On guarding polygons with holes
Shermer \cite{sher}有一个古老的猜想，在一个有$n$顶点和$h$洞的多边形中，$\lfloor \dfrac{n+h}{3} \rfloor$顶点保护足以保护整个多边形。Shermer \cite{sher}和Aggarwal \cite{aga}分别证明了关于$h=1$的猜想.在本文中，我们证明了一个定理类似的薛默猜想的一个特殊情况下，目标是保护顶点的多边形（而不是整个多边形），这相当于找到一个支配集的可见性图的多边形。我们的证明还保证了所选择的顶点守卫也覆盖了整个外部边界（多边形的外部周长）。
2021-02-20 cs.CG
Minimum Hidden Guarding of Histogram Polygons
一个隐藏的后卫集合$ G $是多边形$ P $中的一组控球后卫，在没有两个后卫可以看到对方的约束下，该多边形的所有点都可以从$ G $中的一些后卫看到。本文研究了在正交可见度下求直方图多边形的最小隐保护集的问题。如果$ p $和$ q $的正交边界矩形位于$ P $内，则两个点$ p $和$ q $正交可见。对于具有一般可见性的简单多边形，该问题是NP-难的;对于简单正交多边形，该问题也是NP-难的。提出了一种在正交可见性下求直方图多边形最小隐保护集的线性时间精确算法。在我们的算法中，它是允许的后卫的地方在多边形的任何地方。
2017-08-19 cs.CG
Guarding Path Polygons with Orthogonal Visibility
本文研究了简单正交多边形的最小$ r $ -保护问题。如果最小面积矩形包含$ p $且$ q $位于$ P $内，则内部点$ p $属于正交多边形$ P $从$ r $ -guard $ g $可见。如果多边形$ P $中的一组控球后卫的可见区域的并集等于多边形$ P $，即$ P $中的每个点从$ G $中的至少一个控球后卫可见，则这些控球后卫的集合被命名为后卫集合（如表示为$ G $）。对于一个正交多边形，如果其垂直分解的对偶图是一条路，则称之为路多边形。在本文中，我们发现的问题，找到最小数量的$ r $ -警卫（最小保护集）成为线性时间可解的正交路径多边形。路径多边形可以在每四个方向上具有凹陷边。对于这类正交多边形，Worman和Keil已经考虑了这个问题，他们描述了一个运行在$ O(n^{17} poly\log n) $时间的算法，其中$ n $是输入多边形的大小。对于一般可见的简单多边形，即使多边形是正交的，求其最小保护数的问题也是NP难的。我们的算法是纯几何的，并提出了一种新的策略$ r $ -保护正交多边形和保护可以放置在任何地方的内部和边界的多边形。
2017-09-05 cs.CG
A Constant-Factor Approximation Algorithm for Vertex Guarding a WV-Polygon
简单多边形的顶点保护问题是由SubirK. Ghosh（1987），他提出了一种多项式时间$O(\log n)$近似算法，用于在简单$n$边形$P$的顶点放置尽可能少的保护，使得$P$中的每个点对至少一个保护可见。Ghosh还证明了这个问题允许一个多项式时间算法与常数逼近比。由于守卫问题在计算几何领域的中心地位，多年来一直在努力解决这个猜想。尽管取得了一些进展（调查如下），但该猜想至今仍未得到解决。在本文中，我们证实了猜想的重要情况下，弱可见多边形，通过提出一个$(2+\varepsilon)$ -近似算法保护这样的多边形使用顶点后卫。简单多边形$P$是弱可见的，如果它有一条边$e$，使得$P$中的每个点从$e$上的某个点可见。我们还提出了一个$(2+\varepsilon)$近似算法，用于保护弱可见多边形$P$，其中警卫可以放置在任何地方$P$的边界（除了在内部的边缘$e$）。最后，我们提出了一个$3c$ -近似算法的顶点保护多边形$P$是弱可见的弦，给定一个子集$G$的$P$的顶点，保护$P$的边界的大小是有界的$c$倍的最小子集。我们的算法是基于深入分析的几何属性的区域，保持无人看守后，将警卫在顶点，以保护多边形的边界。我们的结果似乎可以使Bhattacharya等人完成他们证明原始猜想的伟大尝试，因为他们的方法是基于将底层简单多边形划分为弱可见多边形的层次结构。
2019-07-02 cs.CG
Combinatorics and complexity of guarding polygons with edge and point 2-transmitters
我们考虑一个经典的画廊问题，而不是一个光源，警卫，称为$k$ -发射机，模型的无线设备的信号，可以通过在最$k$墙。我们表明，它是NP难计算的最小覆盖点2-发射机，点$k$ -发射机，和边缘2-发射机在一个简单的多边形。点2-发射器结果扩展到正交多边形。此外，我们给出的必要性和充分性结果的边缘2-发射机的数量一般，单调，正交单调，正交多边形。
2015-03-19 cs.CG
On $r$-Guarding Thin Orthogonal Polygons
