Multi-indexed Orthogonal Polynomials of a Discrete Variable and Exactly Solvable Birth and Death Processes
Faculty of Science, Shinshu University（信州大学理学部）
本文基于8种离散变量多索引正交多项式，推导出精确可解的连续时间生灭过程及其离散时间版本，涵盖多种正交多项式类型。
2025-03-13 hep-th math-ph math.CA
Exactly Solvable Discrete Quantum Mechanical Systems and Multi-indexed Orthogonal Polynomials of the Continuous Hahn and Meixner-Pollaczek Types
提出了具有纯虚位移的离散量子力学的新的精确可解系统，其坐标的物理范围是整条实数线。这些系统是形状不变的，其特征函数由多指标连续Hahn和Meixner-Pollaczek正交多项式描述。这些多指标多项式的次数集是$\{\ell_{\mathcal{D}},\ell_{\mathcal{D}}+1,\ell_{\mathcal{D}}+2,\ldots\}$，其中$\ell_{\mathcal{D}}$是偶正整数（$\mathcal{D}$：多指标集），但它们在加权希尔伯特空间中形成正交基的完整集合。
2019-10-11 hep-th math-ph math.CA
Higher-order SUSY, exactly solvable potentials, and exceptional orthogonal polynomials
在$k$阶超对称量子力学框架下，构造了波函数可用Laguerre型例外正交多项式表示的精确可解有理扩展径向振子势，重点讨论了$k=2$ .证明了对于$μ=1$，2和3，存在$μ$型的$μ$独特势和相应的例外正交多项式族，其中$μ$表示多项式$g_μ$在势的分母中的次数.
2011-08-31 hep-th math-ph math.MP
Quantum models with energy-dependent potentials solvable in terms of exceptional orthogonal polynomials
我们构造了薛定谔方程允许以例外正交多项式形式解的能量相关势。我们的建设方法是基于一定的点变换，适用于例外厄米，雅可比和拉盖尔多项式方程。我们提出了几个例子的边值问题的能量依赖的潜力，承认一个离散谱和相应的规范化解决方案的封闭形式。
2017-01-28 math-ph math.MP quant-ph
Anti-isospectral Transformations, Orthogonal Polynomials and Quasi-Exactly Solvable Problems
我们考虑双sinh-Gordon势这是一个准精确可解的问题，并表明在这种情况下，有两套Bender-Dunne正交多项式。我们研究了一些详细的各种性质，这些多项式和相应的商多项式。特别是，我们表明，这些多项式的权重函数并不总是积极的。我们还研究了双sine-Gordon势的正交多项式，它通过反等谱变换与双sinh-Gordon势相联系。最后利用反等谱变换发现了一个新的拟精确可解问题。
1997-11-01 hep-th math-ph math.MP
Exactly Solvable Quantum Mechanics and Infinite Families of Multi-indexed Orthogonal Polynomials
多指标正交多项式的无限族被发现作为精确可解的一维量子力学系统的解决方案。最简单的例子，一个指标的正交多项式，是无限家庭的例外拉盖尔和雅可比多项式的类型I和II的建设本作者。新多项式的整数指数的总和是有限的，它们对应于由Crum-Adler定理的推广“删除”的“虚态波函数”的次数。每个多项式都有另一个整数n来计算节点数。
2011-06-28 hep-th math-ph math.CA
Exceptional orthogonal polynomials, exactly solvable potentials and supersymmetry
我们构造了两个新的精确可解的潜力引起的薛定谔方程的束缚态解，这可以写在最近推出的拉盖尔或雅可比型$X_1$例外正交多项式。这些潜在的，延长无论是径向振子或Scarf我潜在的增加一些合理的条款，原来是conventionally形状不变的标准同行和isospectral他们。
2008-09-01 hep-th math-ph math.MP
Exactly solvable anharmonic oscillator, degenerate orthogonal polynomials and Painleve' II
本文研究 Shapiro–Tater 猜想，将四次非谐振子出现重本征值的参数点与 Vorob'ev-Yablonskii 多项式零点及 Painlevé II 有理解极点联系起来，并揭示其与退化正交多项式的深刻关联。
