Numerical study of anisotropic diffusion in Turing patterns based on Finsler geometry modeling
我们数值研究的各向异性图灵图案（TP）的激活剂-抑制剂系统，专注于各向异性扩散使用Finsler几何（FG）建模技术。在FG建模处方中，由于内部自由度（IDOF）及其在热波动存在下与活化剂和抑制剂的相互作用，扩散系数动态生成为方向相关。在这个意义上，FG建模与标准数值技术形成鲜明对比，其中在图灵的反应扩散（RD）方程中假设方向相关的扩散系数。为了找到RD方程的解决方案，我们使用的混合数值技术的大都市蒙特卡洛方法IDOF更新和离散RD方程的稳态配置的激活剂-抑制剂变量的组合。我们发现，新引入的IDOF和它的相互作用是一个可能的起源自发涌现的各向异性模式的生物体，如斑马和鱼类。此外，如果IDOF与细胞上的脂质或细胞移动性一起鉴定，则IDOF使TP可由外部条件控制。
2023-03-30 nlin.PS
Computation of Turing bifurcation normal form for n-component reaction-diffusion systems
University of Bristol（布里斯托大学）
本文推导了任意组分一维反应扩散系统Turing分岔的振幅方程至五阶规范形，并实现于Python包及Mathematica程序，可检测两余维点，适用于交叉扩散、高阶标量方程及四组分系统等案例。
2026-09-24 nlin.PS
Designing reaction-cross-diffusion systems with Turing and wave instabilities
University of Bristol（布里斯托大学）；Durham University（杜伦大学）
本文建立反应交叉扩散系统时空模式形成不稳定性的一般条件，提出n组分系统设计框架以实现给定波长的图灵和波不稳定性，并通过实例验证了理论有效性。
2025-08-24 nlin.PS
Drifting Pattern Domains in a Reaction-Diffusion System with Nonlocal Coupling
漂移模式域（DPD），移动本地补丁的行波嵌入在一个固定的（图灵）模式的背景，反之亦然，观察到在模拟的反应扩散模型与非局部耦合。在这个模型中，图灵模式和行波之间的双稳态区域来自余维2图灵波分叉（TWB）。在该区域内发现了距离TWB相当远的DPD。我们研究了图灵和波模式之间的单界面的动力学。据发现，DPD的存在是由于锁定的界面速度，这是由这些接口附近的时空缺陷的情况下施加。
2000-05-19 nlin.PS
Turing patterns resulting from a Sturm-Liouville problem
研究了反应扩散系统中扩散项对应于Sturm-Liouville问题的斑图形成.这些对应于扩散系数取决于空间变量$\nabla \cdot \left( \mathcal{D} ( {\mathbf x} ) \nabla {\mathbf u} \right)$的问题。我们发现图灵不稳定性的条件是相同的情况下，均匀扩散，但非线性分析必须推广到考虑一般的正交本征函数，而不是标准的傅立叶方法。特殊情况下$\mathcal{D} (x)= 1-x^2$，解决方案是勒让德多项式的线性组合，进行了详细研究。从发达国家的一般非线性分析，产生条纹和斑点的条件得到，这是数值验证使用Schaneknberg系统。与均匀扩散的情况不同，由于勒让德多项式的性质，产生了具有可变波长的条纹和斑点图案，并且当波长增加时，预测从条纹到斑点的变化。所获得的模式可以模拟生物系统中的条纹或斑点积累接近边界和这里开发的理论可以应用于研究图灵模式与其他本征函数相关的Sturm-Liouville问题。
2022-11-24 nlin.PS
On the speed of propagation in Turing patterns for reaction-diffusion systems
本研究分析图灵斑图形成中局部扰动引发的瞬态波，通过边缘稳定性准则与包络方程弱非线性分析估计波速，证明两种方法在分岔点附近给出相同波速，并用Schnakenberg和CDIMA动力学数值验证，强调由扩散和反应动力学决定的特征传播速度对实验比较和瞬态波分析的重要性。
2024-03-14 nlin.PS
Hopf-Turing mixed mode and pattern selection in reaction diffusion systems
在Turing模和Hopf模存在的边界附近，导出了Gierer-Mainhardt模型的振幅方程。在Hopf-Turing混合模解稳定的参数区域内，观察到混合模间相互作用的混沌态。该混沌区域遵循强烈的空间周期顺序选择，然后是局部的、共振的、非常大的频率的时间振荡。一个时空强迫，负责观察到的，已被确定。
2001-11-27 nlin.CD nlin.PS
Dynamical failure of Turing patterns
