Largest-Area Convex Quadrilateral in a $1.5$D Terrain
National Institute of Technology Durgapur（印度杜尔加布尔国家技术学院）
针对1.5D地形中的最大面积凸四边形问题，提出O(n²)时间算法，并证明最大面积轴平行矩形提供1/2近似比。
2026-09-25 cs.CG
Low Rank Matrix Approximation in Linear Time
给定具有$\newcommand{\MatA}{\mathcal{M}}$行和$\newcommand{\NSize}{\mathsf{N}{}}$列以及固定的$\newcommand{\Fnorm}[1]{\left\| {#1} \right\|_F}$和$\eps$的矩阵$\newcommand{\pth}[1]{\left(#1\right)}$，我们提出了一种算法，该算法在线性时间（即，$O(\NSize )$）计算具有近似误差$\Fnorm{\MatA - \MatB}^2 \leq (1+\eps) \PrcOpt{\MatA}{k}$的$k$秩矩阵$\MatB$，其中$\NSize = n d$是输入大小，而$\PrcOpt{\MatA}{k}$是$\MatA$的$k$秩近似的最小误差.该算法以恒定概率成功，据我们所知，它是第一个实现乘法近似的线性时间算法。
2014-10-31 cs.CG
Improved Approximation for Guarding Simple Galleries from the Perimeter
我们提供了一个O（log log OPT）-近似算法的问题，守卫一个简单的多边形与警卫的周长。首先，我们设计了一个多项式时间算法，用于为与我们的守护问题相关的命中集的实例构建大小为O（1/1/2 log log 1/2）的ε网。然后，我们应用Bronnimann和Goodrich的技术，建立一个近似算法，从这个ε-网络发现者。随着一个简单的多边形P，我们的算法作为输入的一个有限的一组潜在的保护位置，必须包括多边形的顶点。如果一个有限的一组潜在的警卫位置没有指定，例如，当警卫可以放置在任何地方的周边，我们使用一个已知的离散化技术的成本，使算法的运行时间可能线性的最长和最短的距离之间的比率顶点。我们的算法是第一个改进O（log OPT）-近似算法，使用通用的网络查找有限VC维集系统。
2010-01-24 cs.CG
Relative $(p,ε)$-Approximations in Geometry
我们重新检查的概念相对$(p,\eps)$ -近似，最近在[CKMS 06]，并建立其大小的上限，在一般的范围空间有限VC维，使用抽样理论[LLS 01]和在几个早期的研究[Pol 86，Hau 92，Tal 94]。我们还调查了不同的采样概念，用于计算几何，学习和其他领域，并显示它们是如何相互关联的。然后，我们给出了较小尺寸的相对$(p,\eps)$ -近似的范围空间，涉及点和半空间在两个和更高的维度的建设。平面构造基于一种新的结构--相对交叉数较小的生成树，我们认为这是独立感兴趣的。相对$(p,\eps)$ -近似出现在几个几何问题，如近似范围计数，我们应用我们的新结构，以获得有效的解决方案，在三维近似范围计数。我们还提出了一个简单的解决方案的平面的情况下。
2010-01-25 cs.CG
Sparse Approximation via Generating Point Sets
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；University of Illinois（伊利诺伊大学）；University of Texas at Dallas（德克萨斯大学达拉斯分校）
$ \newcommand{\kalg}{k_{\mathrm{alg}}} \newcommand{\kopt}{k_{\mathrm{opt}}} \newcommand{\algset}{T} \renewcommand{\Re}{\mathbb{R}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\pth}[2][\!]{#1\left({#2}\right)} \newcommand{\npoints}{n} \newcommand{\ballD}{\mathsf{b}} \newcommand{\dataset}{P} $对于单位球$\ballD \subseteq \Re^d$中的$\npoints$点的集合$\dataset$，考虑找到一个小子集$\algset \subseteq \dataset$使得其凸包$\eps$-逼近原始集合的凸包的问题。我们提出了一个有效的算法来计算这样一个$\eps'$-近似的大小$\kalg$，其中$\eps'$是$\eps$的函数，和$\kalg$是这样一个$\eps$-近似的最小大小$\kopt$的函数。令人惊讶的是，在这两个边界中对维度$d$没有依赖性。此外，$\dataset$的每个点都可以由$\algset$的点的凸组合来近似$\eps$，该凸组合是$O(1/\eps^2)$稀疏的…
