Finding Hamiltonian Cycle in Graphs of Bounded Treewidth: Experimental Evaluation
树宽的概念是由Robertson和Seymour在他们开创性的Graph Minors系列中引入的，结果对图算法产生了巨大的影响。图上的许多困难的计算问题在有界树宽的图中是有效可解的：可以用有界大小的分隔符进行扫描的图。这些有效的算法通常遵循动态规划范例。近年来，我们已经看到了一个快速和相当意想不到的发展，涉及的技术解决各种计算问题的图有界树宽。最令人惊讶的方向之一是开发仅具有单指数依赖性的连通性问题的算法（即，$2^{O(t)}$），而不是稍微超指数（即，$2^{O(t \log t)}$）源自更幼稚的方法。在这项工作中，我们进行了彻底的实验评估这些方法的背景下，最经典的连接性问题之一，即哈密顿循环。
2019-09-23 cs.DS
Dynamic programming on bipartite tree decompositions
University of Bergen（卑尔根大学）；University of Montpellier（蒙彼利埃大学）
该研究提出双分树宽参数，并展示其在解决小btw图上的动态规划方法，包括K_t子图覆盖等问题的FPT算法，以及非双分图的XP时间解法。
2025-11-28 cs.DS
Positive-Instance Driven Dynamic Programming for Graph Searching
关于图与树的相似性（称为图的树宽）的研究在过去十年中出现了巨大的增长，但直到最近Tamaki才发现了一种用于此任务的实际快速算法（ESA 2017）。它基于动态规划，并利用了这样一个事实，即阳性子实例的数量通常远小于所有子实例的数量。只产生这样的子实例的算法被称为正实例驱动（PID）。我们给出了一个替代的和直观的看法，这个算法的角度来看，在某些两人游戏的相应配置图。这使我们能够开发PID算法的范围广泛的重要图形参数，如树宽，路径宽度和树深。我们分析了一些著名的图形类的方法的最坏情况下的行为，并在现实世界和随机图进行实验评估。
2019-05-03 cs.DS
Lower Bounds for Dynamic Programming on Planar Graphs of Bounded Cutwidth
对于特定于问题的常数$c$，许多组合问题可以在树宽$tw$的图上在时间$O^*(c^{tw})$中求解。在若干情况下，基于强指数时间假设（SETH），$c$上的匹配上界和下界是已知的。在本文中，我们探讨了解决问题的复杂性有界割宽，图参数，采取更大的价值比树宽的图。我们加强早期的树宽为基础的下限表明，假设SETH，独立集不能解决$O^*((2-\varepsilon)^{cutw})$时间，并支配集不能解决$O^*((3-\varepsilon)^{cutw})$时间。通过设计一个新的交叉小工具，我们扩展这些下界，甚至有界割宽或树宽的平面图。因此，平面性在求解有界宽度的图的独立集或支配集时没有帮助。这与事实形成鲜明对比，在许多设置中，平面性可以更有效地解决问题。
2018-06-27 cs.CC cs.DS
Totally $Δ$-Modular Tree Decompositions of Graphic Matrices for Integer Programming
School of Mathematics, Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院数学学院）
本文提出了一种基于树分解的参数，用于解决具有两个非零条目每行的矩阵的整数规划问题，扩展了传统图分解参数的应用范围，并给出了相关定理的类比。
2026-04-23 cs.DM cs.DS math.CO
Solving connectivity problems parameterized by treewidth in single exponential time
对于绝大多数的局部图问题，标准的动态规划技术给出了c^tw V^O（1）算法，其中tw是输入图的树宽。另一方面，对于具有全局要求（通常是连通性）的问题，最著名的算法是运行时间为tw^O（tw）V^O（1）的朴素动态规划方案。我们通过引入一种称为Cut&Count的技术来突破这一差距，该技术允许为大多数连通性类型的问题产生c^tw V^O（1）Monte Carlo算法，包括Hamilton路径，反馈顶点集和连通支配集，从而以令人惊讶的方式回答了Lokshtanov，Marx和Saurabh [SODA'11]提出的问题。我们还表明，（在合理的复杂性假设下）的差距不能被突破的一些问题，削减和计数不工作，如循环包装。我们得到的常数c在所有情况下都很小（无向问题最多为4，有向问题最多为6），在一些情况下，我们能够证明，提高这些常数会导致强指数时间假设失败。我们的结果有许多后果在各个领域，如FPT算法，精确和近似算法的平面和H-minor-free图和算法的图的有界度。在所有这些领域中，我们能够改善一些问题的最知名的结果。
2011-03-02 cs.DS
Heuristic computation of exact treewidth
我们感兴趣的是计算给定图$G$的树宽$\tw(G)$。我们的方法是设计启发式算法来计算一个序列的改进上界和一个序列的改进下界，这将有望收敛到$\tw(G)$从两侧。上限算法扩展和简化玉木的未发表的工作启发式使用的动态规划算法决定树宽由于Bouchitté和Todinca。下界算法基于众所周知的事实，即对于$G$的每个次$H$，我们都有$\tw(H) \leq \tw(G)$。该算法从$G$的粗计算的次$H_0$开始，尝试构造次$H_0$、$H_1$、\ldots、$H_k$的序列，其中$\tw(H_i) < \tw(H_{i + 1})$用于$0 \leq i < k$，并且希望用于$\tw(H_k) = \tw(G)$。我们已经基于这种方法实现了一个树宽求解器，并在PACE 2017算法实现挑战的精确树宽跟踪的奖金实例上对其进行了评估。结果表明，我们的方法是非常有效的处理情况下，很难为传统的求解器。我们的求解器比传统的求解器有一个额外的优势，因为它将一个紧凑的证书附加到它计算的下限。
2022-02-15 cs.DS
Tight Algorithms for Connectivity Problems Parameterized by Modular-Treewidth
