Hausdorff dimension of univoque sets and Devil's staircase
我们固定一个正整数$M$，我们认为在任意实基$q>1$在字母表$\{0,1,...,M\}$的扩展。我们用$U_q$表示具有唯一展开式的实数集。在前人研究的基础上，我们给出了$U_q$的豪斯多夫维数$D(q)$对每个$q\in (1,\infty)$的计算公式.进一步证明了维数函数$D:(1,\infty)\to[0,1]$是连续的，且有界变差.此外，它在$(q',\infty)$中具有魔鬼阶梯行为，其中$q'$表示Komornik-Loreti常数：尽管对于所有$q>q'$都有$D(q)>D(q')$，但我们有$D'<0$ a.e.在$(q',\infty)$中。在证明过程中，我们改进和推广了Erdas等人关于$β$ -展开式中存在大零点块的定理，并确定了所有$M$的Lebesgue测度和$x=1$有唯一展开式的基集的豪斯多夫维数.
2015-03-02 math.DS math.NT
A two-dimensional univoque set
令$\mathbf{J} \subset \mathbb{R}^2$是$(x,q)$与$q>1$的对的集合，使得$x$具有$x=\sum_{i=1}^{\infty} c_i q^{-i}$形式的至少一个表示，其中整数系数$c_i$满足$0 \leq c_i < q$，$i \ge 1$。在这种情况下，我们说$(c_i)=c_1c_2...$是$x$在基本$q$中的扩展。令$\mathbf{U}$为对$(x,q) \in \mathbf{J}$的集合，使得$x$在基$q$中恰好有一个扩展。本文给出了集合$\mathbf{U}$的一些拓扑性质和组合性质。我们刻画了$\mathbf{U}$的闭包，并确定了它的Hausdorff维数.对于$(x,q) \in \mathbf{J}$，我们还证明了新的性质的字典最大的扩展$x$在基$q$。
2010-12-16 math.DS math.NT
Univoque bases of real numbers: simply normal bases, irregular bases and multiple rationals
给定正整数$M$和实数$x\in(0,1]$，若存在唯一的单正规序列$(d_i)\in\{0,1,\ldots,M\}^\mathbb N$，使得$x=\sum_{i=1}^\infty d_i q^{-i}$，则称$q\in(1,M+1]$为$x$的唯一单正规基.类似地，如果存在唯一序列$(d_i)\in\{0,1,\ldots, M\}^\mathbb N$使得$x=\sum_{i=1}^\infty d_i q^{-i}$和序列$(d_i)$没有数字频率，则碱基$q\in(1,M+1]$被称为$x$的唯一不规则碱基。设$\mathcal U_{SN}(x)$和$\mathcal U_{I_r}(x)$分别是$x$的单正规基和单非正规基的集合.在本文中，我们证明了任何$x\in(0,1]$的$\mathcal U_{SN}(x)$和$\mathcal U_{I_r}(x)$有完整的Hausdorff维数。此外，我们还证明了存在一个完整的Hausdorff维数集的$x_1, x_2, \ldots, x_n\in(0,1]$，使每个$x_i$有一个唯一的扩展基$q$。
2022-07-15 math.CA math.DS math.NT
Topology of univoque sets in double-base expansions
本文将等基情况下唯一展开集的拓扑性质研究扩展至$q_0\neq q_1$的双基展开情况，揭示了因复杂性增加而产生的大量新现象。
2025-04-30 math.DS math.NT
Univoque bases of real numbers: local dimension, Devil's staircase and isolated points
给定一个正整数$M$和一个实数$x>0$，令$\mathcal U(x)$是所有基$q\in(1, M+1]$的集合，对于该集合存在唯一序列$(d_i)=d_1d_2\ldots$，其中每个数字$d_i\in\{0,1,\ldots, M\}$满足$$ x=\sum_{i=1}^\infty\frac{d_i}{q^i}. $$序列$(d_i)$称为$x$的$q$ -扩展。本文研究了$\mathcal U(x)$的局部维数，证明了唯一非整数基展开式的变分原理。我们还确定了$\mathcal U(x)$的临界值，使得当$x$通过第一个临界值时，集合$\mathcal U(x)$从具有正Hausdorff维数的集合变为可数集合，并且当$x$通过第二个临界值时，集合$\mathcal U(x)$从无限集合变为单例。用$\mathbf U(x)$表示$q\in\mathcal U(x)$的$x$的所有唯一$q$ -展开的集合。给出了$\mathbf U(x)$的Hausdorff维数，证明了维数函数$x\mapsto\dim_H\mathbf U(x)$是一个非增的魔鬼阶梯.最后，我们研究了$\mathcal U(x)$的拓扑结构。与$x=1$的$\mathcal U(1)$没有孤立点相反，我们证明了对于典型的$x>0$，集合$\mathcal U(x)$包含孤立点。
