arXivDaily arXiv每日学术速递 周一至周五更新
arXiv 2001.03922math.CO
收藏

舒伯特多项式的补

Complements of Schubert polynomials

Neil J. Y. Fan, Peter L. Guo, Nicolas Y. Liu

备注：
14 pages, 8 figures
阅读 PDF
arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

AI总结：

本文研究舒伯特多项式的补何时仍为舒伯特多项式，证明补为舒伯特多项式时组合必须是划分，并给出阶梯划分情形下置换避免132和312模式的充要条件，提出猜想性刻画。

摘要：

设 $\mathfrak{S}_w(x)$ 为集合 $\{1,2,\ldots,n\}$ 上置换 $w$ 的舒伯特多项式。对于任意给定的组合 $\mu$，我们称 $x^\mu\mathfrak{S}_w(x^{-1})$ 为 $\mathfrak{S}_w(x)$ 关于 $\mu$ 的补。当 $\mu$ 的每个分量都等于 $n-1$ 时，Huh、Matherne、Mészáros 和 St. Dizier 证明了 $x^\mu\mathfrak{S}_w(x^{-1})$ 的规范化是洛伦兹多项式。他们进一步猜想 $\mathfrak{S}_w(x)$ 的规范化是洛伦兹的。可以证明，如果存在一个组合 $\mu$ 使得 $x^\mu\mathfrak{S}_w(x^{-1})$ 是舒伯特多项式，那么 $\mathfrak{S}_w(x)$ 的规范化将是洛伦兹的。这促使我们研究 $x^\mu\mathfrak{S}_w(x^{-1})$ 何时是舒伯特多项式的问题。我们证明，如果 $x^\mu\mathfrak{S}_w(x^{-1})$ 是舒伯特多项式，则 $\mu$ 必须是划分。我们还考虑了 $\mu$ 为阶梯划分 $\delta_n=(n-1,\ldots,1,0)$ 的情形，并得到 $x^{\delta_n}\mathfrak{S}_w(x^{-1})$ 是舒伯特多项式当且仅当 $w$ 避免模式 132 和 312。我们提出了关于 $x^\mu\mathfrak{S}_w(x^{-1})$ 何时是舒伯特多项式的一个猜想性刻画。

英文摘要：

Let $\mathfrak{S}_w(x)$ be the Schubert polynomial for a permutation $w$ of $\{1,2,\ldots,n\}$. For any given composition $μ$, we say that $x^μ\mathfrak{S}_w(x^{-1})$ is the complement of $\mathfrak{S}_w(x)$ with respect to $μ$. When each part of $μ$ is equal to $n-1$, Huh, Matherne, Mészáros and St.\,Dizier proved that the normalization of $x^μ\mathfrak{S}_w(x^{-1})$ is a Lorentzian polynomial. They further conjectured that the normalization of $\mathfrak{S}_w(x)$ is Lorentzian. It can be shown that if there exists a composition $μ$ such that $x^μ\mathfrak{S}_w(x^{-1})$ is a Schubert polynomial, then the normalization of $\mathfrak{S}_w(x)$ will be Lorentzian. This motivates us to investigate the problem of when $x^μ\mathfrak{S}_w(x^{-1})$ is a Schubert polynomial. We show that if $x^μ\mathfrak{S}_w(x^{-1})$ is a Schubert polynomial, then $μ$ must be a partition. We also consider the case when $μ$ is the staircase partition $δ_n=(n-1,\ldots, 1,0)$, and obtain that $x^{δ_n} \mathfrak{S}_w(x^{-1})$ is a Schubert polynomial if and only if $w$ avoids the patterns 132 and 312. A conjectured characterization of when $x^μ\mathfrak{S}_w(x^{-1})$ is a Schubert polynomial is proposed.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

↑