On the reciprocity law for the twisted second moment of Dirichlet $L$-functions
研究了由Conrey~ \cite{Con07}和Young~ \cite{You11a}研究的关于$χ(a)$模素数$q$扭曲的Dirichlet L-函数的二阶矩的互易律.我们表明，在这个互易定律的误差项可以扩展到一个连续函数$a/q$关于真正的拓扑结构。此外，我们扩展了这一互易性的结果，证明了一个精确的公式，也涉及转移的时刻。给出了含$a/q$连分数展开系数的扭曲二阶矩的表达式，从而改进了Selberg关于双扭曲Dirichlet L-函数二阶矩的经典结果.最后得到了Dirichlet $L$ -函数的位移二阶矩与Estermann函数的联系公式。在特殊情况下，这个结果可以用来获得一些简单的显式精确公式的时刻。
2016-07-19 math.NT
Uniform subconvexity and symmetry breaking reciprocity
建立了一个非对称互等公式，将q级原中心特征标自守L-函数的四阶矩被l阶Hecke特征值扭曲表示为l级原中心特征标自守L-函数的扭曲混合矩.作为应用，得到了L-函数在水平和特征值方面的一致次凸性界。
2018-04-04 math.NT
Fourier Spectral Reciprocity and Canonical Hecke $L$-Functions
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
本文证明数域上的傅里叶型环面谱互反公式，将其应用于CM域的典范赫克L-函数，得到含中心值与导数的一致一阶矩公式，结合次凸性界给出相关定量非零及Mordell-Weil秩1结果。
2026-08-26 math.NT
Additive twists of Fourier coefficients of GL(3) Maass forms
本文证明了GL（3）形式$F$的傅立叶系数之和被加性特征扭曲后的消去，其形式一致为$F$ .
2012-04-05 math.NT
Additive Twists of Fourier Coefficients of Modular Forms
研究了全纯尖点形式、Maass尖点形式和全纯尖点形式的加性扭曲傅里叶系数的和.我们得到的边界是统一的形式和条款的加性扭曲。我们还改进了一个加性扭曲的傅里叶系数的一个全纯尖点形式，也被扭曲的非线性指数项的总和上的界。这最后一个界限对于加捻项是一致的，但对于形式是不一致的。
2012-04-03 math.NT
Kato explicit reciprocity law for Siegel modular forms of weight $(3, 3)$
本文将 Kato 显式互反律从模曲线推广到两条模曲线的乘积，并利用嵌入 Siegel 三维簇，得到权重 $(3,3)$ 的 Siegel 模形式所附 $p$-进表示的唯一次临界扭转的显式互反律。
2025-04-25 math.NT
Additive twists of Fourier coefficients of symmetric-square lifts
研究了满模群下Maass型不变量的平方提升的加扭傅里叶系数和.我们的界限是统一的谱参数的马斯形式，以及在添加剂扭曲。
2011-06-29 math.NT
Rankin--Eisenstein classes and explicit reciprocity laws
本文构造了模形式Rankin卷积的三变量$p$-adic伽罗瓦上同调类族，证明了其与L函数临界值相关的显式互反律，并由此得出L值非零时椭圆曲线Selmer群的有限性结果。
2023-11-21 math.NT
Infinitely many zeros of additively twisted $L$-functions on the critical line
对于$f$是整权或半整权群$Γ_0(N)$的尖点模形式，$N$是$4$的倍数，在权为半整的情况下，我们研究了附加特征标$e^{2πi n \frac{p}{q}}$与$\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$扭曲的$f$上的$L$ -函数的零点.证明了对于某些$f$和$\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$，加性扭曲的$L$ -函数在临界线上有无穷多个零点.我们开发了一个变种的Hardy-Littlewood方法，使用分布来证明结果。
2022-10-05 math.NT
Cancellation in the Additive Twists of Fourier Coefficients for $\mathrm{GL}_2$ and $\mathrm{GL}_3$ over Number Fields
本文研究了任意数域上$\mathrm{GL}_2$或$\mathrm{GL}_3$的不可约尖形自守表示的加性扭曲傅里叶系数和.当表示在所有非阿基米德位置都是非分歧的时，我们证明了$\mathrm{GL}_2$的Wilton型界和$\mathrm{GL}_3$的Miller型界是一致的.