我们从细粒度参数化的角度研究连通性问题。Cygan等人（TALG 2022）通过引入切割和计数技术，将连通性问题简化为局部可检查计数问题，获得了树宽参数化连通性问题（$tw$）的单指数运行时间$α^{tw} n^{O(1)}$算法。此外，在强指数时间假设（SETH）下，证明了基$α$是最优的。由于只有稀疏图才允许小树宽，所以这些结果不适用于具有稠密结构的图。一个众所周知的捕捉密集结构的工具是模块分解，它递归地将图划分为模块，模块的成员在模块外部具有相同的邻域。收缩模块产生描述模块之间的邻接的商图。测量商图的树宽得到参数modular-treewide，这是树宽和candle-width之间的一个自然的中间步骤。我们获得了第一个紧运行时间的连接问题参数化的模树宽度。对于某些问题，得到的边界是相同的相对于树宽，表明我们可以处理更大的一般性输入结构，而不以复杂性为代价。给出了模树宽$k$图的随机算法：Steiner树可在时间上求解$3^k n^{O(1)}$，连通支配集可在时间上求解$4^k n^{O(1)}$，连通顶点覆盖可在时间上求解$5^k n^{O(1)}$，反馈顶点集可在时间上求解$5^k n^{O(1)}$ .前两个算法是紧的，由于已知的结果和最后两个算法的补充下SETH新的紧下界。
2023-02-27 cs.DS
On Directed Feedback Vertex Set parameterized by treewidth
研究了以输入图的树宽为参数的定向反馈顶点集问题。我们证明了，除非指数时间假设失败，问题不能解决的时间$2^{o(t\log t)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$一般有向图，其中$t$是树的底层无向图的宽度。这与运行时间为$2^{\mathcal{O}(t\log t)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$的动态规划算法相匹配。另一方面，我们表明，如果输入的有向图是平面的，那么运行时间可以提高到$2^{\mathcal{O}(t)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$。
2017-09-13 cs.CC cs.DS
TreeWidzard: An Engine for Width-Based Dynamic Programming and Automated Theorem Proving
Stockholm University（斯德哥尔摩大学）；University of Bergen（卑尔根大学）
TreeWidzard通过统一框架实现基于树宽和路径宽的动态规划算法，支持复杂图性质的算法组合及基于树宽的自动定理证明。
2026-05-10 cs.DS cs.LO math.CO
Problems hard for treewidth but easy for stable gonality
我们表明，一些自然的问题，XNLP-硬（这意味着W[t]-硬度的所有t）时，参数化的路径宽度或树宽，成为FPT时，参数化的稳定性，一种新的图形参数的基础上，从图到树的最佳映射。我们考虑的问题是经典的流和方向问题，例如具有下界的无向流（如Itai所示，它是强NP完全的），最小最大出度（Szeider证明了树宽的W[1]-硬度），以及容量限制优化问题，例如容量限制（红-蓝）支配集（Dom，Lokshtanov，Saurabh和Villanger证明了W[1]-硬度）。我们的硬度证明（击败现有的结果）使用减少到最近的XNLP完全问题（接受非确定性检查计数器机器）。新的容易参数化的算法使用一种新的概念加权树分区与相关的参数，我们称之为树宽，灵感来自Seese的概念的树部图，以及从动态规划和整数线性规划的技术。
2022-02-14 cs.CC cs.DM cs.DS
Approximate Max-Flow Min-Multicut Theorem for Graphs of Bounded Treewidth
证明了有界树宽图的一个近似的最大多流最小多割定理。特别是，我们证明了以下几点：给定一个树宽$r$图，存在一个（分数）多商品流的价值$f$，和一个多割的能力$c$，使$ f \leq c \leq \mathcal{O}(\ln (r+1)) \cdot f$。众所周知，$r$ -顶点（常度）扩张图上的多流-多割间隙可以是$Ω(\ln r)$，因此我们的结果紧到常数因子。我们的证明是建设性的，我们也得到了一个多项式时间的$\mathcal{O}(\ln (r+1))$ -近似算法的树宽- $r$图的最小多割问题。我们的算法收益四舍五入的最佳分数的解决方案，自然的线性规划松弛的多割问题。我们引入新的修改著名的区域生长算法，以方便舍入，同时保证在树宽的对数因子损失。
2022-11-11 cs.DM cs.DS
Output-linear time enumeration of potential maximal cliques
Université Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP, LIG（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；Université Clermont-Auvergne, CNRS, Mines de Saint-Etienne, Clermont-Auvergne-INP, LIMOS（克莱蒙奥弗涅大学）
本文针对图论中潜在极大团（PMC）枚举的长期开放问题，提出输出线性时间算法，优化了基于PMC的树宽计算等算法的运行时间，兼具理论与实际应用价值。
2026-10-21 cs.DS
Edge-Cut Width: An Algorithmically Driven Analogue of Treewidth Based on Edge Cuts
分解参数，如树宽，通常用于获得固定参数算法的NP-难图问题。对于W [1]-hard树宽参数化的问题，一个自然的替代方案是使用一个合适的树宽模拟，它基于边切割而不是顶点分隔符。虽然树割宽度已经被创造为树宽的类似物，但它的算法应用经常导致令人失望的结果：在12个问题中，人们希望通过基于边割的树宽类似物来参数化固定参数的易处理性，其中8个被证明是W [1]-hard参数化的树割宽度。作为我们的主要贡献，我们开发了一个基于边缘切割的模拟树宽称为边缘切割宽度。直观地说，切边宽度是基于测量通过图的生成树的圈的密度。它的好处不仅包括一个相对简单的定义，但主要是它有有趣的算法属性：它可以计算一个固定参数的算法，它产生的固定参数算法的所有上述问题的树切割宽度未能做到这一点。
2022-02-28 cs.CC cs.DS
Subexponential parameterized algorithms for planar and apex-minor-free graphs via low treewidth pattern covering
