The Complexity of Guarding Terrains
如果地形上的任何点被$G$中的一个点“看到”，则1.5维地形上的一组点$G$（也称为$x$ -单调多边形链）被称为保护地形。地形上的两个点彼此可见，当且仅当它们之间的线段从不严格低于地形。最小地形防护问题要求给定输入地形的最小防护集。我们证明了这个问题的决策版本是NP-难的。这解决了一个重要的开放问题，并补充了最近的积极逼近结果的优化问题。我们的证明使用了从PLANAR 3-SAT的约化。我们建立的小工具能够'镜像'一个一致的变量分配来回跨越一个主要的山谷。1.5维地形的结构简单性使得很难构建在评估时不破坏此赋值的通用子句小工具。然而，我们利用的结构在PLANAR 3-SAT的实例中找到非常具体的操作，只涉及“相邻”的变量。对于这些受限制的操作，我们可以构造允许完全归约工作的小工具。
2009-07-07 cs.CG
Improved Approximations for Guarding 1.5-Dimensional Terrains
对于在1.5维地形上放置最少的保护点以使地形上的每一点至少被一个保护点看到的问题，我们提出了一个4-近似算法。这改进了当前的最佳近似因子5。我们的方法是基于四舍五入相应的覆盖问题的线性规划松弛。除了简单的分析，这主要依赖于分解的LP的约束矩阵到完全平衡的矩阵，我们的算法，不同于以前的工作，一般化的加权和部分版本的基本问题。
2008-09-01 cs.CG
The Continuous 1.5D Terrain Guarding Problem: Discretization, Optimal Solutions, and PTAS
在NP-难连续1.5维地形防护问题（TGP）中，我们给出了一个$x$ --$\mathbb{R}^2$（地形$T$）中线段的单调链，并要求最小数量的防护（位于$T$上的任何地方）来防护所有$T$。我们构造多项式大小的保护候选集和见证集$G, W \subset T$，使得对于$W$的任何可行（最优）保护覆盖$G^* \subseteq G$对于连续TGP也是可行（最优）的。这种离散化使我们能够（1）解决连续三峡工程的NP完全性问题，（2）利用Gibson等人提出的离散三峡工程的多项式时间近似方案（PTAS），（3）将连续三峡工程规划问题表示为一个线性规划问题。此外，我们提出了几种过滤技术，减少我们的离散化的大小，使我们能够设计一个有效的基于IP的算法，可靠地提供最佳的后卫位置的地形与$10^6$顶点在几分钟内在一个标准的台式计算机。
2016-05-17 cs.CG
On Guarding Orthogonal Polygons with Bounded Treewidth
以正交方式保护正交多边形存在许多变体：有时保护可以看到整个矩形，或沿着楼梯，或沿着最多具有$k$弯曲的正交路径。本文在树宽有界的正交多边形的特殊情况下研究了所有这些保护模型。利用有界树宽图的算法，我们发现，在这些模型中找到最小数量的警卫的问题成为线性时间有界树宽的正交多边形可解。
2017-06-07 cs.CG
On Guarding Orthogonal Polygons with Sliding Cameras
正交多边形$P$内的滑动摄像机是一名控球后卫，它沿着$P$中的正交线段$P$来回移动。如果从$p$到$γ$的垂线在$P$内部，则滑动摄像机$g$可以看到$P$中的点$p$。本文给出了最少滑动摄像机数保护$P$问题的第一常数因子近似算法。接下来，我们证明了滑动警卫问题是线性时间可解的，如果（适当定义）的对偶图的多边形有界树宽。最后，我们研究了滑动摄像机的画廊定理，从而给出了相对于顶点数$n$所需的保护数的上界和下界。
2016-04-25 cs.CG
Guarding Path Polygons with Orthogonal Visibility