2018-11-04 math.NT
Periods and Reciprocity I
给定$\mathbf{F}$是一个数域，其整数环$\mathcal{O}_{\mathbf{F}}$和$\mathfrak{p},\mathfrak{q}$是$\mathcal{O}_{\mathbf{F}}$的两个无平方理想和互质理想，我们证明了被$λ_π(\mathfrak{p})$扭曲的三重积$L$ -函数$L(π\otimesπ_1\otimesπ_2,\frac{1}{2})$的一阶矩的一个互反关系，其中，$π_1$和$π_2$是$\mathrm{PGL}_2(\mathbb{A}_{\mathbf{F}})$的固定酉自守表示，其中$π_1$是尖点的，并且$π$贯穿划分$\mathfrak{q}$的导体的酉自守表示。该方法使用$L$ -函数的adelic积分表示，并建立了特定周期的对称恒等式。最后，通过Parseval公式将积分周期与二阶矩联系起来。
2019-04-24 math.NT
Central values of additive twists of cuspidal $L$-functions
加性扭曲是与全纯尖点形式相关的重要不变量，它们编码Eichler-Shimura同构，并包含有关自守$L$ -函数的信息。本文证明了偶权全纯尖点形式$k$-函数的加性扭的中心值渐近正态分布。这推广（$k\geq 4$）最近的突破Petridis和Risager有关算术分布的模块符号。此外，我们作为一个应用程序的平均值的某些“宽”家庭自守$L$ -功能，包括中心值的形式$L(f\otimes χ,1/2)$与$χ$的狄利克雷字符。
2021-03-03 math.NT
Central values of additive twists of Maaß forms $L$-functions
本文研究了Maass形式L函数加法twists的中心值，结合动力学方法和量子模形式性质，证明了其渐近正态分布并拓展了相关算术应用。
2026-01-08 math.NT
On sums of Fourier coefficients of cusp forms twisted with additive characters
本文针对全纯尖形式傅里叶系数与加性特征相扭的指数和，证明了多种 Omega 结果，并将其应用于 Ramanujan τ 函数及算术级数上的系数求和问题。
2023-10-30 math.NT
Symmetric Spectral Reciprocity for $\mathrm{GL}(2)$ and Uniform Subconvexity
Caltech（加州理工学院）
构建\(\mathrm{GL}_2\)在数域\(F\)上Eisenstein级数的Petersson范数恒等式新解析正则化，导出\(\mathrm{GL}_2\)\(L\)-函数扭曲四阶矩的对称谱互反公式，获\(\mathrm{GL}_2/F\)新一致次凸性界等成果。
2026-11-03 math.NT
Spectral Reciprocity: A Fourier--Analytic Approach
本文提出了一种傅里叶-分析方法，用于研究数域上GL₃和GL₂自守谱的谱互易关系，并获得了多项新的理论结果和应用。
2025-12-02 math.NT
On the distribution of additive twists of the divisor function and Hecke eigenvalues
我们获得了渐近与$\int_0^1|\sum_{n\le X} d(n)e(nα)|^sdα$的$s < 2$，其中$d(n) = \sum_{d | n} 1$是除数函数的节能误差项。我们也得到这样的渐近$\int_0^1|\sum_{n\le X}λ_f(n)e(nα)|^sdα$的所有$s > 0$。我们证明了一种重复应用Jutila变式圆法和Voronoi求和的迭代法.