我们证明了下面的定理。给定平面图$G$和整数$k$，可以在多项式时间内随机采样具有以下性质的$G$的顶点的子集$A$：（i）$A$导出树宽为$\mathcal{O}(\sqrt{k}\log k)$的$G$的一个子图，（ii）对于$G$在至多$k$顶点上的每个连通子图$H$，$A$覆盖$H$的整个顶点集的概率至少为$(2^{\mathcal{O}(\sqrt{k}\log^2 k)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)})^{-1}$，其中$n$是$G$的顶点数。再加上标准的动态规划技术的图形有界树宽，这一结果给出了一个通用的技术，获得（随机）次指数参数化算法的问题，平面图，通常与运行时间界$2^{\mathcal{O}(\sqrt{k} \log^2 k)} n^{\mathcal{O}(1)}$。该技术可以应用于可表达为在大型宿主图中搜索具有规定属性的小的连通模式的问题，这样的问题的示例包括定向$k$ -路径、加权$k$ -路径、顶点覆盖局部搜索和子图同构等。到目前为止，这些问题是否可以在平面图上的次指数参数化时间内解决仍然是开放的，因为它们不适合经典的二维技术。此外，我们所有的结果，事实上，任何一类的图，不包括一个固定的顶点图作为一个未成年人，特别是在图嵌入在任何固定的表面。
2016-04-20 cs.DS
Dynamic Treewidth in Logarithmic Time
University of Copenhagen（哥本哈根大学）
提出一种维护树宽至多k的动态图树分解的数据结构，均摊更新时间为2^{O(k)}log n，并支持动态规划方案，改进了先前结果且更简单。
2026-09-24 cs.DS
Utilizing Treewidth for Quantitative Reasoning on Epistemic Logic Programs
TU Wien（维也纳工业大学）
扩展流行的答案集编程（ASP）的范式内省推理能力，在过去的几年里已经收到了越来越多的兴趣。特别注意的是给予形式主义的认识逻辑程序（ELP）的标准规则配备了模态算子，允许表达条件的文字是已知的或可能的，即，分别包含在所有或一些答案集中。因此，ELP提供了多个答案集，称为世界观。迄今为止，使用ELP进行推理问题主要限于标准决策问题（复杂性分析）和世界观的枚举（系统开发）。在本文中，我们采取了下一步，并有助于认知逻辑编程在两个方面：首先，我们建立定量推理ELP，其中接受一定的文字集取决于世界观的数量（比例）是兼容的。其次，我们提出了一个新的系统，能够有效地解决基本的计数问题，需要回答这样的定量推理问题。我们的系统利用基于图形的措施树宽和工程迭代发现和精炼（图形）抽象的ELP程序。在这些抽象之上，我们应用动态规划，结合利用现有的基于搜索的求解器，如（e）clingo的硬组合子问题，在解决过程中出现。事实证明，我们的方法与最近推出的现有系统相比具有竞争力。这项工作正在考虑接受在TPLP。
2021-08-06 cs.AI cs.CC cs.DS
QBF as an Alternative to Courcelle's Theorem
Université Paris-Dauphine（巴黎多芬纳大学）；PSL Research University（巴黎文理研究大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；CRIL（逻辑与信息研究中心）；Université Paris-Diderot（巴黎第七大学）；IRIF（计算机科学基础与应用研究所）
我们提出减少量化布尔公式（QBF）作为一种新的方法来显示固定参数的线性算法的树宽参数化的问题。我们证明了这种方法的可行性，给出了新的算法，从人工智能，一般是完整的多项式层次的第二个级别的几个著名的问题。通过减少QBF，我们表明，所有得到的算法基本上是最佳的树宽度的依赖。大多数的问题，我们认为已经知道是固定参数的线性使用Courcelle的定理或动态规划，但我们认为，我们的方法有明显的优势，这些技术：一方面，在对比Courcelle的定理，我们得到具体和严格的保证，运行时依赖于树宽。另一方面，我们避免了繁琐的动态规划，并在CNF公式的一些正规化结果，我们的上限往往归结为几行。
2018-05-22 cs.AI cs.DS
Lower Bounds on Dynamic Programming for Maximum Weight Independent Set
证明了最大权独立集（MWIS）的纯动态规划算法的下界。我们模拟热带电路等算法，即，使用$\max$和$+$运算进行计算的电路。对于图$G$，$G$的MWIS-回路是热带回路，其输入对应于$G$的顶点，并且其计算$G$的最大权重独立集的权重以用于对输入的任何权重分配。我们表明，如果$G$有树宽$w$和最大程度$d$，那么任何MWIS电路的$G$有$2^{Ω(w/d)}$门，如果$G$是平面的，或更一般的$H$ -小自由的任何固定图$H$，那么任何MWIS电路的$G$有$2^{Ω(w)}$门。MWIS公式是每个门最多有一个扇出的MWIS电路。证明了如果$G$有树深$t$和最大度$d$，则$G$的任何MWIS公式都有$2^{Ω(t/d)}$门.由此可见，树宽表征了所有有界度图和$H$ -minor-free图的最优MWIS-回路的多项式，树深表征了所有有界度图的最优MWIS-公式的多项式。
2021-04-30 cs.CC cs.DS
Efficient diagonalization of symmetric matrices associated with graphs of small treewidth
设$M=(m_{ij})$是$n$阶的对称矩阵，其元素位于任意域$\mathbb{F}$中，$G$是顶点集为$\{1,\ldots,n\}$的图，使得不同顶点$i$和$j$相邻当且仅当$m_{ij} \neq 0$ .我们引入了一个动态规划算法，找到一个对角矩阵，是全等$M$。如果$G$是以宽度为$k$的树分解$\mathcal{T}$给出的，那么这可以在时间$O(k|\mathcal{T}| + k^2 n)$中完成，其中$|\mathcal{T}|$表示$\mathcal{T}$中的节点数。除其他事项外，这允许计算行列式，秩和惯性的对称矩阵在时间$O(k|\mathcal{T}| + k^2 n)$。
2021-10-26 cs.DS cs.SC math.CO
A 2-Approximation for the Bounded Treewidth Sparsest Cut Problem in FPT Time
在非均匀稀疏割问题中，我们给出一个供应图G和一个需求图D，两者都具有相同的节点集V。目标是找到V的一个割，该割使G的边上的总容量与D的交叉边的总需求之比最小化。本文研究了树宽有界的供给图的非均匀稀疏割问题。对于这种情况，Gupta、Talwar和Witmer [STOC 2013]获得了固定k的多项式运行时间的2-近似，并且是否存在与k无关的常数c的c-近似算法（在FPT时间内运行）的问题仍然悬而未决。我们对这个问题的回答是肯定的。我们设计了一个2-近似算法的非均匀稀疏割与有界树宽供应图，运行在FPT时间，当参数的树宽。我们的算法是基于四舍五入的线性规划放松的启发Sherali-Adams层次结构的最优解。与经典的Sherali-Adams方法相比，我们构建了一个松弛驱动的树分解的供应图，包括一组精心选择的提升变量和约束，以编码信息的子集的节点具有超恒定的大小，并在同一时间，我们有一个足够小的线性规划，可以解决FPT时间。
2021-11-11 cs.DM cs.DS
