Wavelength selection beyond Turing
由于内部过程而自发产生的空间格局在自然界中普遍存在，从旱地植被的规则格局到细菌菌落的复杂结构。这些模式中的许多可以在图灵不稳定性的背景下解释，其中模式的出现是由于两个局部相互作用的组件在介质中以不同的速度扩散。图灵模式是多稳态的，使得具有不同波长的许多不同模式对于同一组参数是可能的，但是在给定区域中通常只有一个这样的波长是主导的。在图灵不稳定性区域，随机初始条件将主要导致与线性稳定性分析产生的主导特征向量的波长相似的波长，但是当冒险超出时，对将出现的图案知之甚少。以旱地植被为例，我们使用不同的旱地生态系统模型来研究在图灵不稳定性区域以外的各种情况下选择的波长模式，重点是局部状态和反复局部扰动的现象。
2017-02-28 nlin.PS
Turing patterns on a two-component isotropic growing system. Part 1: Homogeneous state and stability of perturbations in absence of diffusion
本研究针对生长域反应-扩散系统的稀释效应，提出适用于慢生长的均匀态线性解，推导无扩散下的图灵稳定性条件，并用Brusselator与BVAM反应模拟验证，揭示生长域模式形成的更丰富机制。
2023-08-23 nlin.PS
Front and Turing patterns induced by Mexican-hat-like nonlocal feedback
我们考虑墨西哥帽形非局部空间耦合的影响，即，对称长程抑制叠加短程激发，在前传播的一个模型中的一个扩散反应扩散系统。我们表明，前传播的速度可以控制到一定的耦合强度超过空间周期性的图案，如图灵图案或空间均匀的解决方案和图灵图案的共存，可能会引起。这种行为是通过线性稳定性分析的空间均匀的稳定状态和数值研究的完整的非线性方程依赖于非局部耦合强度和兴奋性和抑制性耦合范围的比率。
2015-02-11 nlin.PS
Turing Patterns in a Morphogenetic Model with Single Regulatory Function
本文研究合成Nodal-Lefty反应-扩散系统中图灵斑图的涌现机制，通过线性稳定性分析和弱非线性分析推导振幅方程，揭示亚临界图灵失稳在耗散结构形成中的关键作用。
2025-09-19 nlin.PS
Unilateral regulation breaks regularity of Turing patterns
我们考虑一个反应扩散系统经历图灵不稳定性，并增加了一个额外的单边源项。我们研究了它对图灵不稳定性的影响以及对所得到的图形的性质的影响。非光滑正齐次单边项$τv^-$具有良好的性质，但不能进行标准的线性稳定性分析。我们说明了非光滑的重要性的数值算例研究，这表明，图灵不稳定性可以大大改变，如果我们用任意精确的光滑近似取代这项。然而，非光滑单边项及其所有近似产生定性相似的模式，虽然不一定是从空间均匀稳态的小扰动发展。此外，我们表明，单边源打破了近似的对称性和规则性的经典模式，并产生不对称和不规则的模式。此外，一个给定的系统与单边源产生的空间模式，甚至比相同的系统，没有任何单边项的比率接近1的扩散参数。
2017-08-23 nlin.PS
From One Pattern into Another: Analysis of Turing Patterns in Heterogeneous Domains via WKBJ
从均匀性形成斑图形成已得到充分研究，但对非均匀介质中的破裂不稳定性知之甚少。将由于固有的空间异质性而观察到的空间图案与由于非线性不稳定性而出现的图案分开是不平凡的。利用WKBJ渐近方法研究了空间非均匀反应扩散系统的图灵不稳定性，得到了经典图灵条件的局部形式的不稳定性条件。我们发现，不稳定模的结构与空间均匀条件下的典型三角函数有很大的不同。不同的增长率模式局限于不同的空间区域。这种局部化有助于解释在异构环境中图灵系统模拟中观察到的常见振幅调制。我们数值证明了这一理论，给出了一个说明性的例子，涌现的不稳定性和惊人的复杂性所产生的空间异质反应扩散系统。我们的研究结果提供了深入了解系统驱动的外源异质性，以及连续的模式形成过程，注意到生物学中的大多数情况下不涉及对称性破缺从同质性，而是由顺序演变的异质状态。这里报告的不稳定性机制准确地捕捉到了这种演变，并将图灵的原始论文扩展到更广泛和更现实的系统类别。
2019-12-07 nlin.PS
Turing Instability and Pattern Formation in an Activator-Inhibitor System with Nonlinear Diffusion