在半干旱气候区植被格局的背景下，研究了空间均匀基底上反应系统中稳定无序格局的出现。结果表明，反应扩散系统，允许图灵不稳定性可能会表现出异质“玻璃”稳态，没有特征波长，如果与“慢”反应物的扩散速率是非常小的。在降低扩散常数的缓慢反应物的三个阶段被确定：强扩散产生一个稳定的均匀相，中间扩散意味着图灵（类晶体）图案，而在缓慢扩散限制的玻璃态是通用的稳定的解决方案。在这个无序阶段的动力学是至关重要的，与强烈的差异之间的本地和全球的启动。
2006-05-21 cond-mat.soft nlin.PS
Subcritical Turing bifurcation and the morphogenesis of localised patterns
本文研究反应–扩散系统中亚临界 Turing 分岔如何借同宿蛇行产生局域模式，并通过平衡源与损失效应揭示超临界向亚临界的转变及其稳健相变意义。
2025-06-09 nlin.PS
Formation and Persistence of Spatiotemporal Turing Patterns
这篇文章关注的是无结构状态下结构的稳定性和长时间动力学。发育生物学认为形态发生是化学反应和空间扩散之间竞争的结果。一个系统的两个反应扩散方程的浓度的两个形态发生剂减少到一个有限的常微分方程组。分析了该系统分支解的稳定性，严格地建立了分支解的长时间渐近性态。Schnakenberg和Gierer-Meinhardt方程作为例子进行了讨论。
2007-06-15 nlin.PS
Effective diffusion coefficients in reaction-diffusion systems with anomalous transport
我们证明了在具有次扩散的反应系统中的图灵模式可以在具有马尔可夫交叉扩散的有效系统中复制。有效系统具有与原系统相同的图灵不稳定性和相同的模式。如果粒子是短命的，瞬态动力学也被捕获。我们使用的交叉扩散系统来定义有效的扩散系数与异常传输的系统，我们展示了它们如何可以用来有效地描述图灵不稳定性。我们还表明，一个适当定义的合奏subdiffusing粒子的均方位移随时间线性增长，与我们以前的计算同意的扩散系数。我们通过数值积分分数阶反应扩散方程和它的正常扩散对应验证这些推论。我们的研究结果表明，交叉扩散行为可以作为异常运输的结果。
2020-01-28 cond-mat.stat-mech nlin.PS
Unilateral regulation breaks regularity of Turing patterns
我们考虑一个反应扩散系统经历图灵不稳定性，并增加了一个额外的单边源项。我们研究了它对图灵不稳定性的影响以及对所得到的图形的性质的影响。非光滑正齐次单边项$τv^-$具有良好的性质，但不能进行标准的线性稳定性分析。我们说明了非光滑的重要性的数值算例研究，这表明，图灵不稳定性可以大大改变，如果我们用任意精确的光滑近似取代这项。然而，非光滑单边项及其所有近似产生定性相似的模式，虽然不一定是从空间均匀稳态的小扰动发展。此外，我们表明，单边源打破了近似的对称性和规则性的经典模式，并产生不对称和不规则的模式。此外，一个给定的系统与单边源产生的空间模式，甚至比相同的系统，没有任何单边项的比率接近1的扩散参数。
2017-08-23 nlin.PS
Turing Patterns in two dimensional reaction-diffusion system: effect of an electric field
我们考虑了一个具有两个相互作用扩散粒子的二维类图灵系统。考虑到要带电的物质，我们包括沿给定方向的电场的效应，该效应可导致A.B.Rovinsky和M.Menzinger \cite{9}发现的漂移诱导不稳定性。这使得人们可以研究扩散和漂移之间的竞争，如Riaz等人所做的数值计算。我们在这里表明，可以找到一个分析公式的基础上的线性稳定性分析，结合了所有的影响，是已知的系统，也允许一些详细的预测。
2008-12-25 cond-mat.other nlin.PS
Turing instability in Reaction-Diffusion models on complex networks
研究了复杂网络上反应扩散模型的图灵不稳定性。在这里，我们重点讨论了三种类型的模型，即Erdens-Rényi，Watts-Strogatz和阈值网络模型。从这些模型所产生的图形的拉普拉斯矩阵的分析，我们在数值上揭示了两个扩散系数的参数空间上的均匀稳态的稳定和不稳定区域完全不同，这取决于网络架构。此外，我们还从理论上讨论了包含规则圆的规则增强环格以及当顶点数足够大时由阈值网络模型生成的网络的稳定区域和不稳定区域。
2016-03-28 math.PR nlin.PS
Pattern formation in reaction-diffusion systems with piece-wise kinetic modulation: an example study of heterogeneous kinetics
对模式涌现的研究以及对图灵模型的探索正在从理论和实验两个方面得到复兴。在这里，我们通过探索分段恒定动力学参数内的跳跃不连续性的影响，使用各种方法来识别和确认扩散驱动的不稳定条件，实现了空间相关反应动力学的稳定性分析。本质上，图灵模型中稳定性或不稳定性的存在是分段恒定动力学参数的局部性质，因此可以局部分析。特别是，参数是否在图灵空间内的局部评估提供了一个强有力的指示，即对于具有这些参数的足够大的区域，可以激发不稳定性。
