所有这样的绘图都将$n$点划分为三个大小相等的组;最后一个属性在3-可分解性的概念下捕获。在本文中，我们证明了这些性质是紧密相关的：每一个$n$ -点集正好$3\binom{k+2}{2}$ $(\le k)$ -边的所有$0\le k < n/3$，是3-可分解的。作为应用，我们证明了$K_{30}$的直线交叉数为9726。
2011-03-29 math.CO
New lower bounds for the number of $(\leq k)$-edges and the rectilinear crossing number of $K_n$
本文给出了平面上$n$点集在一般位置上的$(\leq k)$ -边数的一个新的下界。我们证明了对于$0 \leq k \leq\lfloor\frac{n-2}{2}\rfloor$，$(\leq k)$ -边的个数至少为$$ E_k(S) \geq 3\binom{k+2}{2} + \sum_{j=\lfloor\frac{n}{3}\rfloor}^k (3j-n+3), $$，这对于$k\geq \lfloor\tfrac{n}{3}\rfloor$，改进了[J. Balogh，G. Salazar，（$\leq k$）-集，凸四边形和$K_n$的直线交叉数的改进界限。作为一个主要的结果，我们得到了一个新的下界的直线交叉数的完全图，或换句话说，在平面上的PDMATHAMN点在一般位置确定的凸四边形的最小数目。我们证明了交叉数至少是$$ \Bigl({41/108}+ε\Bigr) \binom{n}{4} + O(n^3) \geq 0.379631 \binom{n}{4} + O(n^3), $$，这改进了[J. Balogh，G. Salazar，Improved bounds for the number of（$\leq k$）-sets，convex quadrature，and the rectangular crossing number of $0.380…
2006-10-25 math.CO
An Ongoing Project to Improve the Rectilinear and the Pseudolinear Crossing Constants
平面上的图形是{ \it pseudolinear}，如果图形的边可以扩展为形成伪线排列的双无限曲线，即任何一对边恰好交叉一次。特殊情况是{ \it rectangular}图形，其中图形的边绘制为直线段。图的直线（伪线性）交叉数是图的任何直线（伪线性）图中交叉的边对的最小数目。在本文中，我们描述了一个正在进行的项目，不断获得更好的渐近上界的直线和伪线性交叉数的完全图$K_n$。
2020-07-15 cs.CG math.CO
The rectilinear local crossing number of $K_n$
本研究确定了完全图$K_n$的直线局部交叉数的通用计算公式，并给出了$n=8$和$n=14$两种特殊情况的具体数值，完善了该图论参数的取值结论。
2024-05-17 math.CO
The Orchard crossing number of an abstract graph
我们引入果园交叉数，这是以类似的方式定义的著名的直线交叉数。我们计算了一些简单图族的Orchard交叉数。我们还证明了这个交叉数的一些性质。此外，我们还定义了这个交叉数的一个变体，它与直线交叉数紧密相连，并对一些简单的图族计算了它。
2009-04-23 math.CO
The Rectilinear Crossing Number of K_10 is 62
在平面上画一个图G称为G的直线图，如果要求边是线段（与Jordan曲线相反）。我们假设没有三个顶点是共线的。G的直线交叉数是在G的所有直线图上可达到的最少边交叉数。Richard Guy给出了n阶完全图K_n的直交数的精确值，其中n = 3，…，9，已知（Guy 1972，White and Beinke 1978，Finch 2000，Sloanes A014540）。自1971年以来，由于David Singer（1971，Gardiner 1986）的工作，K_10的直线交叉数已知为61或62，这是一个看似无辜和诱人的陈述。辛格的结果经受住了时间的考验，这一事实证明了确定正确值的困难。本文用纯组合的方法证明了K_10的直线交叉数为62。此外，利用这个结果，我们改进了一个相关问题的渐近下界。最后，我们结束了一些新的和旧的开放的问题，挑起的，部分，本文的结果，并通过复杂的历史问题本身。
2000-09-22 cs.DM math.CO