保护多边形是计算几何中的一个古老而又深入研究的问题。这里我们考虑以下变体：我们假设多边形在某种意义上是正交的和薄的，并且我们考虑一个点$p$来保护一个点$q$当且仅当由$p$和$q$跨越的最小轴对齐矩形在多边形内部。一个简单的证明表明，这个问题是NP-困难的正交多边形与洞，即使多边形是薄的。如果没有洞，那么薄多边形就变成树多边形，因为所谓的多边形的对偶图是树。众所周知，对于树多边形来说，找到$r$ -guards的最小集合是多项式，但运行时是$\tilde{O}(n^{17})$。我们在这里表明，使用不同的方法，运行时间变成线性的，回答了Biedl等人提出的问题。（SoCG 2011）。此外，该方法更通用，允许指定要保护的点的子集和要使用的保护，并且它推广到具有$h$孔或厚度$K$的多边形，在$h+K$中变得固定参数易处理。
2016-04-25 cs.CG
Robustly Guarding Polygons
针对多边形守卫问题，提出鲁棒性概念，使近似算法获得常数因子保证，更易处理且更现实。
2024-03-18 cs.CG
Some Results on Open Edge and Open Mobile Guarding of Polygons and Triangulations
本文重点讨论了美术馆问题的一个变种，考虑开放的边缘警卫和开放的移动警卫。移动防护可以放置在多边形的边和对角线上，“开放”前缀意味着这种边或对角线的端点不考虑可见性目的。本文研究了几类简单多边形的开边守卫和开移动守卫的守卫数量。这个问题也被认为是平面三角剖分图使用开放的边后卫。
2013-06-18 cs.CG
A (7/2)-Approximation Algorithm for Guarding Orthogonal Art Galleries with Sliding Cameras
考虑在具有$n$顶点的正交多边形$P$内沿着正交线段$s$来回移动的滑动摄像机。当且仅当存在包含$p$的线段与$s$成直角相交且完全包含在$P$中时，相机才能看到$P$内的点$p$。在最小滑动摄像机（MSC）问题中，目标是以最少的滑动摄像机数量来保护$P$。本文给出了一个求解任意具有$n$顶点的简单正交多边形上的MSC问题的$O(n^{5/2})$ -时间$(7/2)$ -近似算法，回答了Katz和Morgenstern（2011）提出的一个问题.据我们所知，这是第一个常数因子近似算法这个问题。
2013-09-28 cs.CG
On conflict-free chromatic guarding of simple polygons
我们研究的问题，着色的顶点的多边形，使每个观众在它可以看到一个独特的颜色。目标是尽量减少使用的颜色数量。这也被称为具有顶点保护的无冲突色保护问题，并且其动机是，例如，通过对放置在多边形顶点处的传感器的无线电频率分配的问题。我们首先研究的情况下，观众可以是所有点的多边形（如移动机器人的内部移动的多边形）。我们有效地解决了相关的问题，最小化警卫和近似（最多只有一个添加剂的错误）的数量所需的颜色在特殊情况下的多边形称为漏斗。然后通过将问题分解为子漏斗，给出了n顶点弱可见多边形的O（log^2n）颜色的上界.这个界限推广到所有简单的多边形。我们也简要地看一下第二种情况，在这种情况下，观察者只是多边形的顶点。我们表明，在一般情况下，简单的多边形和猜想，这是紧的3种颜色的下界。我们还证明了已经决定1或2个颜色是否足够是NP完全的。
2020-04-05 cs.CG
Fast Vertex Guarding for Polygons
对于n个顶点的多边形P，顶点保护问题要求P的顶点的最小子集G，使得P中的每个点至少被G中的一个点看到。这个问题是NP完全的，是APX困难的。第一个近似算法（Ghosh，1987）涉及到将P分解为O（n^4）个单元，这些单元是从P的顶点可见性的等价类。然后，这个离散化的问题可以被视为集合覆盖的实例，并使用贪婪O（log n）-近似算法在O（n^5）时间内求解。Ghosh（2010）最近重新审视了该算法，指出简单多边形的最小可见性分解（Bose等人，2000）只有O（n^3）个单元，对于简单多边形，将算法的运行时间提高到O（n^4）。在本文中，我们表明，由于简单多边形的最小可见性分解只有O（n^2）个最小可见性单元（Bose等人，算法的时间复杂度为O（n^3）。这一结果由Jang和Kwon（2011）独立获得。我们将Bose等人的结果推广到带洞的多边形，证明了带h个洞的多边形的最小可见性分解只有O（（h+1）n^3）个单元和O（（h+1）^2 n^2）个最小可见性单元.我们利用这一结果，以获得一个更快的算法的顶点保护多边形的洞。然后，我们表明，在相同的时间复杂度，我们可以达到O（log log（opt））的简单多边形和O（1+ \log（（h+1）log（opt））的多边形与孔的近似因子。
2011-02-16 cs.CG
M-Guarding in K-Visibility
针对带孔多边形的k-可见性M-防护问题，提出基于凸分解的算法，证明k≥2时带孔多边形可实现2-防护，且偶数k≥2时存在放置方案使每点被k+2个守卫可见，拓展了0-可见性相关结论。
2025-10-29 cs.CG
Guarding curvilinear art galleries with vertex or point guards