本文研究了Lengyel-Epstein系统中密度相关的非线性扩散对斑图形成的影响。通过线性稳定性分析，我们确定了图灵和霍普夫不稳定的边界，我们展示了如何非线性扩散加剧的趋势，斑图形成; %有利于斑图形成的机制相对于经典的线性扩散的情况下，特别是，与经典的线性扩散的情况下，即使当扩散的抑制剂是显着慢于激活剂的一个图灵不稳定性可以发生。在图灵模式区域中，我们进行WNL多尺度分析，以推导出超临界和亚临界情况下的稳态模式的振幅方程。此外，我们计算复杂的Ginzburg-Landau方程在附近的Hopf分岔点，因为它给出了一个缓慢的时空调制的相位和振幅的均匀振荡的解决方案。
2014-03-03 nlin.PS
Effects of cross-diffusion on Turing patterns in a reaction-diffusion Schnakenberg model
本文研究了Schnakenberg化学反应耦合线性交叉扩散项的二元反应扩散系统的图灵斑图形成机理。相对于标准线性扩散情况，线性交叉扩散项有利于恒定稳态的不稳定和斑图形成的机制，如Madzvamuse等人（J. Math.Biol.2014）所示。由于亚临界图灵分岔的反应扩散系统导致自发发病的强大的，有限振幅的本地化模式，这里的图灵图案形成区域的详细调查进行显示如何扩散系数的两个物种（激活剂和抑制剂）影响超临界或亚临界分岔的发生。弱非线性（WNL）多尺度分析推导出的图灵模式的振幅方程，并区分超临界和亚临界模式区域，在一维和二维域。数值模拟证实了WNL的理论预测，通过该理论预测得到了图案的分类（正方形，菱形，矩形和六边形）。特别是，由于亚临界分岔的滞后性质，我们观察到的现象，从轧辊到六边形的图案过渡，在协议的分岔图。
2015-01-20 nlin.PS
Origin of anisotropic diffusion in Turing Patterns
在本文中，我们数值研究图灵模式的Finsler几何（FG）建模技术的热波动三角形晶格，这是经常用于建模细胞膜或脂质膜，专注于起源的扩散各向异性。FG建模处方允许我们假设拉普拉斯算子描述的方向相关扩散。为了在FG建模中实现这种扩散各向异性，我们需要一个内部自由度（IDF），它取决于方向和位置，并由一些外力或刺激控制。对于这样一个方向相关的IDF，我们使用对应于晶格顶点的热波动的速度方向。我们发现，各向异性图灵模式出现的方向沿顶点波动。在模拟中，方向相关的扩散系数是不必要的输入，而是，IDF对齐的顶点波动的方向沿外部刺激实现的方向。我们的研究结果和技术提供了深入了解连接到图灵模式的扩散各向异性的起源。
2022-08-21 nlin.PS
Subcritical Turing bifurcation and the morphogenesis of localised patterns
本文研究反应–扩散系统中亚临界 Turing 分岔如何借同宿蛇行产生局域模式，并通过平衡源与损失效应揭示超临界向亚临界的转变及其稳健相变意义。
2025-06-09 nlin.PS
Self-similar Turing Patterns: An Anomalous diffusion consequence
在这项工作中，我们表明，在特定的异常扩散条件下，化学系统可以通过扩散驱动的不稳定性产生良好有序的自相似浓度模式。我们还发现了螺旋图案和图案的混合物的旋转对称性没有报道过。在这项工作中讨论的异常扩散的类型，无论是subdiffusion或superdiffusion，是一个结果的介质的异质性，并通过一个空间依赖的扩散系数与幂律函数形式建模。
2016-08-04 nlin.PS
Turing patterns in a network-reduced FitzHugh-Nagumo model
考虑在一般网络上将两分量FitzHugh-Nagumo模型简化为具有长程连接的单分量模型。简化模型描述了一个单一的化学物种在节点上反应，并扩散到一个多重图的链接与加权长程连接，自然出现的绝热消除，定义了一类新的网络{动力}系统与本地和非本地拉普拉斯矩阵。我们研究了原始模型和简化模型中均质态不稳定的条件，并表明在这两种模型中都可以出现图灵模式。
2019-09-12 nlin.PS
Forced patterns near a Turing-Hopf bifurcation
我们研究了图灵-霍普夫分岔点附近空间扩展模式的时间周期强迫。一个基于正则形式的分析产生了几个预测，包括（i）弱强迫附近的固有的霍普夫频率增强或抑制图灵振幅的量，规模平方与强迫强度，和（ii）最强的效果是从霍普夫频率失谐的强迫。为了将我们的结果应用到具体的模型中，我们对一般的两组分反应扩散系统进行了扰动分析，揭示了强迫是抑制还是增强了空间模式。对于抑制的情况，我们的结果解释了以前的CDIMA化学反应实验的特点。然而，我们也发现了增强的情况下，这还没有在实验中观察到的例子。数值模拟验证了预测的强迫参数的依赖性。
2009-07-02 nlin.PS
Synchronization Patterns in Geometrically Frustrated Turing Rings
