General conditions for Turing and wave instabilities in reaction-diffusion systems
University of Bristol（布里斯托大学）
本文提出了一种基于色散关系极限分析的构造性方法，用于确定反应扩散系统中图灵不稳定性和波不稳定性的充要条件，并在疟疾模型、FitzHugh-Nagumo 类模型和 Brusselator 系统中进行了验证。
2026-09-24 nlin.PS
Hopf-Turing mixed mode and pattern selection in reaction diffusion systems
在Turing模和Hopf模存在的边界附近，导出了Gierer-Mainhardt模型的振幅方程。在Hopf-Turing混合模解稳定的参数区域内，观察到混合模间相互作用的混沌态。该混沌区域遵循强烈的空间周期顺序选择，然后是局部的、共振的、非常大的频率的时间振荡。一个时空强迫，负责观察到的，已被确定。
2001-11-27 nlin.CD nlin.PS
Subcritical Turing bifurcation and the morphogenesis of localised patterns
本文研究反应–扩散系统中亚临界 Turing 分岔如何借同宿蛇行产生局域模式，并通过平衡源与损失效应揭示超临界向亚临界的转变及其稳健相变意义。
2025-06-09 nlin.PS
Front and Turing patterns induced by Mexican-hat-like nonlocal feedback
我们考虑墨西哥帽形非局部空间耦合的影响，即，对称长程抑制叠加短程激发，在前传播的一个模型中的一个扩散反应扩散系统。我们表明，前传播的速度可以控制到一定的耦合强度超过空间周期性的图案，如图灵图案或空间均匀的解决方案和图灵图案的共存，可能会引起。这种行为是通过线性稳定性分析的空间均匀的稳定状态和数值研究的完整的非线性方程依赖于非局部耦合强度和兴奋性和抑制性耦合范围的比率。
2015-02-11 nlin.PS
Formation and Persistence of Spatiotemporal Turing Patterns
这篇文章关注的是无结构状态下结构的稳定性和长时间动力学。发育生物学认为形态发生是化学反应和空间扩散之间竞争的结果。一个系统的两个反应扩散方程的浓度的两个形态发生剂减少到一个有限的常微分方程组。分析了该系统分支解的稳定性，严格地建立了分支解的长时间渐近性态。Schnakenberg和Gierer-Meinhardt方程作为例子进行了讨论。
2007-06-15 nlin.PS
Turing instability and pattern formation on directed networks
网络上的斑图形成，由自治反应扩散方程系统引起，已经成为科学文献中的一个常见研究课题。在这项工作中，我们主要关注有向网络。虽然之前已经做了一些工作来理解模式是如何在有向网络上出现的，但这些工作将他们的注意力限制在拉普拉斯矩阵（对应于网络）可对角化的网络上。在这里，我们解决的问题“如何检测斑图形成，如果拉普拉斯矩阵是不可对角化的？“为此，我们发现，这是有用的，也解决了相关的斑图形成所产生的系统的反应扩散方程与非本地（全球）反应动力学的问题。然后，这些结果被推广到包括非自治系统以及时间网络，即，允许拓扑结构随时间变化的网络。
2022-05-22 nlin.PS
Pattern formation in reaction-diffusion systems with piece-wise kinetic modulation: an example study of heterogeneous kinetics
对模式涌现的研究以及对图灵模型的探索正在从理论和实验两个方面得到复兴。在这里，我们通过探索分段恒定动力学参数内的跳跃不连续性的影响，使用各种方法来识别和确认扩散驱动的不稳定条件，实现了空间相关反应动力学的稳定性分析。本质上，图灵模型中稳定性或不稳定性的存在是分段恒定动力学参数的局部性质，因此可以局部分析。特别是，参数是否在图灵空间内的局部评估提供了一个强有力的指示，即对于具有这些参数的足够大的区域，可以激发不稳定性。
2019-08-26 nlin.PS
Forced patterns near a Turing-Hopf bifurcation
我们研究了图灵-霍普夫分岔点附近空间扩展模式的时间周期强迫。一个基于正则形式的分析产生了几个预测，包括（i）弱强迫附近的固有的霍普夫频率增强或抑制图灵振幅的量，规模平方与强迫强度，和（ii）最强的效果是从霍普夫频率失谐的强迫。为了将我们的结果应用到具体的模型中，我们对一般的两组分反应扩散系统进行了扰动分析，揭示了强迫是抑制还是增强了空间模式。对于抑制的情况，我们的结果解释了以前的CDIMA化学反应实验的特点。然而，我们也发现了增强的情况下，这还没有在实验中观察到的例子。数值模拟验证了预测的强迫参数的依赖性。
2009-07-02 nlin.PS
Physical interactions promote Turing patterns
该研究通过考虑反应-扩散系统中物种间的直接物理相互作用，发现弱排斥可降低图灵斑图形成的条件，强相互作用诱导相分离，从而统一了传统图灵斑图与化学活性相分离理论。
2023-04-14 nlin.PS physics.bio-ph
