A monotone Lagrangian casebook
Jack Smith
我们提出了一系列新的计算拉格朗日弗洛尔理论，表现出有关辛约化，分级周期性，闭开映射的意见。我们还说明了Perutz的辛Gysin序列和被子理论的Wehrheim和伍德沃德。
We present an array of new calculations in Lagrangian Floer theory which demonstrate observations relating to symplectic reduction, grading periodicity, and the closed-open map. We also illustrate Perutz's symplectic Gysin sequence and the quilt theory of Wehrheim and Woodward.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A topological constraint for monotone Lagrangians in hypersurfaces of Kähler manifolds
本文建立了积分Kähler流形中某些复超曲面的单调Lagrange嵌入的拓扑约束。作为应用，我们证明了将$S^{1}\times S^{2k}$ s的连通和作为单调拉格朗日量嵌入到$\mathbb{C}P^{2k+1}$中是不可能的.
On the topology of monotone Lagrangian submanifolds
在对$C^{n}$的单调拉格朗日子流形的泛覆盖同调的某些假设下，我们发现了它们的拓扑上的新的障碍。特别是，我们证明了奇维流形的非平凡连通和不承认单调拉格朗日嵌入到$\C^{n}$，而这些例子中的一些是已知的承认通常的拉格朗日嵌入。在3维中，我们得到一个推论，即${\bf C}^{3}$中唯一可定向的拉格朗日量是乘积$S^{1}\times Σ$。
Notes on monotone Lagrangian twist tori
在标准辛向量空间、复射影空间和球面积中构造了单调拉格朗日环面。我们解释如何将这些拉格朗日环面分类为辛同胚和哈密顿合痕，以及如何证明它们不能被哈密顿合痕取代。
Families of monotone symplectic manifolds constructed via symplectic cut and their Lagrangian submanifolds
我们描述家庭的单调辛流形通过辛切割程序的Lerman从余切丛的流形赋予一个自由的圆行动。我们还对某些紧流形在这些辛流形中的单调拉格朗日嵌入给出了障碍。
Hamiltonian unknottedness of certain monotone Lagrangian tori in $S^2\times S^2$
证明了$S^2\times S^2$中的单调拉格朗日环面与Clifford环面是Hamilton同位素的，该环面适当地位于具有两个部分的辛纤维化中。
Obstructions to the existence of monotone Lagrangian embeddings into cotangent bundles of manifolds fibered over the circle
推广了Damian的结构和结果，得到了在圆上纤维化的全空间的余切丛中存在闭单调Lagrange嵌入的拓扑障碍.
On exotic monotone Lagrangian tori in $\mathbb{C}P^2$ and $S^2 \times S^2$
本文证明了Chekanov和Schlenk构造的奇异单调Lagrange环面和Biran的圆丛构造的奇异单调Lagrange环面在$\mathbb{C}P^2$和$S^2 \times S^2$中是Hamilton同位素的.
