On the kinematic algebra for BCJ numerators beyond the MHV sector
杨-米尔斯理论的散射振幅中存在的颜色和运动学之间的对偶性强烈地暗示了控制规范理论的隐运动学李代数的存在。虽然相关的BCJ分子是已知的封闭形式，以任何多重性在树的水平，运动代数只进行了部分探索，最简单的四维振幅：MHV部门。在本文中，我们介绍了一个框架，使我们能够描述超越MHV部门的代数。这使得我们既可以约束运动学代数的一些模糊性，又可以更好地控制与BCJ分子相关的广义规范自由度。具体而言，在本文中，我们的工作在尺寸不可知的符号，并确定有效的运动代数某些${\cal O}\big((\varepsilon_i \cdot \varepsilon_j)^2\big)$条款，在四维计算下一个到MHV部门涉及两个标量。在这个部门的运动代数是简单的，因为我们引入张量电流，推广标准杨米尔斯矢量电流。这些张量流控制广义规范自由度，使我们能够从同一运动学代数生成多个不同版本的BCJ分子。该框架应推广到杨-米尔斯理论的其他部门。
2019-06-25 hep-th
Note on symmetric BCJ numerator
我们提出了一个算法，导致BCJ分子显然满足Broedel和Carrasco在[35]中提出的三个性质。我们明确地计算了分子在4，5和6点，并表明重新标记属性是一般满足。
2014-04-30 hep-ph hep-th
Superstring amplitudes from BCJ numerators at one loop
本文通过单圈手征分裂表示建立了从场论 BCJ 圈积分到单圈超弦模空间被积函数的直接映射，将超弦拟设系数与 BCJ 分子对应起来，并证明任意多重数下存在单圈 BCJ 分子。
2025-02-03 hep-th
Explicit BCJ numerators of nonlinear sigma model
本文研究了非线性西格玛模型（NLSM）中的色运动学对偶性。我们提出了明确的多项式表达式的运动分子（BCJ分子）。计算分别在两个参数化方案的理论使用Kawai-Lewellen-Tye关系启发的技术，都导致多项式分子。我们总结在每种情况下的计算成一组规则，产生BCJ分子的所有multiplicities。在凯莱参数化中，我们发现分子仅用一个特别简单的动量核公式来描述。
2016-10-30 hep-ph hep-th
Color kinematic symmetric (BCJ) numerators in a light-like gauge
杨-米尔斯理论中的色序树级散射振幅可以表示为费曼图中各个传播子极点的和。这些表达式中的分子是通过直接应用费曼规则得到的，通常不满足任何特定的关系。然而，通过重排项，已知可以得到满足与对应的颜色因子相同的雅可比恒等式的分子的集合。通过扩展我们以前的工作，我们展示了如何在拉格朗日框架内系统地完成这一点。我们构造了一个有效的拉格朗日量，它在五点的类光规范中产生杨-米尔斯理论中的树级色运动对称分子。五点有效拉格朗日量是非局部的，并且通过雅可比恒等式为零。从它获得的分子尊重原来的颜色有序振幅的极点结构。我们讨论如何这个过程可以系统地扩展到更高的顺序。
2014-08-12 hep-th
BCJ Numerators from Differential Operator of Multidimensional Residue
在以前的工作中，我们设计了一个微分算子来计算出现在Cachazo-He-Yuan（CHY）形式中的典型积分，本文进一步简化了这种方法。我们观察到，在树的水平上，控制微分算子的自由参数的数量仅取决于外部线路的数量，解决散射方程所产生的约束后。这使我们能够构造一个约简矩阵，它将高阶微分算子的参数与低阶微分算子的参数联系起来。约简矩阵是理论无关的，可以通过求解一组显式给定的线性条件来获得。这种简化矩阵的重复应用最终将给定的树级CHY-样积分转化为准备好的形式。我们还提供了解析表达式的参数与任何这样的准备形式在树级。最后给出了任意类CHY积分的多维留数用约化矩阵表示的紧表达式。本文采用对偶基投影法，在树的层次上得到了非局部Bern-Carrasco-Johansson（BCJ）分子的类CHY表示。这些BCJ分子的有效计算的改进方法，涉及约简矩阵。
2019-12-22 hep-th
Integrand Oxidation and One-Loop Colour-Dual Numerators in N=4 Gauge Theory