2019-08-26 nlin.PS
Energetic and entropic cost due to overlapping of Turing-Hopf instabilities in presence of Cross Diffusion
本文系统地介绍了一个具有交叉扩散的非线性开放系统的动力学不稳定性的非平衡热力学。在交叉扩散的存在下，图灵不稳定性的改变的条件可以根据包含自扩散和交叉扩散系数的临界控制参数和波数来最好地观察。我们的主要重点是在熵和能量成本的图灵-霍普夫相互作用的静态斑图形成。根据反应扩散方程中Turing-Hopf余维不稳定性的相对分布，阐明了两个方面：斑图形成的能量消耗，特别是如何利用Hopf不稳定性来决定稳态浓度分布，以及揭示非平衡相变的可能性。为了理解这些现象，我们通过多尺度Krylov-Bogoiubov平均方法对相关的复Ginzberg-Landau方程进行了分析。由于霍普夫不稳定性，可以观察到，交叉扩散参数可以是自由能和浓度分布的巨大变化的来源。
2021-11-04 nlin.AO nlin.PS physics.app-ph
Turing instabilities from a limit cycle
图灵不稳定性是反应扩散系统中斑图形成的一个典型途径。在扩散驱动的不稳定性之后，齐次不动点在受到外部扰动时可能变得不稳定。结果，系统向一个稳定的非齐次吸引子演化。稳定的图案也可以通过扩散耦合振荡器的初始同步状态的振荡猝灭来获得。在文献中，这被称为振荡死亡现象。在这里，我们表明，振荡死亡只不过是一个图灵不稳定性的第一个返回映射相关的可激发系统在其同步周期状态。特别是，我们得到了一组封闭的条件，用于确定域中的参数空间，产生的不稳定性。这是一个自然的推广原来的图灵关系，在这种情况下，齐次解决方案的审查系统是一个周期性的时间函数。所得到的框架适用于嵌入在连续空间中的系统，以及那些定义在网络状的支持。的预测能力的理论进行了测试数值，使用不同的反应计划。
2014-11-26 nlin.PS
Turing patterns on a two-component isotropic growing system. Part 1: Homogeneous state and stability of perturbations in absence of diffusion
本研究针对生长域反应-扩散系统的稀释效应，提出适用于慢生长的均匀态线性解，推导无扩散下的图灵稳定性条件，并用Brusselator与BVAM反应模拟验证，揭示生长域模式形成的更丰富机制。
2023-08-23 nlin.PS
Free energy dissipation enhances spatial accuracy and robustness of Turing pattern in small reaction-diffusion systems
精确和鲁棒的空间顺序在生命系统中无处不在。1952年，阿兰·图灵提出了一种基于反应扩散系统中空间平移对称性自发破缺的斑图形成机制。关于图灵模式的动力学和结构有很多了解。然而，很少有人知道图灵模式的能量成本。本文用解析和数值方法研究了一类空间扩展的生化反应扩散系统的非平衡态热力学。我们发现图灵斑图的出现需要最小的能量耗散来驱动非平衡化学反应。在发病以上，只有一小部分的总能量消耗是用来克服扩散，以维持空间格局。我们发现，定位误差随着能量耗散的增加而减小，在生化振荡系统中，定时误差和能量消耗之间存在相同的权衡关系。在有限系统中，我们发现特定的图灵模式只存在于有限的分子总数范围内，而能量耗散扩大了这个范围，这增强了图灵模式对活细胞中分子数波动的鲁棒性。这些结果在大肠杆菌DNA分离的Muk系统的现实模型中得到验证。大肠杆菌，和可测试的预测的依赖性的准确性和鲁棒性的空间格局上的ATP/ADP比率。在一般情况下，这里开发的理论框架可以应用于研究空间扩展的生化系统的非平衡态热力学。
2022-06-03 cond-mat.stat-mech nlin.PS physics.bio-ph
From One Pattern into Another: Analysis of Turing Patterns in Heterogeneous Domains via WKBJ
从均匀性形成斑图形成已得到充分研究，但对非均匀介质中的破裂不稳定性知之甚少。将由于固有的空间异质性而观察到的空间图案与由于非线性不稳定性而出现的图案分开是不平凡的。利用WKBJ渐近方法研究了空间非均匀反应扩散系统的图灵不稳定性，得到了经典图灵条件的局部形式的不稳定性条件。我们发现，不稳定模的结构与空间均匀条件下的典型三角函数有很大的不同。不同的增长率模式局限于不同的空间区域。这种局部化有助于解释在异构环境中图灵系统模拟中观察到的常见振幅调制。我们数值证明了这一理论，给出了一个说明性的例子，涌现的不稳定性和惊人的复杂性所产生的空间异质反应扩散系统。我们的研究结果提供了深入了解系统驱动的外源异质性，以及连续的模式形成过程，注意到生物学中的大多数情况下不涉及对称性破缺从同质性，而是由顺序演变的异质状态。这里报告的不稳定性机制准确地捕捉到了这种演变，并将图灵的原始论文扩展到更广泛和更现实的系统类别。