2020-06-15 math.CO math.DS math.NT
On the escape rate of unique beta-expansions
令$1<β\leq 2$。众所周知，在具有唯一$β$展开的$% [0,1/(β-1)]$中的点的集合，换句话说，在贪婪$β$变换下其轨道根据$β$逃离洞的那些点是零勒贝格测度。本文研究了相应的逃逸率。本文建立了一个联系univoque集的豪斯多夫维数与逃逸率的公式。证明了该速率关于$β$形成魔鬼阶梯函数。
2016-11-21 math.DS math.NT
Unique expansions of real numbers
几年前发现，存在非整数实数$q>1$，其中只有一个整数$c_i \in [0,q)$的序列$(c_i)$满足等式$\sum_{i=1}^\infty c_iq^{-i}=1$。这类“univoque数”的集合具有丰富的拓扑结构，它的研究揭示了一些意想不到的联系与测度论，分形，遍历理论和丢番图近似。在本文中，我们认为对于每个固定的$q>1$的集合$\mathcal{U}_q$的实数$x$具有唯一的表示形式$\sum_{i=1}^\infty c_iq^{-i}=x$与整数$c_i$属于$[0,q)$。我们进行了详细的拓扑研究，这些集。例如，我们刻画了它们的闭包，并确定了$\mathcal{U}_q$是闭的或甚至是康托集的那些基$q$。我们还研究了由整数$c_i \in [0,q)$的所有序列$(c_i)$组成的集合$\mathcal{U}_q'$，使得$\sum_{i=1}^{\infty} c_i q^{-i} \in \mathcal{U}_q$。我们确定的数字$r >1$的映射$q \mapsto \mathcal{U}_q'$（定义在$(1, \infty)$）是恒定的$r$的邻域和数字$q >1$的$\mathcal{U}_q'$是一个子移位或有限型的子移位。
2008-12-18 math.CO math.NT
On the bifurcation set of unique expansions
给定一个正整数$M$，对于$q\in(1, M+1]$，令${\mathcal{U}}_q$是具有唯一的$q$ -展开的$x\in[0, M/(q-1)]$的集合，具有数字集$\{0, 1,\ldots, M\}$，令$\mathbf{U}_q$是相应的$q$ -展开的集合。最近，Komornik等人~ (Adv.数学、2017）表明，拓扑熵函数$H: q \mapsto h_{top}(\mathbf{U}_q)$是$(1, M+1]$中的魔鬼楼梯。设$\mathcal{B}$是由\[ \mathcal{B}=\{q\in(1, M+1]: H(p)\ne H(q)\quad\textrm{for any}\quad p\ne q\}. \]定义的$H$的分支集，本文分析了$\mathcal{B}$的分形性质，证明了对任何$q\in \mathcal{B}$，有\[ \lim_{δ\rightarrow 0} \dim_H(\mathcal{B}\cap(q-δ, q+δ))=\dim_H\mathcal{U}_q, \]，其中$\dim_H$表示Hausdorff维数.此外，当$q\in\mathcal{B}$时，univoque集合$\mathcal{U}_q$是维度均匀的，即，$ \dim_H(\mathcal{U}_q\cap V)=\dim_H\mathcal{U}_q…
2018-07-11 math.DS math.NT
Hausdorff dimension of double base expansions and binary shifts with a hole
Shenzhen University（深圳大学）；Université Paris Cité, CNRS, IRIF（巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，IRIF）
本文研究了双基展开和二进制移位中存在孔洞的动力系统，推导了豪斯多夫维数和熵的显式公式，并证明了其连续性。
2026-02-21 math.DS math.MG math.NT
Multiple Stieltjes constants and Laurent type expansion of the multiple zeta functions at integer points
本文研究了重zeta函数在整数点处的局部性态，并给出了重zeta函数在整数点处的Laurent型展开式。这样的扩展涉及到一个收敛的幂级数，其系数是通过正则化过程获得的，类似于用于定义经典的黎曼ζ函数的Stieltjes常数。因此，我们称这些系数为{ \it多重Stieltjes常数}。上述洛朗型展开的其余部分则表示为在较小深度处产生的多个斯蒂尔捷斯常数。
2019-02-12 math.NT
Asymptotic Expansions for the multiple gamma functions of Barnes-Milnor type
经典的Stirling公式给出了Γ函数的渐近性质。Katayama和Ohtsuki将这个公式推广到Barnes的多重Γ函数。本文将这些公式进一步推广到BM（Barnes-Milnor）型多重Γ函数.