2023-08-21 math-ph math.CA math.MP
Correction to kinetic energy density using exactly solvable model
利用可解模型，发展了一种精确的基于非梯度展开的Thomas-Fermi修正。所使用的模型是一个系统的$N$非相互作用的电子独立移动的库仑场的核电荷。所提出的修正适用于原子，并且应该可以扩展到原子之外。该方法利用的事实是，托马斯-费米近似和非相互作用的动能之间的差异是可比的相同的值之间的差异内提出的可解模型。数值实验表明，通过加入修正因子，托马斯-费米近似的精度提高了一个数量级。
2015-06-03 math-ph math.MP quant-ph
Quasi exactly solvable extension of Calogero model associated with exceptional orthogonal polynomials
利用超对称量子力学方法，研究了具有简谐约束相互作用的N粒子有理Calogero模型的准精确可解推广。通过在有理Calogero模型中加入新的长程相互作用，构造了这种准精确可解的多粒子系统，其径向有效势产生径向谐振子的超对称伙伴.在一定条件下，得到了该体系的无穷多个束缚态能级。我们还计算了相应的束缚态波函数的最近发现的例外正交Laguerre多项式。
2017-03-28 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Exceptional orthogonal polynomials and new exactly solvable potentials in quantum mechanics
近年来，量子力学中最有趣的发展之一是构造了新的精确可解势，这与数学物理中例外正交多项式（EOP）族的出现有关。与（雅可比，拉盖尔和厄米）经典正交多项式的家庭，开始与一个常数，EOP家庭开始与一些多项式的程度大于或等于一，但仍然形成完整的，正交集关于一些正定措施。我们展示了它们是如何出现在著名的完全可解量子势的某些有理扩展的束缚态波函数中的。这样的合理的扩展是最容易构建的超对称量子力学（SUSYQM）的框架，在那里他们会产生一类新的几何形状不变的潜力。我们回顾了这一领域的最新成果，其中使用高阶SUSYQM。我们还评论了最近的一些重新检查的形状不变性条件，这是独立的EOP建设问题。
2012-09-25 math-ph math.MP quant-ph
Prepotential approach to solvable rational potentials and exceptional orthogonal polynomials
我们展示了如何所有的量子系统有关的例外拉盖尔和雅可比多项式可以直接和系统的方式来构建，而不需要形状不变性和达布-克拉姆变换。此外，前势不需要先验地假设。前势、变形函数、势、本征函数和本征值都是在同一框架下导出的。例外多项式可表示为变形函数及其导数的双线性组合。
2011-08-06 math-ph math.MP math.SP
Exactly Solvable Quantum Mechanics
本文对精确可解量子力学作了一个全面的综述，重点介绍了最近发现的多指标正交多项式。主要讨论的问题是因式分解的哈密顿量，薛定谔方程解空间的一般结构（Crum定理及其修正）、形状不变性、薛定谔图像和海森堡图像中的精确可解性、产生/湮灭算子和动力学对称代数、相干态、各种变形方案（多重达布变换）和多指标正交多项式的无限族、例外正交多项式和变形的精确可解散射问题。
2014-11-11 hep-th math-ph math.CA
A Transformation Method to Construct Family of Exactly Solvable Potentials in Quantum Mechanics
利用变换的方法，构造了任意维空间中正交多项式所满足的二阶常微分方程族的精确可解量子系统。该方法利用正交多项式的性质，将多项式微分方程转化为D维径向薛定谔方程，从而构造出精确可解的量子系统.该方法也适用于使用相关的Laguerre和超几何多项式。从其他多项式生成的量子系统也简要强调。
2013-08-26 math-ph math.MP
Exactly solvable discrete time Birth and Death processes
我们提出了15个离散时间生灭过程的明确例子，这些过程是完全可解的。它们与具有离散正交测度的Askey格式的超几何正交多项式有关。它们是Krawtchouk多项式、三种不同的q-Krawtchouk多项式、（对偶，q）-Hahn多项式、（q）-Racah多项式、Al-Salam-Carlitz II多项式、q-Meixner多项式、q-Charlier多项式、对偶大q-Jacobi多项式和对偶大q-Laguerre多项式。出生率和死亡率由控制多项式的差分方程确定。平稳分布是多项式的归一化正交性测度。转移概率由归一化多项式和相应的本征值巧妙地表示。本文是连续生灭过程已知解的离散形式。