2017-06-29 cs.CG cs.LG
Weighted Epsilon-Nets
受Bukh和Nivasch最近关于单侧$\varepsilon$ -逼近的工作的启发，我们引入了\emph{weighted $\varepsilon$-nets}的概念。它是$\mathbb{R}^d$中点集近似的一个几何概念，类似于$\varepsilon$ -网和$\varepsilon$ -近似，比前者强，比后者弱。主要思想是小集合可以包含许多点，而大集合必须包含加权$\varepsilon$ -网的许多点。本文分析了弱加权$\varepsilon$ -网关于凸集和轴平行盒的性质，并给出了加权$\varepsilon$ -网关于2和3的$\varepsilon$的上下界.其中一些界限也适用于经典的$\varepsilon$ -网。
2020-02-20 cs.CG
Covering Cubes and the Closest Vector Problem
我们提供了目前最快的随机（1+ 1）-近似算法的最接近的向量问题的无穷范数。我们的方法的运行时间取决于维数n和近似保证的2^O（n）（log 1/n）^O（n）$，这改进了Blömer和Naewe以前最好的算法的（2+1/n）^O（n）运行时间。我们的算法是基于下面的几何覆盖问题的解决方案，这是它自己的兴趣：给定n在（0，1），有多少个椭球是必要的，以覆盖立方体[-1+ n，1-n]^n，使所有的椭球都包含在标准单位立方体[-1，1]^n？我们提供了一个几乎最佳的情况下，椭球被限制为轴平行的界限。然后，我们将覆盖方案应用于这个覆盖问题的一个变体，其中人们希望用平行六面体覆盖[-1 + ε，1-ε]^n，如果缩放2，仍然包含在单位立方体中。由此，我们得到了一种方法，可以将无穷范数下最接近向量的任意2-近似算法提升为具有所需运行时间的（1+ n）-近似算法.
2010-12-10 cs.CG cs.DS
k-Median clustering under discrete Fréchet and Hausdorff distances
给出了离散Fréchet距离下多边形轨迹的$k$中值聚类的第一个近似线性时间$(1+\eps)$近似算法，以及Hausdorff距离下有限点集的$k$中值聚类的第一个多项式时间$(1+\eps)$近似算法，条件是聚类中心、环境维数和$k$都有一个常数的界.主要的技术是一个通用的框架来解决聚类问题的聚类中心被限制来自一个\emph{simpler}度量空间。我们精确地描述了条件上的更简单的度量空间的集群中心，允许更快的$(1+\eps)$ -近似的$k$ -中位数问题。我们还证明了Hausdorff距离下的$k$ -中值问题是\textsc{NP-Hard} .
2020-04-01 cs.CG
Stability of epsilon-Kernels
给定n个点的集合P，|R^d，eps核K子集P在相对（1-eps）因子内在每个方向上近似P的方向宽度。本文研究了eps核在P上动态插入和删除点以及改变eps逼近因子时的稳定性。在第一种情况下，我们说动态维护eps-内核的算法是稳定的，如果在K中最多O（1）点的变化，因为一个点被插入或删除P。我们描述了一个算法，以维持大小为O（1/eps ^{（d-1）/2}）的eps-内核在O（1/eps^{（d-1）/2} + log n）时间每次更新。我们的算法不仅保持了一个稳定的eps内核，其更新时间比任何已知的算法，保持一个大小为O（1/eps^{（d-1）/2}）的eps内核更快。接下来，我们证明了如果存在大小为k的P的eps-核，其可能显著小于O（1/eps^{（d-1）/2}），则存在大小为O（min {1/eps^{（d-1）/2}，k^{floor（d/2）} log^{d-2}（1/eps）}）的P的（eps/2）-核。此外，存在点集P，|R^d和参数eps > 0，使得如果P的每个eps-核的大小至少为k，则P的任何（eps/2）-核的大小为Ω（k^{floor（d/2）}）。
