Highest weight vectors, shifted topological recursion and quantum curves
University of Alberta（阿尔伯塔大学）；University of Saskatchewan（萨斯喀彻温大学）；Syddansk Universitet（南丹麦大学）；Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Organization（数学与应用科学系）；INFN（意大利国家核物理研究所）
本文通过引入Airy结构配分函数为$\mathcal{W}$-代数最高权向量的情形，推广拓扑递归，得到移位拓扑递归公式，并证明其波函数为谱曲线量子化的WKB解，且与$\hbar$-联络的拓扑类型条件等价。
2026-11-04 hep-th math-ph math.MP
Lecture notes on topological recursion and geometry
本文为4小时迷你课程讲义，系统阐述拓扑递归在二维量子场论、上同调场论及曲线模空间Weil-Petersson体积计算中的体现，并从量子Airy结构视角关联Eynard-Orantin拓扑递归。
2017-05-28 math-ph math.MP
Analyticity of the free energy for quantum Airy structures
它表明，自由能与有限维艾里结构是一个解析函数在每个有限阶的$\hbar$展开。半古典级数本身一般是发散的。通过把拓扑递归方程转化为更明确地表现出半经典几何的形式，使计算变得容易。这一提法涉及某些微分算子的特征品种，这是满足李代数上循环条件。证明了这个上循环是一个上边界。发达国家的形式主义适用于具体的例子。在发散$\hbar$系列的情况下，执行简单的重新计算。研究了所得到的配分函数的解析性质。
2019-06-09 hep-th math-ph math.MP
Topological recursion for symplectic volumes of moduli spaces of curves
在带状图复形上构造了局部定义的辛环面作用。辛约化技术允许这些空间的辛体积的递归公式。对艾里曲线x = y^2 / 2进行拉普拉斯变换，得到了艾里曲线的埃纳德-奥兰廷递推公式。
2011-03-17 math-ph math.AG math.MP
Topological recursion for irregular spectral curves
本文研究了不规则谱曲线$xy^2-xy+1=0$上的拓扑递归，它产生了一个加权的dessins d'enfant数。这种分析，然后施加到拓扑递归的频谱曲线$xy^2=1$，它取代艾里曲线$x=y^2$描述的渐近行为的枚举问题与不规则的频谱曲线。特别是，我们通过一个新的三项递归的dessins d 'enfant与一个面的数量计算所有一点不变量的光谱曲线$xy^2=1$。
2014-12-29 math-ph math.CO math.GT
Whittaker vectors for $\mathcal{W}$-algebras from topological recursion
本研究将W-代数模的Whittaker向量与高阶Airy结构配分函数等同，证明Gaiotto向量可通过非交换Chekhov-Eynard-Orantin拓扑递归计算，构造了A、B型的拓扑递归，为纯N=2四维超对称规范理论的Nekrasov配分函数提供拓扑递归求解方法。
2023-11-18 hep-th math-ph math.MP
The ABCD of topological recursion
本文研究了规范群作用下的量子Airy结构的分类问题，提供李代数工具并给出${\rm dim}\\,V=2$时的分类，同时描述了来自Frobenius代数等四类结构的量子Airy结构。
2023-12-02 math-ph math.AG math.MP
$\mathcal{N}=1$ Super Topological Recursion
引入了$\mathcal{N}=1$抽象超回路方程的概念，并给出了两种等价的求解方法.第一种方法是一个递归的形式主义，可以被认为是一个超对称推广的Eynard Orantin拓扑递归，基于局部超谱曲线的几何。第二种方法是基于超Airy结构的框架。由此产生的递归形式主义可以应用于计算关联函数的各种例子有关的二维超引力。
2021-10-22 hep-th math-ph math.MP