2021-06-07 math-ph math.CA math.MP
Approach of the Generating Functions to the Coherent States for Some Quantum Solvable Models
本文介绍了几种新的量子可解模型的相干态：球上的自由粒子，一维Calogero-Sutherland模型，无自旋电子在垂直磁场B作用下在二维平面和无限平带中的运动.我们解释了这些国家如何直接从生成函数的某些家庭的经典正交多项式没有复杂的代数方法。我们已经证明了一些例子变得与Klauder-Perelomove和Barut-Girardello相干态一致。它也可以推广到非经典多项式、q-正交多项式和例外正交多项式。特别是对于不具有特定代数结构或不涉及形状不变性对称性的物理系统。
2014-05-13 math-ph math.MP quant-ph
Quasi-exactly solvable deformations of quantum systems associated with exceptional orthogonal polynomials
La Trobe University（拉筹伯大学）；University of Hawaii（夏威夷大学）；The University of Queensland（昆士兰大学）
本文基于Darboux-Crum变换，构造了与III型Hermite例外正交多项式相关的量子系统新准精确可解变形，给出Bethe ansatz方程并应用于多能隙模型。
2026-09-29 math-ph math.MP quant-ph
Solvable Rational Potentials and Exceptional Orthogonal Polynomials in Supersymmetric Quantum Mechanics
通过使用基于相应常规超势的重新参数化和添加以某些多项式表示的额外有理贡献的构造性超对称量子力学方法，生成了新的精确可解的有理扩展径向振子和Scarf I势。$g$。考虑了$g$为线性或二次的情况。在前者中，扩展的潜力是严格的等谱与传统的重新参数化的耦合和形状不变。在后者中，出现了各种各样的扩展势，一些具有与先前的相同的特性，而另一些具有低于常规势谱的额外束缚态。进一步构造了扩展势的波函数。在线性情况下，它们包含具有$ν=0,1,2,...$的$(ν+1)$次多项式，它们是$X_1$ -Laguerre或$X_1$ -Jacobi例外正交多项式.在二次的情况下，这些多项式的几个扩展出现。其中，识别了两种不同的$(ν+2)$次Laguerre型多项式和一种具有$ν=0,1,2,...$的$(ν+2)$次Jacobi型多项式.它们分别是未知的$X_2$ -Laguerre和$X_2$ -Jacobi例外正交多项式的候选者。
2009-08-21 math-ph math.MP quant-ph
A Number of Quasi-Exactly Solvable N-body Problems
我们提出了几个例子，准精确可解的$N$体问题在一，二和更高的维度。我们研究这些问题的各个方面在一些细节。特别是，我们表明，在这些例子中的一些相应的多项式形成一个正交集和他们的许多属性是类似的本德-邓恩多项式。我们还讨论了QES问题的多项式不形成一个正交集。
1998-03-02 cond-mat hep-th math-ph
Interrelation among Solvable Potentials and Extensions of SWKB Quantization Condition
本文将可解势间的点正则变换思想推广至SWKB积分，推导了Natanzon势的推广SWKB量子化条件，还将其用于位置相关有效质量量子系统子类的精确量子化规则，并推测SWKB精确性与经典正交多项式的关联。
2025-08-01 math-ph math.CA math.MP
A class of exactly solvable rationally extended non-central potentials in Two and Three Dimensions
我们从三维空间中的七个参数（六个连续和一个离散）的非中心精确可解势族出发，构造了一类广泛的十个参数（六个连续和四个离散）的有理扩展的精确可解的非中心实数和PT对称复势族.明确地得到了这些扩展的非中心势的能量本征值和本征函数，并指出这些势的波本征函数要么与例外正交多项式（EOP）相联系，要么与某种新的多项式相联系，这种新的多项式可以进一步用相应的经典正交多项式重新表示.同样，我们也构造了一个广泛的合理扩展的精确可解的非中心实以及复杂的PT不变的潜力在二维。
2017-07-10 hep-th math-ph math.MP
A New Family of Solvable Self-Dual Lie Algebras
给出了一类可解自对偶李代数。非约化自对偶李代数的构造有几种方法：正交直积、阿贝尔代数的双扩张和Wigner压缩。它表明，所提出的代数不能得到这些方法。
