Rectangular Partitions of a Rectilinear Polygon
研究了在两个最优性准则下，利用在$P$内部绘制的不相交线段将一个具有$n$顶点且无孔的直线多边形$P$划分为矩形的问题.在最小墨水分区中，在$P$内绘制的线段的总长度将最小化。我们提出了一个使用$O(n^2)$空间的$O(n^3)$时间算法，该算法返回$P$的最小墨水分区。在厚分区中，所有结果矩形上的最小边长被最大化。我们提出了一个$O(n^3 \log^2{n})$时间算法使用$O(n^3)$空间，返回一个厚分区使用线段事件的$P$的顶点，和一个$O(n^6 \log^2{n})$时间算法使用$O(n^6)$空间，返回一个厚分区使用线段事件的边界$P$。我们还表明，如果输入的直线多边形有洞，相应的决策问题的厚分区问题，使用线段事件的多边形的顶点是NP完全的。我们还提出了一个$O(m^3)$ -时间$3$ -近似算法的最小墨水分区的矩形包含$m$点孔。
2021-11-03 cs.CG
On Approximation Schemes for Stabbing Rectilinear Polygons
本文研究刺穿直角多边形问题，刻画了存在 $(1+\varepsilon)$ 近似算法的条件：满足沙漏条件时存在 QPTAS，宽度有界时存在 PTAS，否则为 APX-难，并给出任意情况下的 $\Omega(\log n)$ 近似比下界。
2024-02-04 cs.CG
Computing Conforming Partitions with Low Stabbing Number for Rectilinear Polygons
University of Waterloo（滑铁卢大学）；University of Manitoba（曼尼托巴大学）；University of Saskatchewan（萨斯喀彻温大学）；Brock University（布鲁克大学）
本文研究了矩形多边形中具有低刺穿数的符合划分的计算问题，证明了刺穿数至多4的划分是NP难的，并给出了不同参数下的高效算法。
2025-12-14 cs.CG
Range Reporting for Time Series via Rectangle Stabbing
本文研究一维环境下的Fréchet查询问题，通过将其归约为矩形刺探问题，利用已知数据结构改进了存储空间和查询时间的边界，并证明了相应的下界。
2024-01-08 cs.CG
Maximum Area Rectangle Separating Red and Blue Points
给定n个红点的集合R和m个蓝点的集合B，我们研究了寻找一个包含所有红点、蓝点数量最少且面积最大的矩形的问题。我们称这样的矩形为最大分离矩形。我们解决平面，轴对齐（2D）的版本，并提出了一个O（mlogm+n）的时间，O（m+n）的空间算法。算法的时间复杂度为O（m + n）。我们进一步证明了我们的算法是最优的决策模型的计算。
2017-06-10 cs.CG
Approximation Schemes for Independent Set and Sparse Subsets of Polygons
我们提出了一个$(1+\varepsilon)$ -近似算法与准多项式的运行时间计算的最大重量多边形的独立集出一组多边形在平面上（具体地说，运行时间是$n^{O( \mathrm{poly}( \log n, 1/\varepsilon))}$）。与此相反，最著名的多项式时间算法的问题有一个近似比~ $n^{\varepsilon}$。令人惊讶的是，我们可以将算法扩展到计算给定多边形集合的最大权重子集的问题，这些多边形的相交图满足一些稀疏性条件。例如，我们证明了可以近似多边形的最大权重子集，使得该子集的相交图是平面的或者不包含长度为$4$的圈（即，$K_{2,2}$）。我们的算法依赖于一个递归的分区计划，其骨干是存在的平衡削减与小的复杂性，从一个小的总重量的最优解相交的多边形。对于大的轴平行矩形的情况下，我们提供了一个多项式时间$(1+\varepsilon)$ -近似的最大重量独立集。具体来说，我们考虑的问题，每个矩形有一个边缘的长度至少是一个恒定的分数的相应的边缘的所有输入元素的限界框的长度。这是PTAS已知的最一般的情况，它需要一个新的和涉及的划分方案，这应该是独立的利益。
2017-03-14 cs.CG
A (2+ε)-Approximation Algorithm for Maximum Independent Set of Rectangles
本文研究了平面上的最大独立集矩形问题，给定一组平行于轴的矩形，目标是选择一个具有最大基数的非重叠矩形子集。在最近的一项突破中，Mitchell [2021]获得了MISR的第一个常数因子近似算法。他的算法实现了近似比为10，它是基于一个动态的程序，直观地递归分区输入平面到特殊的多边形称为角裁剪矩形（CCR），而不相交某些特殊的水平线段称为围栏。在本文中，我们提出了一个$(2+ε)$ -近似算法的MISR，这也是基于递归分区计划。首先，我们使用一个分区成一类轴平行多边形具有恒定的复杂性，每个比CCR更一般。这使我们能够提供一个可以说更简单的分析，同时已经将近似比提高到6。然后，使用一个更详细的充电计划和递归划分成一般的轴平行多边形具有恒定的复杂性，我们提高我们的近似比$2+ε$。特别是，我们构建了一个递归分区的基础上更一般的围栏，可以是序列的$O(1/ε)$线段。这个划分例程和我们的其他新想法可能对未来的工作对MISR的PTAS有用。
2021-09-26 cs.CG cs.DS
Polygon Placement Revisited: (Degree of Freedom + 1)-SUM Hardness and an Improvement via Offline Dynamic Rectangle Union