计算几何中最早和最著名的问题之一就是所谓的美术馆问题。目标是计算放置在简单多边形的顶点上的最小可能数量的守卫，以使它们覆盖多边形的内部。在本文中，我们考虑的问题，守卫一个艺术画廊，这是建模为一个多边形与曲线墙。我们的主要重点是多边形的边缘是凸弧指向外部或内部的多边形（但不是两者），命名为分段凸和分段凹多边形。我们证明，在分段凸多边形的情况下，如果我们只允许顶点警卫，$\lfloor\frac{4n}{7}\rfloor-1$警卫有时是必要的，和$\lfloor\frac{2n}{3}\rfloor$警卫总是足够的。此外，$O(n\log{}n)$时间和O（n）空间算法的描述，产生的顶点保护集的大小最多$\lfloor\frac{2n}{3}\rfloor$。当我们允许控球后卫时，上述下限下降到$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$。在单调分段凸多边形的特殊情况下，我们可以证明$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$顶点保护总是足够的，有时是必要的;即使我们允许点保护，这些边界仍然有效。在分段凹多边形的情况下，我们表明，$2n-4$点后卫总是足够的，有时是必要的，而它可能不可能保护这样的多边形的顶点后卫。我们的结论与其他类型的曲线多边形的界限和未来的工作。
2008-02-19 cs.CG
Dispersive Vertex Guarding for Simple and Non-Simple Polygons
本文研究带顶点守卫的分散式美术馆问题，证明带洞多边形中判定分散距离为2的顶点守卫集是NP完全的，并给出简单多边形中分散距离至少为2的放置算法，且该界是紧的。
2024-06-09 cs.CG
Contiguous Boundary Guarding
本文研究简单多边形连续边界守卫问题，提出贪心算法（至多比最优解多1个守卫）和多项式时间精确算法，并证明任意n顶点多边形至多需要⌊(n-2)/2⌋个守卫且该界是紧的。
2025-05-08 cs.CG
Special Guards in Chromatic Art Gallery
我们提出了两个新版本的彩色画廊问题，可以提高所需的颜色的上界相当不错。在我们的版本中，我们采用了限制角后卫，使这些现代后卫可以访问$α$ -度的周围环境。当$α$介于$0$和$180$度之间时，我们证明了强色保护数是常数.然后，我们使用正交$90$度的警卫保护的多边形。证明了具有正交保护的强色保护数是对数级的。首先，我们证明了对于特殊的正交多边形，如蛇多边形，阶梯多边形和凸多边形，颜色的数量是常数。我们将多边形分解为多个部分，使得冲突部分的数量为对数，并且每个部分都是蛇。接下来，我们解释了具有矩形可见性的防护的正交多边形的彩色艺术画廊。证明了带矩形保护的正交多边形的强色保护数也是对数级的。我们对正交多边形作了一个划分，使得每一部分都是一个子块，然后证明了具有矩形保护的强色数的一个紧界是$θ(\log n)$
2017-11-19 cs.CG
Constant Approximation Algorithms for Guarding Simple Polygons using Vertex Guards
美术馆问题询问的警卫人数最少，足以确保一个美术馆，由一个简单的多边形$P$，是完全保护。这个问题的大多数标准版本都是NP难的。1987年，Ghosh针对简单多边形中存在顶点保护和边保护的情况，提出了一种确定性的$\mathcal{O}(\log n)$ -近似算法。在同一篇论文中，Ghosh还证明了这些问题的常数比近似算法的存在性。我们在这里提出了三个多项式时间算法与一个常数的逼近比保护的$n$边的简单多边形$P$使用顶点后卫。(i)第一个算法的近似比为18，在$\mathcal{O}(n^4)$时间内保护$P$的所有顶点。(ii)第二个算法，具有相同的近似比18，在$\mathcal{O}(n^5)$时间内保护$P$的整个边界。(iii)第三种算法的近似比为27，在$\mathcal{O}(n^5)$时间内保护$P$的所有内部和边界点。此外，这些算法可以修改，以获得类似的近似比，同时使用边缘保护。我们的研究结果的意义在于，这些结果解决了Ghosh关于这个问题的常数因子近似算法的存在的猜想，尽管研究人员进行了多次尝试，但自1987年以来一直是开放的。我们的近似算法利用几个深可见性结构的简单多边形，这是有趣的，在自己的权利。
2018-04-11 cs.CG
Improved Approximation for Guarding Simple Galleries from the Perimeter
我们提供了一个O（log log OPT）-近似算法的问题，守卫一个简单的多边形与警卫的周长。首先，我们设计了一个多项式时间算法，用于为与我们的守护问题相关的命中集的实例构建大小为O（1/1/2 log log 1/2）的ε网。然后，我们应用Bronnimann和Goodrich的技术，建立一个近似算法，从这个ε-网络发现者。随着一个简单的多边形P，我们的算法作为输入的一个有限的一组潜在的保护位置，必须包括多边形的顶点。如果一个有限的一组潜在的警卫位置没有指定，例如，当警卫可以放置在任何地方的周边，我们使用一个已知的离散化技术的成本，使算法的运行时间可能线性的最长和最短的距离之间的比率顶点。我们的算法是第一个改进O（log OPT）-近似算法，使用通用的网络查找有限VC维集系统。