1997-09-04 hep-th math-ph math.MP
Second order q-difference equations solvable by factorization method
通过求解$q$ -差分方程的无限非线性系统，构造了一个$q$ -差分算子链.解决了链的特征值问题，并讨论了一些应用，包括与$q$ -Hahn正交多项式有关的应用。结果表明，在q ~（-1）的极限下，本文方法与Infeld和Hull提出的方法一致。
2003-12-22 math-ph math.MP
Ladder operators for solvable potentials connected with exceptional orthogonal polynomials
例外正交多项式构成了某些可解量子势的束缚态波函数的主要部分，它们是著名的形状不变波函数的有理扩展。前者的势是最容易建立从后者通过使用高阶超对称量子力学（SUSYQM）或达布方法。它们通常可以属于三种不同的类型（或它们的混合）：I型和II型，它们是严格的等谱的，III型，对于III型，k个额外的束缚态在起始势谱之下产生。一个著名的SUSYQM方法，使一个构造的阶梯算子的扩展潜力相结合的超荷与阶梯算子的启动潜力。由此产生的阶梯算子关闭一个多项式海森堡代数（PHA）与相应的哈密顿量。在III型扩展势的特殊情况下，对于该PHA，k个额外的束缚态形成k个与较高的激发态隔离的单线态。一些替代的梯子运营商的建设进行审查。其中，有一种方法结合了III型扩展势的状态添加和状态删除方法（或所谓的Darboux-Crum和Krein-Adler变换），并将k个额外的束缚态与更高的激发态混合。这种新的方法可用于建立二维超可积系统的运动积分的合理扩展的潜力。
2015-04-15 math-ph math.MP nlin.SI
Solvable random matrix ensemble with a logarithmic weakly confining potential
这项工作确定了一个可解的（在这个意义上，频谱关联函数可以表示在正交多项式），旋转不变的随机矩阵合奏与对数弱限制潜力。系综，这可以被解释为一个变换的雅可比系综，是在热力学极限的特征在于由洛伦兹本征值密度。它表明，光谱关联函数可以表示为非经典的Gegenbauer多项式$C_n^{(-1/2)}(x)$与$n \ge 2$，已被证明形成一个完整的正交集相对于适当的权重函数。从合奏抽样矩阵的程序概述，并用于提供一些分析结果的数值验证。指出该系综在量子多体物理中具有潜在的应用。
2023-03-06 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Exactly Solvable Potentials and Romanovski Polynomials in Quantum Mechanics
量子力学中的正交多项式。具有双曲Scarf势的Schrodinger方程（Scarf II）的Romanovski多项式精确解。其中包括的应用是解决问题的电子在一个特定的潜在导致定义新的非球面角函数。
2009-12-08 math-ph math.MP quant-ph
A Class of Exactly-Solvable Eigenvalue Problems
区间$-\infty<x<\infty$上的一类微分方程特征值问题$-y''(x)+x^{2N+2}y(x)=x^N Ey(x)$（$N=-1,0,1,2,3,...$）对于所有的特征值$E$和相应的特征函数$y(x)$都可以用封闭形式求解.特征值均为整数，特征函数均为合流超几何函数。本征函数可以被重写为多项式和函数的乘积，其指数衰减为$x\to\pm \infty$。对于奇数$N$，以这种方式获得的多项式是新的和有趣的正交多项式类。例如，当N = 1时，本征函数是$x^3$乘以$x^2$的Airy函数中的正交多项式。详细描述了所有$N$的多项式的性质。
2001-09-21 math-ph math.MP math.QA
Exactly Solvable Birth and Death Processes
给出了一类典型的平稳马氏链生灭过程的精确可解的例子，并给出了转移概率的显式表达式。它们是由Odake和作者最近提出的相似变换精确可解的量子力学“矩阵”导出的。离散变量的超几何正交多项式及其对偶多项式的（$q$ -）Askey方案起着核心作用。最通用的可解出生率/死亡率是$q^x$（$x$是人口）的有理函数，对应于$q$ -拉卡多项式。
2009-03-18 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Exactly solvable inhomogeneous XY spin chain
本文通过Jordan-Wigner变换和正交多项式的相邻关系，解析求解了非均匀XY自旋链的谱，实现了精确对角化。
2025-07-08 math-ph math.MP
Exceptional orthogonal polynomials, QHJ formalism and SWKB quantization condition
