A property of algebraic univoque numbers
考虑实数集合$\uu$ $q \ge 1$，其中只有一个整数序列$(c_i)$ $0 \le c_i \le q$满足等式$\sum_{i=1}^{\infty} c_i q^{-i} = 1$。本文证明了$\uu$中的代数数集在$\uu$的闭包$\uuu$中是稠密的.
2007-03-07 math.NT
Univoque bases of real numbers: simply normal bases, irregular bases and multiple rationals
给定正整数$M$和实数$x\in(0,1]$，若存在唯一的单正规序列$(d_i)\in\{0,1,\ldots,M\}^\mathbb N$，使得$x=\sum_{i=1}^\infty d_i q^{-i}$，则称$q\in(1,M+1]$为$x$的唯一单正规基.类似地，如果存在唯一序列$(d_i)\in\{0,1,\ldots, M\}^\mathbb N$使得$x=\sum_{i=1}^\infty d_i q^{-i}$和序列$(d_i)$没有数字频率，则碱基$q\in(1,M+1]$被称为$x$的唯一不规则碱基。设$\mathcal U_{SN}(x)$和$\mathcal U_{I_r}(x)$分别是$x$的单正规基和单非正规基的集合.在本文中，我们证明了任何$x\in(0,1]$的$\mathcal U_{SN}(x)$和$\mathcal U_{I_r}(x)$有完整的Hausdorff维数。此外，我们还证明了存在一个完整的Hausdorff维数集的$x_1, x_2, \ldots, x_n\in(0,1]$，使每个$x_i$有一个唯一的扩展基$q$。
2022-07-15 math.CA math.DS math.NT
Univoque graphs and multiple expansions
非整数基$q$上的唯一展开式在过去的三十年中已经有许多论文进行了研究。它们通常由标记有向图方便地生成。在本文的第一部分中，我们给出了一个精确的描述由这些图生成的序列的集合。第二部分利用唯一图的描述，研究了多重扩张。相反的唯一的扩展，我们证明了每个$j\ge 2$的集合$U_q^j$的号码正好$j$扩展是封闭的，只有当它是空的。此外，推广Sidorov的一个重要例子，我们证明了对于一大类基，$U_q^j$的豪斯多夫维数与$j$无关.在最后两节中，我们的结果通过许多例子来说明。
2019-11-08 math.NT
Topology of univoque sets in double-base expansions
本文将等基情况下唯一展开集的拓扑性质研究扩展至$q_0\neq q_1$的双基展开情况，揭示了因复杂性增加而产生的大量新现象。
2025-04-30 math.DS math.NT
Topology of univoque sets in real base expansions
给定正整数$M$和实数$q \in (1,M+1]$，实数$x \in \left[0,M/(q-1)\right]$在字母表$A=\{0,1,\ldots,M\}$上的展开是序列$(c_i) \in A^{\mathbb N}$，使得$x=\sum_{i=1}^{\infty}c_iq^{-i}$。推广了许多早期的结果，本文研究了由具有这种形式的唯一展开式的数$x$组成的集合$U_q$的拓扑性质，以及由它们的相应展开式组成的集合$U_q'$的组合性质.我们还对Baker在[B]中的主要结果给出了较短的证明，并将[EJK]中给出的方法应用于$M=1$的情形.
2022-03-15 math.CO math.NT
Univoque numbers and an avatar of Thue-Morse
Univoque数是实数$λ> 1$，使得数字1允许在基$λ> 1$中的唯一扩展，即，唯一的扩展$1 = \sum_{j \geq 0} a_j λ^{-(j+1)}$，每个$j \geq 0$都有$a_j \in \{0, 1, ..., \lceil λ\rceil -1\}$。2002年，Komornik和Loreti研究了这个定义的一个变体，以及称为{ \em容许序列}的序列。我们展示了第一作者1983年的一项研究如何给出Komornik和Loreti关于集合$\{0, 1, >..., b\}$上最小容许序列的结果，以及de Vries和Komornik（2007）关于属于区间$(b, b+1)$的最小univoque数的结果，其中$b$是任何正整数。我们还证明了最后一个数是超越数。Thue-Morse序列的化身，即态射$3 \to 31$、$2 \to 30$、$1 \to 03$、$0 \to 02$中以3开始的固定点，以“通用”方式出现。
2008-10-05 math.CO math.NT
Univoque bases of real numbers: local dimension, Devil's staircase and isolated points
给定一个正整数$M$和一个实数$x>0$，令$\mathcal U(x)$是所有基$q\in(1, M+1]$的集合，对于该集合存在唯一序列$(d_i)=d_1d_2\ldots$，其中每个数字$d_i\in\{0,1,\ldots, M\}$满足$$ x=\sum_{i=1}^\infty\frac{d_i}{q^i}. $$序列$(d_i)$称为$x$的$q$ -扩展。本文研究了$\mathcal U(x)$的局部维数，证明了唯一非整数基展开式的变分原理。我们还确定了$\mathcal U(x)$的临界值，使得当$x$通过第一个临界值时，集合$\mathcal U(x)$从具有正Hausdorff维数的集合变为可数集合，并且当$x$通过第二个临界值时，集合$\mathcal U(x)$从无限集合变为单例。用$\mathbf U(x)$表示$q\in\mathcal U(x)$的$x$的所有唯一$q$ -展开的集合。给出了$\mathbf U(x)$的Hausdorff维数，证明了维数函数$x\mapsto\dim_H\mathbf U(x)$是一个非增的魔鬼阶梯.最后，我们研究了$\mathcal U(x)$的拓扑结构。与$x=1$的$\mathcal U(1)$没有孤立点相反，我们证明了对于典型的$x>0$，集合$\mathcal U(x)$包含孤立点。
2020-06-15 math.CO math.DS math.NT
On the escape rate of unique beta-expansions
令$1<β\leq 2$。众所周知，在具有唯一$β$展开的$% [0,1/(β-1)]$中的点的集合，换句话说，在贪婪$β$变换下其轨道根据$β$逃离洞的那些点是零勒贝格测度。本文研究了相应的逃逸率。本文建立了一个联系univoque集的豪斯多夫维数与逃逸率的公式。证明了该速率关于$β$形成魔鬼阶梯函数。
2016-11-21 math.DS math.NT
Arithmetic on self-similar sets
设$K_1$和$K_2$是两个一维齐次自相似集.设$f$是定义在开集$U\subset \mathbb{R}^{2}$上的连续函数。用$$ f_{U}(K_1,K_2)=\{f(x,y):(x,y)\in (K_1\times K_2)\cap U\}. $$表示$f$的连续象本文给出了$f_{U}(K_1,K_2)$包含内部的一个充分条件。我们的结果不同于Simon和Taylor的\cite [命题2.9]{ST}，因为我们不需要$K_1$和$K_2$的厚度的乘积严格大于$1$的条件.作为结果，我们给出了$q$ -展开式在唯一集上的一个应用.
