On guarding polygons with holes

具有正交可见性的保护路径多边形

Guarding Path Polygons with Orthogonal Visibility

本文研究了简单正交多边形的最小$ r $ -保护问题。如果最小面积矩形包含$ p $且$ q $位于$ P $内，则内部点$ p $属于正交多边形$ P $从$ r $ -guard $ g $可见。如果多边形$ P $中的一组控球后卫的可见区域的并集等于多边形$ P $，即$ P $中的每个点从$ G $中的至少一个控球后卫可见，则这些控球后卫的集合被命名为后卫集合（如表示为$ G $）。对于一个正交多边形，如果其垂直分解的对偶图是一条路，则称之为路多边形。在本文中，我们发现的问题，找到最小数量的$ r $ -警卫（最小保护集）成为线性时间可解的正交路径多边形。路径多边形可以在每四个方向上具有凹陷边。对于这类正交多边形，Worman和Keil已经考虑了这个问题，他们描述了一个运行在$ O(n^{17} poly\log n) $时间的算法，其中$ n $是输入多边形的大小。对于一般可见的简单多边形，即使多边形是正交的，求其最小保护数的问题也是NP难的。我们的算法是纯几何的，并提出了一种新的策略$ r $ -保护正交多边形和保护可以放置在任何地方的内部和边界的多边形。

WV多边形顶点保护的常数因子近似算法

A Constant-Factor Approximation Algorithm for Vertex Guarding a WV-Polygon

简单多边形的顶点保护问题是由SubirK. Ghosh（1987），他提出了一种多项式时间$O(\log n)$近似算法，用于在简单$n$边形$P$的顶点放置尽可能少的保护，使得$P$中的每个点对至少一个保护可见。Ghosh还证明了这个问题允许一个多项式时间算法与常数逼近比。由于守卫问题在计算几何领域的中心地位，多年来一直在努力解决这个猜想。尽管取得了一些进展（调查如下），但该猜想至今仍未得到解决。在本文中，我们证实了猜想的重要情况下，弱可见多边形，通过提出一个$(2+\varepsilon)$ -近似算法保护这样的多边形使用顶点后卫。简单多边形$P$是弱可见的，如果它有一条边$e$，使得$P$中的每个点从$e$上的某个点可见。我们还提出了一个$(2+\varepsilon)$近似算法，用于保护弱可见多边形$P$，其中警卫可以放置在任何地方$P$的边界（除了在内部的边缘$e$）。最后，我们提出了一个$3c$ -近似算法的顶点保护多边形$P$是弱可见的弦，给定一个子集$G$的$P$的顶点，保护$P$的边界的大小是有界的$c$倍的最小子集。我们的算法是基于深入分析的几何属性的区域，保持无人看守后，将警卫在顶点，以保护多边形的边界。我们的结果似乎可以使Bhattacharya等人完成他们证明原始猜想的伟大尝试，因为他们的方法是基于将底层简单多边形划分为弱可见多边形的层次结构。

用滑动摄像机保护正交多边形

On Guarding Orthogonal Polygons with Sliding Cameras

正交多边形$P$内的滑动摄像机是一名控球后卫，它沿着$P$中的正交线段$P$来回移动。如果从$p$到$γ$的垂线在$P$内部，则滑动摄像机$g$可以看到$P$中的点$p$。本文给出了最少滑动摄像机数保护$P$问题的第一常数因子近似算法。接下来，我们证明了滑动警卫问题是线性时间可解的，如果（适当定义）的对偶图的多边形有界树宽。最后，我们研究了滑动摄像机的画廊定理，从而给出了相对于顶点数$n$所需的保护数的上界和下界。

带边和点2-发射器的保护多边形的组合学和复杂性

Combinatorics and complexity of guarding polygons with edge and point 2-transmitters

我们考虑一个经典的画廊问题，而不是一个光源，警卫，称为$k$ -发射机，模型的无线设备的信号，可以通过在最$k$墙。我们表明，它是NP难计算的最小覆盖点2-发射机，点$k$ -发射机，和边缘2-发射机在一个简单的多边形。点2-发射器结果扩展到正交多边形。此外，我们给出的必要性和充分性结果的边缘2-发射机的数量一般，单调，正交单调，正交多边形。

关于$r$ -保护薄正交多项式

On $r$-Guarding Thin Orthogonal Polygons

保护多边形是计算几何中的一个古老而又深入研究的问题。这里我们考虑以下变体：我们假设多边形在某种意义上是正交的和薄的，并且我们考虑一个点$p$来保护一个点$q$当且仅当由$p$和$q$跨越的最小轴对齐矩形在多边形内部。一个简单的证明表明，这个问题是NP-困难的正交多边形与洞，即使多边形是薄的。如果没有洞，那么薄多边形就变成树多边形，因为所谓的多边形的对偶图是树。众所周知，对于树多边形来说，找到$r$ -guards的最小集合是多项式，但运行时是$\tilde{O}(n^{17})$。我们在这里表明，使用不同的方法，运行时间变成线性的，回答了Biedl等人提出的问题。（SoCG 2011）。此外，该方法更通用，允许指定要保护的点的子集和要使用的保护，并且它推广到具有$h$孔或厚度$K$的多边形，在$h+K$中变得固定参数易处理。

