More Dynamic Data Structures for Geometric Set Cover with Sublinear Update Time
我们研究几何集覆盖问题在动态设置，允许插入和删除的点和对象。我们提出了第一个动态的数据结构，可以保持$O(1)$ -近似的次线性更新时间为轴对齐的正方形在2D的集合覆盖。更准确地说，我们获得随机更新时间$O(n^{2/3+δ})$为任意小的常数$δ>0$。此前，Agarwal、Chang、Suri、Xiao和Xue [SoCG 2020]仅知道单位平方的动态几何集合覆盖数据结构具有次线性更新时间。如果只需要解的近似大小，那么我们也可以获得2D中的圆盘和3D中的半空间的次线性摊销更新时间。作为副产品，我们的动态集合覆盖技术还为2D磁盘和3D半空间的静态集合覆盖产生了最佳随机$O(n\log n)$时间算法，改进了我们早期的$O(n\log n(\log\log n)^{O(1)})$结果[SoCG 2020]。
2021-03-14 cs.CG
Approximation Schemes for Geometric Coverage Problems
在他们的开创性工作中，Mustafa和Ray（2009）表明，一类广泛的几何集合覆盖（SC）问题通过局部搜索允许PTAS-这是已知的此类问题的最通用方法之一。如果两个可行解的自然定义的“交换图”是平面的，并且基于通过Frederickson（1987）的平面分离器定理细分该图，则他们的结果适用。由于硬基数约束，相关的最大k-覆盖问题（MC）获得类似的结果似乎不平凡。事实上，虽然Badanidiyuru、Kleinberg和Lee（2012）已经（通过不同的分析）证明了局部搜索对二维实半空间产生PTAS，但他们只是证明了同样的情况对三维空间也成立。有趣的是，在这一点上，我们已经知道局部搜索为相应的集合覆盖情况提供了PTAS，这直接遵循Mustafa和Ray的方法。在这项工作中，我们提供了一种方法来解决上述问题。首先，我们提出了一个色彩平衡版本的平面分离定理。由此产生的细分在每个部分局部近似于颜色的全局分布。其次，我们展示了如何在更仔细的分析中使用这种大致平衡的细分来严格遵守硬基数约束。更具体地说，我们得到一个PTAS的任何“平面化”的MC实例，因此基本上为所有情况下，相应的SC实例可以通过穆斯塔法和射线的方法来解决。作为一个推论，我们证实了猜想Badanidiyuru，Kleinberg和李关于实半空间在三维。我们认为，我们的想法也可以在其他几何设置涉及基数约束的帮助。
2017-02-23 cs.CG cs.DS
Improved Bounds for Beacon-Based Coverage and Routing in Simple Rectilinear Polygons
我们建立了基于信标的覆盖问题的紧边界，并改进了简单的直线多边形的基于信标的路由问题的边界。具体而言，我们表明，$\lfloor \frac{n}{6} \rfloor$信标总是足够的，有时需要覆盖一个简单的直线多边形$P$与$n$顶点。我们还证明了紧界的情况下，$P$是单调的，我们提出了一个最佳的线性时间算法，计算基于信标的内核的$P$。对于路由问题，我们表明，$\lfloor \frac{3n-4}{8} \rfloor - 1$信标总是足够的，和$\lceil \frac{n}{4}\rceil-1$信标有时是必要的，在$P$中的所有点对之间的路由。
2015-05-19 cs.CG
Discretization of Planar Geometric Cover Problems
我们考虑离散化的“几何覆盖问题”在平面上：给定一组$P$的$n$点在平面上和一个紧凑的平面对象$T_0$，找到一个最小的基数收集的平面translates的$T_0$，使工会的translates在集合中包含所有的点在$P$。我们表明，几何覆盖问题可以转换为一种形式的几何集覆盖，它有一个给定的有限大小的集合的翻译，而不是无限连续的解决方案空间的前。我们提出了一个减少有限的解决方案空间，由不同的典型的翻译和多项式算法，找到减少解决方案空间的磁盘，凸/非凸多边形（包括孔），和平面物体组成的有限约旦曲线。
2014-11-25 cs.CG cs.DM