耦合非线性振子可以表现出各种各样的模式。我们研究了自催化反应扩散模型中的自催化反应器。在强非线性的极限下工作提供了一个清晰的时间尺度分离，这导致了在单个整流器中的鸭式爆炸。在这种高度非线性的制度，它是数值计算发现，环的耦合meselators不遵循的预测，从车削分析。我们发现，该行为可以解释使用分段线性近似。
2015-04-06 nlin.PS
Turing and wave instabilities in hyperbolic reaction-diffusion systems: The role of second-order time derivatives and cross-diffusion terms on pattern formation
双曲型反应扩散方程近年来引起了人们的广泛关注，不仅因为它们在生物和化学现象中的应用，而且因为它们在传播速度和新颖的不稳定性方面的独特特性，而这些特性在经典的两种群反应扩散系统中是不存在的.我们探讨了这种系统的扩散不稳定性和由此产生的斑图形成的发病。从一个相当一般的配方的问题，我们得到的图灵和波不稳定性在这样的系统的必要和充分条件，从而分类这些扩散不稳定性发生的参数空间。我们发现，额外的时间条款不强烈修改图灵模式的形式或参数，承认他们，但只有他们的存在区域。这是在对比的情况下，额外的空间导数，在过去的工作表明，所得到的图案化的结构是敏感的二阶交叉扩散和一阶平流。我们还表明，额外的时间条款是必要的波不稳定性下的时空图案的出现。我们发现，这种波的不稳定性存在的参数是互斥的，这些参数导致固定的图灵模式。这意味着，波不稳定性可能发生的情况下，激活剂扩散速度比抑制剂，导致路线的空间对称性破缺的反应扩散系统，这是不同的研究图灵的情况。
2022-04-28 nlin.PS
Harmonic oscillator states as oscillating localized structures near Hopf-Turing instability boundary
本文研究了一组耦合的复Ginzburg-landau型振幅方程在Hopf-图灵不稳定性边界附近的局部振荡模式。这些图案的空间结构与量子力学谐振子定态相同，并且根据状态的阶数可以具有偶对称性或奇对称性。已经看到，潜在的图灵状态在选择这种解决方案的顺序中起着重要作用。
2005-02-10 nlin.PS
Bumps, chimera states, and Turing patterns in systems of coupled active rotators
该研究聚焦耦合主动转子系统中的凸起态等相干-非相干斑图，揭示其从完全相干图灵斑图经超临界分岔、准周期及混沌行为的演化路径，并用短程激活长程抑制范式解释斑图形成。
2021-10-25 nlin.PS
Drifting Pattern Domains in a Reaction-Diffusion System with Nonlocal Coupling
漂移模式域（DPD），移动本地补丁的行波嵌入在一个固定的（图灵）模式的背景，反之亦然，观察到在模拟的反应扩散模型与非局部耦合。在这个模型中，图灵模式和行波之间的双稳态区域来自余维2图灵波分叉（TWB）。在该区域内发现了距离TWB相当远的DPD。我们研究了图灵和波模式之间的单界面的动力学。据发现，DPD的存在是由于锁定的界面速度，这是由这些接口附近的时空缺陷的情况下施加。
2000-05-19 nlin.PS
On the speed of propagation in Turing patterns for reaction-diffusion systems
本研究分析图灵斑图形成中局部扰动引发的瞬态波，通过边缘稳定性准则与包络方程弱非线性分析估计波速，证明两种方法在分岔点附近给出相同波速，并用Schnakenberg和CDIMA动力学数值验证，强调由扩散和反应动力学决定的特征传播速度对实验比较和瞬态波分析的重要性。
2024-03-14 nlin.PS
Turing patterns on networks
图灵模式所形成的网络上的激活抑制剂系统被认为是。线性稳定性分析表明，当抑制剂扩散速度比激活剂快时，一般会发生图灵不稳定性。数值模拟，使用无标度随机网络上的捕食者-捕食者模型，表明最终的，渐近达到图灵模式可以在很大程度上不同于临界模式在不稳定的发病，和多稳定性和滞后通常观察。构造了网络上非线性图灵模式的近似平均场论。
2008-07-08 nlin.AO nlin.PS
Turing patterns resulting from a Sturm-Liouville problem
