AI 中文总结
本文给出Makeev提出的正交四分割猜想的首个完整证明，核心是证明正交群上的Borsuk-Ulam型定理，通过构造显式模型映射并利用等变度原理完成证明。
AI 中文摘要
给定$\mathbb{R}^d$中的一个有限Borel测度$\mu$，何时能找到$d$个相互正交的超平面，使得其中任意一对超平面都将$\mu$切割成四个相等的部分？Makeev [2] 陈述了这一结果并概述了证明策略，但关键步骤未完成。我们给出第一个完整证明。关键步骤是正交群$O(k)$的一个Borsuk--Ulam型定理：从$O(k)$到超八面体群$B_k$的某个表示的每个连续等变映射必在某处消失。我们构造了一个显式的模型映射，其零点集恰好包含一个自由的$B_k$-轨道——即一个固定的通用自伴算子$A$的所有带符号特征基的集合——并通过显式导数计算验证非退化性，最后利用等变度原理得出结论。该证明仅需线性代数和初等拓扑。四分割定理直接由此得出：正交超平面被编码为$O(d)$中的一个标架，等变映射记录$\mu$在每对超平面之间的不平衡量。该映射的零点即为所求配置。该结果是[5]中用不同方法证明的Stiefel流形一般零点定理的一个特例。
英文摘要
Makeev [2] stated that every finite Borel measure in $\mathbb R^d$ assigning zero mass to hyperplanes can be cut by $d$ mutually orthogonal hyperplanes so that every pair divides the measure into four equal parts, and outlined a proof strategy, but the key steps were left incomplete. We give a direct and elementary proof. The main ingredient is a Borsuk--Ulam theorem for $O(k)$: every $B_k$-equivariant map from $O(k)$ to a natural representation of the hyperoctahedral group $B_k$ has a zero. An explicit model map has one free orbit of zeros, consisting of the signed eigenbases of a diagonal operator with simple spectrum. A derivative computation and mod-$2$ equivariant degree complete the proof. This is a self-contained proof of a special case of the general Stiefel-manifold theorem in [5].
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