The 6 Vertex Model and Schubert Polynomials
Alain Lascoux
我们枚举具有固定的左栏和右栏的楼梯。这些对象对应于冰配置，或交替符号矩阵，具有固定的顶部和底部部分。得到的分拆函数等于一些舒伯特多项式，直到归一化因子。
We enumerate staircases with fixed left and right columns. These objects correspond to ice-configurations, or alternating sign matrices, with fixed top and bottom parts. The resulting partition functions are equal, up to a normalization factor, to some Schubert polynomials.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Bijective Proofs of Monk's rule for Schubert and Double Schubert Polynomials with Bumpless Pipe Dreams
我们给双射证明蒙克的规则舒伯特和双舒伯特多项式计算与颠簸的白日梦。特别是，他们专门研究舒伯特多项式和双舒伯特多项式的转换和共转换公式的双射证明，这些公式可以用来建立双射。
Inclusion-exclusion on Schubert polynomials
我们证明了包含-排除启发的舒伯特多项式的排列，避免模式1432和1423的表达是非负的。我们的定理包含了对高一波最近关于舒伯特多项式的主要特化的一个猜想的部分肯定回答。我们提出了一个通用的框架，寻找包容-排斥启发的舒伯特多项式的所有排列的表达。
Schubert polynomials, 132-patterns, and Stanley's conjecture
受R. P. Stanley给出了舒伯特多项式的系数之和在$132$ -模式包容下的下界。
Connection between Schubert polynomials and top Lascoux polynomials
本文通过一个简单算子建立Schubert多项式与top Lascoux多项式的联系，证明二者结构常数相同，并转化若干组合公式结果。
Single-SEM Schubert Polynomials
本文通过模式避免条件刻画了哪些置换的舒伯特多项式为标准初等单项式，从而识别最易计算的量子舒伯特多项式，并将类似结果推广到完全齐次单项式。
Notes on Schubert, Grothendieck and Key Polynomials
我们介绍常见的推广（双）舒伯特，格罗滕迪克，Demazure，对偶和稳定的格罗滕迪克多项式，和迪Francesco-Zinn-Justin多项式。我们的方法是基于研究的代数和组合性质的减少矩形plastic代数和相关的柯西核。
Determinantal identities for flagged Schur and Schubert polynomials
我们证明了一个家庭的标志舒尔多项式新的行列式的身份。作为这些恒等式的推论，我们得到了某些vexillary置换的Schubert多项式的行列式表达式。
Schubert Polynomials and Elementary Symmetric Products
本文研究了施布特多项式分解为初等对称多项式的问题，提出基于排列模式回避的猜想，并探讨了其在代数组合学中的意义。
Tower tableaux and Schubert polynomials
我们证明了著名的条件是一个平衡的标签可以在塔图的滑动算法的特点。该特征涉及作者的Rothification算法的推广。利用这一刻画，我们得到了Schubert多项式和Stanley对称函数的刻画。
Dual Schubert polynomials via a Cauchy identity
本文通过组合证明建立了Postnikov-Stanley对偶舒伯特多项式公式与经典柯西恒等式的等价性，从而为Huang和Pylyavskyy的插入算法提供了自然解释。
Newton polytopes of dual Schubert polynomials
本文完整刻画了对偶舒伯特多项式的支撑集，为Huh等人2022年证明的M-凸性提供了初等替代证明，并进一步组合刻画了其牛顿多面体的顶点。