研究了反应扩散系统中扩散项对应于Sturm-Liouville问题的斑图形成.这些对应于扩散系数取决于空间变量$\nabla \cdot \left( \mathcal{D} ( {\mathbf x} ) \nabla {\mathbf u} \right)$的问题。我们发现图灵不稳定性的条件是相同的情况下，均匀扩散，但非线性分析必须推广到考虑一般的正交本征函数，而不是标准的傅立叶方法。特殊情况下$\mathcal{D} (x)= 1-x^2$，解决方案是勒让德多项式的线性组合，进行了详细研究。从发达国家的一般非线性分析，产生条纹和斑点的条件得到，这是数值验证使用Schaneknberg系统。与均匀扩散的情况不同，由于勒让德多项式的性质，产生了具有可变波长的条纹和斑点图案，并且当波长增加时，预测从条纹到斑点的变化。所获得的模式可以模拟生物系统中的条纹或斑点积累接近边界和这里开发的理论可以应用于研究图灵模式与其他本征函数相关的Sturm-Liouville问题。
2022-11-24 nlin.PS
Chaotic Turing Patterns displaying the beauty of chaos
图灵斑图形成问题在非线性科学以及物理、化学和生物学中引起了广泛的关注。到目前为止，所有的图灵模式都只在静止和振荡介质中观察到。在这封信中，我们首次发现，有序图灵模式存在于混沌扩展系统。混沌图灵模式的空间结构非常丰富和美丽。这些发现与混沌的伪随机性的直觉形成了鲜明的对比。混沌图灵模式的丰富性和美丽性归因于各种类型的部分混沌同步的自组织所实现的各种对称性。进行一些统计测量以确认和验证性地理解这些发现。
2005-04-08 nlin.CD nlin.PS
Controlling the transition between the Turing and antispiral patterns by using time-delayed-feedback
在FitzHugh-Nagumo模型中，利用时滞反馈策略研究了图灵斑图与反螺旋斑图之间的可控过渡.我们将时滞视为扰动，分析了时滞对Turing-Hopf余维两相空间附近的Turing和Hopf不稳定性的影响。数值模拟显示了通过应用适当的反馈参数，图灵模式（六边形、条纹和蜂窝）、双模反螺旋和反螺旋之间的过渡。双模反螺旋花样起源于图灵不稳定性和霍普夫不稳定性之间的竞争。我们的结果显示了时间延迟在控制Turing-Hopf余维二相空间附近的斑图形成方面的灵活性。
2011-08-02 cond-mat.stat-mech nlin.PS
Formation and Persistence of Spatiotemporal Turing Patterns
这篇文章关注的是无结构状态下结构的稳定性和长时间动力学。发育生物学认为形态发生是化学反应和空间扩散之间竞争的结果。一个系统的两个反应扩散方程的浓度的两个形态发生剂减少到一个有限的常微分方程组。分析了该系统分支解的稳定性，严格地建立了分支解的长时间渐近性态。Schnakenberg和Gierer-Meinhardt方程作为例子进行了讨论。
2007-06-15 nlin.PS
Turing instability and pattern formation on directed networks
网络上的斑图形成，由自治反应扩散方程系统引起，已经成为科学文献中的一个常见研究课题。在这项工作中，我们主要关注有向网络。虽然之前已经做了一些工作来理解模式是如何在有向网络上出现的，但这些工作将他们的注意力限制在拉普拉斯矩阵（对应于网络）可对角化的网络上。在这里，我们解决的问题“如何检测斑图形成，如果拉普拉斯矩阵是不可对角化的？“为此，我们发现，这是有用的，也解决了相关的斑图形成所产生的系统的反应扩散方程与非本地（全球）反应动力学的问题。然后，这些结果被推广到包括非自治系统以及时间网络，即，允许拓扑结构随时间变化的网络。
2022-05-22 nlin.PS
Numerical study of anisotropic diffusion in Turing patterns based on Finsler geometry modeling
我们数值研究的各向异性图灵图案（TP）的激活剂-抑制剂系统，专注于各向异性扩散使用Finsler几何（FG）建模技术。在FG建模处方中，由于内部自由度（IDOF）及其在热波动存在下与活化剂和抑制剂的相互作用，扩散系数动态生成为方向相关。在这个意义上，FG建模与标准数值技术形成鲜明对比，其中在图灵的反应扩散（RD）方程中假设方向相关的扩散系数。为了找到RD方程的解决方案，我们使用的混合数值技术的大都市蒙特卡洛方法IDOF更新和离散RD方程的稳态配置的激活剂-抑制剂变量的组合。我们发现，新引入的IDOF和它的相互作用是一个可能的起源自发涌现的各向异性模式的生物体，如斑马和鱼类。此外，如果IDOF与细胞上的脂质或细胞移动性一起鉴定，则IDOF使TP可由外部条件控制。
2023-03-30 nlin.PS
Comb-like Turing patterns embedded in Hopf oscillations: Spatially localized states outside the 2:1 frequency locked region