2010-01-24 cs.CG
Guarding the Vertices of an Orthogonal Terrain using Vertex Guards
地形T是平面上的x单调多边形链; T是正交的，如果T的每条边是水平的或垂直的。本文给出了正交地形上凸顶点保护问题的一个精确算法，该算法的顶点数为最少反射顶点。
2015-12-28 cs.CG
Vertex Guarding for Dynamic Orthogonal Art Galleries
我们设计了一个算法，用于测量一个动态的正交多边形域，通过放置一个保护在每个顶点的一个子集，即，每当正交多边形域{ \cal P '}被修改以产生另一正交多边形域{ \cal P}时，我们的算法更新测量{ \cal P'}的顶点保护集，使得更新的保护集测量{ \cal P}。该算法在O（k \lg{(n+n')}）的时间内修改了保护点的位置，同时保证了更新后的具有h个洞和n个顶点的正交多边形域最多使用\lfloor（n+2 h）/4个\rfloor顶点保护点进行保护.对于初始正交多边形是无洞的特殊情况下，每次更新导致一个无洞的正交多边形，我们的保护更新算法需要O（k \lg{(n+n')}）的最坏情况下的时间。这里，n'和n分别是更新之前和之后的正交多边形的顶点的数目;并且，k是|不-不|以及我们的算法维护的一些结构的更新次数。进一步，通过给出一个构造，我们证明了该算法只考虑{ \cal P '}和{ \cal P}的反射顶点数的奇偶性相等的情况就足够了.
2021-11-12 cs.CG
Guarding a Polygon Without Losing Touch
我们从移动多智能体的角度研究了Klee在1973年首次提出的经典画廊问题。具体来说，我们需要一个最佳的小数量的代理（也称为警卫），以导航和定位自己在一个未知的简单多边形的内部与$n$顶点，使所有代理的集体视图覆盖多边形。我们认为，明显连接设置代理必须保持连接，通过视线链接-一个要求，特别是相关的多代理系统。我们首先提供了一个集中式算法的可视连接设置，运行在时间$O(n)$，这当然是最佳的。然后，我们提供了两种不同的分布式设置的算法。在第一种设置中，智能体只能感知相对接近度（即，可以分辨出一对物体中的哪一个更近），而在第二种设置中，它们可以感知精确的距离。尽管代理没有多边形的先验知识，但我们的分布式算法仍有效。此外，我们提供的下界表明，我们的分布式算法是接近最优的。我们的可视连接保护确保（i）保护形成连接的网络，（ii）多边形被完全保护。因此，这种保护提供了分布式基础设施来执行针对该多边形的任何几何算法。
2020-05-12 cs.CG cs.DC
Approximability of Guarding Weak Visibility Polygons
美术馆问题询问足以确保由多边形$P$表示的美术馆被完全守卫的最少数量的警卫。在1998年，寻找防守$P$所需的最少数量的控球后卫、顶后卫和边后卫的问题被证明是APX困难的。1987年，Ghosh提出了顶点保护和边保护的近似算法，实现了$\mathcal{O}(\log n)$的比率，King和Kirkpatrick在2011年将其改进为$\mathcal{O}(\log\log OPT)$。已经证明，对于这些问题存在常数因子近似算法。我们解决了猜想的特殊类的多边形是弱可见的边缘，并包含没有洞，提出了一个6-近似算法，找到最小数量的顶点后卫运行在$\mathcal{O}(n^2)$时间。另一方面，对于弱可见性多边形的洞，我们提出了一个减少从集覆盖问题表明，不可能存在一个多项式时间算法的顶点保护问题的近似比$((1 - ε)/12)\ln n$为任何$ε>0$，除非NP= P。近似比可以提高到3。最后，我们考虑点后卫问题，并表明它是NP-困难的情况下，多边形弱可见的边缘。
2016-04-30 cs.CG
Guarding Polygons with Holes
我们研究了移动多智能体环境下带洞多边形的合作守卫问题。给定一组代理，最初部署在一个点的多边形与$n$顶点和$h$孔，我们需要的代理合作探索和定位自己在这样一种方式，在多边形中的每一个点是可见的至少一个代理和代理的集合是可见的连接。我们研究了两种计算模型下的问题，一种是代理可以计算两点之间的精确距离和角度，在其可见性，和一个代理只能比较距离和角度。在更强的模型中，我们提供了一个确定性的$O(n)$轮算法来计算这样一个合作的保护集，而不需要超过$\frac{n + h}{2}$代理和$O(\log n)$位的持久性内存每个代理。在较弱的模型中，我们提供了一个$O(n^4)$轮算法，不需要超过$\frac{n+2h}{2}$代理。
2022-02-28 cs.CG cs.DC
Almost Tight Bounds for Conflict-Free Chromatic Guarding of Orthogonal Galleries