鲁棒地守卫多边形

Robustly Guarding Polygons

针对多边形守卫问题，提出鲁棒性概念，使近似算法获得常数因子保证，更易处理且更现实。

关于多边形和三角剖分的开边和开可动守护的若干结果

Some Results on Open Edge and Open Mobile Guarding of Polygons and Triangulations

本文重点讨论了美术馆问题的一个变种，考虑开放的边缘警卫和开放的移动警卫。移动防护可以放置在多边形的边和对角线上，“开放”前缀意味着这种边或对角线的端点不考虑可见性目的。本文研究了几类简单多边形的开边守卫和开移动守卫的守卫数量。这个问题也被认为是平面三角剖分图使用开放的边后卫。

简单多边形的无冲突色保护

On conflict-free chromatic guarding of simple polygons

我们研究的问题，着色的顶点的多边形，使每个观众在它可以看到一个独特的颜色。目标是尽量减少使用的颜色数量。这也被称为具有顶点保护的无冲突色保护问题，并且其动机是，例如，通过对放置在多边形顶点处的传感器的无线电频率分配的问题。我们首先研究的情况下，观众可以是所有点的多边形（如移动机器人的内部移动的多边形）。我们有效地解决了相关的问题，最小化警卫和近似（最多只有一个添加剂的错误）的数量所需的颜色在特殊情况下的多边形称为漏斗。然后通过将问题分解为子漏斗，给出了n顶点弱可见多边形的O（log^2n）颜色的上界.这个界限推广到所有简单的多边形。我们也简要地看一下第二种情况，在这种情况下，观察者只是多边形的顶点。我们表明，在一般情况下，简单的多边形和猜想，这是紧的3种颜色的下界。我们还证明了已经决定1或2个颜色是否足够是NP完全的。

多边形顶点的快速保护

Fast Vertex Guarding for Polygons

对于n个顶点的多边形P，顶点保护问题要求P的顶点的最小子集G，使得P中的每个点至少被G中的一个点看到。这个问题是NP完全的，是APX困难的。第一个近似算法（Ghosh，1987）涉及到将P分解为O（n^4）个单元，这些单元是从P的顶点可见性的等价类。然后，这个离散化的问题可以被视为集合覆盖的实例，并使用贪婪O（log n）-近似算法在O（n^5）时间内求解。Ghosh（2010）最近重新审视了该算法，指出简单多边形的最小可见性分解（Bose等人，2000）只有O（n^3）个单元，对于简单多边形，将算法的运行时间提高到O（n^4）。在本文中，我们表明，由于简单多边形的最小可见性分解只有O（n^2）个最小可见性单元（Bose等人，算法的时间复杂度为O（n^3）。这一结果由Jang和Kwon（2011）独立获得。我们将Bose等人的结果推广到带洞的多边形，证明了带h个洞的多边形的最小可见性分解只有O（（h+1）n^3）个单元和O（（h+1）^2 n^2）个最小可见性单元.我们利用这一结果，以获得一个更快的算法的顶点保护多边形的洞。然后，我们表明，在相同的时间复杂度，我们可以达到O（log log（opt））的简单多边形和O（1+ \log（（h+1）log（opt））的多边形与孔的近似因子。

K-可见性下的M-防护

M-Guarding in K-Visibility

针对带孔多边形的k-可见性M-防护问题，提出基于凸分解的算法，证明k≥2时带孔多边形可实现2-防护，且偶数k≥2时存在放置方案使每点被k+2个守卫可见，拓展了0-可见性相关结论。

用顶点或控球后卫守卫曲线艺术画廊

Guarding curvilinear art galleries with vertex or point guards

计算几何中最早和最著名的问题之一就是所谓的美术馆问题。目标是计算放置在简单多边形的顶点上的最小可能数量的守卫，以使它们覆盖多边形的内部。在本文中，我们考虑的问题，守卫一个艺术画廊，这是建模为一个多边形与曲线墙。我们的主要重点是多边形的边缘是凸弧指向外部或内部的多边形（但不是两者），命名为分段凸和分段凹多边形。我们证明，在分段凸多边形的情况下，如果我们只允许顶点警卫，$\lfloor\frac{4n}{7}\rfloor-1$警卫有时是必要的，和$\lfloor\frac{2n}{3}\rfloor$警卫总是足够的。此外，$O(n\log{}n)$时间和O（n）空间算法的描述，产生的顶点保护集的大小最多$\lfloor\frac{2n}{3}\rfloor$。当我们允许控球后卫时，上述下限下降到$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$。在单调分段凸多边形的特殊情况下，我们可以证明$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$顶点保护总是足够的，有时是必要的;即使我们允许点保护，这些边界仍然有效。在分段凹多边形的情况下，我们表明，$2n-4$点后卫总是足够的，有时是必要的，而它可能不可能保护这样的多边形的顶点后卫。我们的结论与其他类型的曲线多边形的界限和未来的工作。

简单与非简单多边形的分散式顶点守卫

Dispersive Vertex Guarding for Simple and Non-Simple Polygons

本文研究带顶点守卫的分散式美术馆问题，证明带洞多边形中判定分散距离为2的顶点守卫集是NP完全的，并给出简单多边形中分散距离至少为2的放置算法，且该界是紧的。

连续边界守卫

Contiguous Boundary Guarding

本文研究简单多边形连续边界守卫问题，提出贪心算法（至多比最优解多1个守卫）和多项式时间精确算法，并证明任意n顶点多边形至多需要⌊(n-2)/2⌋个守卫且该界是紧的。

