The Brouwer fixed point theorem and the Borsuk--Ulam theorem
这些非正式的笔记，不打算出版，提供了一种方法，博苏克-乌拉姆定理通过斯托克斯定理，在类似的精神利马的证明布劳威尔不动点定理。它们旨在让任何具有基本点集拓扑和几个变量微积分知识的人都可以访问。有些论点依赖于谢平以前的想法。
2012-05-21 math.AT
$Z_2$-bordism and the Borsuk-Ulam Theorem
对给定的整数$m,\, n\geq 1$，根据{ \it Borsuk-Ulam性质}，对每个连续映射$ϕ: X \to R^n$存在点$x\in X$使得$ϕ(x)=ϕ(τ(x))$，对具有自由光滑对合$τ$的闭光滑$m$ -流形$X$的边类进行分类.我们将根据以下三种可能的情况对给定的自由$Z_2$ -边界类$α$进行分类：（a）$α$的所有代表$(X , τ)$满足Borsuk-Ulam性质; \（b）存在$α$的代表$(X_ 1, τ_1)$和$(X_2, τ_2)$，使得$(X_1, τ_1)$满足Borsuk-Ulam性质，但$(X_2, τ_2)$不满足; \（c）没有$α$的代表$(X , τ)$满足Borsuk-Ulam性质。
2015-04-21 math.AT
A simple proof of the Borsuk-Ulam theorem for Z_p-actions
本文给出了$Z_p$ -作用的Borsuk-Ulam定理的一个简单证明。证明了：若$S^n$和$S^m$具有自由$Z_p$ -作用（p素数）且$f: S^n \to S^m$是$Z_p$ -等变映射，则$n \leq m$ .
2010-08-06 math.AT
Borsuk-Ulam property for graphs
对于有限连通图$Γ$和$G$，其中$Γ$允许自由对合$τ$，我们刻画了在Gonçalves，Guaschi和Casteluber-Laass意义下Borsuk-Ulam性质成立的基同伦类$α\in[Γ,G]$，即，同伦对$α$进行分类，使得它的每个代表$f\inα$对于某些$x\inΓ$满足$f(x) = f(τ\cdot x)$。这是通过一个图形编织群的角度来看，通过使用离散的莫尔斯理论的帮助。
2022-11-10 math.AT
On Borsuk-Ulam theorems and convex sets
利用介值定理给出了Adams，Bush和Frick的Borsuk-Ulam定理的初等证明：若$f: S^1\to R^{2k+1}$是$C$中单位圆$S^1$上的连续函数，使得对于所有$f(-z)=-f(z)$，然后存在$S^1$的有限子集$X$，其直径至多为$π-π/(2k+1)$（在标准度量中，圆具有长度为$2π$的周长），使得$f(X)$的凸包包含$0\in R^{2k+1}$。
2022-08-23 math.AT
Some remarks on the parametrized Borsuk-Ulam theorem
给定一个局部平凡纤维丛$E \to B$（含纤维和基有限复形），一个$E$上的正交实线丛$λ$和一个$B$上的实向量丛$ξ$，考虑$B$上的纤维映射$f : S(λ) \to ξ$定义在$λ$的单位球丛上.在Jaworowski和Dold关于参数化Borsuk-Ulam定理的基础上，我们研究了$S(λ)$中的点集$v$的上同调维数的下界，使得$f(v) = f(-v)$ .