我们解决最近提出的彩色版本的经典艺术画廊的问题。假设一个简单的多边形$P$由一组有限的控球后卫防守，每个后卫被分配一种$t$颜色。如果每个点$p\in P$在从$p$可见的所有防护中看到至少一个具有唯一颜色的防护，则这种彩色防护被称为无冲突。我们的目标是建立边界上的功能$χ_{cf}(n)$的颜色的数量足以保证存在的任何$n$顶点多边形的冲突的色保护。Bärtschi和Suri展示了简单正交多边形的$χ_{cf}(n)\in O(\log n)$（Bärtschi等人，SoCG 2014）。在本文中，我们假设的r-可见性模型，而不是标准的线可见性。如果正交多边形中的点$p$和$q$跨越的矩形包含在$P$中，则这两个点彼此r可见。对于该模型，我们显示了$χ_{cf}(n)\in O(\log\log n)$和$χ_{cf}(n)\in Ω(\log\log n /\log\log\log n)$。最有趣的是，我们可以证明下界证明扩展到具有线可见性的警卫。为此，我们引入并利用一种新的离散组合结构称为textableau。这是第一个非平凡的下界为这个问题的setting. Further，对于强色版本的问题，其中所有的警卫r-可见从一个点必须有不同的颜色，我们证明了一个$Θ(\log n)$ -界。我们的结果可以解释为特殊几何超图的着色结果。
2014-12-12 cs.CG
Perfectly Guarding Straits: Exact Algorithms for Weak Visibility Polygons
Advanced Computing and Microelectronics Unit, Indian Statistical Institute, Kolkata, India（印度统计学院先进计算与微电子单元）
针对弱可见多边形，提出精确算法求解海峡守卫问题，将二维覆盖化为一维，时间复杂度为输出敏感，并改进海拔地形守卫的已知界。
2026-09-15 cs.CG cs.DM cs.DS
Exact VC-dimension for $L_1$-visibility of points in simple polygons
VC维在有效保护美术馆的算法问题中起着重要的作用。我们证明了在一个简单的多边形内，大多数$5$点可以被$L_1$ -可见多边形粉碎，并给出了一个例子，其中5点被粉碎。VC维正好是$5$。上界的证明思想与以往的方法不同。关键词：画廊，VC维，$L_1$ -可见性，多边形
2017-05-04 cs.CG
Super Guarding and Dark Rays in Art Galleries
研究艺术画廊变体中守卫不能看透彼此且需覆盖k次的问题，给出凸多边形k-cover的紧致界并证明其非平凡性，同时为简单多边形提供界。
2025-09-17 cs.CG math.MG
A Constant-Factor Approximation Algorithm for Point Guarding an Art Gallery
给定一个简单的多边形$\cal P$，在美术馆问题中，目标是找到覆盖整个$\cal P$所需的最小数量的保护，其中保护是一个点，并且当$\overline{pq}$不穿过$\cal P$的边缘时可以看到另一个点$q$。本文研究了画廊问题的一个变种，其中警卫被限制躺在一个密集的网格内$\cal P$。在一般问题中，防护可以位于$\cal P$内部或边界上的任何位置。一般问题称为\emph{point}保护问题。证明了点守卫问题是APX-完全的，这意味着除非使用$P = NP$，否则我们不能做得比常数因子近似算法更好。大量的研究致力于这个问题的组合和算法方面的研究，到目前为止，我们还没有找到一个简单多边形的常数因子近似。最后一个最著名的用于点保护简单多边形的逼近因子是由E. Bonnet和T. Miltzow在2020年，其中$|OPT|$是最优解的大小。在这里，我们提出了一个算法与一个恒定的近似因子的点守卫问题的后卫的位置被限制在一个网格。该算法的运行时间取决于网格的单元数。无论我们使用什么样的网格，近似因子都是恒定的，如果网格大小成为指数级，则运行时间可以是超多项式。
2021-12-02 cs.CC cs.CG
Sliding k-Transmitters: Hardness and Approximation
在正交多边形P中的滑动k-发送器是沿着P内的正交线段s来回移动的移动警卫。如果从p到s的垂线与P的边界相交至多k次，则它可以看到P中的点p。我们证明了，对于任何固定的k>0，即使P是简单的和单调的，保护一个正交多边形P的最小数量的k-发射机是NP-困难的。并给出了该问题的O（1）-近似算法。
2016-07-25 cs.CG
The Complexity of Guarding Terrains
如果地形上的任何点被$G$中的一个点“看到”，则1.5维地形上的一组点$G$（也称为$x$ -单调多边形链）被称为保护地形。地形上的两个点彼此可见，当且仅当它们之间的线段从不严格低于地形。最小地形防护问题要求给定输入地形的最小防护集。我们证明了这个问题的决策版本是NP-难的。这解决了一个重要的开放问题，并补充了最近的积极逼近结果的优化问题。我们的证明使用了从PLANAR 3-SAT的约化。我们建立的小工具能够'镜像'一个一致的变量分配来回跨越一个主要的山谷。1.5维地形的结构简单性使得很难构建在评估时不破坏此赋值的通用子句小工具。然而，我们利用的结构在PLANAR 3-SAT的实例中找到非常具体的操作，只涉及“相邻”的变量。对于这些受限制的操作，我们可以构造允许完全归约工作的小工具。