Speeding-up Dynamic Programming with Representative Sets - An Experimental Evaluation of Algorithms for Steiner Tree on Tree Decompositions
树分解上的动态规划是一种常用的方法，用于解决小树宽实例上的其他棘手问题。在Bodlaender等人最近的工作中，已经表明，对于许多连通性问题，存在使用时间的算法、顶点数量的线性算法和所使用的树分解宽度的单指数算法。其中心思想是，它足以计算代表集，这些可以有效地计算与高斯消除的帮助。在本文中，我们给出了一个实验评估这种技术的施泰纳树问题。通过与经典动态规划算法和采用表约简的改进动态规划算法的比较表明，新方法在算法运行时间和动态规划算法计算表的大小上都有明显的改善，因此，Bodlaender等人的基于秩的方法不仅给出了显著的理论改进，而且在的实际设置，并展示了潜力，利用代表集的想法，加快动态规划算法。
2013-05-31 cs.DS
Parameterized complexity of isometric path partition: treewidth and diameter
本文证明等距路径划分问题在树宽参数化下是W[1]-难的，并给出运行时间为n^{O(tw)}的动态规划算法，同时基于Randomized-ETH排除显著更快算法的可能性。
2025-09-22 cs.DM cs.DS math.CO
Space Saving by Dynamic Algebraization
动态规划广泛用于基于图的树分解的精确计算。然而，空间复杂度通常是树宽度的指数。研究了基于多项式空间树分解的高效动态规划算法的设计问题。我们展示了如何构建一个树分解和扩展的代数技术Lokshtanov和Nederlof，这样的动态规划算法运行在时间$O^*(2^h)$，其中$h$是最大的顶点数在工会袋上的根到叶路径上一个给定的树分解，这是一个参数密切相关的树的深度图。我们将我们的算法计算完美匹配的网格上的问题，并表明它优于其他多项式空间的解决方案。我们也将该算法应用于其他集合覆盖和划分问题。
2014-06-13 cs.DS
Prize-collecting Network Design on Planar Graphs
在本文中，我们减少奖励收集Steiner TSP（PCTSP），奖励收集漫步（PCS），奖励收集Steiner树（PCST），奖励收集Steiner森林（PCSF）和更一般的子模块奖励收集Steiner森林（SPCSF）在平面图（和更一般的有界亏格图）上相同的问题有界树宽的图。更确切地说，我们显示任何$α$ -近似算法，这些问题的有界树宽图给出了一个$(α+ ε)$ -近似算法，这些问题的平面图（更一般的有界属图），任何常数$ε> 0$。由于PCS，PCTSP和PCST可以解决图的有界树宽使用动态规划，我们得到PTAS这些问题的平面图和有界亏格图。相比之下，我们表明PCSF是APX-难以近似串并联图，这是平面图的树宽最多为2。这个结果本身就很有趣，因为它给出了第一个可证明的奖品收集和非奖品收集（常规）版本的问题之间的硬度分离：常规斯坦纳森林已知是多项式可解的串并行图，并承认有界树宽图的PTAS。对于欧几里德PCSF，可以显示类似的硬度结果。这结束了普遍认为，奖金收集变种不应该增加任何新的困难的问题。
2010-06-22 cs.DM cs.DS
Visualizing Treewidth
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）；TU Wien（维也纳工业大学）
该研究提出多种见证绘图范式，实现可视化原型并探索绘制风格，经专家评估可清晰展示图的有界树宽或路宽。
2026-09-01 cs.CG cs.DS
A polynomial time algorithm to compute the connected tree-width of a series-parallel graph
图$G$的树宽对应于一队警察追捕一个懒惰的、可见的、能够通过无保护路径以无限速度移动的强盗时的节点搜索数，近年来的一些文献也考虑了连通节点搜索策略.一个搜索策略是连通的，如果在每一步中，由一组警察所占据的顶点的集合诱导出$G$的连通子图。图$G$的连通搜索数可以表示为连通树宽度，记为$\mathbf{ctw}(G),$，其定义为有根树分解$({{\cal X},T,r})$的最小宽度，使得与包含根$r$的$T$的路径的节点相对应的袋的并集是连通的。显然我们有那个$\mathbf{tw}(G)\leqslant \mathbf{ctw}(G)$。本文主要是对连通树宽度的算法进行研究。我们设计了一个$O(n^2\cdot\log n)$ -时间动态规划算法来计算双连通串并行图的连通树宽度。在运行时间中增加一个额外的$n$因子的代价下，我们的算法最多生成树宽为$2$的图。
2021-01-27 cs.DM cs.DS
Faster Algorithms for Algebraic Path Properties in RSMs with Constant Treewidth
过程间分析是程序设计语言中许多应用的核心，例如别名分析、常数传播等。递归状态机（RSM）是过程间分析的标准模型。我们考虑一个一般框架与RSM的过渡标记从一个半环，和路径属性是代数与半环操作。具有代数路径属性的RSM可以建模过程间的最短路径分析问题、最短路径问题、最可能路径问题等。传统的过程间分析算法主要关注路径属性，其出发点是以\emph{fixed}作为特定方法的入口点。在这项工作中，我们考虑可能的多个查询所需的许多应用程序，如别名分析。对多个查询的研究使我们能够在\emph{one-time}预处理与\emph{each individual}查询的资源使用之间引入非常重要的算法区别。我们考虑的第二个方面是，大多数程序的控制流图具有恒定的树宽。我们的主要贡献是简单和可实现的算法，支持多个查询代数路径属性的RSM具有恒定的树宽。我们的理论研究结果表明，我们的算法有小的额外的一次性预处理，但可以回答后续查询显着更快的速度相比，目前最知名的解决方案的几个重要的问题，如程序间的可达性和最短路径，我们提供了一个原型实现程序间的可达性和程序内最短路径，给出了显着的速度在几个基准测试。
2014-11-25 cs.DS cs.PL
Fast Algorithms for Join Operations on Tree Decompositions
树宽是一个衡量图的树型的指标。它有许多重要的算法应用，因为一般图上的许多NP-难问题在限制到有界树宽的图时变得容易处理。有界树宽图问题的算法大多是利用图的树分解结构的动态规划算法。这些算法在最坏情况下运行时间的瓶颈通常是在相关的nice树分解中对所谓的连接节点的计算。在本文中，我们回顾了两种不同的方法，已经出现在文献中的连接节点的计算：一个使用快速zeta和莫比乌斯变换，一个使用快速傅立叶变换。我们结合这些方法，以获得新的，更快的算法，广泛的一类顶点子集的问题称为[σ，ρ]-支配问题。我们的主要结果是我们展示了如何解决$O(s^{t+2} t n^2 (t\log(s)+\log(n)))$算术运算中的[σ，ρ]-控制问题。这里，t是树宽，s是表示特定[σ，ρ]-支配问题的部分解所需的（固定）状态数，n是图中的顶点数。与之前$O( s^{t+2} (st)^{2(s-2)} n^3 )$算术运算的最佳时间界限（van Rooij，Bodlaender，Rossmanith，ESA 2009）相比，这减少了所涉及的多项式因子。特别地，这消除了多项式的次数对固定状态数~ $s$的依赖性。