2019-12-07 nlin.PS
Turing Instability in Reaction-Diffusion Systems with a Single Diffuser: Characterization Based on Root Locus
The University of Tokyo（东京大学）
本文提出了一种统一框架，将反应扩散系统建模为互联多智能体动态系统，通过根轨迹分析生物合理图灵不稳定性，并推导出分析生物网络的解析条件。
2013-08-31 cs.SY eess.SY nlin.PS
Turing bifurcation, criticality, and multistability in a nonlocal advection-reaction-diffusion equation
Hokkaido University（北海道大学）；Research Institute for Electronic Science, Hokkaido University（北海道大学电子科学研究所）
本文研究带逻辑增长的非局部平流-反应-扩散方程，分析相互作用核对图灵分岔临界性与多稳态性的影响，推导分岔判据与亚临界条件，经数值分析发现稳定齐次解可与稳定非齐次解或时间周期解共存。
2026-10-16 math.AP nlin.PS
Turing conditions for pattern forming systems on evolving manifolds
在生长或其他时间依赖域上的反应扩散系统中的模式形成不稳定性的研究出现在各种环境中，包括发育生物学、空间生态学和实验化学中的应用。分析这种不稳定性是复杂的，因为任何空间均匀的基态对时间有很强的依赖性，并且用于确定不稳定性开始的线性化扰动的所得结构本质上是非自治的。我们得到了扩散驱动的不稳定性的发病和结构的反应扩散系统在时间上发展的区域，在Laplace-Beltrami谱的时间演化的域和功能，指定的域的演化方面的一般条件。我们的研究结果给出了扩散不稳定性的充分条件措辞的微分不等式，这是通用的和简单的实施，尽管研究的问题的一般性。这些条件推广了大量的文献中已知的结果，如代数不等式通常用作静态域上的图灵不稳定性的充分判据，以及对特定类型的增长或特定域有效的近似渐近结果。我们证明了我们的一般图灵条件的各种领域与不同的演化规律，特别是显示如何洞察力可以获得，即使当域的变化迅速的时间，或当均匀的状态是振荡的，如在图灵-霍普夫不稳定性的情况下。高阶空间系统的扩展也包括作为一种方式来证明的一般性的方法。
2019-10-17 nlin.PS
Turing pattern formation in the Brusselator system with nonlinear diffusion
在本工作中，我们研究了密度相关的非线性扩散对量子选择器系统中斑图形成的影响。通过对基本解的线性稳定性分析，确定了图灵和振荡不稳定边界。与经典的线性扩散的比较表明，如何非线性扩散有利于图灵斑图形成的发生。我们研究了斑图形成的过程中，在一维和二维空间域。通过弱非线性多尺度分析，我们推导出的平稳模式的振幅方程。振幅方程的分析表明，发生了一些不同的现象，包括稳定的超临界和亚临界图灵模式与多个分支的稳定的解决方案，导致滞后。此外，我们考虑行波图案化波：当域的大小是大的，图案的形式顺序和行波波前的前兆图案。我们推导出了Ginzburg-Landau方程，并描述了旅行前包围一个模式，侵入域。我们的径向对称目标模式的出现，并通过匹配过程中，我们构建的外部振幅方程和内核的解决方案。
2013-10-24 math-ph math.MP nlin.PS
Simple and Superlattice Turing Patterns in Reaction-Diffusion Systems: Bifurcation, Bistability, and Parameter Collapse
本文研究了两组分反应扩散系统中简单图灵斑图（如条纹、六边形）与"超晶格"图灵斑图（超正方形、超六边形）之间的竞争.“超晶格”图案由八个或十二个傅立叶模式形成，并以两个不同的长度尺度特征结构。利用微扰理论，我们推导出简单的解析表达式的分歧方程系数的菱形和六边形晶格。这些表达式表明，无论反应动力学如何复杂，非线性反应项减少到只有四个有效的分支方程系数的条款。此外，在六边形退化时-当六边形分叉方程中的二次项消失时-有效系统参数的数量下降到两个，允许在此退化的可能的分叉结果的完整表征。然后将一般结果应用于特定的模型方程，以研究这些模型中不同模式的稳定性。
1998-07-14 nlin.PS patt-sol
Turing instability and pattern formation on directed networks
网络上的斑图形成，由自治反应扩散方程系统引起，已经成为科学文献中的一个常见研究课题。在这项工作中，我们主要关注有向网络。虽然之前已经做了一些工作来理解模式是如何在有向网络上出现的，但这些工作将他们的注意力限制在拉普拉斯矩阵（对应于网络）可对角化的网络上。在这里，我们解决的问题“如何检测斑图形成，如果拉普拉斯矩阵是不可对角化的？“为此，我们发现，这是有用的，也解决了相关的斑图形成所产生的系统的反应扩散方程与非本地（全球）反应动力学的问题。然后，这些结果被推广到包括非自治系统以及时间网络，即，允许拓扑结构随时间变化的网络。