QPTAS for Geometric Set-Cover Problems via Optimal Separators
加权几何集合覆盖问题在几种几何和非几何设置中自然出现（例如Bansal-Pruhs（FOCS 2010）的突破将广泛的机器调度问题减少到加权几何集合覆盖）。二十多年的研究已经成功地解决了大多数几何集合覆盖问题的$(1+ε)$ -可逼近性状态，除了四个基本场景仍然缺乏。一种是平面中的加权圆盘，在一系列论文之后，Varadarajan（STOC 2010）提出了一种巧妙的\emph{quasi-sampling}技术，该技术与Chan \etal ~（SODA 2012）的改进一起产生了$O(1)$ -近似算法。甚至对于未加权的情况，对于称为伪圆盘的基本类对象（包括圆盘、单位高度矩形、凸集的平移等）的PTAS也是有效的。目前尚不清楚。另一个基本情况是$\Re^3$中的加权半空间，目前缺乏PTAS。在本文中，我们提出了一个QPTAS所有这些剩余的问题。我们的结果是基于Adamaszek-Wiese（FOCS 2013，SODA 2014）的分离器框架，他最近获得了多边形区域的加权独立集的QPTAS。这排除了这些问题是APX困难的可能性，假设是$\textbf{NP} \nsubseteq \textbf{DTIME}(2^{polylog(n)})$。结合Chan-Grant最近的工作（CGTA 2014），这解决了所有自然几何集覆盖问题的APX-硬度状态。
2014-04-05 cs.CG
Linear Time Approximation Schemes for Geometric Maximum Coverage
我们研究以下几何版本的最大覆盖问题的近似算法：设P是一组n个加权点在平面上。我们希望放置m个a * b矩形，使得这些矩形覆盖的点的权重之和最大化.对于任何固定的> 0，我们提出了有效的近似方案，可以找到最优解的（1-ε）-近似.特别地，当m = 1时，我们的算法在线性时间O（nlog（1/ε））内运行，比以前的结果有所改进.当m > 1时，我们给出了一个时间复杂度为O（n/εlog（1/ε）+m（1/ε）^（O（min（sqrt（m），1/ε）的算法.
2015-05-11 cs.CG
Dynamic Geometric Set Cover, Revisited
几何集合覆盖问题是计算几何中的一个经典问题，在过去已经得到了广泛的研究。在动态版本的问题，点和范围可以插入和删除，我们的目标是有效地保持一个集覆盖解决方案（满足一定的质量要求）。在本文中，我们给出了大量的新的动态几何集覆盖数据结构在1D和2D，这显着改进和推广以前的结果：1。$(1+\varepsilon)$的第一种数据结构-近似动态区间集覆盖多对数摊销更新时间。具体地，我们实现了$O(\log^3 n/\varepsilon)$的更新时间，改进了Agarwal等人[SoCG'20]的$O(n^δ/\varepsilon)$界限，其中$δ>0$表示任意小的常数。2.一种用于$O(1)$的数据结构-近似动态单位正方形集合覆盖，具有$2^{O(\sqrt{\log n})}$分摊更新时间，实质上改进了Agarwal等人的$O(n^{1/2+δ})$更新时间[SoCG'20]。3.一种用于$O(1)$的数据结构-近似动态平方集覆盖，其中$O(n^{1/2+δ})$随机化摊销更新时间，改进了Chan和He的$O(n^{2/3+δ})$更新时间[SoCG'21]。4.一种用于$O(1)$的数据结构--具有$O(n^{17/23+δ})$随机分摊更新时间的近似动态2D半平面集覆盖。Chan和He [SoCG'21]的半平面集覆盖的先前解决方案较慢，并且只能报告近似解的大小。5.第一个次线性结果…
2021-11-01 cs.CG
Minimum-Membership Geometric Set Cover, Revisited
本研究再探最小成员数几何集合覆盖问题，给出单位正方形场景首个多项式时间常数近似算法、半平面场景首个PTAS，还为最小层叠数几何集合覆盖的单位正方形场景提出更简单的近线性时间常数近似算法。
2023-05-06 cs.CG cs.DS
Dynamic geometric set cover and hitting set