本文研究了简单正交多边形的最小$ r $ -保护问题。如果最小面积矩形包含$ p $且$ q $位于$ P $内，则内部点$ p $属于正交多边形$ P $从$ r $ -guard $ g $可见。如果多边形$ P $中的一组控球后卫的可见区域的并集等于多边形$ P $，即$ P $中的每个点从$ G $中的至少一个控球后卫可见，则这些控球后卫的集合被命名为后卫集合（如表示为$ G $）。对于一个正交多边形，如果其垂直分解的对偶图是一条路，则称之为路多边形。在本文中，我们发现的问题，找到最小数量的$ r $ -警卫（最小保护集）成为线性时间可解的正交路径多边形。路径多边形可以在每四个方向上具有凹陷边。对于这类正交多边形，Worman和Keil已经考虑了这个问题，他们描述了一个运行在$ O(n^{17} poly\log n) $时间的算法，其中$ n $是输入多边形的大小。对于一般可见的简单多边形，即使多边形是正交的，求其最小保护数的问题也是NP难的。我们的算法是纯几何的，并提出了一种新的策略$ r $ -保护正交多边形和保护可以放置在任何地方的内部和边界的多边形。
2017-09-05 cs.CG
A (7/2)-Approximation Algorithm for Guarding Orthogonal Art Galleries with Sliding Cameras
考虑在具有$n$顶点的正交多边形$P$内沿着正交线段$s$来回移动的滑动摄像机。当且仅当存在包含$p$的线段与$s$成直角相交且完全包含在$P$中时，相机才能看到$P$内的点$p$。在最小滑动摄像机（MSC）问题中，目标是以最少的滑动摄像机数量来保护$P$。本文给出了一个求解任意具有$n$顶点的简单正交多边形上的MSC问题的$O(n^{5/2})$ -时间$(7/2)$ -近似算法，回答了Katz和Morgenstern（2011）提出的一个问题.据我们所知，这是第一个常数因子近似算法这个问题。
2013-09-28 cs.CG
Minimum Hidden Guarding of Histogram Polygons
一个隐藏的后卫集合$ G $是多边形$ P $中的一组控球后卫，在没有两个后卫可以看到对方的约束下，该多边形的所有点都可以从$ G $中的一些后卫看到。本文研究了在正交可见度下求直方图多边形的最小隐保护集的问题。如果$ p $和$ q $的正交边界矩形位于$ P $内，则两个点$ p $和$ q $正交可见。对于具有一般可见性的简单多边形，该问题是NP-难的;对于简单正交多边形，该问题也是NP-难的。提出了一种在正交可见性下求直方图多边形最小隐保护集的线性时间精确算法。在我们的算法中，它是允许的后卫的地方在多边形的任何地方。
2017-08-19 cs.CG
Guarding Terrains with Guards on a Line
本文研究在x-单调多边形链上方最低水平线上放置k个点守卫以覆盖整条链的问题，给出依赖Davenport-Schinzel序列复杂度的最优算法，并处理子链与守卫一一配对的变体。
2025-05-05 cs.CG
On $r$-Guarding Thin Orthogonal Polygons
保护多边形是计算几何中的一个古老而又深入研究的问题。这里我们考虑以下变体：我们假设多边形在某种意义上是正交的和薄的，并且我们考虑一个点$p$来保护一个点$q$当且仅当由$p$和$q$跨越的最小轴对齐矩形在多边形内部。一个简单的证明表明，这个问题是NP-困难的正交多边形与洞，即使多边形是薄的。如果没有洞，那么薄多边形就变成树多边形，因为所谓的多边形的对偶图是树。众所周知，对于树多边形来说，找到$r$ -guards的最小集合是多项式，但运行时是$\tilde{O}(n^{17})$。我们在这里表明，使用不同的方法，运行时间变成线性的，回答了Biedl等人提出的问题。（SoCG 2011）。此外，该方法更通用，允许指定要保护的点的子集和要使用的保护，并且它推广到具有$h$孔或厚度$K$的多边形，在$h+K$中变得固定参数易处理。
2016-04-25 cs.CG
FPT Algorithms for Conflict-free Coloring of Graphs and Chromatic Terrain Guarding
针对图的无冲突着色问题，提出了固定参数的易处理算法。给定图$G=(V,E)$，$G$的\emph{conflict-free coloring}指的是对$V$的子集着色，使得对于每个顶点$v$，存在被分配给$v$的闭合邻域中的恰好一个顶点的颜色。\emph{k-Conflict-free Coloring}问题是决定是否可以使用最多的$k$颜色对$G$进行无冲突着色。即使对于$k=1$，这个问题也是NP难的，因此在标准复杂性理论假设下，FPT算法在由解大小参数化时不存在。我们认为\emph{k-Conflict-free Coloring}问题的树宽参数化的图，并表明，这个问题是固定参数听话。我们还开始了图的\emph{Strong Conflict-free Coloring}的研究。给定一个图$G=(V,E)$，$G$的\emph{strong conflict-free coloring}是指对$V$的一个子集进行着色，使得每个顶点$v$在其闭邻域中至少有一个着色顶点，而且$v$的邻域中的所有着色顶点都有不同的颜色.我们表明，这个问题是在FPT参数化的树宽和解决方案的大小。我们进一步应用这些算法得到高效的算法的几何问题，即地形保护问题，当参数化的结构参数。