2017-11-07 math.AT
The Borsuk-Ulam theorem for n-valued maps between surfaces
本文分析了曲面间多重映射的一类Borsuk-Ulam定理的有效性。我们发展了一个代数技术，涉及辫子群来研究这个问题的$n$值的地图。作为第一个应用程序，我们描述了当博苏克-乌拉姆定理持有分裂和非分裂multimaps $ϕ\colon X \multimap Y$在以下两种情况下：$(i)$ $X$是$2$ -球方程与对映对合和$Y$是一个闭曲面或欧几里德平面; $(ii)$ $X$是一个闭曲面不同的$2$ -球方程与自由对合$τ$和$Y$是欧几里德平面。结果是详尽的，并在$(ii)$的情况下描述的代数条件，涉及的轨道空间$X / τ$的第一个积分同调群。
2023-01-17 math.AT
Borsuk--Ulam theorems for elementary abelian 2-groups
设$G$是紧李群，$U$和$V$是具有$V^G=0$的有限维实$G$ -模. Marzantowicz，de Mattos和dos Santos的一个定理估计了当$G$是初等初等交换$p$ -群时，从$U$中的单位球面到$V$的$G$ -映射的零集的覆盖维数，其中$p$是素数$p$或环面.本文利用经典的Borsuk-Ulam定理对他们的结果进行了改进，估计了初等交换$p$ -群$G$自由作用或环面$G$作用于有限各向同性群的零集部分的维数.
2022-01-24 math.AT
The Borsuk-Ulam theorem for planar polygon spaces
具有一般边长的平面多边形的模空间是一个闭的光滑流形。将多边形映射到其在$X$轴上的反射像定义了这些模空间上的不动点自由对合，使它们成为自由$\mathbb{Z}_2$空间。自由$\mathbb{Z}_2$ -空间有一些重要的数值参数，如指数和余指数。本文对多边形的某些模空间计算了这些参数。我们还确定这些空间的一个广义版本的Borsuk-Ulam定理举行。此外，我们得到了一个公式的Stiefel-Whitney高度的遗传码，一个组合数据与边长。
2022-07-22 math.AT
Borsuk-Ulam type theorems for manifolds
本文利用流形的自由等变配边类，建立了具有有限群作用的PL-流形的Borsuk-Ulam型定理。特别地，考虑了具有自由对合的流形是Borsuk-Ulam型的充要条件。
2011-02-24 math.AT math.CO
Borsuk-Ulam type theorems for G-spaces with applications to Tucker type lemmas
本文考虑G-空间中Borsuk-Ulam定理的几个推广，并将这些结果应用于G-单纯复形和PL-流形的Tucker型引理。
2022-12-25 math.AT math.CO
A Borsuk--Ulam theorem for cyclic $p$-groups
我们描述了一个连接$K$ -理论Borsuk-Ulam/Bourgin-Yang定理的阶循环群的幂的一个素数$p$。考虑$p^{k+1}$阶循环群$Z /p^{k+1}$的两个有限维复表示$U$和$V$，其中$k\geq 0$。对于$0\leq l\leq k$，我们将$V$的子空间写成$V_l$，该子空间由$p^l$阶循环子群固定，并且要求固定子空间$V_{k+1}$为零，并且$V_k$为非零。把$δ(V)=\sum_{l=0}^k p^l dim_C (V_l/V_{l+1})-(p^k-1)$。则来自$U$中单位球面的任何$Z /p^{k+1}$ -映射$S(U) \to V$的零集（对于某种不变内积）的覆盖维数大于或等于$2(dim_C U - δ(V)-1)$，如果$dim_C U> δ(V)$ .