我们调查的动态版本的几何集覆盖和击中集的点和范围可能会被插入或删除，我们要有效地保持一个（近似）当前问题实例的最佳解决方案。虽然它们的静态版本在过去已经被广泛研究，但令人惊讶的是，对动态几何集覆盖和击中集知之甚少。例如，即使对于最基本的一维区间集覆盖和碰集，也没有已知的非平凡结果。我们的论文的主要贡献是两个框架，导致有效的数据结构，动态维护集覆盖和命中集$\mathbb{R}^1$和$\mathbb{R}^2$。第一个框架使用自举，并给出了一个$(1+\varepsilon)$ -近似的数据结构的动态区间集覆盖在$\mathbb{R}^1$与$O(n^α/\varepsilon)$摊销更新时间为任何常数$α> 0$ ;在$\mathbb{R}^2$，这种方法给出了$O(1)$ -近似的数据结构的单位平方（和象限）集覆盖和命中集与$O(n^{1/2+α})$摊销更新时间。第二个框架使用局部修改，在$\mathbb{R}^1$中给出了具有$\widetilde{O}(1/\varepsilon)$分摊更新时间的动态区间命中集的$(1+\varepsilon)$ -近似数据结构;在$\mathbb{R}^2$中给出了具有$\widetilde{O}(1)$分摊更新时间的\textit{partially}动态设置中单位平方（和象限）集覆盖和命中集的$O(1)$ -近似数据结构。
2020-02-29 cs.CG
Improved Hardness of Approximation for Geometric Bin Packing
本文针对几何装箱问题，证明除非NP=P，否则该问题无法在d^{1-ε}因子内近似，并引入集合族的几何装箱维度概念，证明其关键性质以揭示几何装箱与向量装箱的根本差异。
2025-02-10 cs.CC cs.CG cs.DS
Geometric Dominating Set and Set Cover via Local Search
本文研究了两个经典的优化问题：最小几何支配集和集合覆盖。在支配集问题中，对于给定的一组对象作为输入，目标是选择最少数量的输入对象，使得每个输入对象都被所选择的对象集支配。这里，一个对象被{另一个}支配，如果它们都有{a}个非空交集区域。对于第二个问题，对于给定的点和物体的集合{在平面中}，目标是选择{a}最小数量的物体来覆盖所有的点。这是集合覆盖问题的一个特殊版本。对于这两个问题，获得PTAS仍然是开放的一大类对象。对于支配集问题，我们证明了一种流行的局部搜索算法对于由凸对象的位似集（包括任意正方形、$k$ -正多边形、凸集的平移和缩放副本等）构成的对象集，可以得到一个$(1+\varepsilon)$逼近.以$n^{O(1/\varepsilon^2)}$的时间。另一方面，当对象是凸伪圆盘（包括圆盘、单位高度矩形、位似凸对象等）时，同样的技术导致几何覆盖问题的PTAS。因此，我们得到了一个易于实现的近似算法，这两个问题的一个大类的对象，显着提高了最好的近似保证。
2022-03-21 cs.CG
An Improved Quasi-Physical Dynamic Algorithm for Efficient Circular Coverage in Arbitrary Convex
School of Mathematical Sciences, Beihang University（北京航空航天大学数学科学学院）
本文提出改进的准物理动态算法，通过结构保持初始化、虚拟力场构建和边界包围策略，提升任意凸多边形中圆覆盖的效率。
2026-01-31 cs.CG
Minimum Membership Geometric Set Cover in the Continuous Setting
本文研究连续设置下的 MMGSC 问题，提出了针对单位正方形、超长方体、单位圆盘及凸多边形等多种几何对象的高效近似覆盖算法，并证明了相关问题的 NP 困难性。
2025-05-30 cs.CG
An Improved Bound for Plane Covering Paths
本文针对平面点集的平面覆盖路径问题，将已知上界从 $\lceil21n/22\rceil$ 改进为 $\lceil6n/7\rceil$，并给出构造性证明及 $O(n\log n)$ 算法。
2025-07-09 cs.CG
A fast improved quasi-physical dynamic algorithm for efficient wireless coverage in convex polygonal regions