Toward the Rectilinear Crossing Number of $K_n$: New Drawings, Upper Bounds, and Asymptotics
Scheinerman和Wilf（1994）指出：“确定完全图K_n的直交数是图嵌入研究中的一个重要公开问题。“K_n的直线图是平面上n个顶点的排列，每对顶点都由一条线段边连接。我们假设没有三个顶点是共线的，并且没有三条边相交于一个点，除非该点是所有三条边的端点。K_n的直线交叉数是在K_n的所有直线图上可达到的最少边交叉数。对于每个n，我们构造一个直线图K_n，具有最少的边交叉和最好的渐近已知的日期。此外，我们还给出了K_n的几种具有良好渐近性的可供选择的无穷图族.最后，我们提到了一些新老问题。
2000-09-28 cs.CG cs.DM math.CO
Rectilinear crossing number of the double circular complete bipartite graph
本文研究完全二部图在双同心圆布局下的直线交叉数，提出交叉数计算的组合公式，证明相关命题，并通过几何优化求解最优半径比及交叉数变化的渐近界限。
2023-10-24 math.CO math.OC
On the crossing profile of rectilinear drawings of $K_n$
本文引入图的交叉轮廓，研究完全图 $K_n$ 直线图画中各交叉次数边数的序列，并刻画其前 $k$ 项之和极值的渐近行为。
2025-01-09 math.CO
Rectilinear Crossings in Complete Balanced d-Partite d-Uniform Hypergraphs
本文研究了完全平衡$d$ -部$d$ -一致超图的嵌入问题，其中所有$nd$顶点表示为$\mathbb{R}^d$中一般位置上的点，每个超边表示为$d$相应顶点的凸包.我们假设顶点集被划分为$d$不相交的集合，每个集合的大小为$n$，使得超边中的每个顶点来自不同的集合。如果两个超边顶点不相交，并且在它们的相对内部包含一个公共点，则称它们相交。利用广义色Tverberg定理，我们观察到，对于足够大的$n$和$d$，具有$nd$顶点的完全平衡$d$ -部$d$ -一致超图的这种嵌入包含$Ω\left((8/3)^{d/2}\right){\left({n/2}\right)^d{\left((n-1)/2\right)}^d}$交叉超边对.利用Gale变换和Ham-Sandwich定理，我们对足够大的$n$和$d$将这个下界改进为$ Ω\left(2^{d}\right){\left({n/2}\right)^d{\left((n-1)/2\right)}^d}$.
2019-11-11 math.CO
Computational search of small point sets with small rectilinear crossing number
设$\crs(K_n)$是平面上$n$顶点上完全图的所有直线图上的最小交叉数。在本文中，我们证明了$\crs(K_n) < 0.380473\binom{n}{4}+Θ(n^3)$，从而改善了以前最好的已知上界。这是通过对于小的$n$值获得新的$K_n$的直线图，然后使用已知的构造从较小的图获得任意大的良好图来完成的。“小”集是使用本文中详细介绍的简单启发式方法找到的。
2014-03-05 cs.CG cs.DM math.CO
Rectilinear Crossing Number of Graphs Excluding Single-Crossing Graphs as Minors
本文证明了排除单交叉图作为子式的图具有最优的 $O(Δn)$ 直线交叉数界，统一并改进了有界树宽图等情形的已有结果。
2024-02-23 cs.CG math.CO
On the rectilinear crossing number of complete balanced multipartite graphs and layered graphs
本文研究完全平衡 r 部图 K_n^r 与相邻层全连接的分层图 L_n^r，通过构造直线画法给出二者直线交叉数的上界。
2025-01-09 cs.CG math.CO
On the 2-colored crossing number
设$D$是一个图的直线图。$D$的直线2-色交叉数是在$D$的边的所有可能的2-着色中，相同颜色的边之间的最小交叉数。首先，我们给出了完全图$K_n$的直线2-色交叉数的上下界。为了得到这个结果，我们证明了渐近界可以从最佳和近最佳的情况下，很少的顶点。我们获得这样的实例使用的组合的数学和整数规划。其次，对于$K_n$的任意固定图，我们改进了其直线2-色交叉数与直线交叉数之比的界。