2010-03-30 cs.CG
Near-Linear Time Approximation Schemes for Clustering in Doubling Metrics
本文研究了双维度量空间$d$中的经典设施选址、$k$ -Median和$k$ -Means问题。我们给每个问题的近线性时间近似方案。我们的算法的复杂性是$2^{(\log(1/\eps)/\eps)^{O(d^2)}} n \log^4 n + 2^{O(d)} n \log^9 n$，使一个显着的改进，在时间上运行的最先进的算法$n^{(d/\eps)^{O(d)}}$。此外，我们展示了如何扩展的技术，用于获得第一个有效的近似方案的问题，奖金收集$k$ -中位数和$k$ -手段，和有效的双准则近似方案$k$ -中位数与离群值，$k$ -均值与离群值和$k$ -中心。
2020-05-20 cs.CG cs.DS
Approximating Low-Dimensional Coverage Problems
我们研究的最大覆盖问题的复杂性，限制到有界VC维的系统。我们的主要结果是一个固定参数的易于处理的近似方案：一个算法，输出$(1-\eps)$ -近似的最大基数联盟的$k$集，在运行时$O(f(\eps,k,d)\cdot poly(n))$其中$n$是问题的大小，$d$是VC-维的集合系统，和$f(\eps,k,d)$是指数在$(kd/\eps)^c$的一些常数$c$。我们补充这一积极的结果表明，功能$f(\eps,k,d)$在运行时的界限不能被替换为一个功能只依赖于$(\eps,d)$或$(k,d)$，在标准的复杂性假设。我们还提出了一个改进的上界的贪婪算法的逼近比在特殊情况下的问题，包括当集有界的基数，当它们是二维半空间。补充这些积极的结果，我们表明，当集是四维半空间的贪婪算法，也没有本地搜索是能够提高最坏情况下的近似比的$1-1/e$的贪婪算法实现的任意情况下的最大覆盖。
2011-12-03 cs.CG cs.DS
Coresets for $k$-Means and $k$-Median Clustering and their Applications
$\renewcommand{\Re}{{\rm I\!\hspace{-0.025em} R}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\Coreset}{\mathcal{S}} $在本文中，我们证明了存在的小coresets计算$k$ -中位数和$k$ -均值聚类的低维点的问题。换句话说，我们表明，给定$\Re^d$中的点集$P$，可以计算大小为$O(k \eps^{-d} \log{n})$的加权集$\Coreset \subseteq P$，使得可以计算$\Coreset$而不是$P$上的$k$ -中值/均值聚类，并得到$(1+\eps)$ -近似。因此，我们改进了已知的最快的算法$(1+\eps)$ -近似$k$ -均值和$k$ -中值聚类。对于固定的$k$和$\eps$，我们的算法具有线性运行时间。此外，我们可以使用多对数空间和更新时间，在仅插入点时维持流的$(1+\eps)$ -近似$k$ -中值或$k$ -均值聚类。
2018-10-30 cs.CG
An Approximation Algorithm for Computing Shortest Paths in Weighted 3-d Domains
Bulgarian Academy of Sciences（保加利亚科学院）；Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）
本文提出了第一个计算加权三维域上最短路径的多项式时间近似算法。给定一个由正权$n$四面体组成的多面体域$\D$和一个实数$\eps\in(0,1)$，该算法在$O(\C(\D)\frac{n}{\eps^{2.5}}\log\frac{n}{\eps}\log^3\frac{1}{\eps})$时间内构造$\D$中从一个固定源顶点到$\D$中所有顶点的路径，其代价至多为$1+\eps$乘以（加权）最短路径的代价，其中$\C(\D)$是与四面体纵横比有关的几何参数.该算法的效率是基于对加权三维域中的测地线路径和加性沃罗诺伊图的局部行为的深入研究，这是独立的利益。本文将Aleksandrov，Maheshwari和Sack [JACM 2005]的结果扩展到三维。
2011-02-15 cs.CG cs.DS cs.GR