彩色艺术画廊的特殊警卫

Special Guards in Chromatic Art Gallery

我们提出了两个新版本的彩色画廊问题，可以提高所需的颜色的上界相当不错。在我们的版本中，我们采用了限制角后卫，使这些现代后卫可以访问$α$ -度的周围环境。当$α$介于$0$和$180$度之间时，我们证明了强色保护数是常数.然后，我们使用正交$90$度的警卫保护的多边形。证明了具有正交保护的强色保护数是对数级的。首先，我们证明了对于特殊的正交多边形，如蛇多边形，阶梯多边形和凸多边形，颜色的数量是常数。我们将多边形分解为多个部分，使得冲突部分的数量为对数，并且每个部分都是蛇。接下来，我们解释了具有矩形可见性的防护的正交多边形的彩色艺术画廊。证明了带矩形保护的正交多边形的强色保护数也是对数级的。我们对正交多边形作了一个划分，使得每一部分都是一个子块，然后证明了具有矩形保护的强色数的一个紧界是$θ(\log n)$

利用顶点保护保护简单多边形的常数近似算法

Constant Approximation Algorithms for Guarding Simple Polygons using Vertex Guards

美术馆问题询问的警卫人数最少，足以确保一个美术馆，由一个简单的多边形$P$，是完全保护。这个问题的大多数标准版本都是NP难的。1987年，Ghosh针对简单多边形中存在顶点保护和边保护的情况，提出了一种确定性的$\mathcal{O}(\log n)$ -近似算法。在同一篇论文中，Ghosh还证明了这些问题的常数比近似算法的存在性。我们在这里提出了三个多项式时间算法与一个常数的逼近比保护的$n$边的简单多边形$P$使用顶点后卫。(i)第一个算法的近似比为18，在$\mathcal{O}(n^4)$时间内保护$P$的所有顶点。(ii)第二个算法，具有相同的近似比18，在$\mathcal{O}(n^5)$时间内保护$P$的整个边界。(iii)第三种算法的近似比为27，在$\mathcal{O}(n^5)$时间内保护$P$的所有内部和边界点。此外，这些算法可以修改，以获得类似的近似比，同时使用边缘保护。我们的研究结果的意义在于，这些结果解决了Ghosh关于这个问题的常数因子近似算法的存在的猜想，尽管研究人员进行了多次尝试，但自1987年以来一直是开放的。我们的近似算法利用几个深可见性结构的简单多边形，这是有趣的，在自己的权利。

简单廊道周界防护的改进近似法

Improved Approximation for Guarding Simple Galleries from the Perimeter

我们提供了一个O（log log OPT）-近似算法的问题，守卫一个简单的多边形与警卫的周长。首先，我们设计了一个多项式时间算法，用于为与我们的守护问题相关的命中集的实例构建大小为O（1/1/2 log log 1/2）的ε网。然后，我们应用Bronnimann和Goodrich的技术，建立一个近似算法，从这个ε-网络发现者。随着一个简单的多边形P，我们的算法作为输入的一个有限的一组潜在的保护位置，必须包括多边形的顶点。如果一个有限的一组潜在的警卫位置没有指定，例如，当警卫可以放置在任何地方的周边，我们使用一个已知的离散化技术的成本，使算法的运行时间可能线性的最长和最短的距离之间的比率顶点。我们的算法是第一个改进O（log OPT）-近似算法，使用通用的网络查找有限VC维集系统。

使用顶点保护来保护正交地形的顶点

Guarding the Vertices of an Orthogonal Terrain using Vertex Guards

地形T是平面上的x单调多边形链; T是正交的，如果T的每条边是水平的或垂直的。本文给出了正交地形上凸顶点保护问题的一个精确算法，该算法的顶点数为最少反射顶点。

Vertex Guarding for Dynamic Orthogonal Art Galleries

We devise an algorithm for surveying a dynamic orthogonal polygonal domain by placing one guard at each vertex in a subset of its vertices, i.e., whenever an orthogonal polygonal domain {\cal P'} is modified to result in another orthogonal polygonal domain {\cal P}, our algorithm updates the set of vertex guards surveying {\cal P'} so that the updated guard set surveys {\cal P}. Our algorithm modifies the guard placement in O(k \lg{(n+n')}) amortized time while ensuring the updated orthogonal polygonal domain with h holes and n vertices is guarded using at most \lfloor (n+2h)/4 \rfloor vertex …

滑动摄像机保护正交多边形的新硬度结果

New Hardness Results for Guarding Orthogonal Polygons with Sliding Cameras

设$P$为正交多边形。考虑沿着正交线段$s\in P$来回行进的滑动相机作为其\emph{trajectory}。如果存在点$q\in s$，使得$pq$是完全在$P$内部的垂直于$s$的线段，则摄像机可以看到点$p\in P$。在\emph{minimum-cardinality sliding cameras problem}中，目标是找到具有最小基数的滑动相机的集合$S$以保护$P$（即，$P$中的每个点都可以被某个滑动摄像机看到），而在\emph{minimum-length sliding cameras problem}中，目标是找到这样一组$S$，以便最小化$S$中的摄像机沿其行进的轨迹的总长度。在本文中，我们首先解决了最小长度滑动摄像机问题的复杂性，通过证明即使对于带孔的正交多边形，它也是多项式可处理的，回答了Katz和Morgenstern（2011）提出的问题。接下来我们证明了当允许$P$有洞时，最小基数滑动摄像机问题是\textsc{NP} -困难的，这部分回答了Katz和Morgenstern（2011）提出的另一个问题。