2019-05-06 cs.CC cs.CG cs.DS
Combinatorics and complexity of guarding polygons with edge and point 2-transmitters
我们考虑一个经典的画廊问题，而不是一个光源，警卫，称为$k$ -发射机，模型的无线设备的信号，可以通过在最$k$墙。我们表明，它是NP难计算的最小覆盖点2-发射机，点$k$ -发射机，和边缘2-发射机在一个简单的多边形。点2-发射器结果扩展到正交多边形。此外，我们给出的必要性和充分性结果的边缘2-发射机的数量一般，单调，正交单调，正交多边形。
2015-03-19 cs.CG
Vertex Guarding for Dynamic Orthogonal Art Galleries
我们设计了一个算法，用于测量一个动态的正交多边形域，通过放置一个保护在每个顶点的一个子集，即，每当正交多边形域{ \cal P '}被修改以产生另一正交多边形域{ \cal P}时，我们的算法更新测量{ \cal P'}的顶点保护集，使得更新的保护集测量{ \cal P}。该算法在O（k \lg{(n+n')}）的时间内修改了保护点的位置，同时保证了更新后的具有h个洞和n个顶点的正交多边形域最多使用\lfloor（n+2 h）/4个\rfloor顶点保护点进行保护.对于初始正交多边形是无洞的特殊情况下，每次更新导致一个无洞的正交多边形，我们的保护更新算法需要O（k \lg{(n+n')}）的最坏情况下的时间。这里，n'和n分别是更新之前和之后的正交多边形的顶点的数目;并且，k是|不-不|以及我们的算法维护的一些结构的更新次数。进一步，通过给出一个构造，我们证明了该算法只考虑{ \cal P '}和{ \cal P}的反射顶点数的奇偶性相等的情况就足够了.
2021-11-12 cs.CG
New Hardness Results for Guarding Orthogonal Polygons with Sliding Cameras
设$P$为正交多边形。考虑沿着正交线段$s\in P$来回行进的滑动相机作为其\emph{trajectory}。如果存在点$q\in s$，使得$pq$是完全在$P$内部的垂直于$s$的线段，则摄像机可以看到点$p\in P$。在\emph{minimum-cardinality sliding cameras problem}中，目标是找到具有最小基数的滑动相机的集合$S$以保护$P$（即，$P$中的每个点都可以被某个滑动摄像机看到），而在\emph{minimum-length sliding cameras problem}中，目标是找到这样一组$S$，以便最小化$S$中的摄像机沿其行进的轨迹的总长度。在本文中，我们首先解决了最小长度滑动摄像机问题的复杂性，通过证明即使对于带孔的正交多边形，它也是多项式可处理的，回答了Katz和Morgenstern（2011）提出的问题。接下来我们证明了当允许$P$有洞时，最小基数滑动摄像机问题是\textsc{NP} -困难的，这部分回答了Katz和Morgenstern（2011）提出的另一个问题。
2013-03-09 cs.CG
Almost Tight Bounds for Conflict-Free Chromatic Guarding of Orthogonal Galleries