2019-09-11 cs.CG math.CO
Approximating the rectilinear crossing number
图的直线图$G$是一种映射，它为平面中的每个顶点指定一个点，并为每个边指定一条连接相应两点的直线段。图$G$的直线交叉数，$\overline{cr}(G)$，是在$G$的任何直线图中交叉边的最小数目。确定或估计$\overline{cr}(G)$似乎是一个困难的问题，并决定$\overline{cr}(G)\leq k$是否已知是NP难的。事实上，$\overline{cr}(K_n)$的渐近行为仍然是未知的。在本文中，我们提出了一个确定性的$n^{2+o(1)}$ -时间算法，找到一个直线绘制的任何$n$ -顶点图$G$与$\overline{cr}(G) + o(n^4)$交叉边。结合Ajtai等人和Leighton的交叉引理，这个结果意味着对于任何稠密$n$ -顶点图$G$，可以有效地找到具有$(1 + o(1))\overline{cr}(G)$交叉边的$G$的直线图。
2016-09-07 cs.CG math.CO
On 3-decomposable geometric drawings of $K_n$
所有已知的$K_n$的最佳直线图的点集共享一个明确无误的聚类属性，即所谓的{ \em 3-可分解性}。人们普遍认为$K_n$的所有最优直线图的基本点集都是3-可分解的。本文给出了3-可分解$n$ --点集的最小$(\le k)$--集个数的一个下界.作为直接推论，我们得到了$K_n$的任意直线图$\dd$与其基础3-可分解点集的交叉数$\rcr(\dd)$的一个下界，即$\rcr(\dd) > {2/27}(15-π^{2})\binom{n}{4}+Θ(n^{3}) \approx 0.380029\binom{n}{4} + Θ(n^3)$ .在3-可分解性的假设下，这将$K_n$的直线交叉数$\rcr(K_n)$的最佳已知下限和上限之间的差距缩小了40%以上。
2007-12-27 math.CO
A Note on the 2-Colored Rectilinear Crossing Number of Random Point Sets in the Unit Square
本文研究单位正方形中随机四点集的边着色交叉问题，证明同色交叉边概率为1/4，并给出随机绘制下使单色交叉数期望降至交叉总数1/2-7/50的着色方案。
2023-12-04 cs.CG math.CO
Crossing numbers of complete tripartite and balanced complete multipartite graphs
图G的交叉数cr（G）是指图G的非退化平面图中交叉的最小数目。图G的直线交叉数cr '（G）是图G的直线非退化平面图（边为直线段）中交叉的最小数目。Zarankiewicz在1952年证明了cr '（K_{n_1,n_2}）\le Z（n_1，n_2）：= n_1/2*（n_1-1）/2*n_2/2*（n_2-1）/2.本文对完全三部图K_{n_1,n_2,n_3}定义了一个类似的界A（n_1，n_2，n_3），并证明了cr '（K_{n_1,n_2,n_3}）\le A（{n_1，n_2，n_3}）.当n足够大时，我们还证明了0.973 A（n，n，n）\le cr '（K_{n,n,n}）和0.666 A（n，n，n）\le cr（K_{n,n,n}），并通过使用旗代数建立了更紧的直线下界.一个完全多部图是平衡的，如果所有的部集具有相同的基数。研究了平衡完全r-部图的交叉数的渐近性质。Richter和Killassen在1997年证明了cr（K_{n,n}）的n \to \infty的极限在K_{n,n}图的最大交叉数上存在，并且最多为1/4。定义z（r）=3（r^2-r）/8（r^2+r-3），证明了对于一个固定的r和平衡的完全r-部图，z（r）是图中交叉数除以最大交叉数的上界的一个上界.
2014-10-02 math.CO
The $2nd-$convex hull of every optimal rectilinear drawing of $K_{n}$ is a triangle
图$G$的直线图是最优的，如果它在$G$的所有直线图中具有最小的交叉数。本文证明了对于$n\geq 8$，完全图$K_n$的每一个最优直线图的第二个凸包都是三角形.