Airy structures and deformations of curves in surfaces
本文基于Kontsevich和Soibelman为辛曲面配备叶状结构的思想，在嵌入曲线的形变空间上构造取值于Airy结构的形式级数，从而生成Donagi-Markman三次型，推广了Baraglia和Huang的结果。
2020-12-01 math-ph math.AG math.MP
Seiberg-Witten Theory and Topological Recursion
Kontsevich-Soibelman（2017）根据Airy结构重新表述了Eynard-Orantin拓扑递归（2007），这为曲线的模空间和拓扑递归之间的关系提供了一些几何见解。在这项工作中，我们调查的分析方法，这种关系使用的Seiberg-Witten家庭的曲线作为主要的例子。特别地，我们将证明Baraglia-Huang（2017）从拓扑递归的亏格零部分计算Hitchin系统的特殊Kahler预势的公式可以推广到嵌入叶辛曲面内的更一般的曲线族，包括Seiberg-Witten族。因此，我们得到了一个类似的公式，关系到Seiberg-Witten预势的亏格零部分的拓扑递归的Seiberg-Witten曲线。
2020-12-02 math-ph math.AG math.DG
Shifted Witten classes and topological recursion
本文用推广 Airy 方程的两个微分方程构造两类移位 Witten 类的 $R$-矩阵与平移，证明其后裔相交理论满足谱曲线族上的拓扑递归，并在极限中推出 Witten $r$-spin 猜想。
2024-04-11 math-ph math.AG math.CA
A New Class of Higher Quantum Airy Structures as Modules of $\mathcal{W}(\mathfrak{gl}_r)$-Algebras
本文分类了由 Cartan 子代数自同构扭曲模产生的高阶量子 Airy 结构，发现膨胀位移需满足矩阵可逆性（自然取单位根），并探讨其用于定义拓扑递归及扩展至更高阶结构的条件。
2023-05-26 hep-th math-ph math.AG
Laplace transform of the $x-y$ symplectic transformation formula in Topological Recursion
本文推导了拓扑递归中$x-y$辛变换函数关系的拉普拉斯变换，得到关于$\hbar$的简洁形式幂级数，并应用于Airy曲线和Lambert曲线。
2023-04-06 hep-th math-ph math.AG
Quantization of spectral curves for meromorphic Higgs bundles through topological recursion
利用拓扑递归建立了任意亏格的光滑射影曲线的紧余切丛的几何量子化。在这种量子化中，基曲线上秩$2$亚纯希格斯丛的希钦谱曲线对应于基曲线上的一个Rees $D$-模的量子曲线。拓扑递归给出了它的解的全阶渐近展开，从而确定了对应于作为亚纯拉格朗日量的谱曲线的状态向量。我们建立了奇异谱曲线拓扑递归的一个推广。我们表明，偏微分方程版本的拓扑递归自动选择正常的正则坐标排序，并确定唯一的量化的谱曲线。由此构造的量子曲线具有与原始谱曲线一致的半经典极限。我们构造的典型例子包括经典的微分方程，如Airy，Hermite和Gaussel超几何方程。拓扑递归给出了一个渐近展开的解决方案，这些方程在其奇点，有关希格斯束和各种量子不变量。
2014-11-06 math-ph math.AG math.MP
$q$-Deformed Topological Recursion: Quantum Curves and Non-perturbative Analysis
Mathematisches Institut der Universität Münster（明斯特大学数学研究所）
该研究探究$(r,s)$-Airy结构的q-形变，构造q-WKB解，分类容许$(r,s,q)$对及q-卡西米尔构型，建立量子谱曲线与可积系统的关联，为镜像曲线q-量子化提供新见解。
2026-08-04 math-ph math.AG math.MP
Failing to keep the balance: explicit formulae and topological recursion for leaky Hurwitz numbers