Orthogonal divided differences and Schubert polynomials, P-functions, and vertex operators
本文给出了几个新的公式，这些公式对于与正交群及相关的正交退化轨迹有关的Schubert演算是有用的。
Some results related to the slide decomposition of Schubert polynomials
该研究推广子词复形相关证明方法，验证Schubert多项式的森林多项式展开对应子词复形子球求和，给出Monk法则等的双射与表复形相关结论，否定了滑动多项式是矩阵Schubert簇Gröbner退化的猜想。
Principal specializations of Schubert polynomials and pattern containment
我们证明了Schubert多项式在$w$上的主特化由$1+p_{132}(w)+p_{1432}(w)$下界，其中$p_u(w)$是模式$u$在$w$中出现的次数，加强了A.魏甘特然后，我们提出了一个猜想有关的主要专业化的舒伯特多项式的模式包含。最后，我们刻画了置换$w$的RC-图连接的简单的梯子移动通过模式避免。
Principal specializations of Schubert polynomials in classical types
A型舒伯特多项式作为约化字的加权和的主特化有一个显着的公式。采取适当的限制转换为一个身份的后稳定舒伯特多项式最近介绍林，李和Shimozono。本注记确定了后一个公式的一些类似物，用于经典类型B、C和D中舒伯特多项式的主要特化。我们还描述了格罗滕迪克多项式的一些更一般的等式。作为一个相关的应用，我们推导出了对合格罗滕迪克多项式的一个白日梦公式的简单证明。
On the Ehrhart Polynomial of Schubert Matroids
本文给出了Schubert拟阵多胞形伸缩的格点数公式。作为应用，我们得到了一致拟阵和极小拟阵的Ehrhart多项式的特殊情形，并给出了$(a,b)$ -Catalan拟阵的Ehrhart多项式的递推公式. Ferroni证明了均匀拟阵和极小拟阵是Ehrhart正的。我们证明了所有的稀疏铺路Schubert拟阵是Ehrhart正的，并且它们的Ehrhart多项式被极小的和一致的拟阵的Ehrhart多项式系数有界。这证实了Ferroni对稀疏铺路Schubert拟阵的一个猜想。此外，我们还引入了凹口矩形拟阵，包括极小拟阵、稀疏铺路Schubert拟阵和柄状拟阵。我们证明了三个带切口的矩形拟阵是Ehrhart正的，并推测所有带切口的矩形拟阵都是Ehrhart正的。
Zero-one Schubert polynomials
我们证明，如果$σ\in S_m$是$w \in S_n$的模式，那么我们可以表示舒伯特多项式$\mathfrak{S}_w$作为一个单项式倍$\mathfrak{S}_σ$（在重索引变量）加上一个多项式的非负系数。这意味着舒伯特多项式的所有系数都等于0或1的排列集合在模式包含下是封闭的。使用Magyar的martitia，我们的特点是这个类的12个避免模式的列表。我们还给出了$\mathfrak{S}_w$为0 - 1的其它等价条件。在这种情况下，舒伯特多项式$\mathfrak{S}_w$等于广义置换面体的整数点变换。
Forest Polynomials and Pattern Avoidance
本文研究了森林多项式与Schubert多项式之间的关系，发现Schubert多项式为森林多项式当且仅当对应的置换避免特定模式。
Schubert polynomials as integer point transforms of generalized permutahedra
我们证明了任何图的标记Weyl模的对偶特征是广义置换面体的正加权整点变换。特别地，Schubert多项式和Key多项式是广义置换面体的正加权整数点变换。这意味着Monical，Tokcan和Yong最近的几次会面。
Determinantal Formulas for SEM Expansions of Schubert Polynomials
我们表明，任何置换$w$，避免了一定的一组13个模式的长度为5和6，舒伯特多项式$\mathfrak S_w$可以表示为矩阵的行列式的基本对称多项式的方式类似的雅可比-特鲁迪身份。对于这样的$w$，这个行列式公式等价于$\mathfrak S_w$在标准初等单项式的基础上的（带符号的）无减法展开。