我们研究了最近获得的精确可解模型的量子Hamilton-Jacobi（QHJ）方程，并与新发现的例外多项式相关联，证明了QHJ形式再现了精确的本征值和本征函数.本征函数在复杂位置具有零点和极点的事实导致了量子动量函数$p(x)$的非常规奇异结构，即波函数的对数导数，这形成了QHJ量子化方法的关键。这些系统的奇异性结构与已知的精确可解和准精确可解模型的比较揭示了有趣的差异。我们发现这些新势的动量函数的奇点位于上述两个不同的模型之间，与它们有相似之处。这促使我们研究超对称WKB（SWKB）量子化条件的精确性。有趣的奇异性结构的$p(x)$和超势的这些模型具有重要的后果的SWKB规则，并在我们的证明其准确性，这些量子系统。
2011-12-11 math-ph math.MP quant-ph
Generalized Rayleigh and Jacobi processes and exceptional orthogonal polynomials
本文提出了四类无穷多个精确可解的Fokker-Planck方程，它们与新发现的例外正交多项式有关。它们代表了Rayleigh过程和Jacobi过程的变形版本。
2012-07-25 cond-mat.stat-mech math-ph math.AP
New quasi-exactly solvable class of generalized isotonic oscillators
引入了一类新的拟精确可解广义保序振子，它们是基于伪Hermite例外正交多项式的。我们获得精确的封闭形式的能量和波函数的表达式，以及允许的潜在参数的前两个成员的家庭使用的Bethe anterior方法。能量的数值计算表明，成员势具有多个准精确可解的本征态，且高阶成员势的态数与参数有关。
2014-01-25 math-ph math.MP nlin.SI
Dunkl-Supersymmetric Orthogonal functions associated with classical orthogonal polynomials
在超对称量子力学模型的背景下，我们考虑了Dunkl型微分算子（其中包含反射算子R）L = dx R + v（x），（v（-x）= -v（x））的特征值问题.借助于已知的精确可解位势，通过求解这一特征值问题，我们构造了几类满足一定正交关系的函数。我们称之为Dunkl-SUSY正交函数。这些函数可以用经典的正交多项式（COP）来表示。这些函数的关键特征是它们成对出现，即，Qn（x）和Qn（-x）都是L的本征函数。文中还给出了Dunkl-SUSY正交多项式的一般公式。
2019-10-17 math-ph math.MP
Equivalences of the Multi-Indexed Orthogonal Polynomials
多指标正交多项式描述了一维精确可解的形状不变量子力学系统的本征函数。多指标正交多项式被标记为虚拟状态波函数的多项式部分的次数的集合。对于Laguerre、Jacobi、Wilson和Askey-Wilson类型的多指标正交多项式，两个不同的指标集可以给出等效的多指标正交多项式。我们澄清这些等价性。具有I型和II型指数的多指数正交多项式与具有移位参数的仅I型指数（或仅II型指数）的多指数正交多项式成比例。
2013-12-10 hep-th math-ph math.CA
Associated Lame and various other new classes of elliptic potentials from sl(2,R) and related orthogonal polynomials
利用sl（2，R）生成元的表示，得到了新的一类椭圆势.我们明确地计算这些潜在的特征值和光谱，并构建相关的正交多项式。我们表明，在适当的限制，这些潜力减少到众所周知的完全可解的潜力。
2002-07-20 hep-th math-ph math.MP
Recurrence Relations of the Multi-Indexed Orthogonal Polynomials IV : closure relations and creation/annihilation operators
本文研究了本征函数由Laguerre、Jacobi、Wilson和Askey-Wilson型多指标正交多项式描述的精确可解量子力学系统。对应于$M$指标正交多项式的常系数递推关系，期望系统满足广义闭包关系。事实上，我们可以用小的$M$例子来验证这句话。广义闭包关系给出了某个算子的精确海森堡算子解，并由此得到了系统的产生和湮灭算子。
2016-06-09 hep-th math-ph math.CA
Gegenbauer-solvable quantum chain model
在一个创新的逆问题建设的测量，实验能量$E_1$，$E_2$，.假设量子束缚态系统的$E_N$由一个经典正交多项式$f_N(E)$的N重零点拟合。我们重建的基础哈密顿$H$（在最基本的最近邻相互作用的形式）和基础的希尔伯特空间${\cal H}$的状态（提供了丰富的菜单的非等价内积）。Gegenbauer的超球面多项式$f_n(x)=C_n^α(x)$的技术细节的详细说明。