保护多边形而不失去接触

Guarding a Polygon Without Losing Touch

我们从移动多智能体的角度研究了Klee在1973年首次提出的经典画廊问题。具体来说，我们需要一个最佳的小数量的代理（也称为警卫），以导航和定位自己在一个未知的简单多边形的内部与$n$顶点，使所有代理的集体视图覆盖多边形。我们认为，明显连接设置代理必须保持连接，通过视线链接-一个要求，特别是相关的多代理系统。我们首先提供了一个集中式算法的可视连接设置，运行在时间$O(n)$，这当然是最佳的。然后，我们提供了两种不同的分布式设置的算法。在第一种设置中，智能体只能感知相对接近度（即，可以分辨出一对物体中的哪一个更近），而在第二种设置中，它们可以感知精确的距离。尽管代理没有多边形的先验知识，但我们的分布式算法仍有效。此外，我们提供的下界表明，我们的分布式算法是接近最优的。我们的可视连接保护确保（i）保护形成连接的网络，（ii）多边形被完全保护。因此，这种保护提供了分布式基础设施来执行针对该多边形的任何几何算法。

守护弱可见多边形的逼近性

Approximability of Guarding Weak Visibility Polygons

美术馆问题询问足以确保由多边形$P$表示的美术馆被完全守卫的最少数量的警卫。在1998年，寻找防守$P$所需的最少数量的控球后卫、顶后卫和边后卫的问题被证明是APX困难的。1987年，Ghosh提出了顶点保护和边保护的近似算法，实现了$\mathcal{O}(\log n)$的比率，King和Kirkpatrick在2011年将其改进为$\mathcal{O}(\log\log OPT)$。已经证明，对于这些问题存在常数因子近似算法。我们解决了猜想的特殊类的多边形是弱可见的边缘，并包含没有洞，提出了一个6-近似算法，找到最小数量的顶点后卫运行在$\mathcal{O}(n^2)$时间。另一方面，对于弱可见性多边形的洞，我们提出了一个减少从集覆盖问题表明，不可能存在一个多项式时间算法的顶点保护问题的近似比$((1 - ε)/12)\ln n$为任何$ε>0$，除非NP= P。近似比可以提高到3。最后，我们考虑点后卫问题，并表明它是NP-困难的情况下，多边形弱可见的边缘。

Guarding Polygons with Holes

We study the Cooperative Guarding problem for polygons with holes in a mobile multi-agents setting. Given a set of agents, initially deployed at a point in a polygon with $n$ vertices and $h$ holes, we require the agents to collaboratively explore and position themselves in such a way that every point in the polygon is visible to at least one agent and that the set of agents are visibly connected. We study the problem under two models of computation, one in which the agents can compute exact distances and angles between two points in its visibility, and one in which agents can only compare dis…

正交画廊的无偏色保护的几乎紧界

Almost Tight Bounds for Conflict-Free Chromatic Guarding of Orthogonal Galleries

我们解决最近提出的彩色版本的经典艺术画廊的问题。假设一个简单的多边形$P$由一组有限的控球后卫防守，每个后卫被分配一种$t$颜色。如果每个点$p\in P$在从$p$可见的所有防护中看到至少一个具有唯一颜色的防护，则这种彩色防护被称为无冲突。我们的目标是建立边界上的功能$χ_{cf}(n)$的颜色的数量足以保证存在的任何$n$顶点多边形的冲突的色保护。Bärtschi和Suri展示了简单正交多边形的$χ_{cf}(n)\in O(\log n)$（Bärtschi等人，SoCG 2014）。在本文中，我们假设的r-可见性模型，而不是标准的线可见性。如果正交多边形中的点$p$和$q$跨越的矩形包含在$P$中，则这两个点彼此r可见。对于该模型，我们显示了$χ_{cf}(n)\in O(\log\log n)$和$χ_{cf}(n)\in Ω(\log\log n /\log\log\log n)$。最有趣的是，我们可以证明下界证明扩展到具有线可见性的警卫。为此，我们引入并利用一种新的离散组合结构称为textableau。这是第一个非平凡的下界为这个问题的setting. Further，对于强色版本的问题，其中所有的警卫r-可见从一个点必须有不同的颜色，我们证明了一个$Θ(\log n)$ -界。我们的结果可以解释为特殊几何超图的着色结果。

滑动摄像机保护正交美术馆的（7/2）-近似算法

A (7/2)-Approximation Algorithm for Guarding Orthogonal Art Galleries with Sliding Cameras