本文通过热带几何和生成函数学，推导了漏泄Hurwitz数的显式公式，并展示了其与拓扑递归的关系。
2026-10-27 math-ph math.AG math.CO
Interplay between opers, quantum curves, WKB analysis, and Higgs bundles
量子曲线在物理学文献中被介绍过。我们开发了一个数学框架的情况下与希钦谱曲线。在这种情况下，量子曲线是光滑射影代数曲线上的里斯$\mathcal{D}$ -模，其半经典极限产生希格斯束的希钦谱曲线。通过具体构造单参数形变算子族，给出了Hitchin谱曲线的量子化方法。我们提出了一个变种的拓扑递归的Eynard-Orantin和Mirzakhani的背景下奇异Hitchin谱曲线。我们发现，PDE版本的拓扑递归提供了所有顺序WKB分析的里斯$\mathcal{D}$ -模块，定义为量化希钦光谱曲线与亚纯$SL(2,\mathbb{C})$ -希格斯束。拓扑递归可以看作是希钦谱曲线的量子化过程。我们证明了这两种量子化，一种是通过构造opers族，另一种是通过拓扑型的PDE递归，对于全纯和亚纯$SL(2,\mathbb{C})$ -Higgs丛是一致的.经典的微分方程，如艾里微分方程提供了一个典型的例子。通过这些经典的例子，我们看到量子曲线与希格斯束，opers，Gaiotto的一个猜想和量子不变量，如Gromov-Witten不变量有关
2021-07-02 math-ph math.AG math.MP
Blobbed topological recursion of the quartic Kontsevich model I: Loop equations and conjectures
本文研究四次 Kontsevich 模型，通过建立三族相关函数的交织回路方程并将求解化为留数计算，证明其相关函数分解为拓扑递归部分与显式留数描述的全纯部分，从而支持 blobbed 拓扑递归猜想。
2022-04-04 hep-th math-ph math.AG
Elastic null curve flows, nonlinear $C$-integrable systems, and geometric realization of Cole-Hopf transformations
研究了三维Minkowski空间中零曲线的弹性（拉伸）流。作为主要工具，本文提出了一种自然型的零曲线活动标架，它不需要伪弧长。这个新标架通过属于洛伦兹群$SO(2,1)$中包含的小群的规范变换与弗伦内零标架相关联，并提供了一个类似的哈西本变换（将欧几里德空间中曲线的平行标架与弗伦内标架相关联）。变换框架的Cartan结构方程编码一个遗传递归算子，给出Burgers方程递归算子的两分量推广，以及Cole-Hopf变换的推广.从这个递归算子的各种对称性得到三个不同的可积系统族。第一层次包含两个组件的Burgers型和非线性Airy型系统;第二层次包含新的准线性薛定谔型（NLS）系统;和第三层次包含半线性波动方程（在两个组件的系统形式）。这些可积系统中的每一个都对应于三维Minkowski空间中一族弹性零曲线的几何流。
2018-06-10 math-ph math.MP nlin.SI
Symplectic duality for topological recursion
本文证明带任意有理函数与完备循环权重的双 Hurwitz 数所对应微分满足拓扑递归，利用新的 $(m,n)$-关联函数关系部分解决既有猜想，并以辛对偶推广 $x-y$ 对偶。
2023-06-16 hep-th math-ph math.AG
Special Kähler geometry of the Hitchin system and topological recursion
本文利用谱曲线和拓扑递归研究了Hitchin可积系统的基的特殊Kähler几何.特殊凯勒度量关于基中任意点的泰勒展开可以通过对相应谱曲线的$g = 0$ Eynard-Orantin不变量在循环上积分来计算。特别是，我们表明，Donagi-Markman三次计算的不变$W^{(0)}_3$。我们使用拓扑递归去一步，并计算对称四次的周期矩阵的二阶导数。
2017-07-20 math-ph math.AG math.DG
Topological recursion and a quantum curve for monotone Hurwitz numbers