2021-10-07 math.NT
Non-Linear Additive Twists of $\mathrm{GL}_{3}$ Hecke Eigenvalues
本文通过 DFI 圆法及降低导子机制界定了 $\mathrm{GL}_{3}$ Hecke 特征值的非线性加法扭曲，并应用于证明 Hardy 函数第一矩的非平凡界。
2023-11-23 math.NT
A note on the second moment of automorphic L-functions
我们得到了与权为2的本原Hecke本征形相关的$L$ -函数的扭谐二阶矩的公式。我们的中值定理的一个后果是让人想起最近的Conrey和杨的狄利克雷$L$ -函数的扭曲二阶矩的互易公式的结果。
2009-09-26 math.NT
A twisted additive divisor problem
本文研究带 Dirichlet 特征的扭曲加法除数问题，利用自守正则化对非显然平方可积的 Eisenstein 级数组合作谱分解，得到移位卷积渐近式，并在部分情形下改进误差项。
2023-04-25 math.NT
A Note on Twisted Moments of Dirichlet $L$-functions
本文针对有限域多项式环上的本原Dirichlet特征，推导了带一扭和两扭的Dirichlet $L$-函数扭二阶矩的渐近公式，推广了Djanković此前在有理函数域上的相关研究结果。
2023-06-14 math.NT
Twisted Dedekind Type Sums Associated with Barnes' Type Multiple Frobenius-Euler l-Functions
本文的目的是构造新的Dedekind型和。构造了Barnes型多重Frobenius-欧拉数和多项式的生成函数.通过对这些函数进行Mellin变换，我们定义了Barnes型重L函数，它对Frobenius-欧拉数进行负整数插值.利用Frobenius-Euler函数的推广，定义了广义Dedekind型和，并证明了相应的互反律。给出了Frobenius-欧拉多项式的扭曲形式和新的Dedekind型和及相应的互反律.利用p-adic q-Volkenborn积分和扭（h，q）-Bernoulli函数，构造了p-adic（h，q）-高阶Dedekind型和.利用Bernoulli函数与Frobenius-Euler函数之间的关系，我们还定义了Hardy-Berndt型和的类似函数.我们也给出了与这些和有关的一些新的关系式.
2007-11-05 math.GM math.NT
Spectral Moment Formulae for $GL(3)\times GL(2)$ $L$-functions III: The Twisted Case
University College London（伦敦大学学院）
本文通过周期互易技术研究$GL(3)\times GL(2)$ $L$-functions的非阿基米德矩，探讨扭曲矩猜想。
2024-06-11 math.NT
Non-linear additive twist of Fourier coefficients of $GL(3) \times GL(2)$ and $GL(3)$ Maass forms
令$λ_π(m,n)$是Hecke-Maass尖点形式$π$对于$SL(3,\mathbb{Z})$的傅里叶系数，$λ_{f}(n)$是Hecke-eigenform $f$对于$SL(2,\mathbb{Z})$的傅里叶系数。本文的目的是得到系数$λ_π(m,n)$和系数$λ_{f}(n)$的非线性加扭和的非平凡界。更准确地说，对于任何$0 < β< 1$和$ε>0$，我们有$$\sum_{n=1}^{\infty} λ_π(r,n) \, e\left(αn^β\right) V\left(\frac{n}{X}\right) \ll_{π,ε} α\sqrtβr^{\frac{7}{6}}X^{\frac{3}{4}+\frac{9β}{28}+ ε}.$$和$$\sum_{n=1}^{\infty} λ_π(r,n) \, λ_{f}(n) \, e\left(αn^β\right) V\left(\frac{n}{X}\right) \ll_{π, f,ε} (αβ)^{\frac{3}{2}} rX^{\frac{3}{4}+\frac{29β}{44}+ε},$$，其中$V(x)$是$[1,2]$支持的光滑函数，并且满足$V^{(j)}(x) \ll_{j} 1$。
2021-10-13 math.NT
Hecke operators on weighted Dedekind symbols
Dedekind符号推广了经典的Dedekind和（符号）。这些符号由它们的互易定律唯一地确定，直到一个加性常数。具有多项式（劳伦多项式）互易律的戴德金符号空间与尖点（模）形式空间之间存在自然同构。本文在加权Dedekind符号空间上引入Hecke算子。我们证明了这些新引入的算子与模形式空间上的Hecke算子是相容的。作为应用，我们给出了Hecke本征形的傅里叶系数的计算公式.特别是，我们给出了广义Ramanujan的tau函数的显式公式。