考虑在具有$n$顶点的正交多边形$P$内沿着正交线段$s$来回移动的滑动摄像机。当且仅当存在包含$p$的线段与$s$成直角相交且完全包含在$P$中时，相机才能看到$P$内的点$p$。在最小滑动摄像机（MSC）问题中，目标是以最少的滑动摄像机数量来保护$P$。本文给出了一个求解任意具有$n$顶点的简单正交多边形上的MSC问题的$O(n^{5/2})$ -时间$(7/2)$ -近似算法，回答了Katz和Morgenstern（2011）提出的一个问题.据我们所知，这是第一个常数因子近似算法这个问题。

完美守卫海峡：弱可见多边形精确算法

Perfectly Guarding Straits: Exact Algorithms for Weak Visibility Polygons

针对弱可见多边形，提出精确算法求解海峡守卫问题，将二维覆盖化为一维，时间复杂度为输出敏感，并改进海拔地形守卫的已知界。

艺术画廊中的超级守卫与暗射线

Super Guarding and Dark Rays in Art Galleries

研究艺术画廊变体中守卫不能看透彼此且需覆盖k次的问题，给出凸多边形k-cover的紧致界并证明其非平凡性，同时为简单多边形提供界。

与楼梯护栏连接的网格障碍表示

Grid-Obstacle Representations with Connections to Staircase Guarding

在本文中，我们研究了图的网格障碍表示，我们分配的网格点的顶点和定义的障碍，使得边存在的当且仅当一个$xy$ -单调网格路径连接两个端点，而不会遇到障碍或另一个顶点。以前有人认为，所有平面图在2D中具有网格障碍表示，并且所有图在3D中具有网格障碍表示。在本文中，我们表明，这样的建设是可能的，明显小于以前实现的网格大小。然后，我们研究的变种，顶点不阻塞，并表明，然后网格障碍表示存在的二分图。后者有所谓的楼梯守卫的正交多边形的应用程序，使用我们的网格障碍表示，我们表明，楼梯守卫是\textsc{NP} -硬在2D。

A Constant-Factor Approximation Algorithm for Point Guarding an Art Gallery

Given a simple polygon $\cal P$, in the Art Gallery problem the goal is to find the minimum number of guards needed to cover the entire $\cal P$, where a guard is a point and can see another point $q$ when $\overline{pq}$ does not cross the edges of $\cal P$. This paper studies a variant of the Art Gallery problem in which guards are restricted to lie on a dense grid inside $\cal P$. In the general problem, guards can be anywhere inside or on the boundary of $\cal P$. The general problem is called the \emph{point} guarding problem. It was proved that the point guarding problem is APX-complete,…

利用三角图的2-优势度用边或移动警卫守卫曲线艺术画廊

Guarding curvilinear art galleries with edge or mobile guards via 2-dominance of triangulation graphs

我们考虑的问题，监测的艺术画廊建模为一个多边形，其边缘是弧的曲线，边缘或移动警卫。我们的重点是分段凸多边形，即，局部凸的多边形，除了可能在顶点处，并且它们的边是凸弧。我们将监控分段凸多边形的问题转化为2-支配一个适当定义的具有边或对角线的三角剖分图的问题，其中2-支配要求三角剖分图中的每个三角形至少有两个顶点在其2-支配集中。我们发现，$\lfloor\frac{n+1}{3}\rfloor$对角后卫或$\lfloor\frac{2n+1}{5}\rfloor$边后卫总是足够的，有时是必要的，以2-支配的三角图。此外，我们展示了如何计算：一个对角2-支配集的大小$\lfloor\frac{n+1}{3}\rfloor$在线性时间，一个边2支配集的大小$\lfloor\frac{2n+1}{5}\rfloor$在$O(n^2)$时间，和一个边2-支配集的大小$\lfloor\frac{3n}{7}\rfloor$在O（n）的时间。基于上述结果，我们证明了对于分段凸多边形，我们可以在$O(n\log{}n)$时间内计算出$\lfloor\frac{n+1}{3}\rfloor$大小的移动保护集，在$O(n^2)$时间内计算出$\lfloor\frac{2n+1}{5}\rfloor$大小的边保护集，在$O(n\log{}n)$时间内计算出$\lfloor\frac{3n}{7}\rfl…

正交地形防护是NP完全的

Orthogonal Terrain Guarding is NP-complete

地形是x单调多边形曲线，即，连续的顶点具有增加的x坐标。地形守卫可以被看作是著名的美术馆问题的一个特例，在该问题中，必须在由$n$顶点组成的地形上放置最多$k$守卫，以便完全看到它。#21011;解决了一个长期存在的问题。他们观察到，他们的证明并没有解决正交地形守卫的复杂性，其中地形仅由水平或垂直部分组成;这些地形被称为直线或正交。最近，Ashok等人。[SoCG'17]提出了一种在时间上运行的FPT算法$k^{O(k)}n^{O(1)}$，用于不具有180度顶点的直线地形的可见性图中的支配集。他们问，如果正交地形守卫是在P或NP难。在同一篇论文中，他们给出了一个在$n^{O(\sqrt n)}$（实际上甚至是$n^{O(\sqrt k)}$）中运行的一般地形保护的次指数时间算法，并注意到King和Krohn的硬度证明只证明了ETH下的运行时间$2^{o(n^{1/4})}$。因此，他们的$2^{O(n^{1/2} \log n)}$算法与King和Krohn的结果暗示的无$2^{o(n^{1/4})}$ ETH硬度之间存在显着差距。在本文中，我们适应小工具的国王和Krohn的直线地形，以证明即使是正交地形守卫是NP-完全的。然后，我们展示了如何获得一个改进的ETH下界的$2^{Ω(n^{1/3})}$通过细化从平面3-SAT的二次约简到3-SAT的三次约简。这适用于正交地形防护和…