2020-06-02 cs.DS
Optimal dynamic program for r-domination problems over tree decompositions
在强指数时间假设（SETH）下，求解NP难问题的动态规划算法对树宽的指数依赖性是最优的。我们将这项工作扩展到$r$ -支配问题。在$r$ -支配集，人们希望找到一个顶点的最小子集$S$，使得$G$的每个顶点都在$S$中某个顶点的$r$跳数内.在连通$r$ -支配集中，还要求该集导出$G$的连通子图.给出了树宽$\mathrm{tw}$的$n$ -顶点图中$r$ -支配集的$O((2r+1)^{\mathrm{tw}} n)$时间算法和连通$r$ -支配集的$O((2r+2)^{\mathrm{tw}} n^{O(1)})$时间算法.我们表明，$r$和$\mathrm{tw}$的运行时间依赖性是最好的SETH下。这增加了先前的观察结果，即连接性约束需要分母中的“+1”。
2015-02-03 cs.DS
Anti-Factor is FPT Parameterized by Treewidth and List Size (but Counting is Hard)
在一般的反因子问题中，给定一个图$G$，它的每个顶点$v$都有一个禁止度集$X_v\subseteq \mathbb{N}$，任务是找到一个边集$S$，使得$S$中的$v$的度不在集$X_v$中.标准技术（动态编程+快速卷积）可以用来表明，如果$M$是最大的禁止度，那么如果给出宽度$k$的树分解，则可以在时间$(M+2)^k\cdot n^{O(1)}$中解决问题。然而，如果集合$X_v$是稀疏的，则可能有更快的算法：我们的主要算法结果表明，如果每个顶点最多有$x$禁止度（我们称这种特殊情况为AntiFactor $_x$），则问题可以在时间上解决$(x+1)^{O(k)}\cdot n^{O(1)}$。也就是说，反因子$_x$是由树宽$k$和排除度的最大数目$x$参数化的固定参数易处理的。我们的算法使用的技术代表集，可以推广到优化版本，但（如预期的那样）不计数版本的问题。事实上，我们证明了#AntiFactor $_1$已经是#W[1]-hard参数化的给定分解的宽度。此外，我们表明，与决策版本，标准的动态规划算法基本上是最佳的计数版本。形式上，对于一个固定的非空集$X$，我们用$X$ -AntiFactor表示特殊情况，其中每个顶点$v$具有相同的禁止度集$X_v=X$。对于每个固定集合$X$，我们给出了以下下界：如果存在一个$ε>0$，使得# $X$ -AntiFactor可…
2023-02-07 cs.CC cs.DS
Exploiting Database Management Systems and Treewidth for Counting
UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；TU Wien（维也纳工业大学）
本文提出利用数据库管理系统（PostgreSQL）在树分解上实现动态规划，以高效求解小树宽实例的计数问题（如#SAT），首次将DBMS用于树分解算法，并利用其处理大表、并行化和挂起计算的优势。
2021-02-03 cs.AI cs.DS math.LO
Weighted proper orientations of trees and graphs of bounded treewidth
给定一个简单的图$G$，一个权函数$w:E(G)\rightarrow \mathbb{N} \setminus \{0\}$，和一个$G$的方向$D$，我们定义$μ^-(D) = \max_{v \in V(G)} w_D^-(v)$，其中$w^-_D(v) = \sum_{u\in N_D^{-}(v)}w(uv)$。当$u$和$v$相邻时，如果$w^-_D(u) \neq w^-_D(v)$是$G$的加权真方位，我们称$D$是$G$的加权真方位.我们引入参数加权适当的取向数$G$，表示为$\overrightarrowχ(G,w)$，这是最小的，在所有加权适当的取向$G$ $D$，$μ^-(D)$。当所有的权重都等于1时，这个参数等于$G$的真方向数，这是最近研究的对象，其确定一般是NP困难的，但在树上是多项式时间可解的。这里，我们证明了加权适当定向数（即，$\overrightarrowχ(G,w) \leq k$？）是（弱）NP-完全的树，但可以解决的伪多项式时间算法的运行时间依赖于$k$。此外，我们提出了一个动态规划算法，以确定是否一个一般图$G$上$n$顶点和树宽最多${\sf tw}$满足$\overrightarrowχ(G,w) \leq k$，运行在时间$O(2^{{\sf tw}^2}\cdot k^{3{\sf tw}}\cdot {\sf tw} \cd…
2018-04-11 cs.CC cs.DS
Polynomial-time algorithms for PATH COVER and PATH PARTITION on trees and graphs of bounded treewidth
Dept. of Mathematics, University of West Bohemia in Pilsen（西波希米亚大学数学系）；University of Augsburg（奥格斯堡大学）
本文针对研究较少的 PATH COVER 问题，提出树上线性时间算法及有界树宽图上的 XP 动态规划算法，并给出 PATH PARTITION 的 FPT 算法，结果可推广到诱导路径和边不相交变体。
2025-11-10 cs.DM cs.DS
Parameterized Complexity of Isometric Path Cover: Treewidth and Diameter
School of Computer Science, University of Leeds（利兹大学计算机学院）；Aix-Marseille Université, CNRS, LIS（艾克斯-马赛大学、法国国家科学研究中心、信息系统实验室）；Université Clermont Auvergne, CNRS, Mines Saint-Étienne, Clermont Auvergne INP, LIMOS（克莱蒙奥弗涅大学、法国国家科学研究中心、圣艾蒂安国立高等矿业学校、克莱蒙奥弗涅理工学院、逻辑与信息模型实验室）；LIRMM, Université de Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学、法国国家科学研究中心、计算机科学与微电子技术实验室）；Indian Institute of Science Education and Research Pune（印度科学教育与研究学院普纳分校）