Simple and Superlattice Turing Patterns in Reaction-Diffusion Systems: Bifurcation, Bistability, and Parameter Collapse
本文研究了两组分反应扩散系统中简单图灵斑图（如条纹、六边形）与"超晶格"图灵斑图（超正方形、超六边形）之间的竞争.“超晶格”图案由八个或十二个傅立叶模式形成，并以两个不同的长度尺度特征结构。利用微扰理论，我们推导出简单的解析表达式的分歧方程系数的菱形和六边形晶格。这些表达式表明，无论反应动力学如何复杂，非线性反应项减少到只有四个有效的分支方程系数的条款。此外，在六边形退化时-当六边形分叉方程中的二次项消失时-有效系统参数的数量下降到两个，允许在此退化的可能的分叉结果的完整表征。然后将一般结果应用于特定的模型方程，以研究这些模型中不同模式的稳定性。
1998-07-14 nlin.PS patt-sol
Turing instability in Reaction-Diffusion models on complex networks
研究了复杂网络上反应扩散模型的图灵不稳定性。在这里，我们重点讨论了三种类型的模型，即Erdens-Rényi，Watts-Strogatz和阈值网络模型。从这些模型所产生的图形的拉普拉斯矩阵的分析，我们在数值上揭示了两个扩散系数的参数空间上的均匀稳态的稳定和不稳定区域完全不同，这取决于网络架构。此外，我们还从理论上讨论了包含规则圆的规则增强环格以及当顶点数足够大时由阈值网络模型生成的网络的稳定区域和不稳定区域。
2016-03-28 math.PR nlin.PS
Turing Patterns in two dimensional reaction-diffusion system: effect of an electric field
我们考虑了一个具有两个相互作用扩散粒子的二维类图灵系统。考虑到要带电的物质，我们包括沿给定方向的电场的效应，该效应可导致A.B.Rovinsky和M.Menzinger \cite{9}发现的漂移诱导不稳定性。这使得人们可以研究扩散和漂移之间的竞争，如Riaz等人所做的数值计算。我们在这里表明，可以找到一个分析公式的基础上的线性稳定性分析，结合了所有的影响，是已知的系统，也允许一些详细的预测。
2008-12-25 cond-mat.other nlin.PS
Turing Instability in Reaction-Diffusion Systems with a Single Diffuser: Characterization Based on Root Locus
The University of Tokyo（东京大学）
本文提出了一种统一框架，将反应扩散系统建模为互联多智能体动态系统，通过根轨迹分析生物合理图灵不稳定性，并推导出分析生物网络的解析条件。
2013-08-31 cs.SY eess.SY nlin.PS
Free energy dissipation enhances spatial accuracy and robustness of Turing pattern in small reaction-diffusion systems
精确和鲁棒的空间顺序在生命系统中无处不在。1952年，阿兰·图灵提出了一种基于反应扩散系统中空间平移对称性自发破缺的斑图形成机制。关于图灵模式的动力学和结构有很多了解。然而，很少有人知道图灵模式的能量成本。本文用解析和数值方法研究了一类空间扩展的生化反应扩散系统的非平衡态热力学。我们发现图灵斑图的出现需要最小的能量耗散来驱动非平衡化学反应。在发病以上，只有一小部分的总能量消耗是用来克服扩散，以维持空间格局。我们发现，定位误差随着能量耗散的增加而减小，在生化振荡系统中，定时误差和能量消耗之间存在相同的权衡关系。在有限系统中，我们发现特定的图灵模式只存在于有限的分子总数范围内，而能量耗散扩大了这个范围，这增强了图灵模式对活细胞中分子数波动的鲁棒性。这些结果在大肠杆菌DNA分离的Muk系统的现实模型中得到验证。大肠杆菌，和可测试的预测的依赖性的准确性和鲁棒性的空间格局上的ATP/ADP比率。在一般情况下，这里开发的理论框架可以应用于研究空间扩展的生化系统的非平衡态热力学。
2022-06-03 cond-mat.stat-mech nlin.PS physics.bio-ph
Turing instabilities from a limit cycle
图灵不稳定性是反应扩散系统中斑图形成的一个典型途径。在扩散驱动的不稳定性之后，齐次不动点在受到外部扰动时可能变得不稳定。结果，系统向一个稳定的非齐次吸引子演化。稳定的图案也可以通过扩散耦合振荡器的初始同步状态的振荡猝灭来获得。在文献中，这被称为振荡死亡现象。在这里，我们表明，振荡死亡只不过是一个图灵不稳定性的第一个返回映射相关的可激发系统在其同步周期状态。特别是，我们得到了一组封闭的条件，用于确定域中的参数空间，产生的不稳定性。这是一个自然的推广原来的图灵关系，在这种情况下，齐次解决方案的审查系统是一个周期性的时间函数。所得到的框架适用于嵌入在连续空间中的系统，以及那些定义在网络状的支持。的预测能力的理论进行了测试数值，使用不同的反应计划。
2014-11-26 nlin.PS
Turing bifurcation, criticality, and multistability in a nonlocal advection-reaction-diffusion equation