简单多边形中隐藏的移动警卫

Hidden Mobile Guards in Simple Polygons

我们考虑守卫类的简单多边形使用移动警卫（多边形的边缘和对角线）的约束下，没有两个警卫可能会看到对方。与大多数其他美术馆问题相比，存在性是首要问题：特定类型的多边形是否允许一些保护集？类型包括简单多边形和正交多边形、单调多边形和星形多边形的子类。此外，防护可以排除或包括端点（所谓的开放和封闭防护）。我们提供了一个几乎完整的答案存在问题的开放和封闭的边缘，对角线，和移动警卫在简单的，正交的，单调的，星形的多边形，一些令人惊讶的结果。例如，每个单调或星形多边形可以使用隐藏的开放移动（边缘或对角线）守卫，但不一定使用隐藏的开放边缘或隐藏的开放对角线守卫。

几乎凸多面体的参数化保护复杂性

The Parameterized Complexity of Guarding Almost Convex Polygons

美术馆是计算几何中的一个基本可见性问题。输入包括一个简单的多边形P，（可能是无限的）P内的点集G和C，以及一个整数k;任务是决定是否最多k个守卫可以放置在G中的点上，使得C中的每个点至少对一个守卫可见。在Art Gallery的经典公式中，G和C由P内的所有点组成。其他著名的变体限制G和C由P边界上的所有点或P的所有顶点组成。最近，有三个新的重要发现：上面提到的艺术画廊的变体都是关于k的W[1]-硬的[Bonnet和Miltzow，ESA'16]，经典的变体具有O（logk）-近似算法[Bonnet和Miltzow，SoCG'17]，并且它可能需要无理保护[Abrahamsen等人，SoCG'17]。在第三个结果的基础上，经典变体和G仅由P的边界上的所有点组成的情况都被证明是\exists R-完全的[Abrahamsen et al.，STOC'18]。即使当G和C都只由P的边界上的所有点组成时，也不知道问题是NP问题。鉴于第一个发现，Giannopoulos [Lorentz Center Workshop，2016]提出了以下问题：艺术画廊的FPT是否与反射顶点的数量r有关？我们专注于变体，其中G和C是P的所有顶点，称为顶点-顶点艺术画廊。我们证明了顶点-顶点艺术画廊在时间r^{O（r^2）}n^{O（1）}上是可解的。我们的方法还扩展到断言顶点边界艺术画廊和边界顶点艺术画廊…

用最大分散性守卫办公室

Guarding Offices with Maximum Dispersion

本文研究了办公室类正交多边形中的分散艺术画廊问题，证明了达到特定分散距离的计算复杂性，提出了多项式时间最优算法，并通过SAT等求解器验证了其实际可处理性。

滑动k-发送器：硬度和近似

Sliding k-Transmitters: Hardness and Approximation

在正交多边形P中的滑动k-发送器是沿着P内的正交线段s来回移动的移动警卫。如果从p到s的垂线与P的边界相交至多k次，则它可以看到P中的点p。我们证明了，对于任何固定的k>0，即使P是简单的和单调的，保护一个正交多边形P的最小数量的k-发射机是NP-困难的。并给出了该问题的O（1）-近似算法。

用直线上的守卫保护地形

Guarding Terrains with Guards on a Line

本文研究在x-单调多边形链上方最低水平线上放置k个点守卫以覆盖整条链的问题，给出依赖Davenport-Schinzel序列复杂度的最优算法，并处理子链与守卫一一配对的变体。

2-反射正交多面体的反射边防护

Optimally Guarding 2-Reflex Orthogonal Polyhedra by Reflex Edge Guards

设正交多面体是$\mathbb R^3$中有限盒集的并集（即，具有平行于坐标轴的边的长方体），其表面是连通的2-流形。我们研究了NP完全问题的保护一个非凸的正交多面体反射边在两个方向（而不是三个，在一般情况下），通过放置最小数量的边缘警卫反射边缘。我们证明了$$\left\lfloor \frac{r-g}{2} \right\rfloor +1$$反射边保护是足够的，其中$r$是反射边的数目，$g$是多面体的亏格。对于$g=0$，此界限是紧的。因此，我们推广了一个经典的平面艺术画廊定理的O 'Rourke，它指出，相同的上限持有顶点后卫在一个正交多边形的$r$反射顶点和$g$孔。然后，我们给出了一个类似的上限$m$，在多面体中的边的总数。我们证明，$$\left\lfloor \frac{m-4}{8} \right\rfloor +g$$反射边缘后卫是足够的，而以前最有名的边界是$\lfloor 11m/72+g/6\rfloor-1$边缘后卫（不一定反射）。我们也考虑其中的警卫是开放的设置（即，它们是没有端点的线段），证明即使在这种更具挑战性的情况下也存在相同的结果。最后，我们展示了如何计算守卫位置匹配上述界限在$O(n \log n)$时间。