2022-11-15 math.AT
Theorems of Borsuk-Ulam type for flats and common transversals
本文证明了$\mathbb R^n$中的$k$ -平坦空间的拓扑的一些结果，类似于关于球面覆盖的Borsuk-Ulam定理.给出了关于$\mathbb R^n$中紧集族的公共断面和超平面的测度划分的一些推论。
2009-11-25 math.AT math.CO
Borsuk - Ulam Type spaces
我们考虑具有满足Borsuk-Ulam定理的自由对合的空间（BUT-空间）。BUT-空间有几个等价的定义可以被认为是它们的性质。我们的主要技术工具是Yang的上同调指数。
2015-12-06 math.AT math.CO math.GT
A Borsuk--Ulam theorem for well separated maps
本文基于经典 Borsuk-Ulam 定理，通过引入良分离性质，证明满足特定奇性条件的连续映射的像必然包含一个 $m$-立方体，推广了原有定理的结论。
2024-01-04 math.AT
Borsuk-Ulam theorems for products of spheres and Stiefel manifolds revisited
我们给一个不同的，可能更容易证明一般Borsuk-乌拉姆定理的产品领域，最初由于拉莫斯。也就是说，我们证明了不存在某些$(\mathbb{Z}/2)^k$ -等变映射从产品的$k$领域的单位球在一个真正的$(\mathbb{Z}/2)^k$ -表示相同的尺寸。我们的证明方法使我们能够推导出Borsuk-乌拉姆定理的某些等变映射Stiefel流形，从相应的结果有关产品的领域，导致替代的证明和扩展的一些结果的Fadell和侯赛尼。
2019-11-06 math.AT math.CO
Parametrized Borsuk-Ulam problem for projective space bundles
设$π: E \to B$是一个纤维丛，其纤维具有实或复射影空间的模2上同调代数，$π^{'}: E^{'} \to B$是一个向量丛，使得$\mathbb{Z}_2$保持纤维且自由地作用于$E$和$E^{'}-0$上，其中0表示丛$π^{'}:E^{'} \to B$的零截面.对于保纤维$\mathbb{Z}_2$ -等变映射$f:E \to E^{'}$，我们估计了零集$Z_f = \{x \in E | f(x)= 0\}.$的上同调维数.作为应用，我们还估计了保纤维映射$f:E \to E^{'}$的$\mathbb{Z}_2$ -重合集$A_f=\{x \in E | f(x) = f(T(x)) \}$的上同调维数.
2010-09-27 math.AT
Borsuk-Ulam property and Sectional Category
本文发现了双重覆盖的截面范畴与三元组Borsuk-Ulam性质之间的联系，证明了当$q$的截面范畴大于$q^Y$时该三元组满足BUP，并证明了仿紧空间中$(X,τ)$的指数与商映射截面范畴减1相一致。
2023-09-11 math.AT
Borsuk-Ulam type theorems for metric spaces
该文研究拓扑空间中的Borsuk-Ulam型问题，探寻连续映射下距离足够远的点被映射到同一点的充分条件，拓展了相关定理的适用场景。
2025-01-21 math.AT math.MG
Computing Exact Solutions of Consensus Halving and the Borsuk-Ulam Theorem
我们研究的问题，找到一个精确的解决方案的共识减半问题。虽然最近的工作表明，这个问题的近似版本是PPA完全的，我们表明，确切的版本是更难。具体地说，寻找具有$n$割集的解是FIXP困难的，而判定是否存在具有少于$n$割集的解是ETR完全的。我们还给出了QPTAS的情况下，每个代理的估值是一个多项式。在此过程中，我们定义了一个新的复杂性类BU，它捕获了所有可以简化为精确解决Borsuk-Ulam问题的问题。我们表明，FIXP $\subseteq$ BU $\subseteq$ TFTR和LinearBU $=$ PPA，其中LinearBU是BU的子类，其中Borsuk-Ulam实例由线性算术电路指定。
2021-02-09 cs.CC math.AT
The Borsuk-Ulam property for homotopy classes on bundles, parametrized braids groups and applications for surfaces bundles