我们重新审视经典的问题，确定一个简单的多边形$P$，可以放置到一个简单的多边形$Q$的最大副本。尽管付出了巨大的努力，但已知的算法需要高多项式运行时间。（Barquet and Har-Peled，2001）给出了当$P$和$Q$是具有$Θ(n)$顶点的（凸）多边形时，在3SUM猜想下的$n^{2-o(1)}$的下界.这就留下了我们是否能建立（1）超过二次时间的硬度和（2）常数大小的$P$或$Q$的任何超线性界限的问题。在本文中，我们肯定地回答这些问题下的$k$ SUM猜想，证明自然的硬度结果，增加每个自由度（缩放，$x$ -平移，$y$ -平移，旋转）：（1）找到最大的副本$P$，可以$x$ -翻译成$Q$需要时间$n^{2-o(1)}$下的3SUM猜想。(2)在4SUM猜想下，找到可以任意翻译成$Q$的$P$的最大拷贝需要时间$n^{2-o(1)}$。(3)当其中一个多边形的大小不变时，上述下界几乎是紧的：我们分别得到了具有$p$和$q$顶点的正交多边形$P,Q$的$\tilde O((pq)^{2.5})$时间算法。(4)在5和猜想下，找到可以任意旋转并翻译成$Q$的$P$的最大副本需要时间$n^{3-o(1)}$。我们不知道几何优化问题的任何其他这样的自然$($自由度$+ 1)$ -SUM硬度。
2021-11-03 cs.CC cs.CG cs.DS
Extensions of the Maximum Bichromatic Separating Rectangle Problem
本文研究了\cite{Armaselu-CCCG, Armaselu-arXiv}中引入的最大双色分离矩形（MBSR）问题的两个推广.在\cite{Armaselu-FWCG}中引入的扩展之一称为\textit{MBSR with outliers}或MBSR-O，是MBSR问题的更一般版本，其中最佳矩形允许包含多达$k$离群值，其中$k$作为输入的一部分给出。对于MBSR-O，我们将以前已知的$O(k^7 m \log m + n)$的运行时间界限改进为$O(k^3 m + m \log m + n)$。另一个扩展名为\textit{MBSR among circles}或MBSR-C，要求将红色点与蓝色单位圆分开的最大轴对齐矩形。对于MBSR-C，我们提供了一个在$O(m^2 + n)$时间内运行的算法。
2021-06-25 cs.CG
The Maximum Exposure Problem
给定平面中的一组点$P$和轴对齐的矩形$\mathcal{R}$，如果点$p \in P$位于$\mathcal{R}$中的所有矩形之外，则该点称为\emph{exposed}。在\emph{max-exposure problem}中，给定整数参数$k$，我们希望从$\mathcal{R}$中删除$k$矩形，以便最大化暴露点的数量。我们表明，这个问题是NP-难的，假设合理的复杂性结构也很难近似，即使在$\mathcal{R}$矩形是两个固定的矩形的翻译。然而，如果$\mathcal{R}$只包括一个单一的矩形的平移，我们提出了一个多项式时间近似计划。对于由一般矩形定义的值域空间，我们提出了一个简单的$O(k)$双准则近似算法，即通过删除$O(k^2)$矩形，我们可以暴露至少$Ω(1/k)$的最优点数.
2021-02-06 cs.CG
On $r$-Guarding Thin Orthogonal Polygons
保护多边形是计算几何中的一个古老而又深入研究的问题。这里我们考虑以下变体：我们假设多边形在某种意义上是正交的和薄的，并且我们考虑一个点$p$来保护一个点$q$当且仅当由$p$和$q$跨越的最小轴对齐矩形在多边形内部。一个简单的证明表明，这个问题是NP-困难的正交多边形与洞，即使多边形是薄的。如果没有洞，那么薄多边形就变成树多边形，因为所谓的多边形的对偶图是树。众所周知，对于树多边形来说，找到$r$ -guards的最小集合是多项式，但运行时是$\tilde{O}(n^{17})$。我们在这里表明，使用不同的方法，运行时间变成线性的，回答了Biedl等人提出的问题。（SoCG 2011）。此外，该方法更通用，允许指定要保护的点的子集和要使用的保护，并且它推广到具有$h$孔或厚度$K$的多边形，在$h+K$中变得固定参数易处理。
2016-04-25 cs.CG
Matching colored points with rectangles
设$S$是平面上的一个点集，使得它的每个元素都是红色或蓝色的。$S$与矩形的匹配是成对不相交的轴对齐矩形的任何集合，使得每个矩形恰好包含$S$的两个点。如果每个矩形包含相同颜色的点，则这种匹配是单色的，如果每个矩形包含不同颜色的点，则这种匹配是双色的。本文主要研究了以下两个问题：1.找到$S$与矩形的最大单色匹配。2.找到$S$与矩形的最大双色匹配。对于每个问题，我们提供了一个多项式时间近似算法，构造一个匹配的最佳匹配的矩形的数量至少$1/4$。我们发现，第一个问题是$\mathsf{NP}$ -硬，即使匹配矩形被限制到轴对齐的段或$S$是在一般的位置，也就是说，没有两个点的$S$共享相同的$x$或$y$坐标。我们进一步证明了第二个问题也是$\mathsf{NP}$ -困难的，即使$S$是在一般的位置。这些$\mathsf{NP}$ -硬度结果表明，在每种情况下，决定完美匹配的存在是$\mathsf{NP}$ -完全的。近似结果是基于我们的问题的关系，找到一个最大的独立集在一个家庭的轴对齐矩形的问题。本文扩展了前人关于单色点与矩形和正方形匹配以及双色点与线段匹配的研究成果。此外，使用我们的技术，我们证明了它是$\mathsf{NP}$ -完全决定完美匹配的矩形的情况下，所有的点有相同的颜色，解决了Bereg，Mutsanas，和沃尔夫[CGTA（2009）]的开放问题。
2014-01-03 cs.CG
Independent and Hitting Sets of Rectangles Intersecting a Diagonal Line : Algorithms and Complexity