Hokkaido University（北海道大学）；Research Institute for Electronic Science, Hokkaido University（北海道大学电子科学研究所）
本文研究带逻辑增长的非局部平流-反应-扩散方程，分析相互作用核对图灵分岔临界性与多稳态性的影响，推导分岔判据与亚临界条件，经数值分析发现稳定齐次解可与稳定非齐次解或时间周期解共存。
2026-10-16 math.AP nlin.PS
Finite propagation enhances Turing patterns in reaction-diffusion networked systems
University of Namur（南纳穆尔大学）
该研究将 Cattaneo 有限传播框架引入复杂网络上的反应-扩散系统，证明图灵不稳定性可在更广泛条件下出现，并通过扩展的 FitzHugh-Nagumo 模型模拟验证。
2021-10-05 math-ph math.DS math.MP
From One Pattern into Another: Analysis of Turing Patterns in Heterogeneous Domains via WKBJ
从均匀性形成斑图形成已得到充分研究，但对非均匀介质中的破裂不稳定性知之甚少。将由于固有的空间异质性而观察到的空间图案与由于非线性不稳定性而出现的图案分开是不平凡的。利用WKBJ渐近方法研究了空间非均匀反应扩散系统的图灵不稳定性，得到了经典图灵条件的局部形式的不稳定性条件。我们发现，不稳定模的结构与空间均匀条件下的典型三角函数有很大的不同。不同的增长率模式局限于不同的空间区域。这种局部化有助于解释在异构环境中图灵系统模拟中观察到的常见振幅调制。我们数值证明了这一理论，给出了一个说明性的例子，涌现的不稳定性和惊人的复杂性所产生的空间异质反应扩散系统。我们的研究结果提供了深入了解系统驱动的外源异质性，以及连续的模式形成过程，注意到生物学中的大多数情况下不涉及对称性破缺从同质性，而是由顺序演变的异质状态。这里报告的不稳定性机制准确地捕捉到了这种演变，并将图灵的原始论文扩展到更广泛和更现实的系统类别。
2019-12-07 nlin.PS
Spatial Heterogeneity Localizes Turing Patterns in Reaction-Cross-Diffusion Systems
受异质环境中细菌趋化性和多物种生态相互作用的影响，我们研究了一个一维的反应-交叉扩散系统，该系统中存在着空间异质性.在一个合适的渐近假设下，运输是缓慢的域，而在反应的异质性的梯度是不是太尖锐，我们研究的非均质稳态近似的系统中没有运输的稳定性。使用WKB的分析，我们发现，这种稳定状态可以经历图灵型不稳定域的子集，导致形成本地化的模式。图案形成区域的边界由对应于由空间变量参数化的空间均质分析的“局部”图灵条件渐近给出。我们开发了一个通用的开源代码，这是免费提供的，并显示在Schnakenberg交叉扩散系统，凯勒-西格尔趋化模型，和Shigesada川崎寺本模型与异质参数的本地化斑图形成的数值例子。我们数值计算表明，模式可能会发生二次不稳定性，导致时空运动的尖峰，虽然这些仍然近似在渐近预测的本地化区域。这一理论可以优雅地区分空间结构，由于背景异质性，从图灵型不稳定性出现的空间格局。
2023-03-06 nlin.PS q-bio.CB q-bio.PE
Turing's diffusive threshold in random reaction-diffusion systems
Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems（马克斯·普朗克复杂系统物理研究所）；Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, Centre for Mathematical Sciences, University of Cambridge（剑桥大学数学科学中心应用数学与理论物理系）
研究探讨了在N>2的随机反应-扩散系统中，扩散阈值是否降低，从而允许真正的图灵不稳定性，并通过随机矩阵分析证明了多物种系统的复杂性。
2021-02-25 cond-mat.soft nlin.PS q-bio.PE
Instability in Reaction-Superdiffusion Systems
研究了超扩散对反应扩散系统不稳定性的影响。证明了接近于图灵不稳定性的反应-超扩散系统等价于含时的Ginzburg-Landau模型，并引入了相应的自由能.这种依赖于超扩散指数的广义自由能决定了反应-超扩散系统在Turing分岔附近的稳定性、动力学和涨落。此外，我们还证明了对于一般的n-组分反应-超扩散系统，分数阶复Ginzburg-Landau方程作为振幅方程出现在Hopf不稳定性附近。数值模拟表明超扩散对时空模式的影响。最后研究了超扩散对作为反应扩散系统的一个特例的扩散子模型不稳定性的影响。一般来说，超扩散引入了一个新的参数，改变了系统在不稳定性附近的行为。
2016-11-23 nlin.PS
WKBJ approximation for linearly coupled systems: asymptotics of reaction-diffusion systems