A generalization of Edelman--Greene insertion for Schubert polynomials
Edelman和Greene将Robinson-Schensted-Knuth对应推广到约化词，以给出Stanley对称函数的Schur正性的双射证明。对于一般线性群，Stanley对称函数可作为Schubert多项式的稳定极限，Schur函数可作为Demazure特征标的稳定极限.我们修改的Edelman-Greene对应给出一个类似的，明确的公式德马泽字符扩展的舒伯特多项式。我们的技术利用对偶等价及其多项式变分，但在这里，我们演示了如何从该机器中提取明确的公式，这些公式也可以应用于其他正性问题。
An efficient algorithm for deciding vanishing of Schubert polynomial coefficients
舒伯特多项式是所有多项式的基，它出现在旗流形的上同调环的研究中。舒伯特多项式的消失问题询问舒伯特多项式的系数是否为零。我们给出了解决这个问题的一个tableau准则，并由此导出了第一个多项式时间算法。这些结果是从新的特征的Schubitope，广义的permutahedron定义为任何子集的n × n网格。相比之下，我们表明，计算这些系数显式是P-完全的。
Derivatives of padded Schubert polynomials through pipe dreams
本文利用管道梦想的组合方法，为 Gaetz 和 Tung 关于对偶微分算子 $Δ$ 作用于 $π$-填充舒伯特多项式时的正性结果提供了一个新证明。
Differential operators on Schur and Schubert polynomials
本文研究后稳定Schubert多项式上的减算子。研究了两个满足Leibniz规则的$-1$次算子$ξ$和$\nabla$.此外，我们表明，所有其他这样的运营商是$ξ$和$\nabla$的线性组合。对于Schur函数的情况，这两个算子完全确定Schur函数的乘积，即，可以仅从$ξ$和$\nabla$定义Littlewood-Richardson系数。这种新的观点舒尔函数给我们一个初步的证明Giambelli身份和雅可比-特鲁迪身份。对于Schubert多项式的情形，我们构造了一类更大的减算子作为$ξ$和$\nabla$的表达式，并用Young图来表示.令人惊讶的是，这些算子与斯坦利对称函数有关。特别地，我们将玻色子算子从Schur推广到Schubert多项式。
Mitosis recursion for coefficients of Schubert polynomials
有丝分裂是由[Knutson-Miller，2002]引入的用于操纵n乘n网格的子集的规则。它提供了一个算法，通过弱Bruhat阶的向下归纳列出S_n中置换w的约化白日梦（也称为rc图）[Fomin-Kirillov，Bergeron-Billey]，从而归纳生成Schubert多项式[Lascoux-Schutzenberger]的系数。本文对有丝分裂的这些性质提供了一个简短而纯粹的组合证明。
Tableau formulas for skew Schubert polynomials
本文研究由 Weyl 群斜元素指标的斜 Schubert 多项式，在四种经典李型中建立其双重版本的表公式，并推广 double Schur、theta、eta 及既有对称 Schubert 多项式结果。
Multiplication of a Schubert polynomial by a Stanley symmetric polynomial
我们证明，组合，由斯坦利对称多项式的舒伯特多项式的产品是一个截断的舒伯特多项式。利用Monk规则，我们得到了截断Schubert多项式的Schubert多项式展开式的一个非负组合公式。结合这些结果，我们给出了Schubert基上Schubert多项式与Schur多项式乘积的一个非负组合规则。
Derivatives of Schubert polynomials and proof of a determinant conjecture of Stanley
研究了微分算子对Schubert多项式的作用。利用这个作用，我们首先给出了I的一个恒等式的一个简短的新证明。Macdonald（1991年）。然后我们证明了R的一个行列式猜想。Stanley（2017）.这个猜想暗示了对称群上弱序的（强）Sperner性质，这是C. Gaetz和Y. Gao（2018）.