2019-08-01 math.DS math.NT
On the bifurcation set of unique expansions
给定一个正整数$M$，对于$q\in(1, M+1]$，令${\mathcal{U}}_q$是具有唯一的$q$ -展开的$x\in[0, M/(q-1)]$的集合，具有数字集$\{0, 1,\ldots, M\}$，令$\mathbf{U}_q$是相应的$q$ -展开的集合。最近，Komornik等人~ (Adv.数学、2017）表明，拓扑熵函数$H: q \mapsto h_{top}(\mathbf{U}_q)$是$(1, M+1]$中的魔鬼楼梯。设$\mathcal{B}$是由\[ \mathcal{B}=\{q\in(1, M+1]: H(p)\ne H(q)\quad\textrm{for any}\quad p\ne q\}. \]定义的$H$的分支集，本文分析了$\mathcal{B}$的分形性质，证明了对任何$q\in \mathcal{B}$，有\[ \lim_{δ\rightarrow 0} \dim_H(\mathcal{B}\cap(q-δ, q+δ))=\dim_H\mathcal{U}_q, \]，其中$\dim_H$表示Hausdorff维数.此外，当$q\in\mathcal{B}$时，univoque集合$\mathcal{U}_q$是维度均匀的，即，$ \dim_H(\mathcal{U}_q\cap V)=\dim_H\mathcal{U}_q…
2018-07-11 math.DS math.NT
Unique expansions of real numbers
几年前发现，存在非整数实数$q>1$，其中只有一个整数$c_i \in [0,q)$的序列$(c_i)$满足等式$\sum_{i=1}^\infty c_iq^{-i}=1$。这类“univoque数”的集合具有丰富的拓扑结构，它的研究揭示了一些意想不到的联系与测度论，分形，遍历理论和丢番图近似。在本文中，我们认为对于每个固定的$q>1$的集合$\mathcal{U}_q$的实数$x$具有唯一的表示形式$\sum_{i=1}^\infty c_iq^{-i}=x$与整数$c_i$属于$[0,q)$。我们进行了详细的拓扑研究，这些集。例如，我们刻画了它们的闭包，并确定了$\mathcal{U}_q$是闭的或甚至是康托集的那些基$q$。我们还研究了由整数$c_i \in [0,q)$的所有序列$(c_i)$组成的集合$\mathcal{U}_q'$，使得$\sum_{i=1}^{\infty} c_i q^{-i} \in \mathcal{U}_q$。我们确定的数字$r >1$的映射$q \mapsto \mathcal{U}_q'$（定义在$(1, \infty)$）是恒定的$r$的邻域和数字$q >1$的$\mathcal{U}_q'$是一个子移位或有限型的子移位。
2008-12-18 math.CO math.NT
Hausdorff dimension of double base expansions and binary shifts with a hole
Shenzhen University（深圳大学）；Université Paris Cité, CNRS, IRIF（巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，IRIF）
本文研究了双基展开和二进制移位中存在孔洞的动力系统，推导了豪斯多夫维数和熵的显式公式，并证明了其连续性。
2026-02-21 math.DS math.MG math.NT
Finding integral diagonal pairs in a two dimensional $\mathcal{N}$--set
根据[1]，$n$维$\mathcal{N}$ -集合是$\mathbb{R}^n$的紧致子集$A$，使得对于$\mathbb{R}^n$中的每个$x$，存在$A$中的$y$，其中$y-x$在$\mathbb{Z}^n$中.本文证明了每个二维$\mathcal{N}$ --集合$A$必须包含不同的点$x,y$，使得$x-y$在$\mathbb{Z}^2$中，而$x-y$既不是水平的也不是垂直的.这回答了Hegarty和M.内特森
2010-07-08 math.NT
New bounds for dimensions of a set uniformly avoiding multi-dimensional arithmetic progressions
令$r_k(N)$是$\{1,\ldots,N\}$的子集的最大基数，该子集不包含任何长度为$k$的等差数列（AP）。本文用$r_k(N)$给出了不含$(k,ε)$ -AP集的分形维数的新的上、下界，其中$N$依赖于$ε$ .这里我们说一个实数子集不包含$(k,ε)$ -AP，如果我们在集合的$εΔ$ -邻域中找不到任何长度为$k$且间隙差为$Δ$的AP.更确切地说，我们展示了这一结果的多维情况。作为推论，我们发现多维Szemerédi定理和边界的分形维数的集合，其中不包含多维$(k,ε)$ -AP之间的等价关系。
2019-10-29 math.CA math.MG math.NT