2004-12-05 math.NT
Spectral Reciprocity for the first moment of triple product $L$-functions and applications
本文研究数域上三重乘积$L$-函数的一阶矩，通过谱方法得到扭曲一阶矩的谱互反公式，并应用于水平方面的次凸问题，给出相应次凸界。
2024-12-27 math.NT
A reciprocity theorem for the Cohen-Ramanujan sums and its application to Cohen-Ramanujan expansions in the second variable
本文证明 Cohen-Ramanujan 和的互反定理，并据此刻画某些算术函数在第二变量上的两类 Cohen-Ramanujan 展开的等价存在性。
2023-12-10 math.NT
On the standard $L$-function for $GSp_{2n} \times GL_1$ and algebraicity of symmetric fourth $L$-values for $GL_2$
我们证明了一个明确的整表示-涉及一个合适的西格尔爱森斯坦系列的拉回-扭曲的标准$L$ -功能与全纯向量值西格尔尖点形式的程度$n$和任意水平。在这种情况下，与所有以前证明的拉回公式相比，我们的公式只涉及标量值函数，尽管适用于向量值西格尔尖点形式的$L$ -函数。在我们的方法中的关键新成分是一个新的选择当地的阿基米德的地方，使我们能够准确地计算阿基米德的局部积分向量。通过将我们的整表示专门化到情况$n=2$，我们能够证明一个互惠律（由Deligne猜想预测），用于扭曲标准$L$的临界特殊值-2次和任意水平的向量值西格尔尖点形式的函数。此算法的应用程序概括了以前证明的临界值的结果为全水平的情况下。通过进一步专门化的情况下得到的西格尔尖点形式通过Ramakrishnan-Shahidi升降机，我们得到的对称第四$L$ -函数的经典newform的临界特殊值的倒易律。
2020-02-10 math.NT
Spectral Reciprocity and Hybrid Subconvexity Bound for triple product $L$-functions
本文利用谱互反公式并结合已有矩估计，研究三重积 $L$-函数在层数方面的次凸性，给出允许联合分歧与导子下降的新显式混合次凸界。
2024-12-27 math.NT
Non vanishing of products of twisted $\mathrm{GL}(3)$ $L$-functions
本文证明了：如果$\mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})$ Hecke-Maaintenance尖点形式$π$的傅里叶系数与加法特征不太相关，则存在无穷多个Dirichlet特征，使得\begin{align*} L\left(\frac{1}{2},π\otimesχ\right)L\left(\frac{1}{2},χ\right)\neq 0. \end{align*}为了证明这一结果，我们计算了这些$L$函数在一组精心选择的导体上的平均的一阶扭矩.
2021-12-16 math.NT
Cancellation in additively twisted sums on GL(n)
在Schmid的前一篇论文（math.NT/0402382）中，我们考虑了GL（2，R）的自守分布的正则性，以及它与数论和分析中其他主题的联系。本文在高阶情形下，对GL（3，Z）\GL（3，R）上尖点形式的L-函数的系数a_n，建立了α实一致的非平凡界sum_{n < T} a_n exp（2 pi in alpha）= O_ε（T^{3/4+ε}）.我们还得到了GL（n，R）上的尖点形式的类似消去语句与某些周期积分的大小之间的等价性（定理7.1）。这些又意味着对尖点形式L-函数的二阶矩的估计。
2004-08-30 math.NT math.RT
Dirichlet twists of $\operatorname{GL}_n$-automorphic $L$-functions and hyper-Kloosterman Dirichlet series
通过推导特殊的Voronoi求和公式，我们计算了由素幂导体的本原偶Dirichlet特征标扭曲的$\operatorname{GL}_n$ -自守$L$ -函数在临界带内任意点处的平均值.我们的计算是新颖的，因为扭曲的总和可以表示在平均本身，而且它看到各种新的求和公式的设置中的素数幂模的推导。一个结果，正如我们所解释的，是显示与$L$-自守$\operatorname{GL}_n$-函数相关的超Kloosterman狄利克雷级数的解析延拓和加法求和公式。
2021-11-14 math.NT
An additive problem in the Fourier coefficients of cusp forms
本文研究了任意级和特征的尖点形式傅里叶系数平移乘积之和的估计，并作为应用推广了前人工作，导出了其特征扭曲关联L函数在临界线上的次凸估计。
2003-05-20 math.NT