利用2：1频率锁定振荡系统，证明了在振荡背景中产生空间局域态的一种普遍的独特机制。局部化是图灵型的，并出现在两个空间维度作为一个梳状状态的$π$相移霍普夫振荡或内部的螺旋核心。具体来说，局域化状态出现在没有众所周知的触发器动力学（与崩溃的同宿蛇形），这是已知的出现在附近的一个空间维度的霍普夫-图灵分叉。推导和分析的三个霍普夫图灵振幅方程在两个空间维度揭示了一个本地动力学钉扎机制的霍普夫前线，这反过来又允许出现垂直（霍普夫前线）图灵状态。结果表明，同意与梳状芯的大小，形成内螺旋波。在2：1共振的情况下，这些局域态在2：1共振区域之外形成，从而扩展了空间扩展介质的频率锁定域，例如周期性驱动的Belousov-Zhabotinsky化学反应。亚氯酸碘丙二酸和动摇颗粒介质的影响也得到解决。
2017-04-06 nlin.PS
Hyperbolic Chaos of Turing Patterns
我们考虑在一个扩展系统的图灵模式的时间演化的Swift-Hohenberg型方程，由于外部的周期性参数调制的长波和短波模式的长度尺度为1：3的相关相继出现。我们从理论上和数值上证明了空间相位的模式，被观察到频闪，是由一个不断扩大的圆地图，使相应的混乱的图灵模式是双曲线，与一个奇异吸引子的Smale-Williams螺线管型。这种混沌相对于参数和边界条件的变化是鲁棒的。
2012-05-10 nlin.CD nlin.PS
Competition Induced Spontaneous Resonant Annihilation of Turing Pattern
在Gray-Scott反应扩散模型中引入一个额外的反应物，在图灵斑图形成过程中，不同化学物种之间的动态竞争会导致不同物种斑图之间的物种领地入侵现象.通过数值模拟，我们发现在竞争条件下，二维斑图的各自质量会发生一种特殊的振荡变化。入侵的图灵斑图可以从稳定的衰落模式转变为自发的共振振荡模式，即萤火虫发光模式，该模式在最近的相邻斑之间同步发生，直到最大的斑最终消失。这种湮灭的共振振荡行为可以继续，但以更混乱的方式，通过另一个图案的入侵，朝向图案的最终死亡。谐振频率是入侵模式的固有特性，取决于其控制参数。
2017-09-21 nlin.PS physics.comp-ph
Dynamical failure of Turing patterns
在半干旱气候区植被格局的背景下，研究了空间均匀基底上反应系统中稳定无序格局的出现。结果表明，反应扩散系统，允许图灵不稳定性可能会表现出异质“玻璃”稳态，没有特征波长，如果与“慢”反应物的扩散速率是非常小的。在降低扩散常数的缓慢反应物的三个阶段被确定：强扩散产生一个稳定的均匀相，中间扩散意味着图灵（类晶体）图案，而在缓慢扩散限制的玻璃态是通用的稳定的解决方案。在这个无序阶段的动力学是至关重要的，与强烈的差异之间的本地和全球的启动。
2006-05-21 cond-mat.soft nlin.PS
Turing Patterns with Turing Machines: Emergence and Low-level Structure Formation
尽管先进的反应扩散模型的常微分方程在他1952年的论文形态，反映了他的兴趣，数学生物学，艾伦图灵从来没有被认为是接近定义的细胞自动机。然而，他的治疗形态，特别是一个困难，他确定有关的不均匀分布的某些形式的结果对称性破缺，是关键连接他的理论与他的普遍计算理论的生物模式形成。建立这样的联系并不能克服图灵所关注的特殊困难，而这个困难在生物学中已经得到了解决。但这里开发的方法抓住了图灵最初的关注点，并通过算法概率的概念为更一般的问题提供了一个低层次的解决方案，从而连接了他对科学的两个最重要的贡献：图灵模式形成和通用计算。我将提供使用这种方法的一维模式的实验结果，不失一般性的n维模式概括。
2012-10-04 cs.CC nlin.CG nlin.PS
Scaling in dynamical Turing pattern formation: density of defects frozen into permanent patterns
我们估计密度的缺陷冻结成一个生物图灵模式，这是在一个有限的速度打开。单个细胞中基因表达的自锁使图灵转换不连续，使模式及其缺陷稳定。通过基因的空间不均匀激活可以获得无缺陷的模式。
2000-02-28 cond-mat nlin.PS physics.bio-ph
Hopf-Turing mixed mode and pattern selection in reaction diffusion systems
在Turing模和Hopf模存在的边界附近，导出了Gierer-Mainhardt模型的振幅方程。在Hopf-Turing混合模解稳定的参数区域内，观察到混合模间相互作用的混沌态。该混沌区域遵循强烈的空间周期顺序选择，然后是局部的、共振的、非常大的频率的时间振荡。一个时空强迫，负责观察到的，已被确定。
2001-11-27 nlin.CD nlin.PS
Single-morphogen Turing instability driven by nonlinear intracellular-extracellular coupling