2022-05-22 nlin.PS
Finite propagation enhances Turing patterns in reaction-diffusion networked systems
University of Namur（南纳穆尔大学）
该研究将 Cattaneo 有限传播框架引入复杂网络上的反应-扩散系统，证明图灵不稳定性可在更广泛条件下出现，并通过扩展的 FitzHugh-Nagumo 模型模拟验证。
2021-10-05 math-ph math.DS math.MP
Front and Turing patterns induced by Mexican-hat-like nonlocal feedback
我们考虑墨西哥帽形非局部空间耦合的影响，即，对称长程抑制叠加短程激发，在前传播的一个模型中的一个扩散反应扩散系统。我们表明，前传播的速度可以控制到一定的耦合强度超过空间周期性的图案，如图灵图案或空间均匀的解决方案和图灵图案的共存，可能会引起。这种行为是通过线性稳定性分析的空间均匀的稳定状态和数值研究的完整的非线性方程依赖于非局部耦合强度和兴奋性和抑制性耦合范围的比率。
2015-02-11 nlin.PS
Synchronization Patterns in Geometrically Frustrated Turing Rings
耦合非线性振子可以表现出各种各样的模式。我们研究了自催化反应扩散模型中的自催化反应器。在强非线性的极限下工作提供了一个清晰的时间尺度分离，这导致了在单个整流器中的鸭式爆炸。在这种高度非线性的制度，它是数值计算发现，环的耦合meselators不遵循的预测，从车削分析。我们发现，该行为可以解释使用分段线性近似。
2015-04-06 nlin.PS
Turing's diffusive threshold in random reaction-diffusion systems
Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems（马克斯·普朗克复杂系统物理研究所）；Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, Centre for Mathematical Sciences, University of Cambridge（剑桥大学数学科学中心应用数学与理论物理系）
研究探讨了在N>2的随机反应-扩散系统中，扩散阈值是否降低，从而允许真正的图灵不稳定性，并通过随机矩阵分析证明了多物种系统的复杂性。
2021-02-25 cond-mat.soft nlin.PS q-bio.PE
Physical interactions promote Turing patterns
该研究通过考虑反应-扩散系统中物种间的直接物理相互作用，发现弱排斥可降低图灵斑图形成的条件，强相互作用诱导相分离，从而统一了传统图灵斑图与化学活性相分离理论。
2023-04-14 nlin.PS physics.bio-ph
A theory for detecting the Turing instability on static and temporal multiplex networks
Department of Mathematics and Statistics, University of Otago（奥塔哥大学数学与统计系）
本研究提出一种适用于层间扩散缺失的多重网络线性不稳定性分析通用框架，推导了拉普拉斯矩阵可交换多重网络的不稳定性显式不等式，并将其应用于群岛两物种捕食-食饵模型以验证有效性。
2026-10-09 nlin.PS
Turing Patterning in Stratified Domains
分层介质中的反应扩散过程出现在几个科学领域，如模式形成E。大肠杆菌在琼脂基质上，表皮-间充质耦合的发展，并打破细胞极化。我们开发了一个双层反应扩散系统的建模框架，并将其与一系列现有的模型。我们推导出扩散驱动的空间均匀平衡的不稳定性的条件类似于经典的图灵不稳定性在最简单的非平凡设置，其中一个域有一个标准的反应扩散系统，和其他只允许扩散的条件。由于这两个区域之间的横向耦合，计算拉普拉斯本征函数的标准技术不能应用，所以我们提出了一种替代方法来直接计算色散关系。我们比较不稳定的条件与完整的数值模拟，以证明图案的几何形状和耦合参数的影响，并探索各种实验相关的渐近制度。在该制度中，第一域是适当的薄，我们恢复一个简单的调制的标准图灵条件，并发现，往往广泛的影响，仅扩散域是减少系统的能力，形成图案。我们还展示了这种耦合对斑图形成的复杂影响。例如，我们表现出非单调性的图案形成的不稳定性相对于几何和耦合参数，并强调从一个域中的动力学和扩散之间的非平凡的相互作用的不稳定性在其他。这些结果是有价值的通知设计选择的应用程序，如图灵模式的合成工程，但也为了解分层介质在调制模式形成过程中的作用，在发育生物学和超越。
2020-09-17 nlin.PS q-bio.CB