求平行轴矩形族的最大独立集（MIS）是计算几何和组合数学中的一个基本问题。自60年代以来，这个问题引起了人们的极大关注，当时Wegner指出，相应的对偶性差距，即，最大独立集和最小碰集（MHS）之间的最大可能比率由通用常数限定。一个有趣的特殊情况，可以证明是有用的，以解决一般问题，是对角线相交的情况下，其中给定的家庭的矩形是由对角线。事实上，Chepoi和Felsner最近给出了MHS在这种情况下的6因子近似算法，并表明对偶性差距在3/2和6之间。在本文中，我们改进了这些结果。首先，我们证明了MIS在对角相交的家庭是NP-完全的，提供了一个最小的子类MIS是可证明的困难。然后，我们推导出一个$O(n^2)$时间算法的最大重量独立集时，此外，矩形相交的对角线下方。改进和推广了Lubiw的一个经典结果，得到了与对角线相交的矩形的最大权独立集的2-近似算法.最后，我们证明了对角相交族的对偶间隙在2和4之间。上界，这意味着一个近似算法的相同的因素，从一个简单的组合binatorial参数，而下界表示最好的已知的下界的对偶差距，即使在一般情况下。
2014-01-03 cs.CG
Guarding Path Polygons with Orthogonal Visibility
本文研究了简单正交多边形的最小$ r $ -保护问题。如果最小面积矩形包含$ p $且$ q $位于$ P $内，则内部点$ p $属于正交多边形$ P $从$ r $ -guard $ g $可见。如果多边形$ P $中的一组控球后卫的可见区域的并集等于多边形$ P $，即$ P $中的每个点从$ G $中的至少一个控球后卫可见，则这些控球后卫的集合被命名为后卫集合（如表示为$ G $）。对于一个正交多边形，如果其垂直分解的对偶图是一条路，则称之为路多边形。在本文中，我们发现的问题，找到最小数量的$ r $ -警卫（最小保护集）成为线性时间可解的正交路径多边形。路径多边形可以在每四个方向上具有凹陷边。对于这类正交多边形，Worman和Keil已经考虑了这个问题，他们描述了一个运行在$ O(n^{17} poly\log n) $时间的算法，其中$ n $是输入多边形的大小。对于一般可见的简单多边形，即使多边形是正交的，求其最小保护数的问题也是NP难的。我们的算法是纯几何的，并提出了一种新的策略$ r $ -保护正交多边形和保护可以放置在任何地方的内部和边界的多边形。
2017-09-05 cs.CG
Approximating Maximum Independent Set for Rectangles in the Plane
本文给出了平面内（轴向对齐）矩形的最大独立集的多项式时间常数因子近似算法。使用多项式时间算法，先前已知的最佳近似因子是$O(\log\log n)$。结果是基于一种新的形式的递归分区的平面上，其中面临的是恒定的复杂性和正交凸递归划分成一个常数数量的这样的面。
2021-07-06 cs.CG cs.DS
Coloring and Maximum Weight Independent Set of Rectangles
1960年，Asplund和Grünbaum证明了平面上平行轴矩形的交图都有$O(ω^2)$ -染色，其中$ω$是团的最大尺寸。我们提出了第一个渐进的改进，在这个六十岁的界限，证明每个这样的图是$O(ω\logω)$ -着色，并提出了一个多项式时间算法，发现这样的着色。这一改进导致了一个多项式时间的$O(\log\log n)$近似算法的最大重量独立集问题的轴平行矩形，这提高了以前的近似率$O(\frac{\log n}{\log\log n})$。
2020-07-15 cs.CG math.CO
Touring a Sequence of Orthogonal Polygons
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；POSTECH（浦项科技大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Saarland University（萨尔兰大学）；Humboldt-University Berlin（柏林洪堡大学）；Aalto University（阿尔托大学）；University of Hamburg（汉堡大学）
研究如何计算访问一系列k个多边形的最短路径，提出在正交多边形和曼哈顿距离下，针对不同情况设计了高效算法，包括亚二次复杂度算法和轴对齐矩形的线性算法。
2026-05-12 cs.CG cs.DS
Maximum Overlap Area of Several Convex Polygons Under Translations
针对平面上 $k$ 个凸多边形最大重叠面积问题，提出 $O(n\log^{2k-3}n)$ 时间算法寻找最优平移，并给出 $O(n)$ 时间算法计算所有实现该最大值的平移集合。
2023-07-01 cs.CG
Approximating the Maximum Overlap of Polygons under Translation
设$P$和$Q$是总复杂度平面$n$中的两个简单多边形，每个多边形至多可分解为$k$凸部分.我们提出了一个$(1-\varepsilon)$ -近似算法，用于寻找$Q$的翻译，最大化其与$P$的重叠区域。我们的算法在$O(c n)$时间内运行，其中$c$是一个常数，仅取决于$k$和$\varepsilon$。这表明，对于“接近”凸的多边形，可以在接近线性时间内（近似）解决问题。
2014-06-22 cs.CG
Maximum-Area Quadrilateral in a Convex Polygon, Revisited
在这篇笔记中，我们通过例子证明了Dobkin和Snyder在1979年提出的寻找内接于凸多边形的最大面积k边形的算法在k=4时找不到最优解。这个问题由Keikha等人提出，他们证明了Dobkin Snyder算法在k=3时失败。
2017-12-24 cs.CG