School of Mathematical Sciences, Beihang University（北京航空航天大学数学科学学院）
针对凸多边形无线节点部署问题，提出改进类物理动态算法IQPD，通过保结构初始化、精细化虚拟力模型与边界环绕策略，实现更高的覆盖率与节点利用率，性能优于多种元启发式算法。
2026-08-25 cs.CG
Geometric Set Cover and Hitting Sets for Polytopes in $R^3$
假设我们给定一个在$\R^3$中的有限点集$P$和一个多面体集合$\mathcal{T}$，这些多面体都是相同多面体$T$的平移。在本文中我们考虑两个问题。第一个是集合覆盖问题，我们希望从集合$\mathcal{T}$中选择最小数量的多面体，使得它们的并集覆盖所有输入点$P$。我们考虑的第二个问题是为多面体$\mathcal{T}$的集合找到一个命中集，也就是说，我们希望从输入点$P$中选择最少数量的点，使得每个给定的多面体至少被一个点命中。我们给出了这两个问题的第一常数因子近似算法。我们通过为大小为$\bigO(\frac{1{ε)$的$R^3$中的多面体的平移提供ε-网来实现这一点。
2008-02-20 cs.CG
Improved Bounds for Covering Paths and Trees in the Plane
平面点集的覆盖路径是在平面上画出的一条直线边路径，使得每个点都位于路径的顶点或边上。覆盖树的定义类似。设$π(n)$为平面中的每一组$n$点可以被至多具有$π(n)$边的非交叉路径覆盖的最小数目。设$τ(n)$为非交叉覆盖树的类似数。Dumitrescu，Gerbner，Keszegh，and Tóth（Discrete & Computational Geometry，2014）建立了以下不等式：\[\frac{5n}{9} - O(1) < π(n) < \left(1-\frac{1}{601080391}\right)n, \quad\text{and} \quad\frac{9n}{17} - O(1) < τ(n)\leqslant \left\lfloor\frac{5n}{6}\right\rfloor.\]我们报告了以下改进的上界：\[π(n)\leqslant \left(1-\frac{1}{22}\right)n, \quad\text{and}\quad τ(n)\leqslant \left\lceil\frac{4n}{5}\right\rceil.\]在相同的上下文中，我们研究彩虹多边形。对于平面上的一组着色点，完美彩虹多边形是一个简单的多边形，它在其内部或边界上包含每种颜色的一个点。设$ρ(k)$是使平面上每个$k$着色点集都有一个大小为$ρ(k)…
2023-03-08 cs.CG cs.DM
The Saturated Subpaths Decomposition in Z 2 : a short note on generalized Tangential Cover
在这个简短的说明中，我们推广了数字几何中使用的切覆盖，以便使用非常一般的几何谓词。我们提出了所需的饱和$α$ -路径的数字曲线的概念，以及保守的谓词，它确实涵盖了几乎所有的几何数字图元出版至今。本文的目的是证明在一般情况下，切覆盖的大小与输入曲线的点数成线性关系。切覆盖的计算复杂度取决于几何谓词增量识别的复杂度。此外，在讨论中，我们表明，我们的方法不依赖于点的连接，因为它可能是第一。
2018-06-08 cs.CG cs.GR
Improved Bounds for Metric Capacitated Covering Problems