2016-06-15 math.CO math.MG
Planar Decompositions and the Crossing Number of Graphs with an Excluded Minor
图的树分解在结构和算法图论中具有重要意义。平面分解通过允许任意可平面图对分解进行索引来推广树分解。我们证明了，每一个图，排除一个固定的图作为一个小有界的宽度和线性袋数的平面分解。图的交叉数是指在平面上画出的图的最小交叉数。我们证明了平面分解是密切相关的交叉数。特别地，有界度图具有线性交叉数当且仅当它具有有界宽度的平面分解和线性袋数。由上面关于平面分解的结果可以得出：每个度有界且有一个排除子图的图都有线性交叉数。对于凸交叉数和直线交叉数也证明了类似的结果。特别地，每个度有界且树宽有界的图都有线性凸交叉数，每个度有界的$K_{3,3}$ -minor自由图都有线性直线交叉数。
2007-05-30 math.CO
On the Orchard crossing number of complete bipartite graphs
我们计算了完全二部图K_{n,n}的Orchard交叉数，它的定义方式与直线交叉数类似。
2010-08-16 cs.DM math.CO
Tight Upper Bounds on the Crossing Number in a Minor-Closed Class
图的交叉数是指在平面上画出的图的最小交叉数。我们的主要结果是：每个不包含固定图作为子图的图$G$都有交叉数$O(Δn)$，其中$G$有$n$顶点和最大度$Δ$ .这种对$n$和$Δ$的依赖性是最可能的。这个结果回答了Wood和Telle [New York J. Mathematics，2007]的一个公开问题，他们证明了$O(Δ^2 n)$的最佳前界。研究了凸交叉数和直交叉数，证明了有界路宽图的凸交叉数的$O(Δn)$界和无$K_{3,3}$ -minor图的直交叉数的$\sum_v°(v)^2$界.
2018-07-31 cs.CG math.CO
The 3-symmetric Pseudolinear Crossing Number of $K_{33}$
Facultad de Ciencias, Universidad Autónoma de San Luis Potosí（圣路易斯波托西自治大学理学院）；Unidad Académica de Matemáticas, Universidad Autónoma de Zacatecas（萨卡特卡斯自治大学数学学术单位）
研究证明$K_{33}$的3对称直角交叉数与3对称伪线性交叉数相等，均为14634。
2026-01-14 math.CO
On the pseudolinear crossing number
如果存在伪线布置使得每条伪线仅包含图形的一条边，则图形的绘制是{ \em伪线性}。图$G$的{ \em伪线性交叉数}是图$G$的伪线性图中边的最小成对交叉数。我们建立了几个事实的伪线性交叉数，包括它的计算复杂性和它的关系，通常的交叉数和直线交叉数。这项调查的动机是开放的问题和问题所提出的马库斯谢弗在他的全面调查的许多变种的交叉数的一个图。
2014-04-29 math.CO
Midrange crossing constants for graphs classes
对于正整数$n$和$e$，令$κ(n,e)$是所有具有$n$顶点和至少$e$边的图的最小交叉数（标准平面交叉数）。Pach，Spencer和Tóth [Discrete and Computational Geometry 24 623- 644，（2000）]证明了$κ(n,e) n^2/e^3$与$n\to \infty$和$n \ll e \ll n^2$一样趋向于一个正常数（称为中程穿越常数），从而证明了Erdens和Guy的一个猜想。在这篇文章中，我们扩展了他们的证明，证明了对于满足一定的图性质的图类，中值交叉常数是存在的。作为推论，我们证明了二部图族的中值交叉常数是存在的。所有这些结果对于直线交叉数都有类似的结果。
2018-11-20 math.CO
Crossing Numbers and Stress of Random Graphs
考虑$\mathbb{R}^d$中随机点过程上的随机几何图。当且仅当两点的距离由指定的距离参数限定时，两点通过边连接。我们表明，投影到一个二维的平面上的图形预计会产生一个常数因子交叉数（和直线交叉数）近似。我们还表明，交叉数呈正相关的图形的投影的应力。
2020-08-25 cs.DM math.CO
Note on k-planar crossing numbers