我们解决最近提出的彩色版本的经典艺术画廊的问题。假设一个简单的多边形$P$由一组有限的控球后卫防守，每个后卫被分配一种$t$颜色。如果每个点$p\in P$在从$p$可见的所有防护中看到至少一个具有唯一颜色的防护，则这种彩色防护被称为无冲突。我们的目标是建立边界上的功能$χ_{cf}(n)$的颜色的数量足以保证存在的任何$n$顶点多边形的冲突的色保护。Bärtschi和Suri展示了简单正交多边形的$χ_{cf}(n)\in O(\log n)$（Bärtschi等人，SoCG 2014）。在本文中，我们假设的r-可见性模型，而不是标准的线可见性。如果正交多边形中的点$p$和$q$跨越的矩形包含在$P$中，则这两个点彼此r可见。对于该模型，我们显示了$χ_{cf}(n)\in O(\log\log n)$和$χ_{cf}(n)\in Ω(\log\log n /\log\log\log n)$。最有趣的是，我们可以证明下界证明扩展到具有线可见性的警卫。为此，我们引入并利用一种新的离散组合结构称为textableau。这是第一个非平凡的下界为这个问题的setting. Further，对于强色版本的问题，其中所有的警卫r-可见从一个点必须有不同的颜色，我们证明了一个$Θ(\log n)$ -界。我们的结果可以解释为特殊几何超图的着色结果。
2014-12-12 cs.CG
Special Guards in Chromatic Art Gallery
我们提出了两个新版本的彩色画廊问题，可以提高所需的颜色的上界相当不错。在我们的版本中，我们采用了限制角后卫，使这些现代后卫可以访问$α$ -度的周围环境。当$α$介于$0$和$180$度之间时，我们证明了强色保护数是常数.然后，我们使用正交$90$度的警卫保护的多边形。证明了具有正交保护的强色保护数是对数级的。首先，我们证明了对于特殊的正交多边形，如蛇多边形，阶梯多边形和凸多边形，颜色的数量是常数。我们将多边形分解为多个部分，使得冲突部分的数量为对数，并且每个部分都是蛇。接下来，我们解释了具有矩形可见性的防护的正交多边形的彩色艺术画廊。证明了带矩形保护的正交多边形的强色保护数也是对数级的。我们对正交多边形作了一个划分，使得每一部分都是一个子块，然后证明了具有矩形保护的强色数的一个紧界是$θ(\log n)$
2017-11-19 cs.CG
Guarding and Searching Polyhedra
我们解决了艺术画廊问题和探照灯调度问题在3维多面体环境中，特别强调边缘后卫和正交多面体。
2012-11-12 cs.CC cs.CG
Grid-Obstacle Representations with Connections to Staircase Guarding
在本文中，我们研究了图的网格障碍表示，我们分配的网格点的顶点和定义的障碍，使得边存在的当且仅当一个$xy$ -单调网格路径连接两个端点，而不会遇到障碍或另一个顶点。以前有人认为，所有平面图在2D中具有网格障碍表示，并且所有图在3D中具有网格障碍表示。在本文中，我们表明，这样的建设是可能的，明显小于以前实现的网格大小。然后，我们研究的变种，顶点不阻塞，并表明，然后网格障碍表示存在的二分图。后者有所谓的楼梯守卫的正交多边形的应用程序，使用我们的网格障碍表示，我们表明，楼梯守卫是\textsc{NP} -硬在2D。
2017-08-29 cs.CG
Optimally Guarding 2-Reflex Orthogonal Polyhedra by Reflex Edge Guards
设正交多面体是$\mathbb R^3$中有限盒集的并集（即，具有平行于坐标轴的边的长方体），其表面是连通的2-流形。我们研究了NP完全问题的保护一个非凸的正交多面体反射边在两个方向（而不是三个，在一般情况下），通过放置最小数量的边缘警卫反射边缘。我们证明了$$\left\lfloor \frac{r-g}{2} \right\rfloor +1$$反射边保护是足够的，其中$r$是反射边的数目，$g$是多面体的亏格。对于$g=0$，此界限是紧的。因此，我们推广了一个经典的平面艺术画廊定理的O 'Rourke，它指出，相同的上限持有顶点后卫在一个正交多边形的$r$反射顶点和$g$孔。然后，我们给出了一个类似的上限$m$，在多面体中的边的总数。我们证明，$$\left\lfloor \frac{m-4}{8} \right\rfloor +g$$反射边缘后卫是足够的，而以前最有名的边界是$\lfloor 11m/72+g/6\rfloor-1$边缘后卫（不一定反射）。我们也考虑其中的警卫是开放的设置（即，它们是没有端点的线段），证明即使在这种更具挑战性的情况下也存在相同的结果。最后，我们展示了如何计算守卫位置匹配上述界限在$O(n \log n)$时间。
2019-10-24 cs.CG cs.DM
Unfolding Orthogonal Terrains