本文研究等距路径覆盖问题的参数化复杂性，证明其在树宽≤287的图上为NP难，在树宽与直径组合参数下存在XP算法，在直径7的图上对路径宽为W[1]难。
2026-10-16 cs.CC cs.DS
Solving weighted and counting variants of connectivity problems parameterized by treewidth deterministically in single exponential time
众所周知，对于图G=（V，E），给定树分解宽度为tw，许多局部图问题，如顶点覆盖和支配集，都可以在2^{O（tw）} |V| ^{O（1）}时间内得到解决.然而，对于非局部问题，比如连通性问题的基本类，很长一段时间我们不知道如何比tw^{O（tw）} |V| ^{O（1）}更快地完成这一过程。最近，Cygan等人（FOCS 2011）提出了一种用于在时间$c^{tw} |V| ^{O（1）}中运行的各种连通性问题的Monte Carlo算法，其中c是一个小常数，例如，哈密尔顿圈和斯坦纳树。当然，这就提出了一个问题，随机化是否是实现这个运行时所必需的;此外，还需要解决计数和加权版本（后者不会在权重方面产生伪多项式成本）。我们提出了两个新的方法植根于线性代数，矩阵秩和行列式的基础上，提供确定性c^{tw} |V| ^{O（1）}时间算法，也为加权和计数版本。例如，在这段时间里，我们可以解决旅行推销员问题或计算哈密尔顿圈的数量。基于秩的思想提供了一个相当普遍的方法，通过确定“小”集的代表性部分解决方案，以加快甚至直接的动态规划配方，我们专注于通过分区集表示连接的情况下，但基本的想法应该有进一步的应用。基于行列式的方法使用矩阵树定理推导出封闭的公式计算版本的连通性问题，我们展示了如何通过动态规划来评估这些公式。
2012-11-07 cs.CC cs.DM cs.DS
Efficient Implementation of Color Coding Algorithm for Subgraph Isomorphism Problem
考虑子图同构问题，其中给定两个图G（源图）和F（模式图），一个是判定G是否有一个（不一定是导出的）子图同构于F。虽然已经为该问题开发了许多实用的启发式算法，但正如McCreesh等人所指出的那样。[JAIR 2018]，对于每一种算法，都有相当小的实例无法处理。因此，开发一种可能应对这些困难情况的替代方法将是有意义的。Alon、Yuster和Zwick的开创性论文[J.ACM 1995]介绍了解决该问题的颜色编码方法，其中主要部分是颜色子集和部分映射上的动态规划。与许多指数时间动态规划算法一样，内存需求构成了其使用的主要限制因素。因为这些要求随着图案图的树宽呈指数增长，所以基于颜色编码原理的所有现有实现将它们自身限制于特定图案图，例如，道路或树木。相比之下，我们提供了一个有效的实现算法显着降低其内存需求，使其可以用于模式图的更大的树宽。此外，我们的实现不仅决定了同构子图的存在，但它也列举了所有这样的子图（或给定数量的）。我们提供了一个广泛的实验比较，我们的实现其他可用的解决方案的问题。
2019-08-29 cs.DS
An improved algorithm for the vertex cover $P_3$ problem on graphs of bounded treewidth
针对有界树宽图上的顶点覆盖P_3问题，提出改进的动态规划算法，将时间复杂度从4^p·n^{O(1)}降至3^p·n^{O(1)}，并利用Cut&Count技术给出连通变体的随机算法。
2019-10-24 cs.DS math.CO
Subexponential parameterized algorithms for graphs of polynomial growth
我们表明，对于一些参数化的问题，只有$2^{O(k)} n^{O(1)}$时间算法是已知的一般图形，次指数参数化算法与运行时间$2^{O(k^{1-\frac{1}{1+δ}} \log^2 k)} n^{O(1)}$是可能的多项式增长与增长率（度）$δ$的图形，也就是说，如果我们假设每个球的半径$r$只包含$O(r^δ)$顶点。这些算法使用Fomin等人为平面图引入的低树宽模式覆盖技术。[FOCS 2016];在这里，我们展示了如何使这种策略适用于多项式增长的图。形式上，我们证明了，给定一个图$G$的多项式增长与增长率$δ$和整数$k$，可以在随机多项式时间找到一个子集$A \subseteq V(G)$，一方面$G[A]$的树宽是$O(k^{1-\frac{1}{1+δ}} \log k)$，另一方面对于每一个集$X \subseteq V(G)$的大小最多$k$，概率$X \subseteq A$是$2^{-O(k^{1-\frac{1}{1+δ}} \log^2 k)}$。再加上标准的动态规划技术的图形有界树宽，这一声明给出了次指数参数化算法的一些子图搜索问题，如长路径或斯坦纳树，在图形的多项式增长。我们补充的算法与几乎紧的下限为长路径：除非指数时间假设失败，没有参数化算法的运行时间$2^{k^{1-\frac{1}δ-\varepsilon}}n^{O(1)}$是可能的任…
2016-10-25 cs.DS
Hitting minors on bounded treewidth graphs. IV. An optimal algorithm
对于图${\cal F}$的固定有限集合，${\cal F}$ -M-DELETION问题要求，给定$n$ -顶点输入图$G,$，求与${\cal F}$中的图的$G$中的所有次模型相交的顶点的最小数目。对于依赖于${\cal F}$的某些函数$f_{\cal F}$，通过Courcelle定理，这个问题可以在时间$f_{\cal F}(tw)\cdot n^{O(1)},$中求解，其中$tw$是$G$的树宽。在最近的一系列文章中，我们已经开始了渐近优化函数$f_{\cal F}$的程序。在这里，我们提供了一个算法，显示$f_{\cal F}(tw) = 2^{O(tw\cdot \log tw)}$为每个集合${\cal F}$。在这项工作之前，最著名的函数$f_{\cal F}$是$tw$中的双指数函数。特别是，我们的算法极大地扩展了Jansen等人的结果。[SODA 2014]对于特定情况${\cal F}=\{K_5,K_{3,3}\}$和Kociumaka和Pilipczuk [Komica 2019]对于有界亏格的图，并回答了Cygan等人提出的一个开放问题。[Inf Comput 2017]。我们结合了几个成分，如机械的boundaried图在动态规划通过代表，平壁定理，二维性，无关顶点技术，树宽调制器，和突出更换。结合我们之前的结果，为特定集合${\cal F}$ …