图$G=(V,E)$的交叉数$cr(G)$是平面中$G$的所有图上的最小边交叉数。对于任何$k\ge 1$，$G$的$k$ -平面交叉数$cr_k(G)$定义为所有具有$\cup_{i=0}^{k-1}G_i=G$的图$G_0, G_1,\ldots, G_{k-1}$上的$cr(G_0)+cr(G_1)+\ldots+cr(G_{k-1})$的最小值。证明了对于每个$k\ge 1$，我们有$cr_k(G)\le \left(\frac{2}{k^2}-\frac1{k^3}\right)cr(G)$。如果我们将常数$\frac{2}{k^2}-\frac1{k^3}$替换为任何小于$\frac1{k^2}$的数，则该界限不保持为真。一些结果扩展到$k$ -平面交叉数的直线变体。
2016-11-17 math.CO
Faces in rectilinear drawings of complete graphs
研究了完全图 $K_n$ 凸直线绘制中面的极值问题，证明了无三条边共内点的绘制必含凸五边形面，并刻画了正则绘制含凸五边形面的正整数 $n$。
2025-06-30 cs.DM math.CO
Curious crossing-critical edges
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
本文探讨了交叉临界边的特性，提出了三个不同例子，展示边在最优画法中可能被交叉或不被交叉，但不在Kuratowski子图中，挑战传统理解。
2026-08-27 math.CO
Using Block Designs in Crossing Number Bounds
图$G=(V,E)$的交叉数${\mbox {cr}}(G)$是平面上$G$的所有图上的最小边交叉数。对于任何$k\ge 1$，$G$的$k$ -平面交叉数${\mbox {cr}}_k(G)$定义为所有具有$\cup_{i=1}^{k}G_i=G$的图$G_1, G_2,\ldots, G_{k}$上的${\mbox {cr}}(G_1)+{\mbox {cr}}(G_2)+\ldots+{\mbox {cr}}(G_{k})$的最小值。Pach等人[ \emph{Computational Geometry: Theory and Applications} { \bf 68} 2- 6，（2018）]表明，对于每个$k\ge 1$，我们都有${\mbox {cr}}_k(G)\le \left(\frac{2}{k^2}-\frac1{k^3}\right){\mbox {cr}}(G)$，并且如果我们用任何小于$\frac1{k^2}$的数字替换常数$\frac{2}{k^2}-\frac1{k^3}$，则该界限不保持为真。我们改进了$\frac{1}{k^2}(1+o(1))$的上界为$k\rightarrow \infty$。对于二部图类，我们证明了最好的常数正是$\frac{1}{k^2}$的每一个$k$。结果扩展到$k$ -平面交叉数的直线变体。
2018-07-10 math.CO
Crossing numbers of simplicial complexes
Université Gustave Eiffel（古斯塔夫·埃菲尔大学）；CNRS, LIGM（法国国家科学研究中心，信息学与机器学习实验室）；Univ Paris Est Creteil, CNRS, LAMA UMR8050（巴黎东克雷泰伊大学，法国国家科学研究中心，LAMA联合研究实验室）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文研究d维单纯复形在2d维欧氏空间或球面的交叉数，将图论的交叉引理、广义哈拉里-希尔猜想等结果与猜想推广到高维，还给出图论情形下哈拉里-希尔猜想的简单证明并提高了埃尔德什-雷尼随机图的交叉数表现阈值。
2026-10-16 math.CO math.PR
A new infinite family of 4-regular crossing-critical graphs
该研究在已有交叉数为3的4-正则交叉临界图无限族的基础上，提出了一类新的4-正则交叉临界图无限族，丰富了交叉临界图的相关构造成果。
2024-04-15 math.CO
The k-planar crossing number of random graphs and random regular graphs
本文给出了Spencer关于Erdos-Renyi随机图$G(n,p)$的双平面交叉数的结果的一个显式推广。特别地，我们证明了$G(n,p)$的k-平面交叉数几乎必然是$Ω((n^2p)^2)$ .沿着同样的思路，我们证明了，对于任何固定的$k$，$k$ -平面交叉数的各种模型的随机$d$ -正则图是$Ω((dn)^2)$为$d > c_0$的某些常数$c_0=c_0(k)$。
2017-09-24 math.CO