渐近分析已成为研究反应扩散方程和斑图形成的常用方法，特别是当考虑对原始模型的推广时，例如空间异质性，其中即使对线性化方程也通常不可能找到解析解。WKBJ方法，一个更强大的渐近方法研究耗散现象捕获的线性方程组，最近被应用到图灵模型在一个异质环境。它证明了预期的修改，在一个均匀的设置，如本地模式和本地图灵条件获得的结果。在这种情况下，我们试图推广的标量WKBJ理论的多组分系统。我们更广泛的数学方法的结果在一般的逼近定理系统的常微分方程。我们讨论的情况下，指数和振荡行为的第一次处理之前的一般情况。随后，我们证明了一个典型的图灵系统的近似定理中使用的谱特性，从而表明这样的近似是合理的。请注意，我们的方法是通过显示解决方案接近（使用合适的权重函数来测量误差）Airy函数的线性组合。
2021-04-19 nlin.PS
Synchronization Patterns in Geometrically Frustrated Turing Rings
耦合非线性振子可以表现出各种各样的模式。我们研究了自催化反应扩散模型中的自催化反应器。在强非线性的极限下工作提供了一个清晰的时间尺度分离，这导致了在单个整流器中的鸭式爆炸。在这种高度非线性的制度，它是数值计算发现，环的耦合meselators不遵循的预测，从车削分析。我们发现，该行为可以解释使用分段线性近似。
2015-04-06 nlin.PS
Stationary peaks in a multivariable reaction--diffusion system: Foliated snaking due to subcritical Turing instability
在肺血管和肺发育的背景下使用的侧支化的激活剂-抑制剂-底物模型被认为是基于激活剂的空间局部浓度触发局部侧支化的假设。该模型由四个耦合的反应扩散方程组成，其定常局部解在一维（1D）上服从一个八维空间动力系统。模型内的静态局部结构被发现与亚临界图灵不稳定性和组织内的一个不同类型的叶状蛇形分叉结构。这种行为又与参数空间中存在的交换点有关，在该交换点处，均匀浓度态的复前导空间本征值被一对实本征值所取代;该交换点在该系统中起着Belyakov-Devaney点的作用。初级叶状蛇形结构由周期性尖峰或尖峰列组成，具有$N$相同的等距尖峰、$N=1,2,\dots \,$以及由不相同的非等距尖峰组成的交联。该结构是复杂的多脉冲状态，其中一些也计算，并跨越参数范围从主图灵分叉的所有方式折叠的$N=1$状态。这些状态形成了一个复杂的模板，局部物理结构在2D中的横向发展。
2021-04-22 nlin.PS q-bio.TO
Instabilities and Patterns in Coupled Reaction-Diffusion Layers
我们研究扩散耦合的反应扩散层的不稳定性和斑图形成。对于两个相同的两组分反应的两层系统，我们利用线性问题的块对称结构分析了均匀定态的稳定性。存在八种可能的主要分叉情形，包括涉及两个不同长度尺度的图灵-图灵分叉，其比率可以经由层间耦合来调谐。对于系统的$n$组件层和不同的层，线性问题的块形式允许近似分解成低维线性问题，如果耦合是足够弱的。作为一个例子，我们将这些结果应用到一个两层的反射器系统。在整个系统的数值模拟中，线性问题中设计的竞争长度尺度是显而易见的。选择$\sqrt{2}$：1长度比例可产生不寻常的稳定方形图案。
2012-01-21 nlin.PS
Turing instabilities for three interacting species
本文针对三种相互作用物种的一般系统，证明了图灵不稳定性存在的充要条件，并区分了图灵不稳定性与图灵-霍普夫不稳定性的不同条件。
2024-05-23 math.DS math.SP nlin.PS
Modern Perspectives on Near-Equilibrium Analysis of Turing Systems
自艾伦·图灵的形态发生研究发表以来的近70年里，人们在理解他提出的反应扩散理论的数学和生物学方面都取得了巨大的进展。其中一些发展是在图灵的论文中出现的，另一些则是由于现代数学技术的新见解，数值模拟的进步和广泛的生物实验。尽管取得了这些进展，但理论和实验之间仍然存在重大差距，许多生物模式的例子中，潜在的机制仍然不清楚。在这里，我们回顾了图灵开创的数学理论的现代发展，展示了他的方法是如何被推广到经典的两种反应扩散框架之外的一系列环境中的，包括演化和复杂的流形，在空间和时间上异质的系统，以及更一般的反应输运方程。虽然在理解这些更复杂的模型方面取得了实质性进展，但我们始终强调仍存在许多挑战。我们专注于数学理论，特别是线性稳定性分析的“平凡”的基本状态。我们强调重要的开放式问题，在进一步发展这一理论，并讨论在使用这些技术来了解生物现实的障碍。
2021-09-13 nlin.PS q-bio.CB
Effective diffusion coefficients in reaction-diffusion systems with anomalous transport
我们证明了在具有次扩散的反应系统中的图灵模式可以在具有马尔可夫交叉扩散的有效系统中复制。有效系统具有与原系统相同的图灵不稳定性和相同的模式。如果粒子是短命的，瞬态动力学也被捕获。我们使用的交叉扩散系统来定义有效的扩散系数与异常传输的系统，我们展示了它们如何可以用来有效地描述图灵不稳定性。我们还表明，一个适当定义的合奏subdiffusing粒子的均方位移随时间线性增长，与我们以前的计算同意的扩散系数。我们通过数值积分分数阶反应扩散方程和它的正常扩散对应验证这些推论。我们的研究结果表明，交叉扩散行为可以作为异常运输的结果。