该研究在纤维丛框架下推广Borsuk-Ulam性质，将其判定问题转化为涉及基本群、轨道空间与参数化辫子群的代数问题，并确定了一类S¹上2-环面丛满足该性质的自映射同伦类。
2023-08-22 math.AT
Selection-structure generalizations of the Borsuk-Ulam theorem
Baruch College, City University of New York（纽约市立大学巴鲁克学院）
研究博苏克-乌拉姆定理的选择结构推广，受弗里克和韦尔纳工作启发，证明相关类似物及沃洛维科夫定理版本，还给出公平划分应用，如火腿三明治和项链分割定理的选择结构版本。
2026-07-24 math.AT math.CO
Nullhomotopic equivariant shifts and Borsuk-Ulam-compatible compact abelian groups
本文否证了Borsuk-Ulam风格猜想，指出其仅在无挠profinite紧致阿贝尔群情形下失效，并给出精确刻画。
2026-10-20 math.AT math.GN math.GR
A Chain-Level Borsuk--Ulam Obstruction Proof of Norine's Antipodal-Coloring Conjecture
Shanghai Center for Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学上海数学中心）；School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院极值组合与概率研究组）
研究\(n\geq2\)时\(n\)维超立方体红 - 蓝边着色中连接顶点与其对映点的单色路径问题，通过构造特定链映射并利用链级博苏克 - 乌拉姆障碍予以证明。
2026-07-22 math.AT math.CO
Borsuk--Ulam property for graphs II: The $\mathbb{Z}_n$-action
本研究针对带有限群自由作用的拓扑空间，给出Borsuk--Ulam性质的几何与代数等价刻画，并将其应用于一维图的循环群作用情形，借助离散Morse理论有效控制图辫群要素。
2024-11-01 math.AT
Borsuk-Ulam Theorems for Complements of Arrangements
在组合问题中，有时可以定义一个从系统构形空间$X$到欧几里得空间$\mathbb{R}^m$的$G$ -等变映射，对于该映射，该映射的映象与线性子空间的排列$\mathcal{A}$的重合确保了构形上所需的一组线性条件。Borsuk-Ulam型定理给出了不存在$X$到其补集的$G$ -等变映射的条件.本文通过谱序列论证给出了导致这类定理的精确条件。我们介绍了一个爆炸的安排，其补充有特别好的上同调，使这样的论点成为可能。实例表明，这些条件是最好的可能。
2008-07-09 math.AT math.CO
A parametrized version of the Borsuk Ulam theorem
本文的主要结果是Borsuk-Ulam定理的参数化版本。我们证明了对于一个连续的Borsuk-Ulam情形族，它的解集也连续地依赖于参数空间W。这里的连续性意味着解集支持一个映射到W的基本类上的同调类。当W是欧几里得空间的一个子集时，我们还证明了如何从一个以同样方式连续依赖于W的边界点的族出发，构造这样一个连续族。这解决了一个与猜想有关的问题，该猜想与不完全信息重复两人博弈中均衡策略的构建有关。在这种情况下使用的一种新方法（独立的利益）是一个典型的对称平方建设Cech同调系数在Z/2 Z。
2011-05-13 math.AT math.KT
Bourgin-Yang versions of the Borsuk-Ulam theorem for $p$-toral groups
令$V$和$W$是$G$与$V^G= W^G=\{0\}$的正交表示。设$S(V )$是$V$的球面，$f : S(V ) \to W$是$G$ -等变映射.如果$G$是环面$\mathbb T^k$，或$p$ -环面$\mathbb Z_p^k$，我们用$ \dim V$和$\dim W$给出了集合$Z_f=f^{-1}\{0\}$的维数估计.这将经典的Bourgin-Yang定理扩展到这类群上。最后，我们证明了对于任何$p$ -toral群$G$和一个$G$ -map $f:S(V) \to W$，有$\dim V=\infty$和$\dim W<\infty$，我们有$\dim Z_f= \infty$ .