Orthogonality relation between $GL(3)$ coefficients and additive characters with linear and non-linear phases
Theoretical Statistics and Mathematics Unit, ISI Kolkata（印度统计研究所加尔各答分校理论与数学单元）
该研究针对SL(3,Z)的Hecke-Maass形式的素数支撑傅里叶系数，通过构造Vaughan恒等式自守变体、改进双线性型等方法，突破了Jiang与吕的2/3障碍，拓宽了非平凡抵消的容许范围。
2026-10-15 math.NT
Double-Janus Linear Sigma Models and Generalized Reciprocity for Gauss Sums
研究了二维线性$σ$模型的超对称配分函数，该模型的目标空间是一个环面，其复杂结构沿一个世界面方向变化，Kähler模沿另一个方向变化.这种设置的灵感来自于降维的Janus配置的4d $\mathcal{N}=4$ $U(1)$超杨米尔斯理论紧映射环面（$T^2$纤维在$S^1$）倍圆与$SL(2,\mathbb{Z})$对偶墙插入$S^1$，但我们的设置有最小的超对称性。配分函数依赖于$SL(2,\mathbb{Z})$的两个独立元素，一个描述对偶扭曲，另一个描述映射环面的几何形状。它是拓扑的，可以写成多元二次高斯和。通过用两种不同的方法计算配分函数，得到了关于不同二次高斯和的恒等式，推广了{\it Landsberg-Schaar}关系.这些恒等式是F发现的恒等式集合的子集。德卢每个身份包含一个阶段，这是一个第八根的统一，我们展示了它是如何产生的超对称Janus配置作为一个Berry阶段。超对称性要求复杂的结构沿着上半平面中的一个周期变化，正如盖奥托和威滕在相关的上下文中所展示的那样，这个周期在再现正确的贝里相位方面起着重要的作用。
2020-08-18 hep-th math.NT
Strong Hybrid Subconvexity for Twisted Selfdual $\mathrm{GL}_3$ $L$-Functions
Aarhus University（奥胡斯大学）；University of Virginia（弗吉尼亚大学）；Shandong University（山东大学）；Universidade Federal do Ceará（塞阿拉联邦大学）
本文研究自对偶 GL_3 基本形式的 L-函数在 q 和 t 方面的强混合次凸界，并探讨 GL_3 × GL_2 Rankin-Selberg L-函数中心值的类似界。
2026-03-14 math.NT
Integral representation and critical $L$-values for holomorphic forms on $GSp_{2n} \times GL_1$
我们证明了一个明确的整表示-涉及一个合适的西格尔爱森斯坦系列的拉回-扭曲的标准$L$ -功能与全纯向量值西格尔尖点形式的程度$n$和任意水平。在这种情况下，与所有以前证明的拉回公式相比，我们的公式只涉及标量值函数，尽管适用于向量值西格尔尖点形式的$L$ -函数。在我们的方法中的关键新成分是一个新的选择当地的阿基米德的地方，使我们能够准确地计算阿基米德的局部积分向量。通过专业化我们的整表示的情况下$n=2$，我们能够证明一个互惠法-预测德利涅猜想-为临界特殊值的扭曲标准$L$ -功能的向量值西格尔尖点形式的程度2和任意水平。此算法的应用程序概括了以前证明的临界值的结果为全水平的情况下。这个应用程序的证明使用我们最近的结构定理[arXiv：1501.00524]的空间几乎全纯Siegel模形式的程度2和任意水平。
2018-03-22 math.NT
Elliptic curves of conductor $2^m p$, quadratic twists, and Watkins' conjecture
本文针对在2处加性约化、至多两个奇素数外良好约化且含二阶有理点的椭圆曲线，证明了 Watkins 猜想的新情形，揭示模次数与 Mordell--Weil 秩之间的整除关系。
2025-07-17 math.NT
Newton polygons for twisted exponential sums and polynomials $P(x^d)$
本文研究了当$P$在特征$p$的有限域上的定次多项式$e$空间中变化时，与某些扭特征和相关的$L$ -函数的根的$p$ -adic绝对值，以及与多项式$P(x^d)$相关的加特征和的$p$-adic绝对值.对于足够大的$p$，我们确定在这两种情况下，通用牛顿多边形这些$L$ -功能，这是一个下界的牛顿多边形，和一组多项式的次数$e$，这通用多边形的实现。在扭和的情况下，我们表明，在\cite{as1}定义的低多边形是紧时，$p\equiv 1 [de]$，它是实际的牛顿多边形的任何程度$e$多项式。
2007-06-18 math.AG math.NT
Twisted Exponential Sums