2020-01-28 cond-mat.stat-mech nlin.PS
Turing conditions for pattern forming systems on evolving manifolds
在生长或其他时间依赖域上的反应扩散系统中的模式形成不稳定性的研究出现在各种环境中，包括发育生物学、空间生态学和实验化学中的应用。分析这种不稳定性是复杂的，因为任何空间均匀的基态对时间有很强的依赖性，并且用于确定不稳定性开始的线性化扰动的所得结构本质上是非自治的。我们得到了扩散驱动的不稳定性的发病和结构的反应扩散系统在时间上发展的区域，在Laplace-Beltrami谱的时间演化的域和功能，指定的域的演化方面的一般条件。我们的研究结果给出了扩散不稳定性的充分条件措辞的微分不等式，这是通用的和简单的实施，尽管研究的问题的一般性。这些条件推广了大量的文献中已知的结果，如代数不等式通常用作静态域上的图灵不稳定性的充分判据，以及对特定类型的增长或特定域有效的近似渐近结果。我们证明了我们的一般图灵条件的各种领域与不同的演化规律，特别是显示如何洞察力可以获得，即使当域的变化迅速的时间，或当均匀的状态是振荡的，如在图灵-霍普夫不稳定性的情况下。高阶空间系统的扩展也包括作为一种方式来证明的一般性的方法。
2019-10-17 nlin.PS
Information Thermodynamics of Turing Patterns
本文建立了由含时空间分布恒化器驱动的反应扩散系统的严格热力学描述。基于局部平衡的假设，利用化学网络拓扑的对称性构造了非平衡热力学势。它表明，典型的（resp。半随机正则）非平衡自由能作为一个李雅普诺夫函数在松弛平衡的封闭（分别）。开放）系统及其变体提供了操纵物质浓度所需的最小工作量。该理论被用来研究分析图灵斑图形成在一个典型的反应扩散系统，一维扩散模型，并将其归类为一个真正的热力学非平衡相变。
2018-03-14 cond-mat.stat-mech nlin.PS
Solution landscape of reaction-diffusion systems reveals a nonlinear mechanism and spatial robustness of pattern formation
本研究开发出可系统绘制反应扩散系统解景观的高效算法，发现稳定空间模式可在图灵不稳定性前经鞍结分岔形成，还拓展方法评估模式抗噪稳定性，揭示第三物种对小型生化系统中模式抗强内禀噪声的关键作用。
2024-08-19 nlin.PS physics.bio-ph
Turing Patterns in a Morphogenetic Model with Single Regulatory Function
本文研究合成Nodal-Lefty反应-扩散系统中图灵斑图的涌现机制，通过线性稳定性分析和弱非线性分析推导振幅方程，揭示亚临界图灵失稳在耗散结构形成中的关键作用。
2025-09-19 nlin.PS
Scaling of submicrometric Turing patterns in concentrated growing systems
图灵型的周期性空间结构的波长是所考虑的反应扩散动力学的一个内在属性，我们解决了在微观尺度上给定的动力学参数的控制问题。直接模拟蒙特卡罗方法，最初介绍了模拟粒子动力学在稀薄气体，适用于模拟浓溶液。我们在适当的边界条件下对亚微米图灵图案进行了模拟，并表明考虑到溶剂在化学机制中的作用使我们能够控制结构的波长。通常，溶液浓度加倍导致波长减小2。研究结果可用于化工中亚微米性能可控材料的设计。这也可以被认为是胚胎在形态发生中比例保持的一种可能解释。
2018-07-04 nlin.PS
Unilateral regulation breaks regularity of Turing patterns
我们考虑一个反应扩散系统经历图灵不稳定性，并增加了一个额外的单边源项。我们研究了它对图灵不稳定性的影响以及对所得到的图形的性质的影响。非光滑正齐次单边项$τv^-$具有良好的性质，但不能进行标准的线性稳定性分析。我们说明了非光滑的重要性的数值算例研究，这表明，图灵不稳定性可以大大改变，如果我们用任意精确的光滑近似取代这项。然而，非光滑单边项及其所有近似产生定性相似的模式，虽然不一定是从空间均匀稳态的小扰动发展。此外，我们表明，单边源打破了近似的对称性和规则性的经典模式，并产生不对称和不规则的模式。此外，一个给定的系统与单边源产生的空间模式，甚至比相同的系统，没有任何单边项的比率接近1的扩散参数。
2017-08-23 nlin.PS
Turing pattern theory on homogeneous and heterogeneous higher-order temporal network system
本文提出了高阶时序网络上反应-扩散过程Turing不稳定性的一般理论框架，通过定义新Laplacian和平均化方法推导系统简洁形式，揭示了时变特征与多体相互作用能生成创新多样的斑图。
2025-04-29 nlin.PS physics.bio-ph
Effective hyperuniformity in time-integrated stochastic Turing patterns