2016-08-17 math.AT math.GT
Metric Thickenings, Borsuk-Ulam Theorems, and Orbitopes
度量空间的增厚捕捉空间的局部几何性质。在这里，我们展示了应用程序的下界的拓扑结构的加厚的圆，更一般的领域。我们解释互连与几何圈行动欧几里得空间，结构的零三角多项式，和定理的Borsuk-Ulam型。利用欧几里得空间上圆作用轨道的凸包的组合结构和几何结构，给出了圆的度量增厚的同伦型的几何证明。球的加厚的同伦连通性界允许我们证明，一个加权平均值的奇数映射$S^n \to \mathbb{R}^{n+2}$的小直径集上的函数值为零。我们证明了奇映射$S^{2n-1} \to \mathbb{R}^{2kn+2n-1}$的Borsuk-Ulam定理的一个额外的推广。本文证明了从圆到任意欧几里得空间的奇映射的最优数量界的结果。这反过来又意味着任何斜齐次三角多项式在特定直径的圆的子集上都有零;这些结果是最优的。
2019-10-09 math.AT math.CO math.GT
A Borsuk-Ulam theorem for $(\mathbb Z_p)^k$-actions on products of (mod $p$) homology spheres
证明了对于$(\mathbb Z_p)^k$在（mod p）同调球面$N^{n_1}\times...\times N^{n_k}$的乘积上的乘积作用，其中如果$p$是奇数，则所有的$n_i$都是奇数，且对于任何连续映射$f\colon N^{n_1}\times...\times N^{n_k}\to \mathbb R^m$，只要对所有的$i (1\le i\le k)$都有$n_i\ge mp^{i-1}(p-1)$，则集合$A(f)=\{x\in N^{n_1}\times...\times N^{n_k}| f(x)=f(gx) \forall g\in(\mathbb Z_p)^k\}$的维数至少为$n_1+...+n_k-m(p^k-1)$.此外，如果对于所有$i(1\le i\le k)$都有$n_i\ge mp^{k-1}(p-1)$，则自由动作$μ$可以被假定为任意的。
2005-10-05 math.AT math.GT
Sectional Category and the parametrized Borsuk-Ulam property
本文通过比较二重覆盖的截面范畴，给出纤维化三元组满足参数化 Borsuk-Ulam 性质的充分条件，并应用于平凡纤维化、Hopf 纤维化及 Fadell-Neuwirth 纤维化。
2024-04-06 math.AT math.GT
Borsuk-Ulam type theorem for the orthogonal group and orthogonal four-partitions
本文给出Makeev提出的正交四分割猜想的首个完整证明，核心是证明正交群上的Borsuk-Ulam型定理，通过构造显式模型映射并利用等变度原理完成证明。
2026-09-21 math.AT math.CO math.MG
Beyond the Borsuk-Ulam theorem: The topological Tverberg story
Bárány在1976年的“拓扑Tverberg猜想”中指出，任何$N$ -单纯形$Δ_N$到$\mathbb{R}^d$的连续映射，对于$N\ge(d+1)(r-1)$，将$Δ_N$中$r$不相交面的点映射到$\mathbb{R}^d$中的同一点。当$r$是素数时，这个结果的证明，以及相同结果的一些有色版本，使用Borsuk-Ulam和Dold关于具有自由群作用的空间之间的等变映射的不存在性的结果，是Matoušek 2003年的书“Using the Borsuk-Ulam theorem”的主要主题。“在本文中，我们展示了先进的等变拓扑方法如何允许一个超越拓扑Tverberg猜想的主要情况。首先，我们详细解释了如何等变上同调工具（采用Borel结构，比较的Serre谱序列，Fadell-Husseini指数等）。当$r$是素数幂时，可以利用它证明拓扑Tverberg猜想.我们的介绍包括一些改进的证明，以及新的结果，如一个完整的确定的Fadell-Husseini指数的棋盘复杂的主要情况。然后，我们介绍了“约束方法”，适用于适当的“不可避免的复合物”产生了各种各样的变化和推论的拓扑Tverberg定理，如“有色”和“尺寸限制”（范Kampen-弗洛雷斯型）版本。这两个部分都为最近在高维度中出现的壮观反例提供了关键的组成部分，这些反例是针对$r$不是素数幂的情况。
2017-05-21 math.AT math.CO math.MG
Index and Sectional Category