Deterministic Sampling and Range Counting in Geometric Data Streams
我们提出了内存高效的确定性算法，用于构建几何数据流的ε-网和ε-近似。与概率方法不同，这些确定性样本在其近似因子上提供有保证的界限。我们展示了我们的确定性样本可以用来回答近似的在线冰山几何查询数据流。我们使用这些技术来近似几何数据流的几个强大的统计，包括Tukey深度，单纯深度，回归深度，Thiel-Sen估计，和最小平方中位数。我们的算法只使用多对数的内存量，所需的近似因子是逆多对数。我们还包括一个下界的非冰山几何查询。
2003-07-11 cs.CG
A polynomial-time approximation scheme for Euclidean Steiner forest
我们给出了一个随机的O（n polylog n）-时间近似方案的Steiner森林问题在欧氏平面。对于每一个固定的eps > 0和给定的n个终端在平面上的连接请求之间的一些终端对，我们的计划发现一个（1 + eps）-近似的最小长度的森林，连接每个请求的终端对。
2014-02-24 cs.CG cs.DS
epsilon-Samples of Kernels
University of Utah（犹他大学）
研究了基于子集逼近的核密度估计的最坏情况误差。分布的核密度估计是该分布与固定核（例如高斯核）的卷积。给定输入分布的子集（即点集），我们可以将输入分布的核密度估计与子集的核密度估计进行比较，并限制最坏情况的误差。如果最大误差是eps，那么这个子集可以被认为是范围空间的eps-样本（也称为eps-近似），该范围空间以输入分布为基集，固定核表示范围族。有趣的是，在这种情况下，范围不是二进制的，而是有一个连续的范围（为了简单起见，我们关注范围为[0，1]的内核）;这些允许范围空间的更平滑的概念。事实证明，使用这个更平滑的范围空间家族有一个额外的好处，那就是大大减少了eps样本所需的大小。例如，在平面中，磁盘的大小为O（（1/eps^{4/3}）log^{2/3}（1/eps））（基于VC维参数），但对于高斯核和具有仅影响有界域的有界斜率的核，大小仅为O（（1/eps）sqrt{log（1/eps）}）。这些界限是通过研究这些“内核”范围空间的差异来实现的，在这里，界限的改进更加明显。在平面上，我们证明了这些内核的差异是O（sqrt{log n}），而对于球，有一个Omega（n^{1/4}）的下界。
2012-04-03 cs.CG cs.DS cs.LG
Approximation Schemes for Maximum Weight Independent Set of Rectangles
在矩形的最大权独立集（MWISR）问题中，给定一个二维平面上的n个轴平行矩形的集合，目标是选择两两不重叠的矩形的最大权子集。由于该问题在数据采掘、地图标注和准入控制等领域有着广泛的应用，因此受到了研究界的广泛关注。本文给出了拟多项式运行时间为2^{poly（log n/n）}的MWISR问题的第一（1+ n）-近似算法.相比之下，最有名的多项式时间近似算法的问题实现超常数的近似比O（log log n）（未加权的情况下）和O（log n / log log n）（加权的情况下）。我们的研究结果的关键是一个新的几何动态程序，递归细分成多边形的有限复杂的平面。我们提供分析其性能所需的技术工具。特别是，我们提出了一种方法，将平面划分成小而简单的区域，使得最优解的矩形以非常受控的方式被分割。再加上Arora等人的加权平面图分离定理的一个新应用，这使得我们可以通过（1+ 1）来上限我们的近似比。我们的动态程序非常通用，我们相信它对其他设置也很有用。特别是，我们表明，当参数化正确，它提供了一个多项式时间（1+ 1）的近似的特殊情况下的MWISR问题时，每个矩形是相对较大的至少一个维度。这种分析的关键是一种方法来平铺平面，以近似地描述这些矩形的拓扑结构的最佳解决方案。这种技术可能是一个有用的见解，设计更好的多项式时间近似算法，甚至PTAS的MWISR问题。
2013-07-06 cs.CG cs.DS
Approximately: Independence Implies Vertex Cover
University of Illinois（伊利诺伊大学）
通过将独立集近似算法转换为顶点覆盖近似算法，获得平面中无权伪盘、轴对齐矩形和加权多边形的顶点覆盖近似算法新结果。
2026-02-20 cs.CG cs.DS
Sub-quadratic (1+\eps)-approximate Euclidean Spanners, with Applications