2009-07-07 cs.CG
Orthogonal Terrain Guarding is NP-complete
地形是x单调多边形曲线，即，连续的顶点具有增加的x坐标。地形守卫可以被看作是著名的美术馆问题的一个特例，在该问题中，必须在由$n$顶点组成的地形上放置最多$k$守卫，以便完全看到它。#21011;解决了一个长期存在的问题。他们观察到，他们的证明并没有解决正交地形守卫的复杂性，其中地形仅由水平或垂直部分组成;这些地形被称为直线或正交。最近，Ashok等人。[SoCG'17]提出了一种在时间上运行的FPT算法$k^{O(k)}n^{O(1)}$，用于不具有180度顶点的直线地形的可见性图中的支配集。他们问，如果正交地形守卫是在P或NP难。在同一篇论文中，他们给出了一个在$n^{O(\sqrt n)}$（实际上甚至是$n^{O(\sqrt k)}$）中运行的一般地形保护的次指数时间算法，并注意到King和Krohn的硬度证明只证明了ETH下的运行时间$2^{o(n^{1/4})}$。因此，他们的$2^{O(n^{1/2} \log n)}$算法与King和Krohn的结果暗示的无$2^{o(n^{1/4})}$ ETH硬度之间存在显着差距。在本文中，我们适应小工具的国王和Krohn的直线地形，以证明即使是正交地形守卫是NP-完全的。然后，我们展示了如何获得一个改进的ETH下界的$2^{Ω(n^{1/3})}$通过细化从平面3-SAT的二次约简到3-SAT的三次约简。这适用于正交地形防护和…
2018-07-02 cs.CG
Clearing an Orthogonal Polygon Using Sliding Robots
在多机器人系统中，多个自主机器人将感知、通信并决定在给定的域内移动以实现共同的目标。在本文中，我们考虑一个新的变种的追求-逃避问题，其中的机器人（追求者）每个来回移动沿一个简单的正交多边形$P$内的正交线段。如果存在点$q\in s$使得$\overline{pq}$是垂直于$s$的线段，则点$p$可以被沿着线段s移动的滑动机器人覆盖。在追逃问题中，给定一个多边形区域，一个被称为追捕者的机器人试图找到一些被称为逃避者的移动目标。这个问题的目标是设计一个运动策略的追求者，使它可以检测到所有的逃避者。我们假设$P$包括不可预测的、移动的、具有无限速度的逃避者。我们提出了一种运动规划算法的一组滑动机器人，假设他们沿着预先定位的线段以恒定的速度移动，以检测所有的规避者与无限的速度。
2016-08-15 cs.CG
The Parameterized Complexity of Guarding Almost Convex Polygons
美术馆是计算几何中的一个基本可见性问题。输入包括一个简单的多边形P，（可能是无限的）P内的点集G和C，以及一个整数k;任务是决定是否最多k个守卫可以放置在G中的点上，使得C中的每个点至少对一个守卫可见。在Art Gallery的经典公式中，G和C由P内的所有点组成。其他著名的变体限制G和C由P边界上的所有点或P的所有顶点组成。最近，有三个新的重要发现：上面提到的艺术画廊的变体都是关于k的W[1]-硬的[Bonnet和Miltzow，ESA'16]，经典的变体具有O（logk）-近似算法[Bonnet和Miltzow，SoCG'17]，并且它可能需要无理保护[Abrahamsen等人，SoCG'17]。在第三个结果的基础上，经典变体和G仅由P的边界上的所有点组成的情况都被证明是\exists R-完全的[Abrahamsen et al.，STOC'18]。即使当G和C都只由P的边界上的所有点组成时，也不知道问题是NP问题。鉴于第一个发现，Giannopoulos [Lorentz Center Workshop，2016]提出了以下问题：艺术画廊的FPT是否与反射顶点的数量r有关？我们专注于变体，其中G和C是P的所有顶点，称为顶点-顶点艺术画廊。我们证明了顶点-顶点艺术画廊在时间r^{O（r^2）}n^{O（1）}上是可解的。我们的方法还扩展到断言顶点边界艺术画廊和边界顶点艺术画廊…
2020-03-17 cs.CG cs.DS
Guarding Offices with Maximum Dispersion
本文研究了办公室类正交多边形中的分散艺术画廊问题，证明了达到特定分散距离的计算复杂性，提出了多项式时间最优算法，并通过SAT等求解器验证了其实际可处理性。
2025-06-26 cs.CG cs.DS
Efficient Algorithms for Optimal Perimeter Guarding
Rutgers University at New Brunswick（罗格斯大学新不伦瑞克分校）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
我们调查的问题，最佳分配大量的机器人（或其他类型的自主智能体），以保护封闭的2D区域的周边，其中每个区域的周边被保护可能包含多个不相交的多边形链。每个机器人负责守卫周边的一个子集，周边上的任何点都必须由某个机器人守卫。在分配机器人时，主要目标是最大限度地减少任何机器人沿区域边界所覆盖的最大一维距离。对于这个优化问题，我们称之为最佳周界防护（OPG），进行彻底的结构分析，然后利用它来开发快速精确的算法，运行在保证低多项式时间。除了形式化的分析和证明，实验评估和模拟进行，进一步验证了我们的算法结果的正确性和有效性。