我们提出了一个系统的方法来确定BCJ分子的单圈振幅，探讨了全球的限制环动量依赖。我们将这种方法应用于N=4规范理论中的振幅，在MHV和NMHV扇区中给出了多达7个点的详细例子。BCJ分子之间的Jacobi恒等式的结构被认为是密切相关的代数被积函数减少。我们讨论了通过双拷贝处方获得的单圈N=8超重力振幅的后果。此外，在MHV部分，我们展示了如何获得简单的BCJ盒分子使用的自对偶规范理论的振幅的关系。我们还介绍了更简单的迹型公式的被积函数减少。
2013-10-29 hep-th
Kinematic Hopf Algebra for BCJ Numerators in Heavy-Mass Effective Field Theory and Yang-Mills Theory
本文给出了一个描述重质量有效场论中$D$ -维树级散射振幅的所有Bern-Carrasco-Johansson（BCJ）分子的封闭公式.通过双拷贝得到的相应引力振幅直接进入黑洞散射和引力波发射的计算。我们的建设是基于找到一个运动学代数的分子，我们涉及到一个准洗牌的Hopf代数。由此得到的BCJ分子具有紧凑的形式和有趣的特征：规范不变性是明显的，局域性是尊重无质量交换，它们包含对应于大质量交换的极点。计算$n{-}2$胶子的BCJ分子中的项数，得到Fubini数$\mathsf{F}_{n-3}$，反映了潜在的准混洗Hopf代数结构。最后，通过考虑一个适当的因式分解限制，大量的粒子解耦，我们从而获得了$D$维纯杨-米尔斯理论的运动代数和所有的树级BCJ分子。
2022-03-03 hep-th math.CO
Perfecting one-loop BCJ numerators in SYM and supergravity
我们采取了重大的一步计算$D$维的一般规范理论的单圈振幅，兼容的原则，统一和颜色运动学的对偶性。对于$n$ -点振幅与超对称多重态或一般的非超对称物质的循环，简单的所有的多重性表达式得到的最大切割的运动分子的$n$ -边形图。在具有最大超对称性的$n=6,7$点处，我们扩展了符号图分子来编码所有的接触项，从而解决了\emph{simultaneously}长期存在的问题，实现了以下性质：颜色运动学对偶性，明显局部性，循环动量的最优幂计数，二次而不是线性化的Feynman传播子，与双拷贝的兼容性以及所有的图对称性.在$n=4,5$点的半极大超对称情形下，给出了具有类似性质的色-运动学对偶表示.由此产生的规范理论被积函数和它们的超引力对应物从双重副本中获得的检查，以重现预期的紫外发散。
2023-02-17 hep-th
Kinematic Numerators and a Double-Copy Formula for N = 4 Super-Yang-Mills Residues
Cachazo、He和Yuan最近的工作表明，连接的处方残基服从$\mathcal{N} = 4$超杨-米尔斯振幅的全局恒等式。特别地，它们服从Bern-Carrasco-Johansson（BCJ）振幅恒等式。在这里，我们提供了一种新的方式来解释这个结果通过对象，我们称之为剩余分子。这些对象的行为类似于BCJ引入的运动分子，除了它们与单个残基相关。特别是，这些新的对象满足一个双拷贝公式，将它们与最近发现的$\mathcal{N} = 8$超引力的连接处方积分的类似物中出现的残基联系起来。一路上，我们表明，BCJ振幅的身份是等价的一致性条件，允许运动分子表示为振幅使用广义逆。
2014-04-17 hep-th
One-loop Bern-Carrasco-Johansson Numerators on Quadratic Propagators from the Worldsheet
本文提出一种推导单圈 BCJ 分子的新方法，揭示了单圈双拷贝的世界面起源，通过将 CHY 半被积函数展开为广义 Parke-Taylor 因子生成满足 Jacobi 恒等式的二次传播子分子，并在 NLSM 和纯 Yang-Mills 理论中验证了其有效性。
2024-05-29 hep-th
Explicit BCJ Numerators from Pure Spinors
我们推导出局部运动分子的规范理论树振幅显然满足雅可比恒等式类似的颜色因素。它们自然地出现在用纯旋量形式主义计算的超弦振幅的低能量极限中。色-运动学对偶性的表现是涉及不超过（n-2）的超弦计算的结果！全色修饰的n点振幅的运动学因子。这些结果的玻色子部分描述了胶子散射与超对称性的数量无关，并在降维到D=4维后捕获了任何N^kMHV螺旋度构型。
2011-04-27 hep-ph hep-th
Kinematic Hopf algebra for amplitudes and form factors
本文提出一种运动学 Hopf 代数，用于统一构造 Yang-Mills 与双伴随标量理论中树级振幅和形状因子的 BCJ 分子，并给出任意胶子数及多标量情形的闭合形式。
2023-04-23 hep-th