2019-05-25 math.NT
Laurent type expansion of multiple polylogarithms at integer points
Indian Institute of Technology Delhi（印度德里理工学院）
本文通过Laurent展开研究多重polylogarithms在整数点的局部行为，揭示其正则化系数与相关整数点的关系。
2026-01-24 math.NT
Laurent series expansions of multiple zeta-functions of Euler-Zagier type at integer points
我们给出了Euler-Zagier多重zeta-函数在任意整数点上的洛朗级数展开式的系数的显式表达式（或至少是获得这种表达式的算法）。主要工具是Mellin-Barnes积分公式和调和积公式。利用Mellin-Barnes积分公式对变量个数进行归纳，并利用调和积公式证明了收敛域内的洛朗级数可以得到收敛域内的洛朗级数展开式.
2016-01-22 math.NT
A family of multiple integrals connected with relatives of the Dickman function
给出了与Dickman函数相关的一类多重积分的渐近展开式。系数的这种扩展有一个类似的算术结构，出现在工作的Soundararajan对一个类似的扩展的Dickman功能。
2017-06-18 math.NT
Metric results for numbers with multiple $q$-expansions
令$M$为正整数，且$q\in (1, M+1]$。实数$x$的$q$ -展开是序列$(c_i)=c_1c_2\cdots$和$c_i\in \{0,1,\ldots, M\}$使得$x=\sum_{i=1}^{\infty}c_iq^{-i}$。本文研究由具有$j$-$q$ -展开式的实数构成的集合$\mathcal{U}_q^j$.我们的主要结果是，几乎每一个Lebesgue $q\in (q_{KL}, M+1), $，我们有$$\dim_{H}\mathcal{U}_{q}^{j}\leq \max\{0, 2\dim_H\mathcal{U}_q-1\}\text{ for all } j\in\{2,3,\ldots\}.$$这里$q_{KL}$是Komornik-Loreti常数。作为这个结果的推论，我们表明，对于任何$j\in\{2,3,\ldots\},$的功能映射$q$到$\dim_{H}\mathcal{U}_{q}^{j}$是不连续的。
2021-05-25 math.NT
Smallest bases of expansions with multiple digits
给定两个正整数$M$和$k$，令$\B_k$是基$q>1$的集合，使得存在实数$x$，其在字母表$\{0,1,\cdots,M\}$上具有恰好$k$不同的$q$ -展开式。本文研究了$\B_2$的最小基$q_2$，证明了若$M=2m$是最小基$$q_2 =\frac{m+1+\sqrt{m^2+2m+5}}{2},$$，若$M=2m-1$是最小基$q_2$，则$q_2$是$$ x^4=(m-1)\,x^3+2 m\, x^2+m \,x+1. $$的适当根.此外，对于$M=2$，我们证明了对于所有的$k\ge 3$，$q_2$也是$\B_k$的最小基.这与$M=1$不同。
2015-07-29 math.NT
Laurent series expansions for the Barnes multiple zeta function
Onomichi City University（尾道市立大学）
本文研究Barnes多重zeta函数的Laurent系数，在最高极点给出显式极限公式，在较低极点建立与Taylor系数的全阶关系，并利用整函数性质分析大阶行为，推广了常数项的有限部分表示。
2026-09-16 math.NT
Expansions in multiple bases
实数的展开是数论中的一个基本研究课题。通常我们在一个给定的基中展开实数。本文以一种合理的方式系统地研究了多个给定基上的展开式，这是一种推广，即如果所有的基都取为相同的，我们就回到了一个基上的经典展开式。特别是，我们专注于贪婪，准贪婪，懒惰，准懒惰和独特的扩展在多个基地。
2020-07-21 math.DS math.NT
The Littlewood-Richardson rule for Schur $P$-, $Q$-multiple zeta functions
本文研究了Schur P-和Q-多重ζ函数的展开规则，通过求和对称群的排列，推导出其线性组合形式，并引入了斜Schur Q-多重ζ函数的展开公式，进一步通过限制对称群子群进行细化。
2026-03-23 math.NT
On Using Expansions to the Base of -2
这个简短的说明研究了对-2基数使用展开式的效果。我们考虑的主要应用是密码协议，其中关键的操作是标量倍数的计算。对于最近提出的组所产生的皮卡德曲线，这导致节省至少7%的计算的m倍。对于更一般的非超椭圆亏格3曲线，我们期望更大的加速。