2019-05-11 cs.CG cs.RO
A Note on Approximating 2-Transmitters
简单正交多边形P中的k-发送器是沿着P内的正交线段s来回行进的移动守卫。如果s上存在点q使得线段pq垂直于s并且pq与P的边界相交于至多k个点，则k-发送器可以看到P中的点p。本文对保护单调正交多边形的最少2-发射机数问题给出了一个2-近似算法。
2015-12-05 cs.CG
Fixed-Parameter Tractable Algorithms for Corridor Guarding Problems
最小走廊守卫（MCG）问题要求给定一个正交连接的线段排列的最优树/闭行走，使得如果守卫移动通过树/闭行走，所有的线段都被守卫访问。这个问题被称为通道-MST/通道-TSP（CMST/CTSP）的情况下，当保护行走是一棵树/封闭的行走，分别。MCG的相应决策版本被证明是NP完全的[1]。CMST/CTSP的参数化版本称为k-CMST/k-CTSP，要求最多k个顶点上的最优树/闭合行走，访问所有线段。这里，顶点对应于输入线段的端点和交点。我们发现k-CMST/k-CTSP是固定参数易处理（FPT）的参数k。接下来，我们提出了一个变种的CTSP被称为最小链接CTSP（MLC），其中的链接距离的封闭的步行必须最小化。这里，链接距离指的是行走中具有相同方向的链接或连接线段的数量。我们证明了MLC的决策版本是NP-完全的，并表明参数化版本，即b-MLC，是FPT关于参数b，其中b对应于链接距离。我们还考虑了另一个相关的问题，最小走廊连接（MCC）。给定一个直线多边形划分成直线组件或房间，MCC要求沿着分区的边缘的最小长度树，使得每个房间都关联到树的至少一个顶点。MCC的决策版本被证明是NP完全的[2]。我们证明了固定参数的参数化版本的MCC，即k-MCC相对于参数k，其中k是房间的数量。
2022-03-29 cs.CG
Guarding Terrains with Guards on a Line
本文研究在x-单调多边形链上方最低水平线上放置k个点守卫以覆盖整条链的问题，给出依赖Davenport-Schinzel序列复杂度的最优算法，并处理子链与守卫一一配对的变体。
2025-05-05 cs.CG
Optimally Guarding 2-Reflex Orthogonal Polyhedra by Reflex Edge Guards
设正交多面体是$\mathbb R^3$中有限盒集的并集（即，具有平行于坐标轴的边的长方体），其表面是连通的2-流形。我们研究了NP完全问题的保护一个非凸的正交多面体反射边在两个方向（而不是三个，在一般情况下），通过放置最小数量的边缘警卫反射边缘。我们证明了$$\left\lfloor \frac{r-g}{2} \right\rfloor +1$$反射边保护是足够的，其中$r$是反射边的数目，$g$是多面体的亏格。对于$g=0$，此界限是紧的。因此，我们推广了一个经典的平面艺术画廊定理的O 'Rourke，它指出，相同的上限持有顶点后卫在一个正交多边形的$r$反射顶点和$g$孔。然后，我们给出了一个类似的上限$m$，在多面体中的边的总数。我们证明，$$\left\lfloor \frac{m-4}{8} \right\rfloor +g$$反射边缘后卫是足够的，而以前最有名的边界是$\lfloor 11m/72+g/6\rfloor-1$边缘后卫（不一定反射）。我们也考虑其中的警卫是开放的设置（即，它们是没有端点的线段），证明即使在这种更具挑战性的情况下也存在相同的结果。最后，我们展示了如何计算守卫位置匹配上述界限在$O(n \log n)$时间。
2019-10-24 cs.CG cs.DM
A Combinatorial Bound for Beacon-based Routing in Orthogonal Polygons
信标吸引力是一种运动系统，其中机器人（建模为2D中的点）在自由空间中移动，以便始终局部最小化其到激活的信标（也是一个点）的欧几里得距离。这导致机器人在可能的情况下直接朝向信标移动，否则沿着障碍物的边缘滑动。当机器人可以通过这种方法到达激活的信标时，我们说信标吸引机器人。从$p$到$q$的信标路由是序列$b_1, b_2,$.，信标的$b_{k}$，使得按顺序激活信标将吸引机器人从$p$到$b_1$再到$b_2$.到$b_{k}$到$q$，其中$q$被认为是信标。信标的路由集合是信标的集合$B$，使得自由空间中的任何两个点$p, q$具有与中间信标$b_1, b_2,$.的信标路由，$b_{k}$均选自$B$。在这里，我们要解决的问题是：“这样的$B$必须有多大？”“在正交多边形中，并表明答案是“有时和$[(n-4)/3]$一样大，但永远不会更大。"
2015-07-13 cs.CG
Visibility Extension via Reflection
本文研究Art Gallery问题的反射变体，证明增加点守卫可见区域的相关问题是NP-hard的，并推导出考虑漫反射时覆盖多边形所需顶点守卫最小数量的数学下界，同时推广了近似算法。
2023-04-05 cs.CG