带洞多边形的精确Minkowski和

Exact Minkowski Sums of Polygons With Holes

我们提出了一个有效的算法，计算Minkowski和两个多边形，这可能有洞。新算法是基于卷积方法。它的效率部分源于带洞多边形的闵可夫斯基和的一个性质，这实际上在任何维度上都成立：给定两个带洞的多边形，对于每个输入多边形，我们可以填充与另一个多边形相比相对较小的洞。具体地说，我们总是可以填满至少一个多边形的所有洞，将其转换为一个简单的多边形，并且仍然获得完全相同的Minkowski和。消除输入和数中的洞可以加快Minkowski和的计算速度。我们引入了一个强大的实现新算法，它遵循精确几何计算范式，从而保证准确的结果。我们还提出了一个实证比较的性能的Minkowski和建设的各种输入的例子，我们表明，在许多情况下，新算法的实现表现出更好的性能比其他几个实现。特别是，我们比较了新算法的实现，标准卷积算法的实现，以及使用各种凸分解方法的分解方法的实现，包括两种处理带孔多边形的新方法-一种是基于垂直分解，另一种是基于三角剖分。该软件是作为CGAL（计算几何算法库）的“二维Minkowski和”软件包的扩展而开发的。其他信息和补充材料可在我们的项目页面http://acg.cs.tau.ac.il/projects/rc上获得

带孔和不带孔简单多边形三角剖分对偶的识别

Recognition of Triangulation Duals of Simple Polygons With and Without Holes

我们调查的问题，确定一个给定的图对应于一个简单的多边形的三角剖分的对偶。这是一个图形识别问题，在我们的特定情况下，我们希望识别一个图形，它对应于一个简单的多边形的三角剖分的对偶，有或没有洞和内部点。我们表明，这个问题的难度主要取决于所给的信息量，我们给了一个尖锐的边界之间的各种易处理和棘手的版本的问题。

基于耳形裁剪的高质量多边形三角网生成算法

Ear-clipping Based Algorithms of Generating High-quality Polygon Triangulation

提出了一种基于耳形裁剪的简单多边形和带洞多边形三角剖分的基本算法和改进算法。在基本版本中，总是选择内角最小的耳朵进行切割，以创建更少的长条三角形。为了进一步减少狭长三角形，设置角度界限来确定新形成的三角形是否有尖角，当三角形尖锐时接受边交换。为了将这两种算法应用于带孔洞的多边形，通过创建“桥”边将带孔洞的多边形转化为退化多边形，并利用这两种算法对退化多边形进行三角剖分。应用结果表明，基本算法避免了产生狭长三角形，得到的三角剖分效果优于传统的剪耳算法，而改进算法能进一步有效地减少狭长三角形。时间复杂度为O（n），空间复杂度为O（n）。

Rectangular Partitions of a Rectilinear Polygon

We investigate the problem of partitioning a rectilinear polygon $P$ with $n$ vertices and no holes % with no holes into rectangles using disjoint line segments drawn inside $P$ under two optimality criteria. In the minimum ink partition, the total length of the line segments drawn inside $P$ is minimized. We present an $O(n^3)$-time algorithm using $O(n^2)$ space that returns a minimum ink partition of $P$. In the thick partition, the minimum side length over all resulting rectangles is maximized. We present an $O(n^3 \log^2{n})$-time algorithm using $O(n^3)$ space that returns a thick partit…

带孔多边形最优（确定性）时间三角剖分

Triangulating a Polygon with Holes in Optimal (Deterministic) Time

研究提出一种最优确定性算法，可在O(n + h log h)时间内完成带孔多边形三角剖分及轨迹分解，适用于可能相交的非简单多边形链。

基于最小化凸角的多边形化简

Polygon Simplification by Minimizing Convex Corners

设$P$为具有$r>0$反射顶点且可能具有孔和岛的多边形。$P$的包含多边形是多边形$P'$，使得$P \subseteq P'$、$P$的每个连通分量$R$是$P'$的不同连通分量$R'$的子集，并且$R$的反射角与$R'$的反射角重合。$P'$的包含链是在$P'$的边界上的极小路，其两个端边与$P$的两个边重合。Aichholzer等人证明了每个多边形$P$都有一个包含$O(r)$顶点的包含多边形，并提出了一个确定包含多边形的凸顶点数最少的计算复杂性的公开问题.我们证明了计算最优包容多边形的问题是NP完全的，但复杂性对于简单多边形仍然是开放的（即，没有孔的多边形）。我们的NP-困难的结果，即使包容链被限制为具有恒定的长度和谎言的安排线所确定的输入多边形的边缘。我们表明，这种限制使得问题的多项式时间可解的简单多边形。

不安分守卫：多联骨牌的鲁棒守卫覆盖

Restless Guards: Robust Guarding of Polyominoes

针对守卫存在位置不确定性的多联骨牌鲁棒守卫覆盖问题，提出多项式时间算法判定k-不安分守卫集是否存在，给出k∈{0,1}的紧界，证明最小守卫集计算的NP难性，为直方图提供最优算法并得到无孔多联骨牌的20k近似解。

单位正方形填充、覆盖和划分简单多边形的困难性

Hardness of Packing, Covering and Partitioning Simple Polygons with Unit Squares

本文证明将单位正方形填充、覆盖和划分简单多边形（即使无孔且坐标半整数）均为NP困难，通过非平面几何实现Planar-3SAT归约，首次证明无孔多边形划分问题的NP困难性。