Generalized permutahedra and Schubert calculus
我们将广义置换面体与舒伯特演算联系起来。从而给出了旗簇的Schubert相交数的充分消失准则。我们的论点利用最近的事态发展，在研究Schubitopes，这是牛顿多面体的舒伯特多项式。结果Tableau测试在多项式时间内执行。
A combinatorial proof that Schubert vs. Schur coefficients are nonnegative
给出了舒伯特多项式与舒尔多项式的乘积是舒伯特多项式的非负和的组合证明。我们的证明使用阿萨夫的对偶等价理论表明，拟对称函数的Bergeron和Sottile是舒尔积极的。通过布赫和米哈尔恰的几何比较定理，这意味着格拉斯曼的Gromov-Witten不变量的非负性。
Schubert polynomial expansions revisited
本文提出一种仅用除差形式主义的初等方法，通过求解特定方程获得非负的 Schubert 多项式展开式，并证明滑动多项式满足类似形式主义，从而简化系数提取。
Asymptotics of principal evaluations of Schubert polynomials for layered permutations
本文解决Stanley关于舒伯特多项式最大主赋值极限的猜想，以及Merzon与Smirnov关于该最大值由分层置换实现的猜想，明确了相关极限的存在性。
Schur times Schubert via the Fomin-Kirillov algebra
研究了任意Schubert多项式$\mathfrak{S}_w$与Schur多项式$s_λ$（Grassmannian置换的Schubert多项式）的乘积及其在Schubert多项式环中的展开.我们推导出显式的非负组合表达式的某些特殊分区$λ$，包括挂钩和2 × 2盒的膨胀系数。当$λ$的Young图是一个钩子加一个在（2，2）角上的盒子时，我们也证明了这种非负展开的存在性.我们实现这一点，通过评估舒伯特多项式的Dunkl元素的Fomin-Kirillov代数和证明特殊情况下的非负猜想的Fomin和Kirillov。这种方法适用于复旗帜流形的（小）量子上同调环和相应的（3点）Gromov-Witten不变量的更一般的设置。我们提供了一个代数组合证明的Gromov-Witten不变量在这些情况下的非负性，并提出这些系数的组合表达式。
Quantum double Schubert polynomials represent Schubert classes
量子双舒伯特多项式研究基里洛夫和Maeno，并由Ciocan Fontanine和富尔顿，显示代表舒伯特类在金的介绍等变量子上同调的旗品种。我们定义了量子双舒伯特多项式的抛物型类似物，并证明了它们表示部分旗簇的等变量子上同调的舒伯特类。对于完全标志，Anderson和Chen用不同的方法给出了一个证明.
Padded Schubert polynomials and weighted enumeration of Bruhat chains
我们证明了一个共同的推广的事实，即在对称群上的强Bruhat阶的最大链的加权数是${n \choose 2}!$的代码重量和Chevalley重量。我们还定义了权重，给出了一个参数的家庭强的顺序类似物麦克唐纳的减少字身份的舒伯特多项式。
Schubert matroids, Delannoy paths, and Speyer's invariant
本文通过枚举Delannoy路径并引入新的基统计量，给出了Schubert拟阵的Speyer $g$-多项式的组合计算公式，揭示了其正性性质，并推广到任意拟阵的计算算法。
Schubert Polynomials in Types A and C
A型舒伯特多项式的丰富版本被构造成具有在变量$c_1, c_2, \ldots$中的多项式环中的系数。将这些变量专门化为$0$可以恢复Lascoux和Schützenberger的双舒伯特多项式;将它们专门化为某些幂级数可以恢复Lam、Lee和Shimozono的后稳定双舒伯特多项式;将它们专门化为Schur Q多项式可以将它们与Ikeda、Mihalcea和Naruse的C型双舒伯特多项式联系起来。许多经典舒伯特多项式的公式推广到这个设置。他们给出，并具有其特点，公式退化轨迹。
Castelnuovo-Mumford regularity of skew-symmetric matrix Schubert varieties
本文通过给出辛Grothendieck多项式次数的组合公式，计算了斜对称矩阵Schubert簇的Castelnuovo-Mumford正则度，并刻画了其最高次齐次分量及最大正则度。