设$k$是特征$p$的有限域，$l$是不同于$p$的素数，$ψ:k\to \bar {\bf Q}_l^\ast$是非平凡的加法特征标，$χ:{k^\ast}^n\to \bar{\bf Q}_l^\ast$是${k^\ast}^n$上的特征标.然后$ψ$在仿射线${\bf A}_k^1$上定义了一个Artin-Schreier层${\cal L}_ψ$，而$χ$在$n$维环面${\bf T}_k^n$上定义了一个Kummer层${\cal K}_χ$。令$f\in k[X_1,X_1^{-1},..., X_n,X_n^{-1}]$是劳伦多项式。它定义了一个$k$ -态射$f:{\bf T}_k^n\to {\bf A}_k^1$ .本文在$f$上的一些非退化条件下，计算了$H_c^i({\bf T}_{\bar k}^n, {\cal K}_χ\otimes f^\ast {\cal L}_ψ)$的维数和权.我们的结果可用于估计$$\sum_{x_1,..., x_n\in k^\ast} χ_1(f_1(x_1,..., x_n))... χ_m(f_m(x_1,..., x_n))ψ(f(x_1,..., x_n)),$$形式的和，其中$χ_1,..., χ_m:k^\ast\to {\bf C}^\ast$是乘法特征，$ψ:k\to {\bf C}^\ast$是非平凡加法…
2007-01-30 math.AG math.NT
Exponential sums twisted by general arithmetic functions
本文针对一般算术函数扭曲的指数和提出统一上界策略，改进 Hardy-Littlewood 圆法中小弧结果，并将其应用于无平方因子分拆渐近与 Riemann zeta 函数零点的联系。
2024-12-28 math.NT
Mock Modularity Of Twisted Index In CHL Models
本研究证明CHL模型中单中心黑洞的微观态简并度可由模拟雅可比形式的傅里叶系数给出，并构造了配分函数的乘法提升，延续了DMZ和BSS的研究。
2025-08-05 hep-th math.NT math.QA
$Ω$-Results for Exponential Sums Related to Maass Cusp Forms for $\mathrm{SL}_3(\mathbb Z)$
University of Turku（图尔库大学）
本文研究了与$\mathrm{SL}_3(\mathbb Z)$上的Maass自拍形式相关的指数和的$Ω$-结果，得出了与预期上界一致的结论，并在某些参数范围内改进了上界。
2026-02-05 math.NT
Etale cohomology, cofinite generation, and p-adic L-functions
对于素数p和数域k，我们首先研究了某些系数与其伽罗瓦群的p-adic Artin表示相关联的标准上同调群，其中我们使用具有p-adic指标的改进的Tate扭来扭系数。我们表明，这些群体是互补产生的，并明确计算添加剂欧拉示性数。当k是全实的且表示是偶数时，我们将p-adic L-函数在其定义域上的一点处的消失阶与具有适当p-adic扭的上同调群的余秩联系起来.如果群是有限的，则p-adic L-函数的值是非零的，并且其p-adic绝对值与乘法欧拉示性数有关。对于一个负整数n（在某些情况下为0），这给出了Coates和Lichtenbaum猜想的一个证明，以及经典L函数在n处不为零的等变Tamagawa数猜想的一个简短证明。当p=2时，我们的结果涉及p-adic L函数依赖于岩泽理论中的一个猜想。
2015-03-31 math.NT
A converse theorem in half-integral weight
本文利用半整数权 Petersson 迹公式，将 Booker、Farmer 和 Lee 的逆定理推广至半整数权模形式，并以带加法扭转 $L$-级数的函数方程为判定条件。
2024-09-09 math.NT
Mathieu moonshine and Borcherds products
已知与Mathieu群$M_{24}$的共轭类相关联的$K3$曲面的扭曲椭圆亏格是权$0$的弱Jacobi形式。2010年，程从扭曲椭圆属中构造了形式的无穷乘积，并推测它们定义了二次西格尔模形式。本文证明了对于$N_g$的每一个共轭类，其相应的积是格$U(N_g)\oplus U \oplus A_1$上严格意义上的亚纯Borcherds积.我们还计算这些产品的因子，并确定哪些共轭类的产品可以实现为一个添加剂（广义斋藤-黑川）电梯。
2022-08-01 hep-th math.NT
Eichler integrals and generalized second order Eisenstein series
证明了所有的Eichler积分，更一般地说，所有的“广义二阶模形式“都可以表示为相应的广义二阶Eisenstein级数的线性组合，其系数为经典的模形式.确定了广义二阶Eisenstein级数在第一层的傅里叶级数展开式，并利用凸性界给出了加性扭曲$\mathrm{L}$ -函数的尾部估计.作为一个应用程序，我们说明了一个自举程序，产生数值评估，例如，Eichler积分仅仅从相关的上循环。我们的主要结果的证明依赖于过滤参数，这在很大程度上是植根于以前的工作向量值模形式，我们在这里制定的经典条款。
2022-03-29 math.NT