该研究针对自由有限群作用空间引入第q个index概念，结合商映射的截面范畴给出其通用估计，建立了Borsuk-Ulam理论经典问题与截面范畴研究的关联，还得到特定假设下的等式关系并产出两领域新结果。
2023-12-19 math.AT
Borsuk-Ulam Type Theorems and Mountain Climbing Problem
St. Petersburg Department of Steklov Mathematical Institute（圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所）；St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）
本文提出Hopf定理的新定性扩展，研究连续映射f从紧致黎曼流形M到R^n的性质，揭示了拓扑意义上的'远点'概念，并推导出Lusternik-Schnirelmann和Tucker型定理的结论，以及多维的登山引理扩展。
2026-04-06 math.AT math.CO math.GT
Borsuk-Ulam type theorem for Stiefel manifolds and orthogonal mass partitions
本文推广Borsuk-Ulam定理到Stiefel流形，并应用于证明在给定m个测度时存在k个相互正交的超平面，使得任意n个超平面将每个测度分成2^n等份，并给出d的下界。
2026-09-29 math.AT math.CO math.MG
Generalized Kneser coloring theorems with combinatorial proofs
Kneser猜想（1955年）由Lovász（1978年）使用Borsuk-Ulam定理证明;所有后续的证明，扩展和推广也依赖于代数拓扑学的结果，即Borsuk-Ulam定理及其扩展。直到2000年，Matoušek才首次给出了Kneser猜想的组合证明。在这里，我们提供了一个超图着色定理，并给出了组合证明，该定理的特殊情况是Kneser猜想及其由Dol'nikov、Alon-Frankl-Lovász、Sarkaria和Kriz的（超图）着色定理进行的扩展和推广。我们还给出了Schrijver定理的一个组合证明。
2001-03-23 math.AT math.CO
Gromov-Hausdorff distances, Borsuk-Ulam theorems, and Vietoris-Rips complexes
本文利用 Vietoris-Rips 复形与等变拓扑方法，将不连续函数畸变与 Gromov-Hausdorff 距离联系起来，推广了球面间奇映射的 Borsuk-Ulam 型结果，并改进不同维数球面间 Gromov-Hausdorff 距离的上下界。
2025-07-05 math.AT math.GT math.MG
Waist of the sphere for maps to manifolds
本文将Gromov的球腰定理和Gromov-Memarian的Borsuk-Ulam型测度划分引理推广到流形上。
2011-02-03 math.AT math.MG
On the Alexandroff-Borsuk problem
本文研究了不可三角化流形范畴中的经典Alexandroff-Borsuk问题：给定一个$n$维紧致不可三角化流形$M^n$和$\varepsilon > 0$，是否存在一个$\varepsilon$ -映射将$M^n$映射到一个$n$维有限多面体上，并导出一个同伦等价？
2017-03-03 math.AT math.GN math.GT
Equivariant Topology of Configuration Spaces
研究了位形空间F（R^d，n）关于对称群Sn的不同子群的Fadell-Husseini指标.对于p素数和d>0，我们完全确定了Index_{Z/p}（F（R^d，p）;F_p），并部分地刻画了指数{（Z/p）^k}（F（R^d，p^k）;F_p）.在这个过程中，我们得到了一些有意义的结果，包括：（1）推广的等变Goresky-MacPherson公式，（2）分划格Pi_p作为F_p[Z_p]-模的顶同调的完全刻画，（3）初等阿贝尔群的推广Dold定理.关于Fadell-Husseini指数的结果给出了关于素数的Nandakumar & Ramana Rao猜想的一个新的证明。对于n=p^k是素数幂，我们计算了Lusternik-Schnirelmann范畴cat（F（R^d，n）/Sn）=（d-1）（n-1）.此外，我们推广了与Borsuk-Ulam定理相关的重合结果，如Cohen & Connett，Cohen & Lusk和Karasev & Volovikov所得到的。
2014-11-03 math.AT math.CO