Institute of Physics, Academia Sinica（中央研究院物理研究所）；National Center for Theoretical Sciences（国家理论科学中心）
通过时间积分随机图灵模式，发现非保守多物种随机系统中存在无需精细调谐的有效超均匀性，并解析验证了其大尺度组织涌现。
2026-06-24 cond-mat.stat-mech nlin.AO nlin.PS
Effect of light intensity on resonance patterns in CDIMA reaction
光敏CDIMA反应扩散方程被认为是解释共振的线性耦合系统。对于耦合的反应扩散系统，得到了图灵不稳定性的条件.此外，确定临界扩散系数退出共振型图案也讨论了解析条件。研究了强耦合和弱耦合下$3:1$共振强迫的光敏效应。进行了数值模拟来验证理论结果。
2021-08-31 nlin.PS
Beyond-all-order asymptotics for homoclinic snaking of localised patterns in reaction-transport systems
School of Engineering Mathematics and Technology, University of Bristol（布里斯托大学工程数学与技术学院）
本文将Chapman与Kozyreff的指数渐近方法推广至多分量反应扩散系统，推导了同宿蛇行区域宽度的表达式，提供了可自动化计算的代码，并通过Swift-Hohenberg方程等示例验证了理论。
2026-08-26 nlin.PS
Pattern selection in reaction diffusion systems
图灵的斑图形成理论已被用来描述许多生物、化学和物理系统中自组织周期图案的形成。然而，一般来说，由于我们无法预测从给定的模型参数集获得哪种模式，因此此类模型的使用受到阻碍。虽然在空间不稳定性的开始附近已经知道了很多，但对远离开始的模式选择和动力学的机制却了解得少得多。在这里，我们提供了新的物理洞察这些系统的动态。我们发现，在一个图灵模式的峰值表现为点汇，其中的动力学是由扩散通量到他们。因此，峰朝向使扩散物质的质量最小化的周期性稳态配置移动。我们还表明，在最终的稳定状态的峰的优选数量是这样的，这个质量最小化。我们的工作提出了质量最小化作为一个简单的，可推广的，物理原理理解斑图形成的反应扩散系统远离发病。
2020-09-15 nlin.PS
Turbulent patterns in wall-bounded flows: a Turing instability?
在它们的方式/从湍流，平面壁有界流动显示一个有趣的过渡制度，层流和湍流斜带交替，其起源仍然是神秘的。根据Barkley最近关于管流过渡的工作，考虑了平面Couette流，并将Waleffe的经典四变量自持过程模型转化为反应扩散模型。我们表明，在履行其变量的相对扩散率的条件下，无特征的湍流制度成为不稳定的图案作为一个图灵不稳定性的结果。一个简化的双变量模型可以帮助我们描绘出参数空间的适当区域。因此，第一次将{ \it内在}状态赋予图案的波长。美德和模型的局限性进行了讨论，呼吁微观的现象学方法的支持。
2012-05-25 nlin.PS physics.flu-dyn
Comb-like Turing patterns embedded in Hopf oscillations: Spatially localized states outside the 2:1 frequency locked region
利用2：1频率锁定振荡系统，证明了在振荡背景中产生空间局域态的一种普遍的独特机制。局部化是图灵型的，并出现在两个空间维度作为一个梳状状态的$π$相移霍普夫振荡或内部的螺旋核心。具体来说，局域化状态出现在没有众所周知的触发器动力学（与崩溃的同宿蛇形），这是已知的出现在附近的一个空间维度的霍普夫-图灵分叉。推导和分析的三个霍普夫图灵振幅方程在两个空间维度揭示了一个本地动力学钉扎机制的霍普夫前线，这反过来又允许出现垂直（霍普夫前线）图灵状态。结果表明，同意与梳状芯的大小，形成内螺旋波。在2：1共振的情况下，这些局域态在2：1共振区域之外形成，从而扩展了空间扩展介质的频率锁定域，例如周期性驱动的Belousov-Zhabotinsky化学反应。亚氯酸碘丙二酸和动摇颗粒介质的影响也得到解决。
2017-04-06 nlin.PS
From Turing patterns to chimera states in the 2D Brusselator model
本研究使用非局部耦合的 Brusselator 模型，展示了通过调整耦合范围和参数，系统能从扩散极限下空间稳定的经典 Turing 图样转变为动态的时空 chimera 状态。
2022-12-02 nlin.CD nlin.PS physics.chem-ph
Gene Expression Time Delays in Reaction-Diffusion Systems