3--symmetric and 3--decomposable drawings of $K_n$ (extended version)
即使是对$K_n$的绝大多数交叉最小几何图形的最肤浅的一瞥，也会揭示出两个难以忽视的特征。首先，所有这样的图看起来都是3重对称的（或简单地{ \em 3对称}）。第二，它们都是{ \em 3-可分解的}，也就是说，存在包围绘图的三角形$T$，以及底层点集$P$的平衡划分$A, B, C$，使得$P$到$T$的侧上的正交投影在一侧上显示$B$和$C$之间的$A$，在另一侧上显示$A$和$C$之间的$B$，以及位于第三侧的$A$和$B$之间的$C$。事实上，我们推测所有的最佳图纸是3-可分解的，并有3-对称的最佳结构，所有$n$倍数为3。本文证明了$K_n$的任意3-可分解几何图至少有$0.380029\binom{n}{4}+Θ(n^3)$交叉。另一方面，我们产生3-对称和3-可分解的图纸，提高了{ \em一般}上界的直线交叉数的$K_n$ $0.380488\binom{n}{4}+Θ(n^3)$。我们还给出了明确的3-对称和3-可分解的结构$n<100$，至少是那些以前已知的。
2008-05-08 math.CO
Extending Drawings of Graphs to Arrangements of Pseudolines
伪线是平面中实直线的同胚像，使得其补线是不连通的。伪线的排列是一组伪线，其中每两个交叉正好一次。一个图的画是伪线性的，如果边可以扩展到伪线的排列。在最近的交叉数研究中，伪线性图发挥了重要作用，因为它们是直线图的自然组合扩展。最近发现了$K_n$的伪线性图的一个特征。我们扩展到所有的图形，通过描述伪线性图纸的最小禁止子图纸的集合。我们的特征还导致了一个多项式时间算法，以识别伪线性图纸和构造的伪线时，它是可能的。
2018-04-25 math.CO
On polynomials associated to Voronoi diagrams of point sets and crossing numbers
本文为一般位置点集定义了 Voronoi、圆和 E≤k 三个多项式，用其表达直线交叉数，并证明 Voronoi 多项式根在单位圆上当且仅当点集凸，且给出根的位置界。
2024-09-18 cs.CG cs.DM math.CO
The 2-page crossing number of $K_n$
大约在1958年，Hill描述了如何画出具有[Z（n）：=1/4 \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor \lfloor \frac{n-2}{2} % \rfloor \lfloor \frac{n-3}{2} \rfloor ]交叉的完全图$K_n$，并证明了$K_n$的交叉数$\crg (K_{n})$正好是Z（n）。这也被称为盖伊猜想，因为他后来推广了它。到本世纪末，发现了具有Z（n）交叉的$K_{n}$的基本不同的绘图。这些绘图是\emph{2-page book drawings}，即所有顶点都在$\ell$（脊柱）上的绘图，并且每个边缘都完全包含在$\ell$定义的两个半平面（页面）之一中。$K_{n} $的\emph{2-page crossing number}，用$ν_{2}(K_{n})$表示，是由$K_{n}% $的2页书籍绘图确定的最小交叉数。由于$\crg(K_{n}) \leν_{2}(K_{n})$和$ν_{2}(K_{n}) \le Z(n)$，希尔猜想的一个自然步骤是%（形式上）较弱的猜想$ν_{2}(K_{n}) = Z(n)$，由Vrt 'o推广。据我们所知，这个自然猜想是由Imrich Vrt 'o在2007年首次提出的。在本文之前，已知的$ν_2(K_n)$的结果…
2012-06-25 cs.CG math.CO
Hypercube drawings with no long plane paths
Department of Applied Mathematics, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（应用数学系，数学物理学院，查理大学）；Computer Science Institute, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（计算机科学研究所，数学物理学院，查理大学）
本文研究了超立方体图的平面子结构，证明了其绘制中不存在长平面路径，并给出了相关结果的简短证明。
2026-03-04 cs.CG math.CO
On $(\le k)$-edges, crossings, and halving lines of geometric drawings of $K_n$