Inplace Algorithm for Priority Search Tree and its use in Computing Largest Empty Axis-Parallel Rectangle
在嵌入式或内置软件中，对空间有效的算法有很高的要求。在本文中，我们考虑的问题，设计空间有效的算法计算的最大面积空矩形（MER）之间的一组点在一个矩形区域$\cal R$在2D。我们首先提出了一个原地算法计算优先级搜索树的$\cal R$中的一组$n$点使用$O(\log n)$额外的位空间在$O(n\log n)$时间。它支持$O(\log^2n)$时间优先级搜索树上的所有标准查询。最后给出了该算法在计算最大空轴平行矩形中的应用。我们提出的算法需要$O(n\log^2n +m)$时间和$O(\log n)$工作空间，除了用于存储$n$输入点的数组。这里$m$是存在于$\cal R$中的最大空矩形的数目。最后，我们考虑了在一组$n$点中定位任意方向的最大面积空矩形的问题，并提出了一个求解该问题的$O(n^3\log n)$时间到位算法。
2011-04-15 cs.CG
Convex Cover and Hidden Set in Funnel Polygons
本文提出了漏斗多边形中最大隐藏集和最小凸覆盖的线性时间算法，证明其为“家园”多边形，并将算法扩展至最大隐藏顶点集，为伪三角形中的三个问题提供2-近似。
2023-05-17 cs.CG
Maximum-Area Triangle in a Convex Polygon, Revisited
我们重新考虑以下问题：给定一个凸多边形$P$，找出面积最大的内接三角形。我们的例子表明，线性时间算法在1979年提出的Dobkin和斯奈德解决这个问题失败。然后，我们继续表明，通过一个小的适应，他们的方法确实导致二次时间算法。我们还提出了一个更复杂的$O(n\log n)$时间分治算法。本文还通过实例证明了Dobkin和Snyder在1979年提出的求内接于凸多边形的最大面积$k$边形的算法不能求出$k=4$的最优解。最后，我们讨论了我们的发现对文学的影响。
2017-12-18 cs.CG
Maximum overlap area of a convex polyhedron and a convex polygon under translation
针对三维空间中凸多面体与凸多边形平移重叠面积最大化问题，提出确定性算法，时间复杂度为O(n log^2 n)，并推广至三凸多边形最大重叠及两凸多边形对称差最小化问题。
2023-02-25 cs.CG
Maximum-width Axis-Parallel Empty Rectangular Annulus
给定$\mathbb R^{2}$上$n$点的集合$P$，我们解决了计算一个最大宽度的轴平行空矩形环$A$的问题，使得$P$中没有点位于$A$内，但$P$中的所有点必须位于形成环$A$的两个平行矩形的边界内、外和上.我们提出了一个$O(n^3)$时间和$O(n)$空间算法来解决这个问题。在一个特殊的情况下，当一个轴平行的空矩形环的内矩形减少到一个输入点，我们可以解决问题的$O(n \log n)$时间和$O(n)$空间。
2017-12-01 cs.CG
Parameterized Approximation for Maximum Weight Independent Set of Rectangles and Segments
在矩形的最大权独立集问题（MWISR）中，给出了平面上平行于$n$轴的矩形的权集。任务是找到具有最大可能总权重的成对非重叠矩形的子集。这个问题是NP难的，最著名的多项式时间近似算法，由于Chalermsook和Walczak（SODA 2021），实现了近似因子$O(\log\log n )$。虽然在未加权设置中，由于Mitchell（FOCS 2021）和Gálvez等人（SODA 2022），常数因子近似算法是已知的，但将这些技术扩展到加权设置仍然是开放的。在本文中，我们认为MWISR通过参数化近似的镜头。Grandoni等人（ESA 2019）给出了一个运行时间为$k^{O(k/ε^8)} n^{O(1/ε^8)}$ time的$(1-ε)$近似算法，其中$k$是最优解中矩形的数量。不幸的是，他们的算法仅适用于未加权的设置，并且他们将其作为一个开放问题来给出加权设置中的参数化近似方案。我们的贡献是对Grandoni et al.（ESA 2019）公开问题的部分回答。我们给出了一个参数化的近似算法的MWISR，给定一个参数$k$，找到一组不重叠的矩形的重量至少$(1-ε) \text{opt}_k$在$2^{O(k \log(k/ε))} n^{O(1/ε)}$时间，其中$\text{opt}_k$是最大重量的基数在$k$的解决方案。请注意，因此，我们的算法可能会返回一个由多…
2022-12-03 cs.CG cs.DS
Approximation Schemes for Maximum Weight Independent Set of Rectangles
在矩形的最大权独立集（MWISR）问题中，给定一个二维平面上的n个轴平行矩形的集合，目标是选择两两不重叠的矩形的最大权子集。由于该问题在数据采掘、地图标注和准入控制等领域有着广泛的应用，因此受到了研究界的广泛关注。本文给出了拟多项式运行时间为2^{poly（log n/n）}的MWISR问题的第一（1+ n）-近似算法.相比之下，最有名的多项式时间近似算法的问题实现超常数的近似比O（log log n）（未加权的情况下）和O（log n / log log n）（加权的情况下）。我们的研究结果的关键是一个新的几何动态程序，递归细分成多边形的有限复杂的平面。我们提供分析其性能所需的技术工具。特别是，我们提出了一种方法，将平面划分成小而简单的区域，使得最优解的矩形以非常受控的方式被分割。再加上Arora等人的加权平面图分离定理的一个新应用，这使得我们可以通过（1+ 1）来上限我们的近似比。我们的动态程序非常通用，我们相信它对其他设置也很有用。特别是，我们表明，当参数化正确，它提供了一个多项式时间（1+ 1）的近似的特殊情况下的MWISR问题时，每个矩形是相对较大的至少一个维度。这种分析的关键是一种方法来平铺平面，以近似地描述这些矩形的拓扑结构的最佳解决方案。这种技术可能是一个有用的见解，设计更好的多项式时间近似算法，甚至PTAS的MWISR问题。