Kinematic Hopf algebra for amplitudes from higher-derivative operators
本文研究了带高阶导数修正的 Yang-Mills 理论，证明在标量重质量极限下其 BCJ 分子受同一运动学 Hopf 代数支配，并据此给出了任意胶子与重标量振幅的紧凑表达式。
2024-03-27 hep-th
Algebraic Consistency and Explicit Construction of One-Loop BCJ Numerators of Yang-Mills and Related Theories
School of Physics and Technology, Wuhan University（武汉大学物理科学与技术学院）；Institute of Mathematics, Henan Academy of Sciences（河南省科学院数学研究所）；College of Mathematical Sciences, Harbin Engineering University（哈尔滨工程大学数学学院）；College of Science, Hainan Tropical Ocean University（海南热带海洋学院理学院）
本文提出了一种两步展开策略，用于显式构造杨-米尔斯理论及相关理论中一阶BCJ数的代数结构和一致性条件。
2026-03-02 hep-ph hep-th
An adaptive inverse-problem framework for one-loop five-gluon BCJ numerators
School of Physics, Ningxia University（宁夏大学物理学院）
该研究将 BCJ 分子构造化为自适应逆问题，通过固定规范编译相关内容，经运动学和图对称性约化后应用于单圈五胶子纯杨 - 米尔斯理论，确定特解与核，验证结果，还给出搜索规则等可对提议进行评估。
2026-07-16 hep-th
Covariant color-kinematics duality, Hopf algebras and permutohedra
基于协变色-运动学对偶，研究了Yang-Mills-scalar（YMS）理论中树能级振幅的Bern-Carrasco-Johansson（BCJ）分子的组合结构和代数结构. YMS振幅的BCJ分子的封闭公式和纯Yang-Mills（YM）分子的封闭公式具有很好的拟混洗Hopf代数结构，有趣的是，它们可以被看作是组合置换面体所有维边界上的求和.特别地，具有两个标量和$n{-}2$胶子的分子包含Fubini数（$F_{n{-}2}$）的项，这些项与$(n{-}3)$维置换面体的边界一一对应，并且它们中的每一个都具有自己的spurious pole结构和规范不变分子（两者都取决于参考动量）。从这样的霍普夫代数或permutohedron结构，我们得到新的递归关系的分子和有趣的“因式分解”的permutohedron的每个虚假的极点/方面。类似的结果适用于一般的YMS分子和纯YM分子。最后，与一个特殊的参考动量的选择，我们的结果意味着BCJ分子在一个重质量有效场论与两个大质量粒子和$n{-}2$胶子/引力子：我们观察到高度非平凡的取消在重质量极限，导致新的公式的有效分子类似于那些在最近的作品。
2022-11-23 hep-th
A new gauge-invariant double copy for heavy-mass effective theory
我们提出了一种新的形式的颜色运动学/双副本对偶的重质量有效场论，我们适用于构建紧凑的表达式树振幅与重物质粒子在杨米尔斯和重力的质量领先的顺序。在这种设置中，新的BCJ分子是固定的，唯一的，直接写在领域的强度，使规范不变性体现。此外，它们是局部的，并且自动满足Jacobi关系和交叉对称性。我们构建这些BCJ分子明确多达六个粒子。我们还讨论了重质量有效理论中的BCJ分子与纯Yang-Mills振幅中BCJ分子的关系。
2021-06-24 hep-th
Amplitudes, Hopf algebras and the colour-kinematics duality
最近有人提出，在重质量有效场论（HEFT）和Yang-Mills理论中，散射振幅具有色-运动学对偶性的运动学代数是一个拟混洗Hopf代数.相关的融合产物决定了Bern-Carrasco-Johansson（BCJ）分子的结构，这些分子显然是规范不变的，并且具有对应于重粒子交换的极点。在这项工作中，我们探讨了深之间的联系，准洗牌代数和一般物理性质的散射振幅。首先，在证明了引力HEFT振幅的双拷贝形式之后，我们证明了运动学代数的余积与大质量极点上BCJ分子的因式分解相对应。然后，我们研究了一个扩展的标准准洗牌的Hopf代数的非阿贝尔版本描述BCJ分子与所有可能的胶子序。这是通过张量的原始代数与一个特定的Hopf代数的序。在这个扩展的版本中，在序代数中对余积的特定选择会导致所得到的Hopf代数中的对极，其具有在每个BCJ分子内反转胶子序的解释。