Monotone Lagrangians in flag varieties
本文给出了梯度全纯圆盘的Maslov指标公式，它是梯度全纯球面的Chern数公式在Hamilton $S^1$作用下的相对形式.利用这个公式，我们对部分旗流形上Gelfand-Cetlin系统的所有单调Lagrange非复曲面纤维进行了分类。
Infinitely many monotone Lagrangian tori in $\mathbb{R}^6$
我们在$\mathbb{R}^6$中构造了无穷多个单调拉格朗日环面族，其中没有两个族与Hamilton合痕（或辛同胚）相关。这些家庭的区别是（任意大）家庭的马斯洛夫指数2伪全纯光盘，他们绑定。
Products and connected sums of spheres as monotone Lagrangian submanifolds
本文研究 $\mathbb{C}^n$ 中单调 Lagrange 子流形的 Maslov 类限制，并通过构造球面的积与连通和等新例子证明部分限制的尖锐性。
Toric constructions of monotone Lagrangian submanifolds in $\mathbb{CP}^2$ and $\mathbb{CP}^1 \times \mathbb{CP}^1$
本文从$\mathbb{CP}^2$中Chekanov-Schlenk奇异环面的复曲面模型中提取出复曲面辛流形中拉格朗日子流形的构造方法。这些构造允许对单调性进行一些控制。我们恢复这种方式，一些已知的单调拉格朗日复曲面辛流形$\mathbb{CP}^2$和$\mathbb{CP}^1 \times \mathbb{CP}^1$以及新的例子。
Infinitely many exotic monotone Lagrangian tori in CP^2
与从CP ^2到CP（a^2，b^2，c^2）的每次退化相关，对于（a，b，c）一个马尔可夫三元组-满足a^2 + b^2 + c^2 = 3abc -的正整数，存在一个单调拉格朗日环面，我们称之为T（a^2，b^2，c^2）。我们采用辛域论的技术来证明，没有两个他们是哈密顿同位素彼此。
Non-isotopic monotone Lagrangian submanifolds of $\mathbb{C}^n$
设$P$是$\mathbb{R}^k$中的一个Delzant多面体，它具有$n+k$小平面.我们将$\mathbb{C}^n$的一个闭拉格朗日子流形$L$与每个Delzant多胞形相关联。证明了$L$是单调的当且仅当多胞形$P$是Fano.我们提出了“拉格朗日版本的德尔赞特定理”。然后对偶$p$和$n$构造了$S^{p-1} \times S^{n-p-1} \times T^2$到$\mathbb{C}^n$的$\frac{p}{2}$单调拉格朗日嵌入，其中没有任何两个嵌入是由Hamilton同位素关联的.这些嵌入中的一些是光滑的同位素，并具有相等的最小马斯洛夫数，但它们不是哈密尔顿同位素。此外，我们还构造了$S^{2p-1} \times S^{2p-1} \times T^2$到$\mathbb{C}^{4p}$的无穷多个非单调拉格朗日嵌入，其中没有两个是由Hamilton同位素相关的。
Monotone Lagrangian submanifolds of $\mathbb{C}^n$ and toric topology
Mironov、Panov和Kotelskiy研究了$\mathbb{C}^n$中的Hamilton极小拉格朗日函数。他们将一个封闭的嵌入拉格朗日$L$与每个德尔赞多面体$P$相关联。本文发展了他们的思想，证明了$L$是单调的当且仅当多面体$P$是Fano.在一些例子中，我们进一步计算最小马斯洛夫数。也就是说，令$\mathcal{N}\to T^k$是$k$维环面上的某种纤维化，其纤维等于$S^k \times S^l$或$S^k \times S^l \times S^m$或$\#_5(S^{2p-1} \times S^{n-2p-2})$。我们构造了具有不同最小Maslov数的单调Lagrange嵌入$\mathcal{N} \subset \mathbb{C}^n$，从而区分了Lagrange合痕.此外，我们证明了我们的一些嵌入是光滑的同位素，但不是拉格朗日同位素。
Spectral invariants for monotone Lagrangians
由于谱不变量是由维泰博在开创性的论文“辛拓扑作为生成函数的几何”中通过生成函数在余切丛中引入的，它们已经在各种背景下被定义，主要是通过弗洛尔同调理论，然后被用于各种各样的应用。在本文中，我们将它们的定义扩展到单调拉格朗日，这是迄今为止最普遍的情况下，一个“经典”的弗洛尔理论已经开发。然后，我们收集并证明了这些不变量所满足的性质，这些性质对于它们的应用是至关重要的。最后，作为一个示范，我们应用这些新的不变量的辛刚性的一些特定的单调拉格朗日。
Infinitely many monotone Lagrangian tori in higher projective spaces