Universidad Autónoma de San Luis Potosí（圣路易斯波托西自治大学）；Universidad Autónoma de la Ciudad de México（墨西哥城自治大学）
本文证明将单一分子种类区分为细胞内和细胞外场，并通过膜转运或非线性基础产生速率耦合，可产生扩散驱动（图灵）不稳定性，并推导了相应条件，通过数值模拟展示了空间模式。
2026-06-23 nlin.PS
Turing patterns and solitary structures under global control
使用具有立方非线性和全局控制的三变量多尺度模型构建了条纹图灵图案以及孤立带和盘结构。利用短程分量交替状态间曲线边界的运动方程，分析了规则结构的存在性和稳定性条件。随着全局控制水平的变化，条纹图案和斑点图案之间的过渡的组合图像与Middya和Luss的计算机实验结果定性地一致
1996-08-20 nlin.PS patt-sol
Labyrinthine Turing Pattern Formation in the Cerebral Cortex
我认为哺乳动物大脑皮质的这种“图灵”模式可能是由相互作用的轴突导向物种的图灵不稳定性与相互连接的轴突施加的机械应变共同作用而形成的。
2002-11-04 nlin.PS physics.bio-ph q-bio
Degenerate Turing bifurcation and the birth of localised patterns in activator-inhibitor systems
University of Bristol（布里斯托大学）
本文通过两种参数标度下的规范形计算，证明了激活-抑制系统中图灵分岔的亚临界与超临界性质，并揭示余维二退化分岔及局域斑图的诞生机制。
2026-09-25 nlin.PS
Dispersal-induced destabilization of metapopulations and oscillatory Turing patterns in ecological networks
正如艾伦·图灵在1952年提出的，扩散效应可能会破坏反应化学物质的均匀分布，导致空间和时间上的不均匀图案，这是一种普遍存在的非平衡斑图形成机制。虽然稳态图灵模式是众所周知的，振荡不稳定性，导致连续介质中的行波，也称为波分叉，是罕见的化学系统。在这里，我们将图灵的分析扩展到一般的网络，并将其应用于生境之间具有扩散连接的生物物种的生态集合种群。值得注意的是，振荡的图灵不稳定性并不会导致网络中的波型，而是导致异质振荡的自发发展和某些物种的可能灭绝，即使它们不存在于孤立的种群中。此外，我们的理论分析表明，这种不稳定性是更常见的生态集合种群比化学反应。事实上，我们发现所有可能的食物网与三个捕食者或猎物物种的不稳定性，在不同的假设下，个别物种的流动性和非线性相互作用。因此，我们认为，振荡的图灵不稳定性是通用的，必须在集合种群动力学中发挥重要作用，提供了一个共同的机制，扩散引起的生态系统不稳定。
2013-10-24 nlin.PS q-bio.PE
Physical interactions promote Turing patterns
该研究通过考虑反应-扩散系统中物种间的直接物理相互作用，发现弱排斥可降低图灵斑图形成的条件，强相互作用诱导相分离，从而统一了传统图灵斑图与化学活性相分离理论。
2023-04-14 nlin.PS physics.bio-ph
Turing conditions for pattern forming systems on evolving manifolds
在生长或其他时间依赖域上的反应扩散系统中的模式形成不稳定性的研究出现在各种环境中，包括发育生物学、空间生态学和实验化学中的应用。分析这种不稳定性是复杂的，因为任何空间均匀的基态对时间有很强的依赖性，并且用于确定不稳定性开始的线性化扰动的所得结构本质上是非自治的。我们得到了扩散驱动的不稳定性的发病和结构的反应扩散系统在时间上发展的区域，在Laplace-Beltrami谱的时间演化的域和功能，指定的域的演化方面的一般条件。我们的研究结果给出了扩散不稳定性的充分条件措辞的微分不等式，这是通用的和简单的实施，尽管研究的问题的一般性。这些条件推广了大量的文献中已知的结果，如代数不等式通常用作静态域上的图灵不稳定性的充分判据，以及对特定类型的增长或特定域有效的近似渐近结果。我们证明了我们的一般图灵条件的各种领域与不同的演化规律，特别是显示如何洞察力可以获得，即使当域的变化迅速的时间，或当均匀的状态是振荡的，如在图灵-霍普夫不稳定性的情况下。高阶空间系统的扩展也包括作为一种方式来证明的一般性的方法。
2019-10-17 nlin.PS
The role of spatial dimension in the emergence of localised radial patterns from a Turing instability