2013-07-06 cs.CG cs.DS
A Linear Time Algorithm for the Maximum Overlap of Two Convex Polygons Under Translation
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）
针对两个凸多边形在平移下的最大重叠问题，提出首个线性时间随机算法，改进了此前O((n+m)log(n+m))的确定性算法。
2026-06-03 cs.CG
Algorithms and Lower Bounds for the Maximum Overlap of Two Polygons Under Translation
University of Copenhagen（哥本哈根大学）；Indian Institute of Technology Bombay（孟买印度理工学院）；Ruhr University Bochum（波鸿鲁尔大学）；University of Bonn（波恩大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Inria（法国国家信息与自动化研究所）；Technical University of Dortmund（多特蒙德工业大学）；Technical University of Eindhoven（埃因霍温理工大学）
本文针对平移下两个正交多边形的最大重叠问题提出首个快于近30年通用算法的 $O((nm)^{3/2}\log(nm))$ 时间算法，并通过 $k$-SUM 与 $3$-SUM 下界证明其紧性及带对角边多边形包含问题的更高难度。
2025-11-06 cs.CG
Anchored Rectangle and Square Packings
对于单位正方形$[0,1]^2$中的点$p_1,\ldots , p_n$，\emph{anchored rectangle packing}由相邻不相交的轴对齐的空矩形$r_1,\ldots , r_n\subseteq [0,1]^2$组成，使得点$p_i$是$i=1,\ldots, n$的矩形$r_i$的角（即，$r_i$是$p_i$处的\emph{anchored}）。我们证明了对于$[0,1]^2$中的每一个$n$点集，都存在一个面积至少为$7/12-O(1/n)$的锚定矩形填充;对于每一个$n\in \mathbf{N}$，都存在一个面积至多为$2/3$的锚定矩形填充的点集.锚定\emph{square}填料的最大面积总是至少为$5/32$，有时至多为$7/27$。上述构造性下界立即产生常数因子近似，矩形的$7/12 -\varepsilon$和正方形的$5/32$，用于在$O(n\log n)$时间内计算最大面积的锚定填充。我们证明了一个简单的贪婪策略实现了$9/47$ -近似锚定正方形包装，和$1/3$左下角锚定正方形包装。约简到最大权独立集（MWIS）分别在$n^{O(1/\varepsilon)}$和$\exp({\rm poly}(\log (n/\varepsilon)))$时间中产生锚定矩形和方形填充的QPTAS和PTAS。
2016-02-29 cs.CG math.CO
On the Two-Dimensional Knapsack Problem for Convex Polygons
研究了凸多边形的二维的【形】几何背包问题。给定一组加权凸多边形和一个正方形背包，目标是选择给定多边形中最有利可图的子集，该子集非重叠地适合背包。我们允许旋转多边形的任意角度。我们提出了一个准多项式时间的$O(1)$ -近似算法的一般情况下和多项式时间的$O(1)$-近似算法，如果所有的输入多边形是三角形，都假设多项式有界的积分输入数据。此外，我们给出了一个准多项式时间算法，计算的最优权重下的资源增加，即，对于某些$δ>0$，我们允许将背包的大小增加因子$1+δ$，但是将我们自己与原始背包的最优解进行比较。据我们所知，这些是第一个结果的二维的【形】几何背包中的输入对象是更一般的比轴平行的矩形或圆形，其中输入多边形可以旋转任意角度。
2020-07-31 cs.CG cs.DS
Maximum-Weight Two Boxes Symmetric Difference Problem
Universidad de Magallanes（麦哲伦大学）；Universidad Tecnológica Metropolitana（大都会科技大学）；Universidad de Santiago de Chile (USACH)（智利圣地亚哥大学）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
该研究提出了一种在O(n⁴logn)时间内找到两个可能重叠的轴对齐矩形，以最大化其对称差中点权重总和的算法，并扩展到解决k≥3个盒子的对称差或k≥2个盒子的并集最大权重的问题。
2026-09-15 cs.CG
Linear Time Approximation Schemes for Geometric Maximum Coverage
我们研究以下几何版本的最大覆盖问题的近似算法：设P是一组n个加权点在平面上。我们希望放置m个a * b矩形，使得这些矩形覆盖的点的权重之和最大化.对于任何固定的> 0，我们提出了有效的近似方案，可以找到最优解的（1-ε）-近似.特别地，当m = 1时，我们的算法在线性时间O（nlog（1/ε））内运行，比以前的结果有所改进.当m > 1时，我们给出了一个时间复杂度为O（n/εlog（1/ε）+m（1/ε）^（O（min（sqrt（m），1/ε）的算法.