它表明，每个正交地形，即，基于矩形的正交（直角）多面体具有网格展开：其表面可以通过沿着由穿过每个顶点的坐标平面定义的网格边缘切割而展开为单个不重叠的片。
2007-07-12 cs.CG
Face-Guarding Polyhedra
本文研究了多面体环境中人脸防护的画廊问题。这个问题可以非正式地表述为：我们应该在黑暗建筑物的外墙上放置多少个（不一定是凸面）窗户，才能完全照亮其内部？我们考虑封闭式和开放式面部防护装置（即，面与或没有他们的边界），我们研究了几类多面体，包括正交多面体，4-定向多面体，和2-反射orthostack。我们给出的上限和下限的最小数量的面，以保护内部的一个给定的多面体在这些类中的每一个，在其面的总数，f。在几种情况下，我们的边界是紧的：f/6开放面防护正交多面体和2反射正交堆栈，和f/4开放面防护4定向多面体。此外，对于2-反射orthostacks中的封闭式面罩，我们给出了（f+3）/9的下限和（f+1）/7的上限。然后，我们表明，它是NP-难近似的最小数量（关闭或打开）面临的警卫在一个因素的欧米茄（log f），即使是正交和简单连接的多面体。对于多面体地形，我们也得到了相同的硬度结果。一路上，我们讨论了一些应用程序，认为面对警卫是不是一个合理的模型，在多面体的表面上巡逻的警卫。
2014-04-19 cs.CC cs.CG
Sliding k-Transmitters: Hardness and Approximation
在正交多边形P中的滑动k-发送器是沿着P内的正交线段s来回移动的移动警卫。如果从p到s的垂线与P的边界相交至多k次，则它可以看到P中的点p。我们证明了，对于任何固定的k>0，即使P是简单的和单调的，保护一个正交多边形P的最小数量的k-发射机是NP-困难的。并给出了该问题的O（1）-近似算法。
2016-07-25 cs.CG
Fixed-Parameter Tractable Algorithms for Corridor Guarding Problems
最小走廊守卫（MCG）问题要求给定一个正交连接的线段排列的最优树/闭行走，使得如果守卫移动通过树/闭行走，所有的线段都被守卫访问。这个问题被称为通道-MST/通道-TSP（CMST/CTSP）的情况下，当保护行走是一棵树/封闭的行走，分别。MCG的相应决策版本被证明是NP完全的[1]。CMST/CTSP的参数化版本称为k-CMST/k-CTSP，要求最多k个顶点上的最优树/闭合行走，访问所有线段。这里，顶点对应于输入线段的端点和交点。我们发现k-CMST/k-CTSP是固定参数易处理（FPT）的参数k。接下来，我们提出了一个变种的CTSP被称为最小链接CTSP（MLC），其中的链接距离的封闭的步行必须最小化。这里，链接距离指的是行走中具有相同方向的链接或连接线段的数量。我们证明了MLC的决策版本是NP-完全的，并表明参数化版本，即b-MLC，是FPT关于参数b，其中b对应于链接距离。我们还考虑了另一个相关的问题，最小走廊连接（MCC）。给定一个直线多边形划分成直线组件或房间，MCC要求沿着分区的边缘的最小长度树，使得每个房间都关联到树的至少一个顶点。MCC的决策版本被证明是NP完全的[2]。我们证明了固定参数的参数化版本的MCC，即k-MCC相对于参数k，其中k是房间的数量。
2022-03-29 cs.CG
Approximability of Guarding Weak Visibility Polygons
美术馆问题询问足以确保由多边形$P$表示的美术馆被完全守卫的最少数量的警卫。在1998年，寻找防守$P$所需的最少数量的控球后卫、顶后卫和边后卫的问题被证明是APX困难的。1987年，Ghosh提出了顶点保护和边保护的近似算法，实现了$\mathcal{O}(\log n)$的比率，King和Kirkpatrick在2011年将其改进为$\mathcal{O}(\log\log OPT)$。已经证明，对于这些问题存在常数因子近似算法。我们解决了猜想的特殊类的多边形是弱可见的边缘，并包含没有洞，提出了一个6-近似算法，找到最小数量的顶点后卫运行在$\mathcal{O}(n^2)$时间。另一方面，对于弱可见性多边形的洞，我们提出了一个减少从集覆盖问题表明，不可能存在一个多项式时间算法的顶点保护问题的近似比$((1 - ε)/12)\ln n$为任何$ε>0$，除非NP= P。近似比可以提高到3。最后，我们考虑点后卫问题，并表明它是NP-困难的情况下，多边形弱可见的边缘。