2010-11-22 math-ph math.MP quant-ph
A Moments' Analysis of Quasi-Exactly Solvable Systems: A New Perspective on the Sextic Anharmonic and Bender-Dunne Potentials
人们对理解准精确可解系统一直有着浓厚的兴趣。在一维中，QES状态采取$Ψ(x) =x^γP_d(x) {\cal A}(x)$的形式，其中${\cal A}(x) > 0$以封闭形式已知，并且$P_d(x)$是待确定的多项式。这是${{Ψ(x)}\over {x^γ{\cal A}(x)}} = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$截断。这种“截断”过程的扩展到非QES状态对应于希尔行列式方法，这是不稳定的{ \it参考}函数假设的物理渐近形式时。最近，Handy和Vrinceanu引入了正交多项式投影量子化（OPPQ）方法，该方法没有这些问题，允许统一分析QES和非QES态。OPPQ使用由${\cal A}$：$Ψ(x) = \sum_{j=0}^\infty Ω_j {\cal P}^{(j)}(x) {\cal A}(x)$的正交多项式构造的非正交基，其中$\langle {\cal P}^{(j_1)}|{\cal A}|{\cal P}^{(j_2)} \rangle = δ_{j_1,j_2}$和$Ω_j = \langle {\cal P}^{(j)}|Ψ\rangle$。对于允许力矩方程表示的系统，例如这里考虑的那些系统，这些系数可以容易地确定。OPPQ量子化条件$Ω_{j} = 0$对于QES态是精确的（提供$j \geq d+1$）;并且对于非QE…
2014-02-24 math-ph math.MP
Two-parameter classes of exactly solvable quantum systems
Saudi Center for Theoretical Physics（沙特理论物理中心）
本文引入双参数类精确可解新系统，其哈密顿算符可在正交基中表示为三对角对称矩阵，波函数展开系数为正交多项式，并发现初始值参数超过临界值时连续谱系统（如自由粒子）中会出现束缚态或共振态。
2026-05-27 math-ph math.MP quant-ph
New solutions of Isochronous potentials in terms of exceptional orthogonal polynomials in heterostructures
本文利用点正则变换在位置依赖质量框架下求解一维薛定谔方程，针对两种位置依赖质量导出了以 $X_m$-Laguerre 多项式表示的新精确可解势和等时势，并证明其具有形状不变性。
2024-01-02 hep-th math-ph math.MP
Quasi-Hermitian Hamiltonians associated with exceptional orthogonal polynomials
利用点正则变换的方法，我们导出了一些严格可解的有理扩展量子哈密顿量，它们本质上是非厄米的，其束缚态波函数是Laguerre型或Jacobi型$X_1$例外正交多项式.借助坐标的虚移：$ e^{-αp} x e^{αp} = x+ i α$，这些汉密尔顿算符被证明是准埃尔米特算符和伪埃尔米特算符。事实证明，相应的能谱是完全真实的。
2012-08-21 hep-th math-ph math.MP
Numerical study of the SWKB condition of novel classes of exactly solvable systems
对于所有已知的具有形状不变性的精确可解量子力学系统，超对称WKB（SWKB）条件都是精确的。近年来，有人指出，对于本征函数由例外正交多项式组成的广义径向振子，即使系统具有形状不变性，其SWKB条件也不是精确的.本文研究了两类新的精确可解系统的SWKB条件：一种是以多指标Laguerre多项式和Jacobi多项式作为特征函数的主要部分，另一种是以Krein-Adler Hermite多项式、Laguerre多项式和Jacobi多项式作为特征函数的主要部分，总是可以从条件中去除$\hbar$依赖性，并且满足一定的精确度。
2020-12-29 hep-th math-ph math.MP
Markov Chains Generated by Convolutions of Orthogonality Measures
利用Krawtchouk，Hahn，Meixner，Charlier，$q$ -Hahn，$q$ -Meixner和小$q$ -雅可比多项式的正交测度的卷积，构造了一维有限和半无限整数格上约20余个精确可解的马尔可夫链.通过构造，由多项式和正交性测度给出了平稳概率分布、特征值和特征向量的完备集。这些固定的概率分布，所谓的“卷积自相似性”，拥有一个有趣的属性，证明。