2015-05-11 cs.CG
Variations of largest rectangle recognition amidst a bichromatic point set
多色点集的经典可分性问题是计算几何的一个重要研究领域。本文研究了平面上双色点集P=P_r \cup P_b的不同可分性问题，其中$P_r$和$P_b$分别表示n个红点和m个蓝点的集合，目标是计算所需类型和最大尺寸的单色物体.我们提出了就地算法，用于计算（i）R^2中最大尺寸的任意定向单色矩形，（ii）R^3中最大尺寸的轴平行单色长方体。问题（i）和（ii）的算法的时间复杂度分别为O（m（m+n）（m \sqrt{n} +m \log m+n \log n））和O（m^3 \sqrt{n} +m^2n \log n）。作为一个先决条件，我们提出了一个就地构造的经典数据结构的k-d树，这是最初发明的J。1975年的宾利我们的$k$ -d树的就地变体对于R^k中的一组n个点支持使用O（1）额外工作空间的正交范围报告和计数查询，并且这些查询的时间复杂度与经典复杂度相同，即，时间复杂度为O（n^{1-1/k}+μ），时间复杂度为O（n^{1-1/k}），其中μ是报告查询的输出大小。这个数据结构的构造时间是O（n \log n）。与已有的原地k-d树的构造算法和查询算法相比，该构造算法和查询算法本质上都是非递归的，不需要O（\log n）大小的递归栈，我们相信这一结果是独立的.对于点集P=P_r \cup P_b中任意方向的最大权矩形的计算问题，我们也提出了一个算法。P_r）与负（相应地，这是…
2019-05-17 cs.CG
The Runaway Rectangle Escape Problem
受布线在PCB总线中的应用的启发，矩形逃逸问题最近被引入和研究。在这个问题中，我们在矩形区域$R$中给定一组矩形$\mathcal{S}$，我们想将这些矩形扩展到$R$的四条边之一。将$R$中点$p$的密度定义为包含$p$的扩展矩形的数量。然后，问题是找到具有最小最大密度的扩张。我们考虑的问题，最大限度地提高矩形的数量，可以扩展时，允许的最大密度是最多$d$。已知该问题对于$d = 1$是多项式可解的，并且对于任何$d \geq 2$是NP难的。我们认为近似和精确算法固定值的$d$。我们还表明，这个问题的一个非常特殊的情况下，当所有的矩形是从一个网格的单位正方形，继续是NP难的$d = 2$。
2016-03-15 cs.CG cs.DS
Maximum Polygon Packing: The CG:SHOP Challenge 2024
我们给出了针对问题\textsc{Maximum Polygon Packing}的2024年计算几何挑战赛的概述：给定平面中的凸区域$P$和简单多边形$Q_1, \ldots, Q_n$的集合，每个$Q_i$具有各自的值$c_i$，找到$i \in S$的多边形$Q_i$（无旋转）的子集$S \subseteq \{1, \ldots,n\}$和$P$内的可行包装，最大化$\sum_{i \in S} c_i$。几何包装问题，如这一点，提出了重大的计算挑战，并具有实质性的实际意义。
2024-03-24 cs.CG cs.DS
The Geodesic $2$-center Problem in a Simple Polygon
具有$n$顶点的简单多边形中的测地线$k$ -中心问题包括以下内容。找到多边形中的一组$k$点$S$，使多边形中任意点到$S$中最近点的最大测地线距离最小。在本文中，我们专注于$k=2$的情况下，并提出了一个精确的算法，返回一个测地线$2$ -中心在$O(n^2\log^2 n)$时间。
2017-10-25 cs.CG
A linear-time algorithm for the maximum-area inscribed triangle in a convex polygon
给定一个凸多边形的n个循环阶顶点，能否用O（n）时间复杂度的算法求出内接于P的最大面积三角形？1979年Dobkin和Snyder提出的线性时间算法最近被Keikha、Löffler、Urhausen和van der Hoog证明是不正确的。这些作者给出了一个替代算法的O（n log n）时间复杂度。这里我们给出了一个具有线性时间复杂度的算法。
2017-06-09 cs.CG math.MG
Largest triangles in a polygon
我们研究的问题，找到最大面积的三角形，可以内接在一个多边形在平面上。我们考虑八个版本的问题：我们使用凸多边形或简单的多边形作为容器;我们要求三角形有一个角与固定的角度或所有三个角与固定的角度;我们要么允许重新定向三角形或要求其方向是固定的。我们提出了精确的算法的所有版本的问题。在重定向的情况下，凸多边形的$n$顶点，我们也提出了$(1-\varepsilon)$ -近似算法。
2020-07-24 cs.CG
On Layered Area-Proportional Rectangle Contact Representations
Universität Trier（特里尔大学）
本文研究了分层面积比例矩形接触表示问题，证明了其NP完全性，并提出三种算法解决该问题。
2026-02-04 cs.CG
On Greedily Packing Anchored Rectangles
考虑单位正方形U中的点的集合P，其中一个点是原点。对于P中的每个点p，你可以在U中画一个矩形，其左下角在p中。这样的矩形可以覆盖的最大面积是多少？Freedman [1969]在1969年提出了这个问题，问一个人是否总是能覆盖至少50%的美国人。40多年后，Dumitrescu和Tóth [2011]首次实现了9.1%的恒定覆盖率;此后，没有取得重大进展。虽然9.1%看起来很低，但作者找不到任何他们的算法覆盖率低于50%的实例，这给最终证明50%的界限带来了希望。虽然我们确实将算法的覆盖率显著提高到39%，但我们通过给出覆盖率低于43.3%的点来消除达到50%的希望。我们的分析研究了算法的平均和最坏情况下所谓的瓦片密度，瓦片代表了给定点可以自由选择其最大面积矩形的区域。我们的方法是比较普遍的，可能有助于分析相关的算法。
2021-02-16 cs.CG cs.DS
Tight Hardness Results for Maximum Weight Rectangles
给定$d$维中的$n$加权点（正或负），使其包含的点的总权重最大化的轴对齐框是什么？这个问题的最著名的算法是基于一个相关问题的简化，加权深度问题[T。M. Chan，FOCS'13]，并在时间$O(n^d)$中运行。它被证实[Barbay等人，CCCG'13]，该运行时紧到子多项式因子。我们肯定地回答这个猜想提供了一个匹配的条件下界。我们还提供了条件下界的特殊情况下，当点排列在一个网格（一个很好的研究问题，称为最大子阵问题），以及其他相关问题。我们所有的下界都基于这样的假设：所有对最短路径问题（APSP）和边加权图中最大权重k团问题的最佳已知算法本质上是最优的。