设$P$是平面上一般位置的点的集合。用直线段连接$P$中的所有点对。在这样的图中，由$\crg(P)$表示的段交叉的数目是$P$的\emph{rectilinear crossing number}。$P$的\emph{halving line}是通过$P$的两个点的线，该线将$P$的其余点分成（几乎）两半。$P$的二等分线的数量由$h(P)$表示。类似地，$k$ \emph{-edge}，$0\leq k\leq n/2-1$，是一条穿过$P$的两个点并且在一侧恰好留下$P$的$k$点的线。$P$的$(\le k)$ -边的数目由$E_{\leq k}(P) $表示。令$\rcr(n)$、$h(n)$和$E_{\leq k}(n) $分别表示平面中一般位置上$n$点的所有集合$P$上的$\crg(P)$的最小值、$h(P)$的最大值和$E_{\leq k}(P) $的最小值。我们发现，以前最好的已知下界$E_{\leq k}(n)$是紧$k<\lceil (4n-2) /9\rceil $和改善它的所有$k\geq \lceil (4n-2) /9 \rceil $。这又将$\rcr(n)$的下限从$0.37968\binom{n} {4}+Θ(n^{3})$提高到{277/729} \binom{n}{4} +Θ（n^{3}）\geq 0.37997 \binom{n}{4} …
2011-03-16 cs.CG cs.DM math.CO
On the Genus of Random Regular Graphs
图亏格是一个拓扑不变量，它度量了图可以嵌入而没有任何边交叉的曲面的最小曲面的亏格。图的亏格在拓扑图理论中起着基础性的作用，用于分类和研究不同类型的图及其性质。我们证明了，对于任意整数$d \geq 2$，$d$ -正则图在$n$节点上的亏格是$\frac{(d - 2)}{4}n(1 - \varepsilon) $，且对任意$\varepsilon > 0$都有很高的概率.
2023-01-30 math.CO
No finite $5$-regular matchstick graph exists
一个图$G=(V,E)$称为平面中的单位距离图，如果存在$V$在平面中的一个内射嵌入，使得每对邻顶点相距单位距离.如果另外对应的边是不相交的，并且所有的顶点都有相同的度$r$，我们称之为正则火柴棒图。由于欧拉多面体公式，我们有$r\le 5$。已知的最小$4$ -正则火柴棒图是由$52$顶点组成的Harborth图.本文证明了不存在有限$5$ -正则火柴棒图。
2014-01-08 math.CO
Hardness of approximation for crossing number
我们证明了，如果P \not =NP，有一个常数c > 1，使得没有c-近似算法的交叉数，即使限制在3-正则图。
2012-04-03 cs.CC cs.CG math.CO
Small 4-regular planar graphs that are not circle representable
一个4-正则可平面图$G$被称为是圆可表示的，如果存在一个画在平面上的圆的集合，使得接触点和交叉点对应于$G$的顶点，并且这些点之间的圆弧对应于$G$的边。Lovász（1970）证明了每个4-正则可平面图都有一个圈表示，但Bekos和Raftopoulou（2015）给出了一个无穷族的反例。基于一个12阶的多重图反例，我们将单图中已知的最小反例的阶数从822降到68。
2019-08-13 math.CO
Sublevels in arrangements and the spherical arc crossing number of complete graphs
本文引入推广g-向量的g-矩阵，证明R^3中向量配置的g-矩阵非负，从而解决d=n-4情形的Eckhoff–Linhart–Welzl猜想，并由此证明完全图球面弧绘制的交叉数下界达到其猜想值。
2025-04-10 cs.CG math.CO
Regular matchstick graphs
一个图G=（V，E）称为平面单位距离图，如果V在平面中有一个内射嵌入，使得每对邻顶点相距单位距离.另外，如果对应的边是不相交的，并且所有的顶点都有相同的度r，我们称之为正则火柴棒图。由于欧拉多面体公式，我们有$r\le 5$。已知最小的4-正则火柴棒图是由52个顶点组成的Harborth图。本文证明了不存在有限的5-正则火柴棒图，并给出了4-正则火柴棒图顶点数的一个下界。
2014-01-17 math.CO
A state sum invariant for regular isotopy of links having a polynomial number of states