本文证明了一般双组分反应扩散系统在Turing不稳定性附近存在局域$(n+1)$维径向模式，并通过引入$(n+1)$维Bessel函数揭示了径向轮廓对连续维度参数$n$的显式依赖关系。
2024-09-30 math.DS nlin.PS
Turing patterns and apparent competition in predator-prey food webs on networks
反应扩散系统可能导致形成稳态异质空间图案，称为图灵图案。它们的数学公式对于一般的斑图形成的研究是重要的，并且在生物学的许多领域，如生态学和形态发生中起着中心作用。在本研究中，我们专注于图灵模式的作用，在描述的捕食者和食饵物种的丰度分布在斑块中的无标度网络结构。我们扩展了Nakao和Mikhailov提出的原始模型，考虑食物链中的几个相互作用的猎物和捕食者。我们确定的物种分布模式显示高度的明显竞争驱动的图灵不稳定性。我们的研究结果提供了进一步的迹象表明，丰富的斑块之间的分布差异可能是，至少部分是由于自组织图灵模式，而不一定是内在的环境异质性。
2012-07-14 nlin.PS physics.bio-ph q-bio.PE
Pattern formation and nonlinear waves close to a 1:1 resonant Turing and Turing--Hopf instability
研究1:1空间共振下Turing与Turing–Hopf不稳定性附近的模式形成，推导耦合复Ginzburg–Landau振幅方程并构造周期解、快速锋面及全局空间周期解。
2025-08-28 math.AP nlin.PS
Turing Patterns in Nonlinear Optics
非线性光学谐振器中的斑图形成现象通常与非共振激发机制有关，其中图案由于激发和共振频率之间的失配而发生。在本文中，我们表明，在非线性光学的图案也可以发生由于耦合场分量的衍射之间的相互作用。报道的机制类似于图灵在反应扩散系统中发现的局部激活和侧抑制。具体研究了简并光学参量振荡器。局部激活剂-侧向抑制剂机制负责生成六边形形式的图灵图案。
2000-02-16 nlin.AO nlin.PS physics.optics
Emergence of geometric Turing patterns in complex networks
本研究在几何随机图模型中研究图灵不稳定性，证明复杂网络可涌现几何图灵斑图，其波长可由退火图拉普拉斯特征向量估计，并揭示网络功能与隐藏几何的深刻联系。
2022-12-13 nlin.PS physics.soc-ph
Generalized Turing Patterns and Their Selective Realization in Spatiotemporal Systems
研究了耦合全同系统在全局同步态不稳定后的斑图形成问题。基于分析结果的耦合强度和每个空间模式（图案）的不稳定性，我们表明，这些空间图案可以选择性地实现通过改变耦合强度沿不同的路径在参数空间。此外，我们讨论了同步状态（不动点与混沌吸引子）在调制空间模式的时间动力学的重要作用。
2003-03-16 nlin.CD nlin.PS
Nanometric Turing Patterns: Morphogenesis of a Bismuth Monolayer
图灵的形态发生反应扩散理论在理解从生物系统到沙丘的复杂物体的宏观模式方面非常成功。然而，这一机制从未在原子尺度上进行过测试，在原子尺度上，基本成分受到量子力学的约束。在这里，我们报告的图灵模式，出现在一个应变的原子铋单层组装在表面上的NbSe $_2$受到原子间的相互作用和各自的动力学的证据。微观参数的窄范围内反映在数值分析中观察条纹图案和畴壁与Y形结是量子力学允许的键长和键角的直接后果。因此，这是在原子尺度上动态形成的图灵模式的第一次演示。
2021-04-02 cond-mat.mes-hall cond-mat.mtrl-sci nlin.PS
Minimum nonlinearity for pattern-forming Turing instability in a mathematical autocatalytic model
Universidade de Vigo（维戈大学）；Universidade de Santiago de Compostela（圣地亚哥-德孔波斯特拉大学）；Galician Center for Mathematical Research and Technology (CITMAga)（加利西亚数学研究与技术中心（CITMAga））；Harvard University（哈佛大学）；Santa Fe Institute（圣塔菲研究所）
本文通过数学分析探索反应-扩散模型产生图灵失稳的约束条件，结论是该失稳要求非线性度至少为三。
2026-10-16 math-ph math.DS math.MP
Dihedral rings of patterns emerging from a Turing bifurcation