2016-03-03 cs.CC cs.CG cs.DS
Asymmetric polygons with maximum area
我们说一个内接于圆的多边形是不对称的，如果它不包含两个作为直径端点的对径点。给定圆的$n$直径和正整数$k<n$，本文讨论了以给定直径的端点$k<n$为顶点的最大面积非对称$k$边形的计算问题.这种类型的多边形的研究是出于民族音乐学的应用。
2015-01-30 cs.CG math.CO math.MG
An Overview of Minimum Convex Cover and Maximum Hidden Set
本文综述了最小凸覆盖和最大隐藏集问题的研究成果，并提出新结论，证明确定多边形的凸覆盖数与隐藏集数是否相同是NP难问题，并展示了两者不总一致的例子。
2026-04-28 cs.CG
Greedy is good: An experimental study on minimum clique cover and maximum independent set problems for randomly generated rectangles
给定一个二维$n$随机轴平行矩形集合${\cal R}=\{R_1,R_2,..., R_n\}$，计算${\cal R}=\{R_1,R_2,..., R_n\}$中成员的交图$G({\cal R})$的最小团覆盖（MCC）和最大独立集独立集（MIS）问题都是计算困难的\cite{CC05} .对于MCC问题，证明了多项式时间常数因子逼近不可能得到\cite{PT11}。虽然这样的结果尚未证明的MIS问题，没有多项式时间常数因子近似算法存在于文献中。我们研究贪婪算法的性能计算这两个参数的$G({\cal R})$。实验结果表明，对于每个MCC和MIS问题，相应的贪婪算法产生的解决方案是非常接近其最优解。Scheinerman \cite{Scheinerman80}表明，对于问题的1D版本的随机实例，MIS的大小由$\sqrt{n}$紧密限制（即，区间图）。实验结果表明，该算法产生的独立集的大小至少为$2\sqrt{n}$，团覆盖最大为$3\sqrt{n}$.因此，实验得到的贪婪算法的近似比MIS问题是最多3/2，MCC问题是至少2/3。最后，我们将提供改进的贪婪算法的基础上的概念{ \it单纯矩形}。该算法的特点可能是在获得一个可证明的常数因子逼近算法的随机情况下的两个问题的兴趣。我们相信这个结果对任何有限维也成立。
2012-12-04 cs.CG cs.DS
Algorithms for eps-approximations of Terrains
考虑一个点集D，其测度函数为w：D -> R。设A是D的子集的集合，这些子集是由来自某些几何族的形状（例如轴对齐的矩形、半平面、球、k-定向多边形）中的包含引起的。我们说一个值域空间（D，A）有eps-逼近P，如果max {R \in A}| w（R \cap P）/w（P）- w（R \cap D）/w（D）|<= eps.我们描述的算法，确定性地构建离散eps连续点集，如分布或地形近似。此外，对于子集A的某些族，例如由轴对齐的矩形描述的那些族，我们将eps近似的大小从O（1/eps^2 log 1/eps）减少到O（1/eps polylog 1/eps）。这通常是将连续问题转化为离散问题的第一步，可以应用组合技术。我们描述了这一结果在地理空间分析，生物监测和传感器网络中的应用。
2008-05-09 cs.CG
Almost Tight Bounds for Conflict-Free Chromatic Guarding of Orthogonal Galleries
我们解决最近提出的彩色版本的经典艺术画廊的问题。假设一个简单的多边形$P$由一组有限的控球后卫防守，每个后卫被分配一种$t$颜色。如果每个点$p\in P$在从$p$可见的所有防护中看到至少一个具有唯一颜色的防护，则这种彩色防护被称为无冲突。我们的目标是建立边界上的功能$χ_{cf}(n)$的颜色的数量足以保证存在的任何$n$顶点多边形的冲突的色保护。Bärtschi和Suri展示了简单正交多边形的$χ_{cf}(n)\in O(\log n)$（Bärtschi等人，SoCG 2014）。在本文中，我们假设的r-可见性模型，而不是标准的线可见性。如果正交多边形中的点$p$和$q$跨越的矩形包含在$P$中，则这两个点彼此r可见。对于该模型，我们显示了$χ_{cf}(n)\in O(\log\log n)$和$χ_{cf}(n)\in Ω(\log\log n /\log\log\log n)$。最有趣的是，我们可以证明下界证明扩展到具有线可见性的警卫。为此，我们引入并利用一种新的离散组合结构称为textableau。这是第一个非平凡的下界为这个问题的setting. Further，对于强色版本的问题，其中所有的警卫r-可见从一个点必须有不同的颜色，我们证明了一个$Θ(\log n)$ -界。我们的结果可以解释为特殊几何超图的着色结果。
2014-12-12 cs.CG
Computing a Geodesic Two-Center of Points in a Simple Polygon
给定一个简单多边形$P$和$P$中包含的点的集合$Q$，我们考虑测地线$k$ -中心问题，其中我们要在$P$中找到$k$点，称为\emph{centers}，以最小化$Q$中任何点到其最近中心的最大测地线距离。在本文中，我们专注于$k=2$的情况下，并提出了第一个精确的算法，有效地计算一个最佳的$2$ -中心的$Q$相对于测地距离在$P$。
2019-10-27 cs.CG
The Visibility Center of a Simple Polygon
我们引入多边形内一组点的\emph{visibility center}-一个点$c_V$，使得从$c_V$到该组中任何点的最大测地距离最小化。对于一个由$n$顶点和一组$m$点组成的简单多边形，我们给出了一个寻找可见性中心的$O((n+m) \log {(n+m)})$时间算法。我们在$O(n \log n)$时间内找到了简单多边形中\emph{all}点的可见中心。我们的算法减少了可见性中心的问题，找到一组半多边形内的多边形，这是独立的利益的测地线中心的问题。我们给出了该问题的一个$O((n+k) \log (n+k))$时间算法，其中$k$是半多边形的个数.