2022-06-05 math-ph math.CA math.MP
Infinitely many shape invariant potentials and new orthogonal polynomials
给出了三组精确可解的一维量子力学势。这些是通过使径向振子和三角/双曲Pöschl-Teller势根据它们的次数\ell多项式本征函数变形而获得的形状不变势。我们给出了这些哈密顿量（\ell = 1，2，.）新的正交多项式。两个最近报道的形状不变的潜力Quesne和戈麦斯Ullate等人的是第一个成员，这些无限多的潜力。
2009-08-22 hep-th math-ph math.CA
Rationally-extended radial oscillators and Laguerre exceptional orthogonal polynomials in kth-order SUSYQM
将二阶超对称量子力学中精确可解的有理扩展径向振子势和相应的Laguerre例外正交多项式的研究推广到$k$阶超对称量子力学中.确定了势分母中出现的多项式及其次数。一阶微分关系，允许一个获得相关的例外正交多项式从那些出现在（$k-1$）的阶分析建立。利用形状不变性导出了拉盖尔多项式乘积的一些非平凡恒等式。
2011-12-29 hep-th math-ph math.MP
An exactly solvable deformation of the Coulomb problem associated with the Taub-NUT metric
本文证明了$N$维经典哈密顿系统$H= \frac{|q|}{2(η+ |q|)} p^2-\frac{k}{η+|q|}$，它可以看作是具有耦合常数$k$的库仑问题的变形，在极限$η\to 0$内是光滑恢复的.此外，$H$中的动能项正好对应于$N$维陶布-NUT空间，这一事实使得该系统从几何观点来看是相关的。由于哈密顿量$H$是已知的最大超可积，我们提出了一个量子化的处方，保持这种超可积性的量子力学设置。我们表明，为此，必须选择作为动力学部分的哈密顿的共形拉普拉斯的基本黎曼流形，它结合了通常的拉普拉斯-贝尔特拉米算子的陶布-NUT流形和多个标量曲率。因此，我们得到了一个新的精确可解的变形的量子库仑问题，其频谱计算在封闭的形式为正值的$η$和$k$，并显示出众所周知的最大简并的平坦系统中保持变形的情况下。分析了这个新的精确可解量子系统的几个有趣的代数和物理特征，并简述了$η$和/或$k$为负值时的量子化问题.
2014-07-05 math-ph math.MP nlin.SI
Quantum mechanics with orthogonal polynomials
提出了一种基于正交多项式的量子力学公式。波函数在位形空间中展开到一组完备的平方可积基上，展开系数为能量的正交多项式。有关相应的物理系统（结构和动力学）的信息来自这些多项式的属性。我们证明了这种公式的一个优点是，精确可解的非相对论性量子力学问题的类别比传统公式中的大（例如，参见本文中的表1）。
2017-10-13 math-ph math.MP quant-ph
Infinitely many shape invariant discrete quantum mechanical systems and new exceptional orthogonal polynomials related to the Wilson and Askey-Wilson polynomials
给出了与Wilson多项式和Askey-Wilson多项式相关的两组无穷多例外正交多项式。它们被导出为形状不变的本征函数，因此精确可解的量子力学哈密顿量，这是Wilson和Askey-Wilson多项式在次数\ell（\ell = 1，2，.）方面的变形。特征多项式这些多项式是例外的，因为它们从次数\ell \ge 1开始，因此不受Bochner定理的任何推广的约束。
2009-11-12 hep-th math-ph math.CA
A Quantum Exactly Solvable Nonlinear Oscillator with quasi-Harmonic Behaviour
研究了先前在经典水平上分析过的非线性振子的量子形式。这是一个具有$m={(1+λx^2)}^{-1}$形式的依赖于位置的质量和一个依赖于$\la$的非多项式有理势的系统的量子化问题。这个依赖于$\la$的系统可以被认为是谐振子的变形，在这个意义上，对于$\la\to 0$，线性振荡器的所有特性都被恢复。首先，将$\la$相关的薛定谔方程作为Sturm-Liouville问题精确求解，得到了$\la>0$和$\la<0$的$\la$相关的本征能和本征函数.依赖于$\la$的波函数表现为与正交多项式族相关，该正交多项式族可以被认为是标准厄米多项式的$\la$变形。第二部分利用薛定谔分解方法、纠缠哈密顿理论和形状不变性的性质求解了与$\la$相关的薛定谔方程。最后，研究了一类新的正交多项式族。证明了不同阶多项式之间存在$\la$依赖的Rodrigues公式、生成函数和$\la$依赖的递归关系.