2023-03-13 hep-th
BCJ Amplitude Relations for Anti-de Sitter Boundary Correlators in Embedding Space
我们将平面空间散射振幅的颜色/运动学对偶性推广到AdS边界关联函数的嵌入空间公式。运动分子和传播取代微分算子作用于一个标量接触图，是AdS推广的动量守恒δ函数的平坦空间散射振幅。我们表明，颜色/运动学的对偶性意味着微分关系的AdS的边界关联函数，自然推广平坦的空间BCJ振幅关系，并验证他们的关联函数的杨米尔斯理论和非线性西格玛模型，通过四点和六点，分别。对于后者，我们还发现表示的四点和六点相关，体现了对偶性。在AdS空间可能的双拷贝程序进行了讨论。
2021-09-08 hep-th
Next-to-MHV Yang-Mills kinematic algebra
杨-米尔斯散射振幅的运动分子具有丰富的李代数结构，表明存在一个隐藏的无限维运动代数。明确实现这样的运动代数是一个长期的开放问题，只有部分成功的简单螺旋部门。在过去的工作中，我们介绍了一个框架，使用张量电流和融合规则，以产生BCJ分子的一个特殊的子扇区的NMHV振幅在杨米尔斯理论。在这里，我们扩大了范围，明确实现了所有NMHV振幅的运动代数。主分子直接从代数规则中获得，通过运动学雅可比恒等式和运动学雅可比恒等式可以生成其他分子。检查输出的代数，我们猜想一个封闭形式的表达式的主BCJ分子的任何多重性。我们还介绍了一种新的方法，基于置换群的群代数，以解决广义规范自由度的BCJ分子。它使用最近推出的二元BCJ关系，提供了一套完整的NMHV运动分子，由纯规范。
2021-04-26 hep-th math-ph math.MP
Note on graph-based BCJ relation for Berends-Giele currents
在较早的工作中，提出了双伴随标量（BS）理论中Berends-Giele电流的基于图的Bern-Carasso-Johansson（BCJ）关系，该关系由连通树图表征。在本文中，我们提供了一个系统的研究这种关系。我们首先证明了基于两种特殊类型的图：简单链和星图的关系。通过Berends-Giele递归，进一步证明了任意树图所建立的基于图的一般BCJ关系。当与适当的离壳扩展分子相结合时，该关系导出了杨-米尔斯理论中Berends-Giele电流的基于图的BCJ关系。通过壳上极限得到了振幅的对应关系。
2022-10-18 hep-th
Construction of an effective Yang-Mills Lagrangian with manifest BCJ duality
BCJ分解是规范理论的一个高度非平凡的性质。在本文中，我们系统地构造了一个有效的拉格朗日，其Feynman规则自动产生的BCJ分子。有效拉格朗日量包含非局部项。标准杨-米尔斯拉格朗日量和有效拉格朗日量之间的差异简化为零。
2013-06-12 hep-ph hep-th
BCJ, worldsheet quantum algebra and KZ equations
利用扭曲同调与量子群的对应关系，构造了开弦运动分子的代数解释。在这种情况下，表示依赖于字符串模式，因此，分子的上同调内容，以及穿孔的位置。我们发现，量子群根系统，从而确定了帮助确定Casimir出现在Knizhnik-Zamolodchikov连接，它可以用来相关的表示与不同的穿刺位置。
2020-11-03 hep-ph hep-th math.QA
Berends-Giele recursions and the BCJ duality in superspace and components
在十维超杨-米尔斯框架下，重新讨论了Berends和Giele计算树能级胶子振幅的递推方法。首先，我们证明了2010年导出的计算SYM树振幅的纯旋量公式在仅限于胶子振幅时从80年代简化为标准的Berends-Giele公式，并另外确定了费米子完成。其次，利用超空间中的BRST上同调操作，探索了分量振幅的替代表示，并以一种新的方式导出了部分树振幅之间的Bern-Carrasco-Johansson关系。最后，它是如何超对称组件的明显的本地BCJ满足树级分子可以计算在一个递归的方式。
2016-04-11 hep-th
Color-factor symmetry and BCJ relations for QCD amplitudes