2022-12-04 cs.CG
Approximating the Maximum Independent Set of Convex Polygons with a Bounded Number of Directions
针对边方向数最多为 $d$ 的凸多边形最大独立集问题，提出了一个运行时间为 $O((nd)^{O(d4^d)})$ 的 $8d/3$-近似算法，推广了轴平行矩形情形的常数因子近似结果。
2024-02-12 cs.CG cs.DS
An upper bound for min-max angle of polygons
设$S$是平面上$n$点的集合，$\wp(S)$是与$S$相交的所有简单多边形的集合，$γ_P$是多边形$P \in \wp(S)$和$θ=min_{P\in\wp(S)} γ_P$的最大夹角。本文证明了$θ\leq 2π-\frac{2π}{r.m}$，其中$m$和$r$分别是$S$凸壳的边数和内点数.我们还提出了一个算法，以构建一个多边形的角度上界说。在平面上给定的一组点上构造一个具有角度约束的简单多边形，可用于机器人路径规划。此外，我们还改进了$θ$的上界，并证明了这对$r=1$是紧的。
2021-06-12 cs.CG
Detecting all regular polygons in a point set
本文分析了在n个点集上求正多边形的时间复杂度。我们结合了两种不同的方法来找到规则多边形，这取决于它们的边数。我们的结果取决于参数alpha，它已被用来限制可以由n个点形成的等腰三角形的最大数量。这个界限已经被表示为O（n^{2+2alpha+ n}），并且alpha的当前最佳值是~0.068。我们的算法通过扫描点集的直线来找到具有O（n^alpha）边缘的多边形，而通过随机采样来找到更大的多边形。我们可以找到所有正多边形的高概率在O（n^{2+alpha+ alpha}）的期望时间为每个正的n。这与Brass的O（n^{2+2alpha+ n}）确定性算法相比很好。
2009-08-17 cs.CG
Greedy and Local Search Heuristics to Build Area-Optimal Polygons
在本文中，我们提出了我们的启发式解决问题的最大和最小面积多边形与给定的一组顶点。我们的解决方案主要基于两个简单的算法范例：贪婪方法和局部搜索。贪婪启发式算法从一个简单的多边形开始，根据权重函数逐个添加顶点。获得好的解决方案的一个关键因素是选择一个适当的权重函数，避免长边。局部搜索部分包括将连续顶点移动到多边形链中的另一个位置。我们还讨论了不同的实现技术，是必要的，以减少运行时间。
2021-06-28 cs.CG
A QPTAS for Maximum Weight Independent Set of Polygons with Polylogarithmically Many Vertices
多边形的最大权独立集问题是计算几何中的一个基本问题。给定二维平面中的一组加权多边形，目标是找到一组具有最大总权重的成对不重叠多边形。由于其广泛的应用，MWISP问题及其特殊情况已被广泛研究的近似算法和计算几何社区。尽管进行了大量的研究，但其总体情况并不清楚。目前，最著名的多项式时间算法实现了n^（n）的近似比[Fox和Pach，SODA 2011]，并且甚至不清楚该问题是否是APX困难的。我们提出了一个（1+ n）-近似算法，假设输入中的每个多边形最多有一个多对数的顶点数。我们的算法具有准多项式的运行时间。我们使用一个最近推出的框架来近似几何求交图中的最大权独立集。该框架已被用来构建一个QPTAS在更简单的情况下，轴平行矩形。我们以两种方式扩展它，使其适应我们更一般的设置。首先，我们证明了它的技术核心可以归结为所有输入多边形都是三角形的情况。其次，我们取代它的关键技术成分，这是一种方法来划分平面使用只有很少的边缘，使来自最佳解决方案的对象均匀分布在所得到的面，每个对象是重复只有几次。我们的新方法并不比原来的方法复杂，而且可以处理由于多边形的任意角度而产生的困难。请注意，这个障碍已经使上述框架的已知分析失败。而且，一般来说，如何通过有效的近似算法来处理这个困难还没有很好地理解。
2013-07-16 cs.CG cs.DS
