Topological and dimensional properties of univoque bases in double-base expansions
本研究针对满足特定条件的双基展开场景，采用新策略研究其唯一基集合的拓扑与维数性质，证明该集合是具有满Hausdorff维数的贫集，拓展了单基情形下的相关研究结论。
2025-01-13 math.DS math.NT
Univoque bases of real numbers: simply normal bases, irregular bases and multiple rationals
给定正整数$M$和实数$x\in(0,1]$，若存在唯一的单正规序列$(d_i)\in\{0,1,\ldots,M\}^\mathbb N$，使得$x=\sum_{i=1}^\infty d_i q^{-i}$，则称$q\in(1,M+1]$为$x$的唯一单正规基.类似地，如果存在唯一序列$(d_i)\in\{0,1,\ldots, M\}^\mathbb N$使得$x=\sum_{i=1}^\infty d_i q^{-i}$和序列$(d_i)$没有数字频率，则碱基$q\in(1,M+1]$被称为$x$的唯一不规则碱基。设$\mathcal U_{SN}(x)$和$\mathcal U_{I_r}(x)$分别是$x$的单正规基和单非正规基的集合.在本文中，我们证明了任何$x\in(0,1]$的$\mathcal U_{SN}(x)$和$\mathcal U_{I_r}(x)$有完整的Hausdorff维数。此外，我们还证明了存在一个完整的Hausdorff维数集的$x_1, x_2, \ldots, x_n\in(0,1]$，使每个$x_i$有一个唯一的扩展基$q$。
2022-07-15 math.CA math.DS math.NT
Univoque bases of real numbers: local dimension, Devil's staircase and isolated points
给定一个正整数$M$和一个实数$x>0$，令$\mathcal U(x)$是所有基$q\in(1, M+1]$的集合，对于该集合存在唯一序列$(d_i)=d_1d_2\ldots$，其中每个数字$d_i\in\{0,1,\ldots, M\}$满足$$ x=\sum_{i=1}^\infty\frac{d_i}{q^i}. $$序列$(d_i)$称为$x$的$q$ -扩展。本文研究了$\mathcal U(x)$的局部维数，证明了唯一非整数基展开式的变分原理。我们还确定了$\mathcal U(x)$的临界值，使得当$x$通过第一个临界值时，集合$\mathcal U(x)$从具有正Hausdorff维数的集合变为可数集合，并且当$x$通过第二个临界值时，集合$\mathcal U(x)$从无限集合变为单例。用$\mathbf U(x)$表示$q\in\mathcal U(x)$的$x$的所有唯一$q$ -展开的集合。给出了$\mathbf U(x)$的Hausdorff维数，证明了维数函数$x\mapsto\dim_H\mathbf U(x)$是一个非增的魔鬼阶梯.最后，我们研究了$\mathcal U(x)$的拓扑结构。与$x=1$的$\mathcal U(1)$没有孤立点相反，我们证明了对于典型的$x>0$，集合$\mathcal U(x)$包含孤立点。
2020-06-15 math.CO math.DS math.NT
Statistics of patterns in typical cut and project sets
本文研究了典型三次割集和投影集的模式统计。我们估计的收敛速率的补丁出现他们的渐近频率。我们还给出了重复性和排斥性函数的界。证明使用差异理论中开发的思想和工具。
2017-02-14 math.DS math.NT
On the bifurcation set of unique expansions
给定一个正整数$M$，对于$q\in(1, M+1]$，令${\mathcal{U}}_q$是具有唯一的$q$ -展开的$x\in[0, M/(q-1)]$的集合，具有数字集$\{0, 1,\ldots, M\}$，令$\mathbf{U}_q$是相应的$q$ -展开的集合。最近，Komornik等人~ (Adv.数学、2017）表明，拓扑熵函数$H: q \mapsto h_{top}(\mathbf{U}_q)$是$(1, M+1]$中的魔鬼楼梯。设$\mathcal{B}$是由\[ \mathcal{B}=\{q\in(1, M+1]: H(p)\ne H(q)\quad\textrm{for any}\quad p\ne q\}. \]定义的$H$的分支集，本文分析了$\mathcal{B}$的分形性质，证明了对任何$q\in \mathcal{B}$，有\[ \lim_{δ\rightarrow 0} \dim_H(\mathcal{B}\cap(q-δ, q+δ))=\dim_H\mathcal{U}_q, \]，其中$\dim_H$表示Hausdorff维数.此外，当$q\in\mathcal{B}$时，univoque集合$\mathcal{U}_q$是维度均匀的，即，$ \dim_H(\mathcal{U}_q\cap V)=\dim_H\mathcal{U}_q…
2018-07-11 math.DS math.NT
Non-typical points for $β$-shifts
我们研究了非整数$β$的映射$f_β\mapsto βx $ mod 1下的非典型点集，并在几个方向上扩展了[Färm，Schmeling，2010]中的结果。特别是，我们证明了一套点的前向轨道避免某些康托集，和一套点的遍历平均发散，有大的交叉属性。我们观察到，[Färm，Schmelson，2010]中的技术条件$β>1.541$可以删除。
2013-02-08 math.DS math.NT
Unique expansions of real numbers
几年前发现，存在非整数实数$q>1$，其中只有一个整数$c_i \in [0,q)$的序列$(c_i)$满足等式$\sum_{i=1}^\infty c_iq^{-i}=1$。这类“univoque数”的集合具有丰富的拓扑结构，它的研究揭示了一些意想不到的联系与测度论，分形，遍历理论和丢番图近似。在本文中，我们认为对于每个固定的$q>1$的集合$\mathcal{U}_q$的实数$x$具有唯一的表示形式$\sum_{i=1}^\infty c_iq^{-i}=x$与整数$c_i$属于$[0,q)$。我们进行了详细的拓扑研究，这些集。例如，我们刻画了它们的闭包，并确定了$\mathcal{U}_q$是闭的或甚至是康托集的那些基$q$。我们还研究了由整数$c_i \in [0,q)$的所有序列$(c_i)$组成的集合$\mathcal{U}_q'$，使得$\sum_{i=1}^{\infty} c_i q^{-i} \in \mathcal{U}_q$。我们确定的数字$r >1$的映射$q \mapsto \mathcal{U}_q'$（定义在$(1, \infty)$）是恒定的$r$的邻域和数字$q >1$的$\mathcal{U}_q'$是一个子移位或有限型的子移位。