Computational Aspects of Problems on Visibility and Disk Graph Representations
本论文主要讨论了在计算几何领域中被广泛研究的两个概念。即可见性和单位圆盘图。在可见性领域，我们研究了多边形的无冲突色保护，为此我们描述了一个多项式时间算法，该算法使用$O(n \log^2 n)$颜色来保护多边形在无冲突设置中，以及多边形可见性图的适当着色，为此我们描述了一个算法，该算法返回简单多边形的适当4-着色。此外，我们还证明了简单多边形可见图的5-可着色性问题是NP-完全的，而带洞多边形可见图的4-可着色性问题是NP-完全的。然后，我们进一步移动与可见性的概念，并定义一个图形类，考虑现实世界中的限制可见性图的应用。也就是说，没有物理对象具有无限的范围，并且两个对象可能从一定距离不可见，尽管其间没有障碍物。为了模拟这个属性，我们引入了单位盘可见性图，并证明了3-着色性问题是NP-完全的单位盘可见性图的一组线段，和一个多边形与孔。在弥合了可视性和单位圆盘图之间的差距之后，我们给出了在一个受限的设置-轴平行单位圆盘图中识别单位圆盘图的结果。我们证明了，当圆盘中心在预先给定的平行线上时，单位圆盘图的识别是NP-完全的。另一方面，如果两条线不平行，那么识别问题是NP难的，即使预先给定的线是轴平行的（即任何一对线都是平行或垂直的）。
2021-10-31 cs.CG math.CO
Segment Watchman Routes
Malmö University（马尔默大学）；The Open University of Israel（以色列开放大学）；University of Kassel（卡塞尔大学）；Linköping University（林雪平大学）
针对鲁棒守卫应用，提出段警卫路线问题，证明在简单多边形中最小化最大路线长度是弱NP难，在带孔多边形中最小化总长度是NP难，并给出多项式时间2-近似算法。
2026-06-25 cs.CG cs.DS
Good Illumination of Minimum Range
若点p位于点集F的凸包内部，则点p被点集F的n个点光1-良好照明.这个概念对应于三角形保护或井覆盖。在本文中，我们考虑的照明范围的光源作为一个参数进行优化。首先，我们解决了最小化光源的照明范围以1-well照亮给定点p的问题。我们还计算了1-well以最小照明范围照亮p的光源的最小集合。其次，我们用O（n^2）算法解决了最小化光源照明范围以1-井照明线段上所有点的问题。最后，我们给出了一个O（n^2 log n）的算法来预处理数据，使之可以在O（log n）的时间内获得1-井照明线段上的一个点所需的照明范围。这些结果可以应用于解决1-井照明的轨迹接近它的多边形路径的问题。
2006-06-02 cs.CG
Extremal solutions to some art gallery and terminal-pairability problems
本文所选用的工具是极值型方法。在论文中证明的定理得出的教训是，令人惊讶的小妥协是必要的解决方案的有效性，使该方法的工作。所研究的问题与其他学科和实际应用有几个联系。论文的第一部分是关于正交画廊的研究。一个尖锐的极值界证明分区正交多边形最多8顶点多边形使用既定的技术领域的艺术画廊的问题。这填补了已知的分割成至多6个顶点和10个顶点的正交多边形的结果之间的差距。接下来，这些技术被进一步发展，以证明一种新的类型的极值艺术画廊的结果。这种方法的新颖之处在于它在移动和固定警卫之间建立了联系。这个定理有很强的计算后果，事实上，它提供了一个$\frac83$近似算法的基础上，保护正交多边形与矩形的视觉。第二部分研究了完全图和完全格图中终端可配对的图论概念。再次，极值方法有助于发现解决问题的有效方法。在一个完整的基础图的情况下，新的证明下界的最大程度的可实现的需求图是4倍以上，比以前的最佳结果。开发的技术，然后用于解决经典的极端边数问题的终端配对问题在完全基图。在路径可配对图中，完整的网格基图在密度方面位于谱的另一端。结果表明，完全网格图是相对有效的路由边不相交的路径。
2017-11-07 cs.CG math.CO
Facets for Art Gallery Problems
美术馆问题（AGP）要求在一个多边形区域P中放置最少数量的固定守卫，使得P中的所有点都被守卫。这个问题是NP-难的，其固有的连续结构（需要保护的点集和可用于保护的点集都是不可数的）使得很难将直接的公式化为线性规划。我们使用一个迭代的原始-对偶松弛方法来解决AGP实例的最优性。在每个阶段，一对LP松弛的原始覆盖和对偶包装约束和变量的一个有限的候选子集被认为是这些对应于可能的保护位置和点被保护。特别有用的是用于消除分数解的切割平面。我们确定了两类方面，基于边覆盖和集覆盖（SC）的不平等。解决后者的分离问题是NP完全的，但利用底层的几何结构，我们表明，大子类的分数SC解决方案不能发生的AGP。这允许我们在多项式时间内分离相关的面子集。我们还描述了有限AGP松弛的所有方面，系数为{0，1，2}。最后，我们证明了我们的方法的实际用途。我们的切割平面技术产生了显着的改善速度和解决方案的质量，由于大大减少了完整性差距相比，由Kröller等人的方法。
2014-12-18 cs.CG cs.DS math.OC