Diffusion-driven demographics -- Turing model as a concept for the emergence of sedentism
静坐是人类历史上的一个决定性时刻。在一篇评论文章中，Kay和Kaplan量化了早期人类定居点的土地使用情况，发现sedentism和农业的出现齐头并进。对于这些定居点来说，可以确定两个主要的土地使用类别，即耕作和生活，而对于狩猎采集社会来说，没有明显的区别。在两个不同群体的行为中寻找这一点是很自然的，定居者和农民。两个不同的区域和两个群体的发展使我们假设，定居点的出现是扩散驱动的图灵不稳定性的结果。在这篇简短的通讯中，我们进一步说明了这一点，并表明这导致了一种定期的定居安排，这种安排今天在农业地区仍然可以看到。
2020-05-11 nlin.PS physics.soc-ph q-bio.PE
Spatial Heterogeneity Localizes Turing Patterns in Reaction-Cross-Diffusion Systems
受异质环境中细菌趋化性和多物种生态相互作用的影响，我们研究了一个一维的反应-交叉扩散系统，该系统中存在着空间异质性.在一个合适的渐近假设下，运输是缓慢的域，而在反应的异质性的梯度是不是太尖锐，我们研究的非均质稳态近似的系统中没有运输的稳定性。使用WKB的分析，我们发现，这种稳定状态可以经历图灵型不稳定域的子集，导致形成本地化的模式。图案形成区域的边界由对应于由空间变量参数化的空间均质分析的“局部”图灵条件渐近给出。我们开发了一个通用的开源代码，这是免费提供的，并显示在Schnakenberg交叉扩散系统，凯勒-西格尔趋化模型，和Shigesada川崎寺本模型与异质参数的本地化斑图形成的数值例子。我们数值计算表明，模式可能会发生二次不稳定性，导致时空运动的尖峰，虽然这些仍然近似在渐近预测的本地化区域。这一理论可以优雅地区分空间结构，由于背景异质性，从图灵型不稳定性出现的空间格局。
2023-03-06 nlin.PS q-bio.CB q-bio.PE
Single-morphogen Turing instability driven by nonlinear intracellular-extracellular coupling
Universidad Autónoma de San Luis Potosí（圣路易斯波托西自治大学）；Universidad Autónoma de la Ciudad de México（墨西哥城自治大学）
本文证明将单一分子种类区分为细胞内和细胞外场，并通过膜转运或非线性基础产生速率耦合，可产生扩散驱动（图灵）不稳定性，并推导了相应条件，通过数值模拟展示了空间模式。
2026-06-23 nlin.PS
WKBJ approximation for linearly coupled systems: asymptotics of reaction-diffusion systems
渐近分析已成为研究反应扩散方程和斑图形成的常用方法，特别是当考虑对原始模型的推广时，例如空间异质性，其中即使对线性化方程也通常不可能找到解析解。WKBJ方法，一个更强大的渐近方法研究耗散现象捕获的线性方程组，最近被应用到图灵模型在一个异质环境。它证明了预期的修改，在一个均匀的设置，如本地模式和本地图灵条件获得的结果。在这种情况下，我们试图推广的标量WKBJ理论的多组分系统。我们更广泛的数学方法的结果在一般的逼近定理系统的常微分方程。我们讨论的情况下，指数和振荡行为的第一次处理之前的一般情况。随后，我们证明了一个典型的图灵系统的近似定理中使用的谱特性，从而表明这样的近似是合理的。请注意，我们的方法是通过显示解决方案接近（使用合适的权重函数来测量误差）Airy函数的线性组合。
2021-04-19 nlin.PS
Turing Patterns in a Morphogenetic Model with Single Regulatory Function
本文研究合成Nodal-Lefty反应-扩散系统中图灵斑图的涌现机制，通过线性稳定性分析和弱非线性分析推导振幅方程，揭示亚临界图灵失稳在耗散结构形成中的关键作用。
2025-09-19 nlin.PS
Stationary peaks in a multivariable reaction--diffusion system: Foliated snaking due to subcritical Turing instability
在肺血管和肺发育的背景下使用的侧支化的激活剂-抑制剂-底物模型被认为是基于激活剂的空间局部浓度触发局部侧支化的假设。该模型由四个耦合的反应扩散方程组成，其定常局部解在一维（1D）上服从一个八维空间动力系统。模型内的静态局部结构被发现与亚临界图灵不稳定性和组织内的一个不同类型的叶状蛇形分叉结构。这种行为又与参数空间中存在的交换点有关，在该交换点处，均匀浓度态的复前导空间本征值被一对实本征值所取代;该交换点在该系统中起着Belyakov-Devaney点的作用。初级叶状蛇形结构由周期性尖峰或尖峰列组成，具有$N$相同的等距尖峰、$N=1,2,\dots \,$以及由不相同的非等距尖峰组成的交联。该结构是复杂的多脉冲状态，其中一些也计算，并跨越参数范围从主图灵分叉的所有方式折叠的$N=1$状态。这些状态形成了一个复杂的模板，局部物理结构在2D中的横向发展。