2003-12-02 math.NT
Expansions in multiple bases over general alphabets
自雷尼的开创性工作以来，非整数基的展开式得到了广泛的研究。我们介绍了一个更一般的框架，也包括Pedicini的一般字母表和Neunhäuserer和李的多基地扩展的字母系统。我们将Parry型词典理论推广到这种情况，改进和推广了前人关于唯一展开式的各种结果。
2021-02-19 math.CO math.NT
Beta-expansions, natural extensions and multiple tilings associated with Pisot units
从Rauzy和Thurston的工作中，我们知道如何利用Pisot单位$β$的共轭和贪婪$β$ -变换构造欧几里得空间的（多重）平铺.在本文中，我们考虑不同的转换生成基$β$中的扩展，包括相关的子移位不是sofic的情况。在某些温和的条件下，我们表明，他们给多个平铺。我们也给出了平铺性质的一个充要条件，推广了贪婪$β$ -展开的弱有限性（W）.值得注意的是，当$β$是最小的Pisot数或Tribonacci数时，对称的$β$变换不满足这个条件。这意味着Pisot猜想不能推广到对称的$β$ -变换。与这些（多重）镶嵌密切相关的是变换的自然扩张，它有许多好的性质：它们在勒贝格测度下是不变的;在一定条件下，它们提供环面的马尔可夫分割;它们用纯周期性扩展来表征数字，并且它们允许在不知道其他数字的情况下确定扩展中的任何数字。
2010-01-29 math.DS math.NT
Multiple tilings associated to d-Bonacci beta-expansions
设$β\in(1,2)$是一个Pisot单位，并考虑对称的$β$ -展开.给出了相应的Rauzy分形构成压缩超平面的拼接的一个充要条件。对于$β$，$d$ -Bonacci数，即，Pisot根的$x^d-x^{d-1}-\dots-x-1$，我们表明，Rauzy分形形成一个多重平铺覆盖度$d-1$。
2018-03-14 math.DS math.MG math.NT
Multiple expansions of real numbers with digits set $\{0,1,q\}$
对于$q>1$，我们考虑在基$q$中在字母表$\{0,1,q\}$上的扩展。令$\mathcal{U}_q$是具有唯一$q$ -展开的$x$的集合。对于$k=2, 3,\cdots,\aleph_0$，令$\mathcal{B}_k$为存在具有$k$不同$q$ -展开的$x$的基$q$的集合，对于$q\in \mathcal{B}_k$，令$\mathcal{U}_q^{(k)}$为具有$k$不同$q$ -展开的所有这样的$x$的集合.本文证明了\[ \mathcal{B}_{\aleph_0}=[2,\infty),\quad \mathcal{B}_k=(q_c,\infty)\quad \textrm{for any}\quad k\ge 2, \]，其中$q_c\approx 2.32472$是$x^3-3x^2+2x-1=0$的适当根。此外，我们证明了对于任何正整数$k\ge 2$和任何$q\in\mathcal{B}_{k}$，$\mathcal{U}_q^{(k)}$和$\mathcal{U}_q$的Hausdorff维数相同，即，\[ \dim_H\mathcal{U}_q^{(k)}=\dim_H\mathcal{U}_q\quad\textrm{for any}\quad k\ge 2. \]最后，我们得出结论：具有$q$ -展开的连续统的$x$的集合具有全Ha…
2018-07-20 math.DS math.NT
Motivic Multiple Zeta Values and Superstring Amplitudes
分析了开超弦和闭超弦振幅的结构。对于开超弦振幅，我们发现了一种引人注目且优雅的形式，它允许将其alpha '展开分解为几个贡献，这些贡献解释了多个zeta值的不同类别。这种形式得到了motivic多重zeta值的分解的支持，即后者封装了超弦振幅的α '扩展。此外，由余积诱导的态射将α '-展开映射到非交换Hopf代数上。这个映射表示超越函数符号的推广。就这个霍普夫代数的元素而言，α '-展开假定为一种非常简单和对称的形式，它携带了所有相关的信息。有了这些结果，我们也可以把闭超弦振幅转换成一种非常优美的形式。
2012-10-08 hep-ph hep-th math.NT
Asymptotic expansions of integrals and Nielsen's polylogarithms
University of Applied Sciences - Technikum Wien（维也纳应用科技大学）；The Open University of Israel（以色列开放大学）
本文推导了形式为∫₀¹f(u)(1+q⋅uⁿ)^(w/n)du的积分在n→∞时的渐近展开，将系数与尼尔森广义多项对数关联，并对q=-1时的展开涉及多重ζ值，q=1时的展开涉及交替多重ζ值，同时验证了多项式变换的对称性条件。
2026-04-07 math.CO math.NT