基因表达时间延迟，模拟基因转录和翻译的复杂生物过程，已被证明在细胞动力学中起着重要作用。由基因表达过程引起的时滞也会极大地影响反应扩散系统的行为。在这篇论文中，我们探讨了它们对图灵模式机制的影响。通过将时间延迟，建模为一个固定的参数和作为一个连续的分布，到经典的反应扩散系统，表现出图灵不稳定性，我们调查这些系统的变化行为。我们发现，增加时间延迟的引入增加了空间不均匀图案稳定所需的时间，并且两者线性相关。我们还提出的结果表明，通过线性稳定性分析，增加的时间延迟可以采取行动扩大或缩小图灵空间的某个反应扩散机制，这取决于时间延迟项的位置。值得注意的是，我们发现，作为一个连续分布的建模时间延迟的定性或定量方面的结果相比，一个固定的时间延迟的平均分布的影响可以忽略不计。这些发现突出了在模拟生物模式事件时考虑基因表达时间延迟的重要性，以及在试图应用图灵机制解释生物现象之前需要完全理解细胞动力学。结果还表明，至少在本论文中考虑的分布，固定延迟和分布延迟模型具有几乎相同的动态。这允许使用更简单的固定延迟模型，而不是更复杂的分布式延迟变量。
2022-02-22 nlin.PS q-bio.CB
Turing-like patterns in an asymmetric dynamic Ising model
为了研究自旋系统中斑图形成的新方面，我们使用反应扩散系统中的反应浓度和动态多自旋伊辛模型中的自旋取向之间的映射。虽然在伊辛模型的斑图形成总是依赖于无限程相互作用，这种映射使我们能够设计一个有限程相互作用伊辛模型，可以产生图案观察到的反应扩散系统，包括图灵模式与可调的典型长度尺度。该模型具有不对称相互作用和几种自旋类型共存于一个站点。虽然我们使用胚胎发生过程中的遗传调控的例子来建立我们的模型，它可以用来研究其他相互作用的代理复杂系统的行为。
2019-07-30 nlin.AO nlin.PS physics.bio-ph
Mesa-type patterns in the one-dimensional Brusselator and their stability
扩散模型是一个通用的三分子化学反应的反应扩散模型。我们考虑的情况下，输入和输出的反应是缓慢的。在这个极限下，我们证明了$K$ -周期性的，空间双稳态结构，\emph{mesas}的存在性，并研究了它们的稳定性。利用奇异微扰技术，我们找到了$K$台面稳定性的阈值。这个阈值发生在局域化结构的指数小尾巴开始相互作用的区域。通过比较我们的结果与图灵分析，我们表明，在一般的情况下，一个图灵不稳定性其次是一个缓慢的粗化过程，从而在系统达到一个稳定的平衡态之前，在几何上许多台面湮灭。我们还研究了一个“呼吸者”型的台面，这是由于一个霍普夫分岔不稳定。完整的数值模拟证实了分析结果。
2005-12-16 nlin.PS
Turing patterns on a two-component isotropic growing system. Part 2: Conditions based on a potential function for exponential growth/shrinkage
本研究提出了指数生长/收缩域中双组分系统图灵斑图的分岔条件，基于势函数几何变化推导，还原传统固定域条件并经布鲁塞尔子反应系统模拟验证，可分析斑图特征的时间演化依赖关系。
2023-08-23 nlin.PS
Pattern Formation Beyond Turing: Physical Principles of Mass-Conserving Reaction--Diffusion Systems
Arnold Sommerfeld Center for Theoretical Physics, Department of Physics, Ludwig-Maximilians-Universit\"at M\"unchen, Theresienstra e 37, D-80333 Munich, Germany
本文提出基于质量守恒反应-扩散系统的理论框架，研究细胞内蛋白质模式的形成机制，并以大肠杆菌Min蛋白系统为例，展示如何从生化细节中提取多尺度理论。
2025-12-14 cond-mat.soft nlin.PS physics.bio-ph
Numerical study of anisotropic diffusion in Turing patterns based on Finsler geometry modeling
我们数值研究的各向异性图灵图案（TP）的激活剂-抑制剂系统，专注于各向异性扩散使用Finsler几何（FG）建模技术。在FG建模处方中，由于内部自由度（IDOF）及其在热波动存在下与活化剂和抑制剂的相互作用，扩散系数动态生成为方向相关。在这个意义上，FG建模与标准数值技术形成鲜明对比，其中在图灵的反应扩散（RD）方程中假设方向相关的扩散系数。为了找到RD方程的解决方案，我们使用的混合数值技术的大都市蒙特卡洛方法IDOF更新和离散RD方程的稳态配置的激活剂-抑制剂变量的组合。我们发现，新引入的IDOF和它的相互作用是一个可能的起源自发涌现的各向异性模式的生物体，如斑马和鱼类。此外，如果IDOF与细胞上的脂质或细胞移动性一起鉴定，则IDOF使TP可由外部条件控制。
2023-03-30 nlin.PS
On the transient and steady state of mass-conserved reaction diffusion systems
研究了具有图灵不稳定性和质量守恒的反应扩散系统。在这样的系统中，条纹的突然衰变顺序地跟随准定态。在稳定状态下，条纹之间的距离是远大于估计的线性稳定性分析在均匀状态下给出的替代稳定性条件。我们表明，存在系统中的一个条纹图案是唯一的稳定状态的任意大小的系统。对细胞生物学的适用性进行了讨论。
2006-09-08 nlin.PS