经典的赫尔维茨数计数黎曼球面的分支覆盖与规定的分歧数据，或等价地，因式分解在对称群与规定的循环结构数据。单调Hurwitz数通过对这种分解施加进一步的单调性条件来限制枚举。在本文中，我们证明了单调Hurwitz数产生于Eynard和Orantin的拓扑递归应用到一个特定的谱曲线。此外，我们推导出单调Hurwitz数的量子曲线。这些结果扩展了已知由拓扑递归和量子曲线的范式所支配的枚举问题的集合，以及单调Hurwitz数和它们的经典对应物之间的类似物的列表。
2014-08-18 math-ph math.CO math.GT
From topological recursion to wave functions and PDEs quantizing hyperelliptic curves
本文从环方程出发，证明具有全局对合的二阶谱曲线族上由拓扑递归构造的波函数满足可视为原始谱曲线量子化的偏微分方程组，并证明该波函数被量子曲线湮灭，将已知量子曲线结果推广到超椭圆曲线。
2023-12-30 math-ph math.AP math.MP
Elements of spin Hurwitz theory: closed algebraic formulas, blobbed topological recursion, and a proof of the Giacchetto-Kramer-Lewanski conjecture
本文讨论了自旋Hurwitz数的生成函数的性质。特别地，对于具有任意分支轮廓的自旋Hurwitz数，我们构造了由2-分量BKP族的Orlov超几何解给出的加权和。我们推导出与这些τ函数相关的关联函数的封闭代数公式，并在合理的分析假设下证明了回路方程（斑点拓扑递归）。最后，我们证明了一个版本的拓扑递归的自旋Hurwitz数与自旋完成的循环（一个推广版本的Giacchetto-Kramer-Lewaiski猜想）。
2023-02-24 hep-th math-ph math.AG
Generalized cycles on Spectral Curves
本文系统整理谱曲线与拓扑递归中广义闭链的定义和性质，将形式-闭链对偶推广至亚纯形式，并阐明其在特殊几何与可积系统中的作用。
2024-05-22 hep-th math-ph math.MP
Topological recursion and uncoupled BPS structures I: BPS spectrum and free energies
对于超几何谱曲线及其合流退化（“超几何型”谱曲线），我们得到了一个简单的公式，表示为相应的二次微分$φ$在BPS态（退化谱网络）上的拓扑递归自由能之和。在这样做时，我们推广了Gaiotto-Moore-Neitzke的BPS结构的建设，包括$φ$有简单的极点或支持退化环域的情况。对于超几何类型的九个谱曲线，我们提供了一个完整的描述相应的BPS结构在相关的参数空间中的一般轨迹，特别是，我们证明了在预期的参数值的鞍轨迹的存在。我们确定了相应的BPS圈，中心荷和BPS不变量，并验证了我们的公式在每种情况下。我们推测，一个类似的关系，应持有更普遍的相应的BPS结构是解耦的，并提供实验证据，在两个简单的高秩的例子。
2020-12-10 hep-th math-ph math.AG
Quantizing Weierstrass
研究了由Weierstrass方程给出的亏格为1的谱曲线族的Eynard-Orantin拓扑递归与量子曲线之间的关系。我们构造了量子化的谱曲线零化的微扰和非微扰波函数。特别地，对于非微扰波函数，我们证明了直到hbar ^[5]阶，量子曲线满足矩阵模型所期望的性质。作为一个副结果，我们得到一个无穷序列的身份有关的A-循环积分的椭圆函数和拟模形式。
2018-08-03 hep-th math-ph math.AG
Topological expansion of the Bethe ansatz, and quantum algebraic geometry
在这篇文章中，我们解决了β-随机矩阵模型的回路方程，在某种程度上类似于厄米矩阵β=1的情况下发现。当β=1时，解表示为方程y^2=U（x）的代数谱曲线的代数几何性质。对于任意的β，谱曲线不再是代数的，而是薛定谔方程（（\hbar \partial）^2-U（x））.<$（x）=0，其中\hbar \propto（\sqrt β-1/ \sqrt β）。在这篇文章中，我们找到了回路方程的一个解，它的形式与β=1时的拓扑递归相同。这允许定义所有代数几何性质的自然推广，如亏格、圈、第一、第二和第三类形式、黎曼双线性恒等式和谱不变量F_g的概念，对于量子谱曲线，即形式为y^2-U（x）的D-模，其中[y，x]= \hbar。此外，我们的方法允许枚举非定向离散表面。
2009-11-13 math-ph math.MP