2016-04-30 cs.CG
Perfectly Guarding Straits: Exact Algorithms for Weak Visibility Polygons
Advanced Computing and Microelectronics Unit, Indian Statistical Institute, Kolkata, India（印度统计学院先进计算与微电子单元）
针对弱可见多边形，提出精确算法求解海峡守卫问题，将二维覆盖化为一维，时间复杂度为输出敏感，并改进海拔地形守卫的已知界。
2026-09-15 cs.CG cs.DM cs.DS
Guarding Offices with Maximum Dispersion
本文研究了办公室类正交多边形中的分散艺术画廊问题，证明了达到特定分散距离的计算复杂性，提出了多项式时间最优算法，并通过SAT等求解器验证了其实际可处理性。
2025-06-26 cs.CG cs.DS
Improved Approximation Algorithms for Geometric Set Cover
给定某个集合U的子集的集合S，M是U的子集，集合覆盖问题是找到S的最小子集C，使得M是C中集合的并集的子集。虽然一般的问题是NP-难解决的，甚至近似，在这里我们考虑一些几何特殊情况，其中通常U = R^d。扩展以前的结果，我们证明了近似算法的可证明的性能存在，在一定的一般条件下：S和函数f（）的随机子集R，有一个分解的部分U不覆盖R到一个预期的f（|R|）区域，每个区域的一个特定的简单形式。我们证明了在这种条件下，可以找到一个覆盖的大小为O（f（|C|））。我们得到了R^3中单位立方体覆盖、一维地形保护和R^2中相似大小的胖三角形覆盖的常数因子近似算法。我们还获得了改进的近似保证脂肪三角形，任意大小，和一类脂肪对象。
2005-01-20 cs.CG cs.DS
Digital terrain modeling with the Chebyshev polynomials
数字地形分析的数学问题包括数字高程模型（DEM）的插值，DEM综合和去噪，以及通过计算高程的偏导数来计算形态测量变量。传统上，这些程序是基于两个变量的高程离散函数的数值处理。我们开发了一种基于高阶正交展开的谱分析方法和算法，使用第一类Chebyshev多项式和随后的Fejer求和。该方法和算法适用于DEM的分析处理，如DEM的整体近似，去噪，和泛化以及通过偏导数的分析计算来计算形态测量变量。为了测试该方法和算法，我们使用了包括230，880个点的北安第斯山脉的DEM（高程矩阵480 $\times$ 481）。DEM用480、240、120、60和30膨胀系数重建。高程的一阶和二阶偏导数由重建的DEM解析计算。然后用导数计算水平曲率模型（$k_h$）。通过一组不同膨胀系数的高程图和$k_h$图，验证了该方法的数据综合效果、去噪效果和去除伪影的效果。它们可作为数字地形建模中分析处理的通用工具。
2015-07-15 cs.CE cs.CG math.DG
Extremal solutions to some art gallery and terminal-pairability problems
本文所选用的工具是极值型方法。在论文中证明的定理得出的教训是，令人惊讶的小妥协是必要的解决方案的有效性，使该方法的工作。所研究的问题与其他学科和实际应用有几个联系。论文的第一部分是关于正交画廊的研究。一个尖锐的极值界证明分区正交多边形最多8顶点多边形使用既定的技术领域的艺术画廊的问题。这填补了已知的分割成至多6个顶点和10个顶点的正交多边形的结果之间的差距。接下来，这些技术被进一步发展，以证明一种新的类型的极值艺术画廊的结果。这种方法的新颖之处在于它在移动和固定警卫之间建立了联系。这个定理有很强的计算后果，事实上，它提供了一个$\frac83$近似算法的基础上，保护正交多边形与矩形的视觉。第二部分研究了完全图和完全格图中终端可配对的图论概念。再次，极值方法有助于发现解决问题的有效方法。在一个完整的基础图的情况下，新的证明下界的最大程度的可实现的需求图是4倍以上，比以前的最佳结果。开发的技术，然后用于解决经典的极端边数问题的终端配对问题在完全基图。在路径可配对图中，完整的网格基图在密度方面位于谱的另一端。结果表明，完全网格图是相对有效的路由边不相交的路径。
2017-11-07 cs.CG math.CO