On Double Schubert and Grothendieck polynomials for Classical Groups
本文给出了与经典型$A,B, C$和$D$李群的满旗簇对应的双Schubert多项式和双$β$-Grothendieck多项式的（非交换）生成函数的代数组合构造.我们的方法是基于某些"转移矩阵“的分解对应的指数解的量子杨-巴克斯特方程的NiCoxeter或IdCoxeter代数的经典类型。我们引入的“三元”$β$多项式${\mathfrak{G}}_{w}^{W}(X,Y,Z)$满足相干条件和（广义）消失条件.它们的生成函数在代数$Id_βCoxeter(W)$中有一个很好的因式分解，因此，多项式${\mathfrak{G}}_{w}^{W}(X,Y,Z)$允许用$W$型白日梦的形式进行组合描述。
Principal specialization of dual characters of flagged Weyl modules
Schur多项式是Schubert多项式的特例，而Schubert多项式又是标记Weyl模的对偶特征标的特例。舒尔和舒伯特多项式的主特化有着悠久的历史，麦克唐纳用简化的词表达了任何舒伯特多项式的主特化。研究了带标记Weyl~模的对偶特征标的主特殊化.我们的结果产生了另一种证明的猜想斯坦利的主要专业化的舒伯特多项式，最初证明了Weigandt。
Schubert Calculus, Schubert Cell, Schubert Cycle, and Schubert Polynomials
我们简要介绍了四个主题：舒伯特微积分，舒伯特细胞，舒伯特循环和舒伯特多项式。
Bruhat order, smooth Schubert varieties, and hyperplane arrangements
本文的目的是将旗流形中的舒伯特簇与超平面排列联系起来。对于一个置换，我们构造了一个特定的图超平面排列。我们表明，这种安排的区域的生成函数与相应的舒伯特品种的庞加莱多项式相一致，当且仅当舒伯特品种是光滑的。给出了Poincare多项式的一个显式组合公式。我们的主要技术工具是弦图和完全消去序。
A Geometric Definition Of Schubert Polynomials and Dual Schubert Polynomials For Classical Lie Groups
本文首先讨论了投射Stiefel流形的拓扑性质，计算了它们的上同调环，并对它们的上同调自同态进行了分类;然后通过将经典李群的旗流形嵌入到其对应的无穷维投射Stiefel流形（它与无穷维复射影空间$\mathbb{C}P^{\infty}$的乘积同伦）中，定义了Schubert多项式和对偶Schubert多项式.最后讨论了这些多项式的性质和计算方法。
Skew Schubert polynomials
我们定义斜舒伯特多项式的规范形式（多项式）的代表某些类的上同调旗流形。我们表明，这个定义扩展了最近的舒伯特多项式建设由于Bergeron和Sottile在某些增加标记链的Bruhat顺序的对称群。这些斜舒伯特多项式扩展的基础上的舒伯特多项式的非负整数系数，正是结构常数的上同调的复旗品种就其基础的舒伯特类。我们重新推导的Bergeron和Sottile在一个纯粹的组合方式的建设，有关它的建设舒伯特多项式的rc-图。
Knuth moves for Schubert polynomials
本文研究完全旗流形舒伯特计数中具有结合性质的一类plactic双字，引入其上的Knuth变换类似物，并证明具有相同插入无凸点管道梦的任意两个plactic双字均可通过这些变换连接。
A bijective proof of Kohnert's rule for Schubert polynomials
Kohnert提出了Schubert多项式作为由置换的Rothe图得到的某些晶胞图的生成多项式的第一个单项正公式。Billey，Jockusch和Stanley给出了第一个证明公式舒伯特多项式作为生成多项式的兼容序列的减少字的置换。在本文中，我们给出了这两个模型之间的一个明确的双射，从而明确地证明了舒伯特多项式的Kohnert规则。
Schubert polynomial analogues for degenerate involutions
本文综述了对合舒伯特多项式的最新研究，并给出了一个适度的推广，我们称之为退化对合舒伯特多项式。给出了（退化）对合Schubert多项式具有简单因式分解公式的几个条件。这样的多项式可以通过遍历链在某些弱序偏序集计算，我们提供明确的描述，这样的链在弱序对合和退化对合。作为应用，我们给出了几个例子，说明舒伯特多项式的某些无乘法和如何完全分解为非常简单的线性因子。