该研究针对高维欧几里得空间点集生成图问题，证明低拉伸率次二次生成图不可行，同时通过添加非度量Steiner点构造出次二次规模的(1+ε)-近似生成图，并将有向版本用于加速推土机距离的近似计算。
2023-10-09 cs.CG cs.DS
How to Cover a Point Set with a V-Shape of Minimum Width
平衡的V形是包含在两个交叉的等宽条的并集中的平面中的多边形区域。它由两对平行射线界定，这两对平行射线从两个点x、y发出，包含在条带边界中，并且相对于线xy镜像对称。平衡的V形的宽度是条带的宽度。我们首先给出一个O（n^2 log n）时间算法来计算给定n个点的集合P的最小宽度平衡V形覆盖P。然后我们描述一个PTAS来计算这个V形在时间O（（n/n）log n+（n/n ^（3/2））log^2（1/n））内的（1+ n）-近似。本文还介绍了一种简单得多的常系数近似算法。
2011-08-09 cs.CG cs.DS
Approximate Clustering via Metric Partitioning
在本文中，我们考虑两个度量覆盖/聚类问题- \textit{Minimum Cost Covering Problem}（MCC）和$k$ -聚类。在MCC问题中，我们给出了两个点集$X$（客户端）和$Y$（服务器端），以及关于$X \cup Y$的度量。我们想用以发球器为中心的球来覆盖客户端。最小化的目标函数是球的半径的PDMATHAMR次幂的和。这里，$α\geq 1$是问题的参数（但不是问题实例的参数）。MCC与$k$ -聚类问题密切相关。$k$ -集群和MCC之间的主要区别在于，在$k$ -集群中，需要选择$k$球来覆盖客户端。对于任何$\eps > 0$，我们描述了这两个问题的准多项式时间$(1 + \eps)$近似算法.然而，在$k$聚类的情况下，算法使用$(1 + \eps)k$球。在此之前，我们的工作，一个$3^α$和一个${c}^α$近似分别实现了多项式时间算法MCC和$k$ -聚类，其中$c > 1$是一个绝对常数。因此，这两个问题是度量覆盖/聚类问题的有趣示例，如果愿意满足于准多项式时间，则允许$(1 + \eps)$近似（在$k$聚类的情况下使用$(1+\eps)k$球）.相比之下，对于MCC的变体，其中$α$是输入的一部分，我们在标准假设下表明，没有多项式时间算法可以实现比$O(\log |X|)$更好的近似因子为$α\geq \log |X|$。
2016-10-03 cs.CG cs.DS math.PR
Minimum clique partition in unit disk graphs
最小团划分（MCP）问题是将给定图的顶点集划分为最小数目的团的问题。给定平面中的$n$点，相应的单位圆盘图（UDG）将这些点作为顶点，并且边连接距离至多为1的点。MCP在单位圆盘图是已知的NP-难和几个常数因子近似是已知的，包括最近的PTAS。本文提出了两种改进的单位圆盘图最小团划分的近似算法：（I）一种按时间运行的多项式时间近似算法（PTAS）$n^{O(1/\eps^2)}$。这改进了以前的PTAS与$n^{O(1/\eps^4)}$运行时间\cite{PS09}。(II)近似比为2.16的随机二次时间算法。这改进了$O(n^2)$运行时间为\cite{CFFP04}的比率3算法。
2009-09-08 cs.CG cs.DS
Digital terrain modeling with the Chebyshev polynomials
数字地形分析的数学问题包括数字高程模型（DEM）的插值，DEM综合和去噪，以及通过计算高程的偏导数来计算形态测量变量。传统上，这些程序是基于两个变量的高程离散函数的数值处理。我们开发了一种基于高阶正交展开的谱分析方法和算法，使用第一类Chebyshev多项式和随后的Fejer求和。该方法和算法适用于DEM的分析处理，如DEM的整体近似，去噪，和泛化以及通过偏导数的分析计算来计算形态测量变量。为了测试该方法和算法，我们使用了包括230，880个点的北安第斯山脉的DEM（高程矩阵480 $\times$ 481）。DEM用480、240、120、60和30膨胀系数重建。高程的一阶和二阶偏导数由重建的DEM解析计算。然后用导数计算水平曲率模型（$k_h$）。通过一组不同膨胀系数的高程图和$k_h$图，验证了该方法的数据综合效果、去噪效果和去除伪影的效果。它们可作为数字地形建模中分析处理的通用工具。
2015-07-15 cs.CE cs.CG math.DG