状态和定期同痕不变量的链接，我在这项工作中介绍的是一个推广的琼斯多项式。所以它区分了任何一对可以被琼斯区分的链接。这个新的不变量，记为{ \em VSE-invariant}严格强于琼斯的：我检测到一对链接，这对链接不被琼斯区分，但被新的不变量区分。完整的VSE不变量具有$3^n$状态。然而，有一些有用的特殊化，它由整数k参数化，具有$O(n^k)=\sum_{\ell=0}^k {n \choose \ell} 2^\ell $状态。通过VSE-不变量区分的具有更多交叉对的链路具有20个交叉。足以区分的特化对应于k=2并且只有801个状态，与相同链路的琼斯多项式的$2^{20} = 1,048,576$状态相反。它的完整VSE不变式具有$3^{20} = 3,486,784,401$状态。当交叉点的数量使得琼斯多项式的计算不可能时，VSE不变式是琼斯多项式的一个很好的替代方案。例如，对于$k=2$，具有$n=500$交叉的链路的VSE不变量的专门化可以在几分钟内计算，因为它只有$2 n^2+1 = 500,001$状态。
2008-04-26 math.AT math.CO
Non-crossing permutations for the KP solitons under the Gel'fand-Dickey reductions and the vertex operators
本文用对称群置换分类Gel'fand-Dickey ℓ-约化下的KP正则孤子，结合顶点算子构造解，并以Boussinesq方程为例说明非交叉置换给出正则性条件。
2025-10-04 math-ph math.CO math.MP
The tropical crossing number of a finite graph
该研究定义了有限非度量图的热带交叉数，证明存在热带交叉数为任意正整数d且图论交叉数至多为d的图，求解了最小非热带平面图的热带交叉数并证明其可随顶点数二次增长。
2025-08-19 math.AG math.CO
Fluctuation Moments for Regular Functions of Wigner Matrices
该研究计算Wigner矩阵一般Sobolev函数与确定性矩阵乘积的混合涨落矩的确定性近似，重现已有多项式情形结果并验证相关组合结构的普适性，还刻画了泛函中心极限定理的方差。
2023-07-20 math.CO math.OA math.PR
Central limit theorem for crossings in randomly embedded graphs
本文研究了凸位置图随机嵌入中的交叉数问题，利用 Stein 方法和 size-bias 耦合建立了其分布与正态分布的 Kolmogorov 距离上界，并推广至随机图与高斯混合分布，最终为多种图结构导出了带收敛速度的中心极限定理。
2024-10-10 math.CO math.PR
Towards the Distribution of the Size of a Largest Planar Matching and Largest Planar Subgraph in Random Bipartite Graphs
我们解决了以下问题：当一个随机选择的正则二部多图在平面上画在“标准方式”，什么是它的最大尺寸平面匹配（一组不相交的边）和最大尺寸平面子图（一组不相交的边，可以共享端点）的分布？该问题是最长递增序列（LIS）问题（也称为Ulam问题）的推广。我们提出了一个组合恒等式，它把最多d条边的最大平面匹配（最大平面子图）的r-正则二部多重图的个数与Z^d中限制格行走的符号和，以及具有相同形状和"下降型“性质的标准Young tableaux的对数联系起来。我们的结果是通过两个组合的证明，通过Gessel的身份可以获得（身份是至关重要的二元生成函数的推导与分布的LIS，关键的分析攻击乌拉姆的问题）的推广。我们还开始研究的模式避免在二部多重图，并得出一个广义Gessel身份的数量的二部2-正则多重图避免一个特定的（单调）模式。
2007-06-15 math.CO math.PR
Edge crossings in random linear arrangements
在空间网络中，顶点在一定的空间中排列，边可以交叉。当在1维网格中排列顶点时，当在顶点序列上方绘制时，边可能会交叉，就像在语言和生物网络中发生的那样。在这里，我们调查的一般问题的随机安排的顶点的边缘交叉点的分布。我们推广现有的公式期望这个数字在随机线性安排的树到任何网络，并推导出一个表达式的方差的数量的交叉在任意布局依赖于一个新的表征的代数结构的方差在任意空间。给出了完全图、完全二部图、圈图、单正则图和各种树（星树、拟星树和线性树）的期望和方差的紧致公式。在这些网络中，作为网络规模的函数的期望和方差的缩放是渐近幂律的随机线性安排。我们的工作为进一步研究和应用一维格或研究高维格或其他嵌入中交叉数的分布铺平了道路。
2020-02-21 cs.DM math.CO physics.soc-ph