Schubert polynomials as projections of Minkowski sums of Gelfand-Tsetlin polytopes
Gelfand-Tsetlin多面体是代数组合学中的经典对象，产生于$\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})$的表示论。Gelfand-Tsetlin多面体$\mathrm{GT}(λ)$的整数点变换投影到Schur函数$s_λ$。Schur函数形成了对称函数环的一个特殊的基;它们也是Schubert多项式$\mathfrak{S}_{w}$的特例，对应于格拉斯曼置换。对于任意具有列凸Rothe图的置换$w \in S_n$，构造了一个多面体$\mathcal{P}_{w}$，其整数点变换投影到Schubert多项式$\mathfrak{S}_{w}$上.至少从1994年Grossberg和Karshon构造扭曲立方体以来，一直在寻求这样的构造，其整数点变换对所有$w \in S_n$投影到舒伯特多项式$\mathfrak{S}_{w}$。然而，扭曲立方体不是诚实的多面体;相反，人们可以把它们看作是带符号的多面体复形。我们的多胞体$\mathcal{P}_{w}$是一个凸多胞体。我们还表明，$\mathcal{P}_{w}$是不同大小的Gelfand-Tsetlin多面体的Minkowski和。当置换$w$是格拉斯曼置换时，恢复了Gelfand-Tsetlin多面体.我们的结论表明，Gelfand-Tsetlin多面体是一个流多面体。
Maximal fillings of moon polyominoes, simplicial complexes, and Schubert polynomials
我们表现出一个典型的连接之间的最大（0，1）-填充的月亮polyomino避免东北链的给定长度和减少白日梦的某个排列。按照这种方法，我们证明了这种最大填充的单纯复形是一个顶点可分解的，因此壳，球。特别是，这意味着一个积极的结果舒伯特多项式。对于费勒斯形状，我们还构造了一个双射最大的填充避免东南链的相同长度，专门的双射之间的k-三角形的n-边形和k-球迷的戴克路径的长度为2（n-2k）。利用这一点，我们翻译的k-triangulations与旋转的语言的k-标记的tableaux与促进一个固定的循环筛选现象。
Back stable K-theory Schubert calculus
研究了无限旗簇的后稳定$K$ -理论Schubert演算.定义了后稳定（双）Grothendieck多项式和双$K$ -Stanley函数，建立了余积展开式.应用Weigandt的工作，我们将以前关于无扰动幻梦的结果从上同调推广到$K$ -理论.本文研究了后稳定Grothendieck多项式环的有限性和正性，以及$K$ -同调中均差算子.
Schubert polynomials and Arakelov theory of orthogonal flag varieties
本文提出了一种组合显式Schubert多项式理论，它表示正交旗簇的上同调环的Borel表示中的Schubert类.我们使用这些多项式来描述这些空间上的算术舒伯特演算。给出了自然算术相交数的计算方法，并证明了它们都是有理数。
Schubert Calculus and the Heisenberg Algebra
本文利用后稳定舒伯特多项式建立海森堡代数表示的同构，并用二维费米子模型解释无限置换及舒伯特多项式的管道梦模型。
Catalan numbers and Schubert polynomials for $w=1(n+1)... 2$
证明了当$w=1(n+1)...2$满足时，Schubert多项式S_w特殊化为Catalan数C_n.这个结果的几个证明以及一个q-模拟。给出了Schubert簇的奇异性的一个应用。
Schubert polynomials, the inhomogeneous TASEP, and evil-avoiding permutations