2006-04-05 hep-th math-ph math.MP
Sextic anharmonic oscillators and orthogonal polynomials
在对参数a、b、c的一定约束下，六次非谐振子势的薛定谔方程-y”（x）+（ax^6+bx^4+cx^2）y（x）= Ey（x），a > 0是精确可解的.本文证明了精确波函数y是能量变量E中正交多项式P_n^{（t）}（x）的母函数。这些多项式的一些属性进行了详细讨论，我们的分析揭示了缩放和因式分解的性能，是中央准精确解。我们还证明了这组正交多项式可以通过一个简单的标度变换约化为最近由Bender和Dunne发现的一类显著的正交多项式P_n（E）=P_n^{（0）}（E）。
2006-05-18 math-ph math.MP
New families of superintegrable systems from Hermite and Laguerre exceptional orthogonal polynomials
近年来，许多例外正交多项式（EOP）被引入并用于构造新的一维精确可解量子势族，其中一些势是形状不变的。本文从Hermite和Laguerre EOP及其相关的量子系统出发，构造了新的具有高阶运动积分的二维超可积Hamilton算子和由其运动积分生成的多项式代数.我们得到了多项式代数的有限维酉表示和相应的能量谱。我们还指出了一种新的类型的退化的能级的这些系统，是与空穴序列的EOP。
2012-11-13 math-ph math.MP quant-ph
Quantum vs classical Markov chains; Exactly solvable examples
本文提出图上可逆马尔可夫链的无硬币量子化方法，通过相似变换构造量子哈密顿量，并基于Askey方案中的正交多项式给出二十多个精确可解例子，以展示量子与经典马尔可夫链的对比。
2025-04-09 math-ph math.MP math.PR
Dual Polynomials of the Multi-Indexed ($q$-)Racah Orthogonal Polynomials
我们考虑多指标（$q$ -）Racah正交多项式的对偶多项式。$M$ -指标（$q$ -）Racah多项式满足二阶差分方程和各种常系数$1+2L$（$L\geq M+1$）项递推关系.因此，它们的对偶多项式满足三项递推关系和各种$2L$阶差分方程.这意味着对偶多指标（$q$ -）Racah多项式是普通正交多项式和Krall型。我们得到了新的精确可解的实位移离散量子力学，其特征向量由对偶多指标（$q$ -）Racah多项式描述.这些量子系统满足闭合关系，由此得到产生/湮灭算符，但它们不是形状不变的。
2018-06-08 hep-th math-ph math.CA
Orthogonal Polynomials from Hermitian Matrices
本文通过有限维和无限维埃尔米特矩阵的本征值问题，给出了离散变量正交多项式的统一理论。它可以被认为是精确可解的薛定谔方程的矩阵形式。埃尔米特矩阵（可分解的哈密尔顿算子）是对应于二阶差分方程的实对称三对角（Jacobi）矩阵。通过用两种不同的方法求解本征值问题，明确地建立了本征多项式及其对偶多项式的对偶关系。利用Heisenberg算子精确解和形不变性技术，明确地确定了各种量、两类本征值（本征值和正弦坐标）、三项递推系数、归一化测度和归一化常数等。
2008-02-27 hep-th math-ph math.CA