针对强相互作用图案形成机制不明的问题，本文证明双组分反应–扩散系统在 Turing 不稳定性附近可涌现多种二面体环构型，并给出可支撑数值延拓的构造性初始条件。
2024-02-07 math.DS nlin.PS
Free energy dissipation enhances spatial accuracy and robustness of Turing pattern in small reaction-diffusion systems
精确和鲁棒的空间顺序在生命系统中无处不在。1952年，阿兰·图灵提出了一种基于反应扩散系统中空间平移对称性自发破缺的斑图形成机制。关于图灵模式的动力学和结构有很多了解。然而，很少有人知道图灵模式的能量成本。本文用解析和数值方法研究了一类空间扩展的生化反应扩散系统的非平衡态热力学。我们发现图灵斑图的出现需要最小的能量耗散来驱动非平衡化学反应。在发病以上，只有一小部分的总能量消耗是用来克服扩散，以维持空间格局。我们发现，定位误差随着能量耗散的增加而减小，在生化振荡系统中，定时误差和能量消耗之间存在相同的权衡关系。在有限系统中，我们发现特定的图灵模式只存在于有限的分子总数范围内，而能量耗散扩大了这个范围，这增强了图灵模式对活细胞中分子数波动的鲁棒性。这些结果在大肠杆菌DNA分离的Muk系统的现实模型中得到验证。大肠杆菌，和可测试的预测的依赖性的准确性和鲁棒性的空间格局上的ATP/ADP比率。在一般情况下，这里开发的理论框架可以应用于研究空间扩展的生化系统的非平衡态热力学。
2022-06-03 cond-mat.stat-mech nlin.PS physics.bio-ph
Pattern formation in reaction-diffusion systems with piece-wise kinetic modulation: an example study of heterogeneous kinetics
对模式涌现的研究以及对图灵模型的探索正在从理论和实验两个方面得到复兴。在这里，我们通过探索分段恒定动力学参数内的跳跃不连续性的影响，使用各种方法来识别和确认扩散驱动的不稳定条件，实现了空间相关反应动力学的稳定性分析。本质上，图灵模型中稳定性或不稳定性的存在是分段恒定动力学参数的局部性质，因此可以局部分析。特别是，参数是否在图灵空间内的局部评估提供了一个强有力的指示，即对于具有这些参数的足够大的区域，可以激发不稳定性。
2019-08-26 nlin.PS
Turing instabilities from a limit cycle
图灵不稳定性是反应扩散系统中斑图形成的一个典型途径。在扩散驱动的不稳定性之后，齐次不动点在受到外部扰动时可能变得不稳定。结果，系统向一个稳定的非齐次吸引子演化。稳定的图案也可以通过扩散耦合振荡器的初始同步状态的振荡猝灭来获得。在文献中，这被称为振荡死亡现象。在这里，我们表明，振荡死亡只不过是一个图灵不稳定性的第一个返回映射相关的可激发系统在其同步周期状态。特别是，我们得到了一组封闭的条件，用于确定域中的参数空间，产生的不稳定性。这是一个自然的推广原来的图灵关系，在这种情况下，齐次解决方案的审查系统是一个周期性的时间函数。所得到的框架适用于嵌入在连续空间中的系统，以及那些定义在网络状的支持。的预测能力的理论进行了测试数值，使用不同的反应计划。
2014-11-26 nlin.PS
Turing pattern formation in the Brusselator system with nonlinear diffusion
在本工作中，我们研究了密度相关的非线性扩散对量子选择器系统中斑图形成的影响。通过对基本解的线性稳定性分析，确定了图灵和振荡不稳定边界。与经典的线性扩散的比较表明，如何非线性扩散有利于图灵斑图形成的发生。我们研究了斑图形成的过程中，在一维和二维空间域。通过弱非线性多尺度分析，我们推导出的平稳模式的振幅方程。振幅方程的分析表明，发生了一些不同的现象，包括稳定的超临界和亚临界图灵模式与多个分支的稳定的解决方案，导致滞后。此外，我们考虑行波图案化波：当域的大小是大的，图案的形式顺序和行波波前的前兆图案。我们推导出了Ginzburg-Landau方程，并描述了旅行前包围一个模式，侵入域。我们的径向对称目标模式的出现，并通过匹配过程中，我们构建的外部振幅方程和内核的解决方案。
2013-10-24 math-ph math.MP nlin.PS
Pattern formation and global analysis of a systematically reduced plant model in dryland environment
本文研究了干旱环境系统化简化植物模型的稳定性与空间斑图，分析了非扩散场景下的平衡点稳定性与极限环存在条件，探讨了多种空间分岔行为及斑图演化，发现种子扩散率可改变斑图结构，合理控制参数有助于防止荒漠化。
2024-10-30 math.DS nlin.PS