2021-03-11 cs.CC cs.DS math.CO
Algorithmic Meta-Theorems for Graphs of Bounded Vertex Cover
可能最著名的算法元定理是Courcelle定理，它指出对于有界树宽的图，所有MSO-可表达的图属性都是线性时间可判定的。不幸的是，运行时间的依赖MSO公式描述的问题一般是一个塔的指数的无界高度，并存在下界证明，这不能得到改善，即使我们限制自己决定FO逻辑树。在本文中，我们试图绕过这些下界集中在一个子类的有界树宽图，有界顶点覆盖的图形。通过使用一种不同于树宽的标准分解和动态规划技术，我们证明了在这种情况下，Courcelle定理所隐含的运行时间可以得到显著的改善，对于MSO和FO逻辑，分别从非初等到双指数和单指数。我们的技术依赖于一个新的图形宽度的措施，我们介绍，我们展示了一些额外的结果，可能表明它是独立的利益。我们还证明了下界的结果表明，我们的上限不能得到显着改善，在广泛认为的复杂性假设。我们的工作回答了Michael Fellows提出的一个开放性问题。
2009-11-04 cs.CC cs.DS
Integer Programming in Parameterized Complexity: Three Miniatures
最近，整数规划理论的强大结果导致了参数化复杂性的实质性进展。然而，我们的看法是，除了Lenstra的算法解决整数线性规划在固定的维度，仍然有很少的了解在参数化的复杂性社区的优势和局限性的可用工具。这是可以理解的：通常很难推断出精确的运行时，甚至FPT和XP算法之间的区别，有些知识只是不同社区中不成文的民间传说。我们希望采取措施纠正这种情况。为此，我们首先从参数化复杂性的角度提供了一个易于导航的整数规划算法快速参考指南。然后，我们展示了他们的应用在三个案例研究，获得FPT算法与运行时$f(k)poly(n)$。我们专注于：* 建模：由于算法结果是在将现有算法应用于新模型之后得到的，因此我们将重点从复杂性结果转移到建模结果，突出显示所使用的常见模式和技巧。* 优化程序：在给出FPT算法后，我们有兴趣减少对参数的依赖;我们展示了哪些算法和技巧通常对加速有用。* 注意poly（n）：减少$f(k)$通常会产生增加poly（n）的意外后果;因此我们强调常见的权衡并展示如何获得两全其美。具体来说，我们认为有界邻域多样性的图形，在某种意义上是最简单的稠密图，我们展示了几个FPT算法的容量限制支配集，和着色，和最大q-切建模为凸计划在固定的维度，n倍整数规划，有界对偶树宽计划，和不定二次规划在固定的维度。
2018-10-25 cs.DS
Efficient Algorithms for Interdicting Facilities in Trees and Bounded Treewidth Graphs
University of Southern California（南加州大学）；University of Utah（犹他大学）；Northwestern University（西北大学）
针对树图上的r边阻断覆盖问题（REIC），提出O(nr^2)时间复杂度的动态规划算法，并扩展到有界树宽图，同时证明r设施阻断覆盖问题（RFIC）是NP完全的，并给出树图上的O(nr^2)算法。
2026-05-27 cs.DM cs.DS
A polynomial delay algorithm generating all potential maximal cliques in triconnected planar graphs
Maastricht University（马斯特里赫特大学）；Hokkaido University（北海道大学）；Meiji University（明治大学）
本文提出三连通平面图潜在极大团的新刻画，据此设计了多项式延迟生成算法，并结合动态规划导出了运行时间与潜在极大团数量呈线性、与顶点数呈多项式的一般平面图树宽算法。
2025-10-12 cs.DS
A Nearly-Linear Time Algorithm for Linear Programs with Small Treewidth: A Multiscale Representation of Robust Central Path
针对小树宽线性规划问题，本文结合内点法、sketching及多尺度基下的解表示，提出近线性时间算法，证明了Fom等人的猜想，运行时间几乎匹配求解子问题的最快速度。
2023-09-13 cs.DS math.OC
Dynamic Programming Approach to the Generalized Minimum Manhattan Network Problem
研究了广义最小曼哈顿网络（GMMN）问题：给定欧氏平面上两点对的集合$P$ $\mathbb{R}^2$，我们需要为$P$中的每一对找到一个由轴对齐的线段组成的最小长度几何网络，该网络包含一条在$L_1$度量中的最短路径（所谓曼哈顿路径）.该问题通常推广了几个NP难网络设计问题，允许常数因子近似算法，如直线Steiner树形图（RSA）问题，它是开放的GMMN问题是否也是如此。作为自下而上的探索，Schnizler（2015）关注$P$中由对定义的矩形的相交图，并针对GMMN问题给出了一个多项式时间动态规划算法，该算法的输入受到限制，使得其相交图的树宽和最大度都受常数限制。本文首次提出了一种多项式时间算法，并基于改进的动态规划方法将其推广到一般树的情形，以消除树的度界。
2020-04-27 cs.DS math.CO
Low-stretch spanning trees of graphs with bounded width
我们研究了有界宽度图中的低拉伸生成树问题：带宽、割宽和树宽。我们表明，任何简单的连接图$G$的线性排列的带宽$b$可以嵌入到一个分布$\mathcal T$的生成树，使预期的拉伸$G$的每个边缘是$O(b^2)$。我们的证明意味着从$\mathcal T$采样的线性时间算法。因此，我们有一个线性时间算法，找到一个生成树的$G$与平均拉伸$O(b^2)$具有高概率。我们还描述了一个确定性的线性时间算法计算生成树的$G$平均拉伸$O(b^3)$。对于割宽为$c$的图，我们构造了一个在线性时间内具有伸展$O(c^2)$的生成树.最后，当$G$有树宽$k$，我们提供了一个动态规划算法计算的最小伸展生成树的$G$，运行在多项式时间的顶点数的$G$。
2020-04-17 cs.DM cs.DS
Lower bounds on pure dynamic programming for connectivity problems on graphs of bounded path-width
University of Warsaw（华沙大学）；Utrecht University（乌得勒支大学）
研究图路径宽度下连通性问题纯动态规划算法的下界，证明代数方面对竞争性最坏运行时间的必要性。
2025-12-29 cs.CC cs.DS
Clique-Width and Directed Width Measures for Answer-Set Programming