通过反射扩展可见性

Visibility Extension via Reflection

本文研究Art Gallery问题的反射变体，证明增加点守卫可见区域的相关问题是NP-hard的，并推导出考虑漫反射时覆盖多边形所需顶点守卫最小数量的数学下界，同时推广了近似算法。

用正方形最小覆盖正交多边形的高效精确算法

Efficient Exact Algorithms for Minimum Covering of Orthogonal Polygons with Squares

本文针对无孔正交多边形正方形覆盖(OPCS)问题，提出了运行时间分别为 $\mathcal O(n^{10})$ 和 $\mathcal O(n^2 + k^{10} \cdot n)$ 的多项式时间精确算法，并修正了带孔情况(OPCSH)的NP完全性证明。

识别带洞多边形的可见性图及多边形的内外可见性图

Recognizing Visibility Graphs of Polygons with Holes and Internal-External Visibility Graphs of Polygons

本文证明识别带洞多边形的可见性图以及同时给定内外可见性图时识别简单多边形可见性图均为实存在理论完全问题。

保测地线多边形简化

Geodesic-Preserving Polygon Simplification

多边形是计算几何中一种重要的数据结构。虽然许多简单多边形或带孔多边形算法的复杂性取决于输入多边形的大小，但这些算法解决的问题的内在复杂性通常与多边形的反射顶点有关。本文给出了一个易于描述的线性时间方法，用多边形$\mathcal{P}'$代替输入多边形$\mathcal{P}$，使得（1）$\mathcal{P}'$包含$\mathcal{P}$，（2）$\mathcal{P}'$的反射顶点与$\mathcal{P}$的位置相同，（3）$\mathcal{P}'$的顶点数与反射顶点数成线性关系.由于多边形上的许多问题（包括最短路径，测地线外壳，分离点集，和沃罗诺伊图）的解决方案是等价的$\mathcal{P}$和$\mathcal{P}'$，我们的算法可以被用来作为一个预处理步骤的几个算法，使其运行时间依赖于反射顶点的数量，而不是对$\mathcal{P}$的大小。

带孔多边形的在线探测

Online Exploration of Polygons with Holes

我们研究的自主移动机器人的视觉探索未知的多边形至多h孔的在线策略。我们的主要贡献是（h+c_0）！-竞争策略的多边形的假设下，每个洞是用一种特殊的颜色标记，其中c_0是一个普适常数。该战略基于一种新的混合办法。此外，我们还给出了小h的一个新的下界构造.

简单多边形中的最大面积矩形

Maximum-Area Rectangles in a Simple Polygon

研究了平面多边形中求最大面积矩形的问题。当矩形必须轴对齐或多边形是凸形时，这个问题已经有相当多的工作。我们考虑这个问题在一个简单的多边形与$n$顶点，可能与孔，并没有限制的方向上的矩形。我们提出了一个算法，计算一个最大面积的矩形在$O(n^3\log n)$时间使用$O(kn^2)$空间，其中$k$是反射顶点的数量$P$。我们的算法可以报告所有的最大面积矩形在同一时间使用$O(n^3)$空间。我们还提出了一个简单的算法，找到一个最大面积的矩形包含在一个凸多边形的$n$顶点在$O(n^3)$时间使用$O(n)$空间。

The Polygon Burning Problem

Motivated by the $k$-center problem in location analysis, we consider the \emph{polygon burning} (PB) problem: Given a polygonal domain $P$ with $h$ holes and $n$ vertices, find a set $S$ of $k$ vertices of $P$ that minimizes the maximum geodesic distance from any point in $P$ to its nearest vertex in $S$. Alternatively, viewing each vertex in $S$ as a site to start a fire, the goal is to select $S$ such that fires burning simultaneously and uniformly from $S$, restricted to $P$, consume $P$ entirely as quickly as possible. We prove that PB is NP-hard when $k$ is arbitrary. We show that the di…

多边形域中测地直径的最大扭曲

Maximal Distortion of Geodesic Diameters in Polygonal Domains

研究了多边形域中测地直径与欧几里得直径的比值，证明了在具有凸孔的凸多边形中，该比值的上界随孔数变化而变化，并探讨了不同条件下该比值的性质。

Polylidar -- Polygons from Triangular Meshes

This paper presents Polylidar, an efficient algorithm to extract non-convex polygons from 2D point sets, including interior holes. Plane segmented point clouds can be input into Polylidar to extract their polygonal counterpart, thereby reducing map size and improving visualization. The algorithm begins by triangulating the point set and filtering triangles by user configurable parameters such as triangle edge length. Next, connected triangles are extracted into triangular mesh regions representing the shape of the point set. Finally each region is converted to a polygon through a novel boundar…

随机点集上的大凸洞

Large convex holes in random point sets

平面上点集$P$的{ \em凸洞}（或{ \em空凸多边形）}是顶点在$P$中的凸多边形，其内部不包含$P$的点。设$R$是平面上的有界凸区域。我们证明了在$R$上独立一致地选择的一组$n$随机点的最大凸洞的期望顶点数是$Θ(\log{n}/(\log{\log{n}}))$，而与$R$的形状无关.