2021-04-22 nlin.PS q-bio.TO
Forced patterns near a Turing-Hopf bifurcation
我们研究了图灵-霍普夫分岔点附近空间扩展模式的时间周期强迫。一个基于正则形式的分析产生了几个预测，包括（i）弱强迫附近的固有的霍普夫频率增强或抑制图灵振幅的量，规模平方与强迫强度，和（ii）最强的效果是从霍普夫频率失谐的强迫。为了将我们的结果应用到具体的模型中，我们对一般的两组分反应扩散系统进行了扰动分析，揭示了强迫是抑制还是增强了空间模式。对于抑制的情况，我们的结果解释了以前的CDIMA化学反应实验的特点。然而，我们也发现了增强的情况下，这还没有在实验中观察到的例子。数值模拟验证了预测的强迫参数的依赖性。
2009-07-02 nlin.PS
Scaling of submicrometric Turing patterns in concentrated growing systems
图灵型的周期性空间结构的波长是所考虑的反应扩散动力学的一个内在属性，我们解决了在微观尺度上给定的动力学参数的控制问题。直接模拟蒙特卡罗方法，最初介绍了模拟粒子动力学在稀薄气体，适用于模拟浓溶液。我们在适当的边界条件下对亚微米图灵图案进行了模拟，并表明考虑到溶剂在化学机制中的作用使我们能够控制结构的波长。通常，溶液浓度加倍导致波长减小2。研究结果可用于化工中亚微米性能可控材料的设计。这也可以被认为是胚胎在形态发生中比例保持的一种可能解释。
2018-07-04 nlin.PS
Pattern selection in the Schnakenberg equations: From normal to anomalous diffusion
研究了经典和分数阶Schnakenberg方程中的斑图形成，以理解反常扩散的非局部效应。从线性稳定性分析入手，我们发现，如果激活剂和抑制剂具有相同的扩散功率，则图灵不稳定性空间只取决于扩散系数之比$κ_1/κ_2$ .然而，较小的扩散功率可能会引入更大的不稳定波数和更宽的频带，这意味着图案可能是更混乱的分数的情况下。然后，我们应用弱非线性分析来预测图灵空间中的斑点，条纹和混合模式的参数制度。我们的数值模拟证实了分析结果，并展示了正常和异常扩散对斑图形成的差异。我们发现，在超扩散的存在下，图案表现出多尺度结构。扩散功率越小，不稳定波数越大，斑图尺度越小。
2021-06-18 math.DS nlin.PS
Information Thermodynamics of Turing Patterns
本文建立了由含时空间分布恒化器驱动的反应扩散系统的严格热力学描述。基于局部平衡的假设，利用化学网络拓扑的对称性构造了非平衡热力学势。它表明，典型的（resp。半随机正则）非平衡自由能作为一个李雅普诺夫函数在松弛平衡的封闭（分别）。开放）系统及其变体提供了操纵物质浓度所需的最小工作量。该理论被用来研究分析图灵斑图形成在一个典型的反应扩散系统，一维扩散模型，并将其归类为一个真正的热力学非平衡相变。
2018-03-14 cond-mat.stat-mech nlin.PS
Turing patterns in Matrix-Weighted Networks
IMT School for Advanced Studies（高等研究IMT学院）；INdAM-GNAMPA Istituto Nazionale di Alta Matematica ‘Francesco Severi’（意大利高等数学国家研究所‘弗朗切斯科·塞韦里’）；University of Namur（那慕尔大学）
本文研究了矩阵加权网络中图灵图案的形成机制，通过引入节点依赖的正交矩阵，将相干网络的扩散转换为标准加权网络，从而分析网络拓扑、权重和变换对图案形成的影响。
2026-07-21 cond-mat.stat-mech math.DS nlin.PS
Diffusion-Driven Instability of a fourth order system
我们分析了反应扩散系统的扩散驱动（图灵）不稳定性。本文的创新之处在于用四阶双拉普拉斯算子和二阶拉普拉斯算子的组合来代替传统的拉普拉斯扩散算子。当四阶项和二阶项竞争时，我们发现了新的现象，这意味着其中一个使系统稳定，而另一个使系统不稳定。我们用系统中的参数值来表征图灵空间，也用域的大小和张力参数来找到不稳定的判据。
2018-07-03 math.SP nlin.PS
Degenerate Turing bifurcation and the birth of localised patterns in activator-inhibitor systems
University of Bristol（布里斯托大学）
本文通过两种参数标度下的规范形计算，证明了激活-抑制系统中图灵分岔的亚临界与超临界性质，并揭示余维二退化分岔及局域斑图的诞生机制。
2026-09-25 nlin.PS
Turing Instability in a Boundary-fed System