TU Wien（维也纳工业大学）
析取答案集编程（ASP）是一种功能强大的声明式编程范式，其主要决策问题位于多项式层次结构的第二层。识别易处理的片段和开发有效的算法，这样的片段，因此，重要的目标，以补充先进的ASP系统可用。如果某个问题的参数被固定的常数限制，那么困难的问题可以变得易处理;这样的问题被称为固定参数易处理（FPT）。虽然有几个FPT的ASP结果存在，参数，涉及到有向图或签署的代表手头的程序已经被忽略了。在本文中，我们首先给出了一些负面的意见表明，有向宽度措施的依赖图的程序不会导致FPT的结果。在此基础上，考虑图的符号宽度参数，提出了一种新的动态规划算法FPT w.r.t.这个参数。cnum-width比著名的treewide更一般，而且，据我们所知，我们是第一个FPT算法的有界cnum-width超越SAT推理问题。
2016-12-30 cs.AI cs.CC cs.DS
Fine-grained complexity of the graph homomorphism problem for bounded-treewidth graphs
对于图$G$和$H$，从$G$到$H$的\emph{homomorphism}是从$G$的顶点集到$H$的顶点集的保边映射。对于一个固定的图$H$，我们用\textsc{Hom($H$)}表示一个计算问题，该问题询问给定的图$G$是否允许一个同态到$H$。如果$H$是一个具有$k$顶点的完全图，则\textsc{Hom($H$)}等价于$k$ - \textsc{Coloring}问题，因此图同态可以看作是着色的推广。众所周知，如果$H$是二分的或有一个带环的顶点，则\textsc{Hom($H$)}是多项式时间可解的，否则是NP-完全的[Hell和Nešethabil，JCTB 1990]。在本文中，我们感兴趣的问题的复杂性，参数化的树宽度的输入图$G$。如果$G$具有$n$顶点并且连同其宽度$\mathrm{tw}(G)$的树分解一起给出，则可以使用直接的动态规划在时间$|V(H)|^{\mathrm{tw}(G)} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$上求解该问题。我们探讨是否可以提高这个界限。我们表明，如果$H$是一个\emph{projective core}，那么存在这样一个更快的算法是不可能的：假设强指数时间假设（SETH），\textsc{Hom($H$)}问题不能解决的时间$(|V(H)|-ε)^{\mathrm{tw}(G)} \cdot n^{\…
2020-02-18 cs.CC cs.DM cs.DS
Counting Patterns in Degenerate Graphs in Constant Space
IIT Gandhinagar（印度理工学院 gandhinagar）；Université Libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）
本文引入DAG树深度参数，在常数空间内高效计数退化宿主图中的同态、子图同构和诱导子图同构，并给出模式图的诱导子图刻画。
2026-07-01 cs.DS
ETH Tight Algorithms for Geometric Intersection Graphs: Now in Polynomial Space
De Berg等人在[SICOMP 2020]中给出了一个算法框架，用于几何图上的次指数算法，具有紧（高达ETH）运行时间。该框架基于加权树宽图上的动态规划，从而产生使用超多项式空间的算法。我们引入了加权树深度的概念，并使用它来改进de Berg等人的框架。在几何图上获得多项式空间（运行时间紧）。因此，我们证明了，对于任何固定的尺寸$d \ge 2$上的相交图的类似大小的脂肪对象的许多著名的图形问题，包括独立集，$r$ -支配集恒定$r$，循环覆盖，哈密尔顿循环，哈密尔顿路径，斯坦纳树，连通顶点覆盖，反馈顶点集，和（连接）奇循环translation是可解的时间$2^{O(n^{1-1/d})}$和多项式空间内。
2021-07-14 cs.DS
Fast Dynamic Programming on Graph Decompositions
在本文中，我们考虑树分解，分支分解和团分解。我们提高了运行时间的动态规划算法对这些图分解为大量的问题作为一个函数的树宽，branchwidth，或campus宽度，分别。在宽度$k$的树分解上，我们将支配集的运算时间改进为$O(3^k)$ .我们将这个结果推广到具有有限或上有限$ρ$和$σ$的$[ρ,σ]$ -控制问题。对于这些问题，我们给出$O(s^k)$ -时间算法，其中$s$是一个顶点的“状态”的数量可以在一个标准的动态规划算法这样的问题。此外，我们给出了一个$O(2^k)$ -时间算法计算完美匹配的数量在一个图中，并推广到$O(2^k)$ -时间算法的许多集团覆盖，包装和分区问题。在宽度$k$的分支分解上，我们给出了支配集的$O(3^{\fracω{2}k})$ -时间算法，完美匹配数的$O(2^{\fracω{2}k})$ -时间算法，以及$s$状态为有限或余有限的$ρ$和$σ$的$[ρ,σ]$ -支配问题的$O(s^{\fracω{2}k})$ -时间算法.最后，在宽度$k$的团分解上，给出了控制集、独立控制集和全控制集的$O(4^k)$ -时间算法。本文中使用的主要技术是快速子集卷积的推广，由Björklund等人介绍，现在应用于图分解的设置中，并且被增强，使得可以使用多个状态和多个等级。最近，Lokshtanov等人证明了本文中得到的一些算法的运行时间，其中指数的基…
2018-06-05 cs.DS
Saving Space by Dynamic Algebraization Based on Tree Decomposition: Minimum Dominating Set
提出了一种基于树分解的动态规划的多项式空间精确求解最小支配集问题的算法。基于树分解的动态规划的直接应用将导致指数空间算法，但是我们使用zeta变换来获得多项式空间算法，以换取适度的时间增加。该框架由Lokshtanov和Nederlof 2010开创，并由Fürer和Yu 2017适应动态环境。我们的空间效率算法是一个参数化的算法的基础上，树的深度和树的宽度。最小支配集的朴素算法在$\mathcal{O}^*(2^n)$时间内运行。以前的大部分工作都集中在时间复杂度上。但是空间优化是算法设计的一个关键方面，因为在一些情况下，空间是比时间更有价值的资源。我们的参数化算法运行在$\mathcal{O}^*(3^{d})$中，其空间复杂度为$\mathcal{O}(nk)$，其中$d$是给定树分解的深度，$k$是给定树分解的宽度。我们观察到Reed在1992年提出的构造图的树分解的算法只使用多项式空间。因此，即使不给出树分解，我们仍然得到一个有效的多项式空间算法。有一些其他的算法，使用多项式空间的这个问题，但他们是不是有效的小树深度的图。
2017-11-28 cs.DS