Classification of parameter spaces for reaction-diffusion systems on stationary domains
本文研究了定常区域上两种化学物种的反应扩散系统的参数空间的分类问题。系统的动力学进行了探讨，在没有和存在的扩散。根据一致定态的类型和稳定性对参数空间进行了充分的分类。在没有扩散的情况下，参数空间的分类结果得到了相应的矢量场和均匀稳态周围的一些轨迹的模拟的支持。在存在扩散的情况下，主要结果是定量分析了在均匀定态附近扰动时，反应扩散系统反应扩散系统的反应扩散速率与畴大小之间的关系，以及它们对系统动力学行为的影响.理论预测的支持下，无论是在扩散的存在下，以及在没有数值模拟。关于扩散和反应速率的域尺寸的条件与扩散驱动的不稳定性的类型有关，即图灵、霍普夫和跨临界类型的分叉。第一个条件是一个上界的面积的矩形域的扩散和反应速率，这禁止存在的Hopf和跨临界类型的分叉，但允许图灵型不稳定性发生。第二个条件（必要的）是反应和扩散速率方面的域尺寸的下限，以产生Hopf和跨临界类型的分叉以及图灵不稳定性。
2017-01-18 math.AP nlin.PS
Turing Patterning in Stratified Domains
分层介质中的反应扩散过程出现在几个科学领域，如模式形成E。大肠杆菌在琼脂基质上，表皮-间充质耦合的发展，并打破细胞极化。我们开发了一个双层反应扩散系统的建模框架，并将其与一系列现有的模型。我们推导出扩散驱动的空间均匀平衡的不稳定性的条件类似于经典的图灵不稳定性在最简单的非平凡设置，其中一个域有一个标准的反应扩散系统，和其他只允许扩散的条件。由于这两个区域之间的横向耦合，计算拉普拉斯本征函数的标准技术不能应用，所以我们提出了一种替代方法来直接计算色散关系。我们比较不稳定的条件与完整的数值模拟，以证明图案的几何形状和耦合参数的影响，并探索各种实验相关的渐近制度。在该制度中，第一域是适当的薄，我们恢复一个简单的调制的标准图灵条件，并发现，往往广泛的影响，仅扩散域是减少系统的能力，形成图案。我们还展示了这种耦合对斑图形成的复杂影响。例如，我们表现出非单调性的图案形成的不稳定性相对于几何和耦合参数，并强调从一个域中的动力学和扩散之间的非平凡的相互作用的不稳定性在其他。这些结果是有价值的通知设计选择的应用程序，如图灵模式的合成工程，但也为了解分层介质在调制模式形成过程中的作用，在发育生物学和超越。
2020-09-17 nlin.PS q-bio.CB
Impact of directionality on the emergence of Turing patterns on m-directed higher-order structures
University of Namur（那慕尔大学）；Tokyo Institute of Technology（东京工业大学）
本文建立 m-有向超图上的反应-扩散 Turing 不稳定性理论，借助两个 Laplace 矩阵证明方向性可扩大静止或波动 Turing 斑图的参数范围，并用 Brusselator 模拟验证。
2024-08-08 cond-mat.stat-mech math.DS nlin.AO
A Turing instability in the solid state: void lattices in irradiated metals
图灵（或双扩散）不稳定性描述了反应扩散系统中的图案形成，并于1952年被提出作为自然界中斑图形成的潜在机制，如豹斑和斑马条纹。由于该机理要求反应物种具有显著不同的扩散速率，因此仅发现了少数表现出该现象的液相化学反应体系。在固体中，情况明显不同，因为诸如杂质或其他缺陷的物质通常具有扩散率$\propto\!\exp\left( -E/k_{\rm B} T\right)$，其中$E$是迁移势垒，而$T$是温度。这通常导致扩散速率相差几个数量级。在这里，我们使用一个简单的，极小模型表明，一类重要的新兴模式在固体中，即辐照金属中的空超晶格，也可以解释的图灵机制。分析结果证实了相场模拟。该模型（Cahn-Hilliard方程的间隙和空位浓度，再加上创建和湮灭条款）是通用的，该机制也可以负责在许多固态系统中观察到的图案和结构。
2019-03-21 cond-mat.mtrl-sci nlin.PS
Turing patterns resulting from a Sturm-Liouville problem
研究了反应扩散系统中扩散项对应于Sturm-Liouville问题的斑图形成.这些对应于扩散系数取决于空间变量$\nabla \cdot \left( \mathcal{D} ( {\mathbf x} ) \nabla {\mathbf u} \right)$的问题。我们发现图灵不稳定性的条件是相同的情况下，均匀扩散，但非线性分析必须推广到考虑一般的正交本征函数，而不是标准的傅立叶方法。特殊情况下$\mathcal{D} (x)= 1-x^2$，解决方案是勒让德多项式的线性组合，进行了详细研究。从发达国家的一般非线性分析，产生条纹和斑点的条件得到，这是数值验证使用Schaneknberg系统。与均匀扩散的情况不同，由于勒让德多项式的性质，产生了具有可变波长的条纹和斑点图案，并且当波长增加时，预测从条纹到斑点的变化。所获得的模式可以模拟生物系统中的条纹或斑点积累接近边界和这里开发的理论可以应用于研究图灵模式与其他本征函数相关的Sturm-Liouville问题。
2022-11-24 nlin.PS