在度量容量覆盖（MCC）问题中，给定度量空间$P$中的一组球$\mathcal{B}$，度量空间$d$和容量参数$U$，目标是找到最小尺寸子集$\mathcal{B}'\subseteq \mathcal{B}$，并将$P$中的点分配给$\mathcal{B}'$中的球，使得每个点被分配给包含它的球，并且每个球被分配至多$U$点. MCC使用贪婪算法实现$O(\log |P|)$ -近似。另一方面，即使利用球的$β< 3$因子扩展，也难以在$o(\log |P|)$的因子内近似。Bandyapadhyay~{et al.} [SoCG 2018年，DCG 2019年]表明，人们可以获得一个$O(1)$ -近似的问题与$6.47$因子扩展的球。他们的工作留下的一个悬而未决的问题是减少下限$3$和上限$6.47$之间的差距。在目前的工作中，我们表明，它是可能的，以获得一个$O(1)$ -近似只有$4.24$因子扩展的球。我们还显示了一个类似的上界$5$更广义的版本MCC的最好的以前已知的界限是$9$。
2020-06-22 cs.CG cs.DM cs.DS
Linear Time Approximation Schemes for Geometric Maximum Coverage
我们研究近似算法的几何版本的最大覆盖问题：让$\mathcal{P}$是一组$n$加权点在平面上。让$D$表示一个平面对象，如矩形或圆盘。我们希望放置$D$的$m$副本，以使这些副本所覆盖的$\mathcal{P}$中的点的权重之和最大化。对于任何固定的$\varepsilon>0$，我们提出了有效的近似方案，可以找到一个$(1-\varepsilon)$ -近似的最优解。特别是，对于$m=1$和$D$是一个矩形的特殊情况下，我们的算法运行在时间$O(n\log (\frac{1}{\varepsilon}))$，改善了以前的结果。对于$m>1$和矩形的情况下，我们的算法运行在$O(\frac{n}{\varepsilon}\log (\frac{1}{\varepsilon})+\frac{m}{\varepsilon}\log m +m(\frac{1}{\varepsilon})^{O(\min(\sqrt{m},\frac{1}{\varepsilon}))})$时间。对于更一般的一类形状（包括磁盘，多边形与$O(1)$边缘），我们的算法运行在$O(n(\frac{1}{\varepsilon})^{O(1)}+\frac{m}ε\log m + m(\frac{1}{\varepsilon})^{O(\min(m,\frac{1}{\varepsilon^2}))})$的…
2017-02-07 cs.CG
Improved bounds for universal convex covers of unit arcs
本研究改进 Moser 蠕虫问题的凸通用覆盖面积界至 [0.239, 0.24633]，通过有限细分证明下界和构造四边形证明上界，并用 Lean 4 形式化验证。
2026-09-21 cs.CG math.MG
Approximation Algorithms for Geometric Maximum Coverage
IIT Bombay（印度理工学院孟买分校）；University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Google Research（谷歌研究）
本文研究几何最大覆盖问题，提出多种近似算法，针对不同几何对象族改进了近似因子与运行时间，并给出了对应的难度下界结果。
2026-08-03 cs.CC cs.CG cs.DS
Bidimensionality and Geometric Graphs
在本文中，我们使用的几个关键思想，从二维给一个新的通用方法来设计EPTAS和次指数时间参数化算法的问题上的类图，这不是小封闭的，而是表现出几何结构。特别是，我们目前的EPTAS和次指数时间参数化算法的反馈顶点集，顶点覆盖，连通顶点覆盖，钻石击中集，地图图和单位盘图，以及循环包装和最小顶点反馈边集的单位盘图。我们的结果是基于Fomin等人[SODA 2011]最近证明的分解定理，我们的算法直接在输入图上工作。因此，不需要计算输入图的几何表示。据我们所知，这些结果是以前未知的，除了EPTAS和顶点覆盖的单位圆盘图的次指数时间参数化算法，分别由Marx [ESA 2005]和Alber和Fiala [J. Algorithms 2004]获得。我们继续表明，我们的方法不能在其充分的一般性扩展到更一般的几何图类，如R^d，d >= 3的单位球的相交图。具体地说，我们证明了R^3中单位球图上的反馈顶点集不允许PTAS，除非P=NP，也不允许次指数时间算法，除非指数时间假设失败。此外，我们表明，分解定理，我们的方法是基于失败的磁盘图，因此，我们的结果扩展到磁盘图将需要新的算法思想。另一方面，我们证明了我们的EPTAS和亚指数时间算法的顶点覆盖和连通顶点覆盖进行两个圆盘图和单位球图在R^d的任何固定的d。