考虑一个由n个围绕一个环排列的格点组成的格点，其中$n$格点被权重为$\{1,2,\dots,n\}$的粒子占据;格点中粒子的可能排列因此对应于$S_n$中的$n!$排列。非齐次完全非对称简单排除过程（TASEP）是排列集上的马尔可夫链，其中两个相邻的权重为$i<j$的粒子以$x_i - y_{n+1-j}$的速率交换位置，如果权重为$j$的粒子在权重为$i$的粒子的右边。（否则什么都不会发生）。在$y_i=0$对所有$i$的情况下，Lam-Williams将平稳分布与Schubert多项式联系起来，Ayyer-Linusson和Arita-Mallick随后给出了多线排队的稳态概率的显式公式。在一般$y_i$的情况下，Cantini证明了$n!$态的$n$的概率与双舒伯特多项式的乘积成正比。本文引入了避恶置换类，即避开模式$2413, 4132, 4213$和$3214$的置换。我们证明了在$S_n$中存在$\frac{(2+\sqrt{2})^{n-1}+(2-\sqrt{2})^{n-1}}{2}$避恶置换，并且对于每个避恶置换$w$，我们给出了作为双Schubert多项式乘积的稳态概率$ψ_w$的显式表达式.我们还表明，在这些公式中出现的舒伯特多项式标记舒尔函数，并给出了双射在这种情况下，多线队列和半标准的杨tableaux。
Quantum bumpless pipe dreams
针对量子双舒伯特多项式缺乏组合表述的问题，提出量子无碰撞管道梦想的推广概念，给出其作为量子无碰撞管道梦想二项式权重之和的组合公式，并通过双射证明验证了公式正确性。
Complements of Schubert polynomials
本文研究舒伯特多项式的补何时仍为舒伯特多项式，证明补为舒伯特多项式时组合必须是划分，并给出阶梯划分情形下置换避免132和312模式的充要条件，提出猜想性刻画。
Schubert polynomials, slide polynomials, Stanley symmetric functions and quasi-Yamanouchi pipe dreams
我们引入了两个新的多项式的基地，解除单项式和基本拟对称函数的完整多项式环。通过定义一个新的条件上的梦想，所谓的准山之内，我们给出了一个积极的组合规则扩展舒伯特多项式到这些新的基地，平行的扩张Schur函数到基本的准对称函数。结果，我们得到了Schubert多项式到Stanley对称函数的稳定极限的一个改进。我们还给出了这些基的正结构常数的组合规则，分别推广了拟混洗积和混洗积。我们用它来给一个Littlewood-理查森规则的舒伯特多项式的产品扩展到基本滑动多项式，并给出公式的产品的斯坦利对称函数的舒伯特结构常数。
Schubert polynomials and the inhomogeneous TASEP on a ring
考虑一个由n个围绕一个环排列的格点组成的格点，其中$n$格点被权重为$\{1,2,\dots,n\}$的粒子占据;格点中粒子的可能排列因此对应于$S_n$中的$n!$排列。\emph{inhomogeneous totally asymmetric simple exclusion process}（或TASEP）是排列集合上的马尔可夫链，其中如果权重为$j$的粒子位于权重为$i$的粒子的右侧，则权重为$i<j$的两个相邻粒子以速率$x_i - y_{n+1-j}$交换位置。（否则什么都不会发生）。在$y_i=0$对所有$i$的情况下，Lam-Williams将稳态分布与Schubert多项式联系起来，Ayyer-Linusson和Arita-Mallick随后给出了多线队列的稳态概率的显式公式。在一般的$y_i$的情况下，Cantini证明了$n!$态的$n$具有与双舒伯特多项式成比例的概率。本文引入了\emph{evil-avoiding permutations}类，它是避开模式$2413, 4132, 4213$和$3214$的置换.我们证明了在$S_n$中存在$\frac{(2+\sqrt{2})^{n-1}+(2-\sqrt{2})^{n-1}}{2}$避恶置换，并且对于每个避恶置换$w$，我们给出了作为双Schubert多项式乘积的稳态概率$ψ_w$的显式.我们还表明…
Combinatorial $B_n$-analogues of Schubert polynomials
Schubert多项式的组合$B_n$ -类似物和相应的对称函数是由包含超八面体群的nilCoxeter代数的$B_n$ -Yang-Baxter方程的指数解构造的.
Schubert polynomials and Arakelov theory of symplectic flag varieties
设X是辛群的旗簇。本文提出了一个组合显式Schubert多项式理论，它表示X的上同调环的Borel表示中的Schubert类。我们用这些多项式来描述X上的算术Schubert演算。此外，我们还给出了计算X上自然算术Chern数的方法，并证明了它们都是有理数。
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