树能级$n$ -在规范群的基本（或其他）表示中，具有$n-2k$胶子和$k$对（无质量或有质量）粒子的点规范理论振幅在一组对称性下是不变的，这些对称性在振幅的立方分解中充当色因子的动量相关移位。这些对称性导致规范不变的约束的运动分子。它们也直接暗示了Johansson和Ochirov以前得到的Melia基原始振幅之间的BCJ关系。
2016-11-22 hep-ph hep-th
Superstring amplitudes from the field-theory limit: an n-point map at one loop
该研究首次构建单圈n点超弦关联函数的完整世界面基底，明确15点及以下振幅的场论对应关系，揭示16点起尖点形式的影响，并导出弦模性带来的场论BCJ分子新约束。
2025-10-02 hep-th
Exact Color Kinematics Duality in the Cosmological Correlators
Indian Institute of Science Education and Research（印度科学教育与研究所）
本文证明宇宙学Grassmannian统一了平坦空间振幅中的多种结构，并展示了四点胶子关联函数满足精确的Jacobi恒等式，且引力子关联函数与BCFW结果一致。
2026-10-14 hep-th
Loop-Level Double Copy Relations from Forward Limits
本文利用单切与低圈正向极限构造，将规范理论的双拷贝推广到引力，导出一圈 KLT 与交叉对称 BCJ 关系，并给出引力一圈积分元的普适展开。
2025-09-29 hep-th
BCJ relations from a new symmetry of gauge-theory amplitudes
我们引入了一组新的对称性服从树级规范理论振幅涉及至少一个胶子。对称性作为振幅的颜色因子上的动量依赖性移位。利用辐射顶点展开，我们证明了在这种颜色因子移动的$n$ -胶子振幅，以及振幅涉及无质量或大质量粒子在任意表示的规范群自旋为零，一半，或一个的不变性。Bern-Carrasco-Johansson关系是这种对称性的直接结果。我们还介绍了三次顶点展开的振幅，并使用它来推导广义规范不变的约束的振幅的运动分子。我们证明了双伴随标量理论的振幅在色因子对称下是不变的，并利用这一点导出了传播子矩阵的零本征向量。我们将色因子移位推广到圈的水平，并证明了在任何允许分子的色运动学对偶表示的理论中，单圈$n$ -胶子振幅在这种移位下的不变性。我们表明，单圈色因子对称性意味着已知的单圈色序振幅的被积函数之间的关系。
2016-11-21 hep-ph hep-th
Expansion formula of one-loop Einstein-Yang-Mills integrand
Wuhan University（武汉大学）；Hainan Tropical Ocean University（海南热带海洋大学）
基于单圈BCJ分子的代数一致性构造，将胶子圈EYM积分展开为二次传播子的YM积分组合，系数与YMS积分展开一致。
2026-06-18 hep-th
Expansion of All Multitrace Tree Level EYM Amplitudes
本文研究了树层多道Einstein-Yang-Mills（EYM）振幅的展开。首先，我们提出了两种类型的递归展开树级EYM振幅与任意数量的胶子，引力子和痕迹的那些振幅较少的痕迹或/和引力子。在此基础上，给出了许多支持证据，包括利用Cachazo-He-Yuan（CHY）公式和Britto-Cachazo-Feng-Witten（BCFW）递归关系的证明。作为副产品，两种类型的广义BCJ关系的多道EYM进一步提出，这将是有用的BCFW证明。在重复应用递归展开之后，任何多道EYM振幅都可以在树级颜色排序Yang-Mills（YM）振幅的Kleiss-Kuijf（KK）基中给出。因此，Bern-Carrasco-Johansson（BCJ）分子，作为展开系数，为所有多道EYM振幅自然构造。
2017-12-09 hep-th
Berends-Giele recursion for double-color-ordered amplitudes
树级双色有序振幅计算使用Berends-Giele递归关系应用于双伴随立方标量理论。Berends-Giele电流的标准概念被推广到双电流和他们的递归来自一个扰动扩展的线性化领域，解决非线性场方程。给出了两个应用程序。首先，我们证明了逆KLT矩阵的元素等于Berends-Giele双流（因此很容易计算）。其次，利用双色有序振幅计算了不同色序下树级弦振幅的场论极限，提出了一个生成树级满足任意重数的BCJ分子的简单公式.