2008-12-18 math.CO math.NT
On the Hausdorff dimension of the difference sets between typical and normal numbers
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Collegium Mathematicum（波兹南亚当·密茨凯维奇大学数学学院）；AGH University of Krakow, Faculty of Applied Mathematics（克拉科夫AGH科技大学应用数学学院）
该研究探讨典型数与基2正规数差集的豪斯多夫维数，证明二者差集具完全豪斯多夫维数，通过计数论证而非显式构造确定维数。
2026-08-18 math.NT
The Typical Structure of Sets with Small Sumset
本文确定了有界加倍整数集的个数和典型结构。特别是，改善最近的结果绿色和莫里斯，和马祖尔，我们表明，以下持有的每一个固定的$λ> 2$和每$k \geqslant (\log n)^4$：如果$ω\to \infty$作为$n \to \infty$（任意缓慢），那么几乎所有的集$A \subset [n]$与$|A| = k$和$|A + A| \leqslant λk$包含在一个等差数列的长度$λk/2 + ω$。
2020-10-16 math.CO math.NT
The least common multiple of random sets of positive integers
研究了随机子集$A\subset \{1,\dots, n\}$中元素的最小公倍数的典型行为。例如，我们证明，$\text{lcm}\{a:\ a\in A\}=2^{n(1+o(1))}$几乎所有的子集$A\subset\{1,\dots,n\}$。
2013-12-13 math.NT
The typical approximate structure of sets with bounded sumset
令$A_1$和$A_2$是基数$s_2\geq s_1 = Ω(s_2)$的第一个$n$整数的随机选择的子集，使得它们的和集$A_1+A_2$具有大小$m$。我们证明了渐近几乎必然$A_1$和$A_2$几乎完全包含在算术级数$P_1$和$P_2$中，具有相同的公差和基数近似$s_i m/(s_1+s_2)$。我们还证明了一个计数定理，这样的集合对在任意阿贝尔群。结果适用于$s_i = ω(\log^3 n)$和$s_1+s_2 \leq m = o(s_2/\log^3 n)$。我们的主要工具是一个不对称版本的超图容器的方法，最近使用的坎波斯证明类似的结果在特殊情况下$A=B$。
2023-01-30 math.CO math.NT math.PR
Point sets with optimal order of extreme and periodic discrepancy
研究了$d$维单位立方体中点集的极值和周期性$L_p$偏差。极端差异使用单位立方体的任意子区间作为测试集，而周期差异基于周期间隔模1。这与经典的星形差异相反，后者只使用锚定在原点的区间作为测试集。在最近的一篇论文中，作者与Aicke Hinrichs一起研究了这些差异概念的$L_2$版本之间的关系，并提出了典型的二维拟蒙特卡罗方法点集的精确公式。在本文中，我们研究了一般$L_p$的情况下，推导出所考虑的点集的元素的数目$N$的各自的最小差异的确切数量级，对于任意但固定的尺寸$d$，这是$(\log N)^{(d-1)/2}$。
2021-09-13 math.NT
Borel complexity of the set of typical numbers
本文研究典型数与二进制正规数集合的关系，给出互不包含的例证，并确定典型数集合为 $Π_3^0$、非正规典型数集合属于 $Δ_4^0$。
2024-01-22 math.LO math.NT
Ratio sets of random sets
我们研究了随机子集$A\subset \{1,\dots , n\}$的比率集$A/A$的大小的典型行为。例如，我们证明了$|A/A|\sim \frac{2\text{Li}_2(3/4)}{π^2}n^2 $几乎所有子集$A \subset\{1,\dots ,n\}$。我们还证明了可见的晶格点的比例在晶格$A_1\times\cdots \times A_d$，其中$A_i$是随机在$[1,n]$与$\mathbb P(m\in A_i)=α_i$的任何$m\in [1,n]$，是渐近的常数$μ(α_1,\dots,α_d)$，涉及顺序$d$的多对数。
2021-06-08 math.CO math.NT
Structure of large incomplete sets in abelian groups
设$G$是有限阿贝尔群，$A$是$G$的子集.如果$G$的每个元素都可以表示为$A$的不同元素之和，则我们说$A$是完备的。本文研究了以下问题：{ \it大不完备集的结构是什么？}典型的答案是这样的集合本质上包含在一个极大子群中。作为一个副产品，我们得到了一个新的证明，几个早期的结果。
2006-10-04 math.CO math.NT
On the determinants of matrices with elements from arbitrary sets
本文利用加性组合学近期结果，对元素来自任意实数集合的给定行列式矩阵数量给出了比平凡上界更强的幂节省估计。
2024-08-08 math.CO math.NT
On the construction of a family of sets of positive integers closed under taking subsets
本文构造了字母表{0,1}上的单侧无穷序列与一类在取子集运算下封闭的正整数集合族之间的显式双射及其逆映射，并利用该双射通过离散动力系统刻画了特定集合族的极值性质。
2024-12-30 math.CO math.NT