利用一个真实的二氧化氯-碘-丙二酸（CDIMA）反应扩散系统模型，对该系统局域结构的形成进行了数值研究。我们分析了沿边界馈给所施加的梯度形成的一维图案，并研究了它们对横向于这些梯度的平面中的破缺扰动（图灵不稳定性）的线性稳定性。我们建立了一个经常调用的简单的局部线性分析，忽略了纵向扩散是不合适的预测这些模式的线性稳定性。使用一个完全不均匀的分析，我们调查的结构形成的图案沿梯度和它们的稳定性横向图灵斑图形成作为两个控制参数的值的函数：丙二酸进料浓度和尺寸的反应器在沿梯度的尺寸。从这次调查的结果进行了比较与现有的实验。
1998-06-19 nlin.PS patt-sol
Turing pattern theory on homogeneous and heterogeneous higher-order temporal network system
本文提出了高阶时序网络上反应-扩散过程Turing不稳定性的一般理论框架，通过定义新Laplacian和平均化方法推导系统简洁形式，揭示了时变特征与多体相互作用能生成创新多样的斑图。
2025-04-29 nlin.PS physics.bio-ph
A Turing instability in the solid state: void lattices in irradiated metals
图灵（或双扩散）不稳定性描述了反应扩散系统中的图案形成，并于1952年被提出作为自然界中斑图形成的潜在机制，如豹斑和斑马条纹。由于该机理要求反应物种具有显著不同的扩散速率，因此仅发现了少数表现出该现象的液相化学反应体系。在固体中，情况明显不同，因为诸如杂质或其他缺陷的物质通常具有扩散率$\propto\!\exp\left( -E/k_{\rm B} T\right)$，其中$E$是迁移势垒，而$T$是温度。这通常导致扩散速率相差几个数量级。在这里，我们使用一个简单的，极小模型表明，一类重要的新兴模式在固体中，即辐照金属中的空超晶格，也可以解释的图灵机制。分析结果证实了相场模拟。该模型（Cahn-Hilliard方程的间隙和空位浓度，再加上创建和湮灭条款）是通用的，该机制也可以负责在许多固态系统中观察到的图案和结构。
2019-03-21 cond-mat.mtrl-sci nlin.PS
Solution landscape of reaction-diffusion systems reveals a nonlinear mechanism and spatial robustness of pattern formation
本研究开发出可系统绘制反应扩散系统解景观的高效算法，发现稳定空间模式可在图灵不稳定性前经鞍结分岔形成，还拓展方法评估模式抗噪稳定性，揭示第三物种对小型生化系统中模式抗强内禀噪声的关键作用。
2024-08-19 nlin.PS physics.bio-ph
Competition of spatial and temporal instabilities under time delay near codimension-two Turing-Hopf bifurcations
研究了一类反应扩散方程在时滞作用下余维2 Turing-Hopf分支附近的时空不稳定性的竞争问题。时滞的存在显著地改变了系统的振荡频率、本征波矢以及图灵模和霍普夫模的强度。适当的时滞的应用可以控制图灵模和霍普夫模之间的竞争。分析表明，单独或两个反馈可以实现图灵模式和霍普夫模式之间的转换的控制。二维数值模拟验证了分析结果。
2011-08-03 cond-mat.other nlin.PS
Nonclassical Turing instabilities induced by superdiffusive transport in FitzHugh-Nagumo dynamics
University of Palermo（巴勒莫大学）
本文研究了FitzHugh-Nagumo动力学中由超扩散传输引起的非经典泰勒不稳定性，揭示了超扩散对模式形成和不稳定性机制的影响。
2026-03-03 math-ph math.MP nlin.PS
Instabilities and Patterns in Coupled Reaction-Diffusion Layers
我们研究扩散耦合的反应扩散层的不稳定性和斑图形成。对于两个相同的两组分反应的两层系统，我们利用线性问题的块对称结构分析了均匀定态的稳定性。存在八种可能的主要分叉情形，包括涉及两个不同长度尺度的图灵-图灵分叉，其比率可以经由层间耦合来调谐。对于系统的$n$组件层和不同的层，线性问题的块形式允许近似分解成低维线性问题，如果耦合是足够弱的。作为一个例子，我们将这些结果应用到一个两层的反射器系统。在整个系统的数值模拟中，线性问题中设计的竞争长度尺度是显而易见的。选择$\sqrt{2}$：1长度比例可产生不寻常的稳定方形图案。
2012-01-21 nlin.PS
Turing instability in oscillator chains with non-local coupling
本文用解析和数值方法研究了非局域耦合的一维非线性振子链中发生图灵不稳定性的条件，使得耦合强度随空间距离呈幂律衰减.一个范围参数可以覆盖两个限制的情况下，本地（最近的邻居）和全球（所有到所有）的耦合。我们考虑一个非线性自催化反应扩散模型的例子。
2011-02-14 nlin.AO nlin.PS