2016-07-27 hep-th
Towards one-loop SYM amplitudes from the pure spinor BRST cohomology
在本文中，我们概述了一种方法来计算超对称单圈被积在十维SYM理论。它依赖于它们的结构图组织和基本纯旋量超弦描述的BRST不变性之间的建设性相互作用。五点和六点振幅呈现在一个明显的本地形式，其中的运动学依赖是由纯旋量超空间中的BRST协变表达式提供。在五个点，当地的运动分子，以满足BCJ的颜色和运动学之间的二元性，导致超重力振幅作为副产品。在六个点上，六边形异常的来源在超空间中被确定为对BRST不变性的系统性障碍。我们的结果有望重现任何集成SYM振幅尺寸$D< 8$。
2014-11-05 hep-th
Constraints and Generalized Gauge Transformations on Tree-Level Gluon and Graviton Amplitudes
将全色修饰的振幅和引力子振幅分别写为${\bf A}=<C|A> =<C|M|N> $和${\bf A}_{gr}= <\tilde N|M|N> $，其中$|A> $是Kleiss-Kuijf色序基的集合，$|N>, $| \tilde N> $ and $| C> $ are the similarly ordered numerators and color coefficients, we show that the propagator matrix $ M $ has $（n-3）（n-3）！$ independent eigenvectors $| λ^0_j> $ with zero eigenvalue, for $ n $-particle processes. The resulting equations $ <λ^0_j| A> = 0 $ are relations among the color ordered amplitudes. The freedom to shift $| N> \to| N> + \sum_j f_j| λ^0_j> $ and similarly for $| PDMATHBMQ N> $, where $ f_j PDMATHBNC（n-3）（n-3）！$ arbitrary functions, encodes gen…
2010-11-05 hep-th
Double copy for tree-level form factors. Part II. Generalizations and special topics
本文将BCJ和KLT双副本形式体系推广至高长度算符的形式因子，提供了CK对偶分子闭合公式，讨论了KLT核中 $\vec{v}$ 向量的一般构造与普适性质，并为纯Yang-Mills理论中 ${\rm tr}(F^2)$ 算符形式因子提出了涉及规范不变分解的新双副本规则。
2024-02-15 hep-th
Recursive construction for expansions of tree Yang-Mills amplitudes from soft theorem
本研究提出一种基于外胶子软行为的自底向上递归方法，无需费曼或CHY规则即可将树级YM振幅展开为YMS和BAS振幅，全程保持规范不变性，结合已有爱因斯坦-杨-米尔斯振幅展开可得到规范不变的BCJ分子。
2023-11-06 hep-th
Classical gravitational scattering from a gauge-invariant double copy
提出了一种直接从广义相对论的重质量有效场论方法中的两个重粒子不可约图计算经典黑洞散射角的方法，而不需要减去迭代项.在这个有效的理论中的振幅构造使用最近提出的一种新的颜色运动学/双副本树级两个标量，多引力子振幅，其中BCJ分子是规范不变和本地相对于无质量引力子。这些树的振幅，连同引力子树振幅，进入所需的$D$维回路被积函数的建设，并允许直接提取的贡献相关的经典物理。特别是，完全被积函数的软/重质量展开被规避，并且所有迭代贡献可以从一开始就被丢弃。我们用这种方法来计算散射角的第三后闵可夫斯基阶在四维，包括辐射反应的贡献，还提供了相应的被积函数在$D$维的表达。
2021-09-29 gr-qc hep-th
Bootstrapping form factor squared in ${\cal N}=4$ super-Yang-Mills
本文提出平面 ${\cal N}=4$ SYM 中 ${\rm tr}(ϕ^2)$ 形状因子平方的图形自举方法，通过切割两点主图并用软及多共线极限固定 ansatz，统一得到多圈多点被积函数。
2025-06-09 hep-th