2011-11-07 cs.CG cs.DS math.CO
On universal covers for carpenter's rule folding
本文提出了改进的平面木工尺折叠通用盖。
2021-08-22 cs.CG cs.DM math.CO
An Improved PTAS for Covering Targets with Mobile Sensors
针对k为常数的k-基站最小移动目标覆盖问题，提出运行时间为n^{O(1/ε)}的改进PTAS算法，通过更紧的单位面积传感器数界和仅依赖问题宽度的精细动态规划，将原n^{O(1/ε²)}的时间复杂度指数级降低。
2023-05-06 cs.CG cs.NI
Stabbing Rectangles by Line Segments - How Decomposition Reduces the Shallow-Cell Complexity
我们开始研究以下自然几何优化问题。输入是平面中一组轴对齐的矩形。目标是找到一组总长度最小的水平线段，使得每个矩形都被某个线段刺穿。如果线段与矩形的左右边界相交，则线段插入矩形。这个问题，我们称之为刺，可以激发一个资源分配问题，并在几何网络设计的应用。据我们所知，到目前为止，只考虑了这个问题的特殊情况。刺是一个加权几何集合覆盖问题，我们证明了这是NP-困难的。Stabbing的一个约束变体甚至是APX困难的。而对于一般的集合覆盖问题，最佳逼近比是$Θ(\log n)$，如何获得更好的逼近比是几何近似算法的一个重要研究领域。Chan等人[SODA'12]推广了Varadarajan [STOC'10]的早期结果，以获得广泛类别的加权几何集合覆盖实例的亚对数性能，其特征在于具有低的浅单元复杂度。然而，Stabbing实例的浅单元复杂度可能很高，因此直接应用Chan等人的框架只能给出对数界限。我们仍然通过将一般实例分解为我们称之为具有足够低复杂度的层实例来实现常数因子近似。我们的分解技术也产生恒定因子近似的变体，矩形可以刺伤水平和垂直段和两个进一步的几何集合覆盖问题。
2018-06-07 cs.CG
Fully Dynamic Geometric Vertex Cover and Matching
针对动态几何交集图，提出了在多对数均摊更新时间内维护最小顶点覆盖近似和最大基数匹配近似的通用框架，并取得了首个近线性时间静态算法。
2024-02-14 cs.CG
Online Geometric Covering and Piercing
研究在线几何穿刺问题，针对尺寸相近的胖对象和同位相似超立方体提出确定性在线算法并证明竞争比上界，同时给出下界并推广到任意凸对象的在线单位覆盖。
2024-07-03 cs.CG
Decomposition of Geometric Set Systems and Graphs
本文研究了组合几何中的两个分解问题。第一部分讨论平面的多重覆盖的分解。我们说一个平面集合是覆盖可分解的，如果存在一个常数m使得平面的任何m重覆盖及其平移都可分解为整个平面的两个不相交覆盖。Pach证明了每个凸集都是覆盖可分解的。我们验证了他的猜想多边形。此外，如果m足够大，我们证明了任何m重覆盖甚至可以分解成k个覆盖。然后，我们表明，在3维的情况正好相反，对于任何多面体和任何$m$，我们构造的空间是不可分解的m-折叠覆盖。我们还给出了结构，表明凹多边形通常是不可覆盖分解的。我们开始的第一部分，详细调查的所有结果覆盖分解的多边形。第二部分研究了另一个与图的平面表示有关的几何划分问题。一个图G的斜率数是最小的数s，它满足G是一条直线图，最多有s条不同斜率的边，且没有弯曲。我们研究了有界度图的斜率数。我们的主要结果是，如果最大度至少是5，那么随着顶点数的增加，斜率数趋于无穷大，但每个最大度至多为3的图只能嵌入5个斜率。我们还证明了这样的嵌入存在的相关概念称为斜率参数。最后，我们研究了平面斜率数，仅定义为可平面图的最小数s的性质，该图有一个直线画在平面上没有任何交叉，使边缘是只有s个不同的斜率的片段。证明了度有界的可平面图的平面斜率数是有界的。
2010-09-24 cs.CG math.CO