本文将 Vianna 在复射影平面中构造的无穷多个奇异单调 Lagrangian 环面提升到高维射影空间，并借助 Pascaleff–Tonkonog 穿墙公式证明它们互不同痕等价。
Monotone Lagrangians in $\mathbb{CP}^n$ of minimal Maslov number $n+1$
证明了极小Maslov数$n + 1$的$\mathbb{CP}^n$中的单调拉格朗日$L$同胚于球面的二重商，从而同伦等价于$\mathbb{RP}^n$ .为了证明这一点，我们使用Zapolsky的规范珍珠复形的系数在$\mathbb{Z}$和各种扭曲的版本，其中扭曲是由连接覆盖的$L$的$L$。主要工具是$\mathbb{CP}^n$的量子上同调对所得到的弗洛尔同调的作用。
Monotone Lagrangians in cotangent bundles of spheres
本文研究了 $T^*S^n$ 的紧致单调 Fukaya 范畴，证明其由零截面 $S^n$ 和一族单参数单调拉格朗日环面分裂生成，并得出具有非平凡 Floer 上同调的闭定向 spin 单调拉格朗日子流形不可分离的推论。
Homological Lagrangian monodromy for some monotone tori
本文系统研究单调 Lagrangian $n$-环面的同调 Lagrangian 单值群，完整刻画单调环面纤维情形，推进二维分类并提出一般猜想。
Periodic leaf-wise intersection points from Lagrangians
研究了单调辛流形中切触型超曲面的叶向交点。我们发现，单调的Floer本质拉格朗日检测周期性的leaf-wise相交点接触型的Reeb流是Zoll的超曲面。例子包括出现在单调复曲面负线丛中的预量化束。推广到弱+单调负线丛，我们证明了某些环面子丛的叶向交点的存在性。证明结合了减少辛上同调与原来的方法所采用的Albers-Frauenfelder证明这种整体存在的结果。
On Certain Lagrangian Submanifolds of $S^2\times S^2$ and $C P^n$
我们考虑$C P^n, S^2\times S^2$的单调拉格朗日子流形和$C P^n$的二次超曲面的各种构造。在$S^2\times S^2$和$C P^2$，我们表明，几种不同的已知结构的外来单调环面产生的结果是哈密顿同位素彼此，特别是回答吴的问题，表明单调纤维的复曲面退化模型的$C P^2$是哈密顿同位素的切卡诺夫环面。将我们的构造推广到更高的维度，使我们考虑二次曲面和$C P^n$的单调拉格朗日子流形（通常不是环面），这可以用$T^*S^n$上的测地线流或Biran圆丛构造来理解。与以前已知的单连通闭辛流形的单调拉格朗日子流形不同，我们的许多高维拉格朗日子流形是可移位的。
Infinitely many monotone Lagrangian tori in del Pezzo surfaces
我们构造几乎环面纤维化（ATF）的所有del Pezzo表面，赋予单调辛形式。除$\mathbb{C}P^2 \# 1 \overline{\mathbb{C}P^2}$和$\mathbb{C}P^2 \# 2 \overline{\mathbb{C}P^2}$外，我们还得到了三角形的几乎复曲面基图（ATBD），并证明了当k= 0，3，4，5，6，7，8时，在$\mathbb{C}P^2 \# k \overline{\mathbb{C}P^2}$中存在无穷多个单调拉格朗日环面的辛同胚（特别是Hamilton合痕）类.我们将其命名为tori $Θ^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$。利用Karpov-Nogin的工作，我们能够对所有三角形的ATBD进行分类。我们能够证明，$\mathbb{C}P^2 \# 1 \overline{\mathbb{C}P^2}$也有无穷多个单调拉格朗日环面的辛同胚，我们猜想，同样适用于$\mathbb{C}P^2 \# 2 \overline{\mathbb{C}P^2}$。最后，在del Pezzo曲面$X$内的拉格朗日环面$Θ^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$可以看作是ATF的单调纤维，使得在其边缘上存在一个固定的反正则辛环面$Σ$。我们认为，$Θ^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$产生无穷多个确切的拉格朗日环面在…
Legendrian submanifolds from Bohr-Sommerfeld covers of monotone Lagrangian tori
根据Ziltener的一个结果，对于全空间为标准接触球的预量子化丛，在$\mathbb CP^n$中不存在封闭的嵌入Bohr-Sommerfeld拉格朗日量.另一方面，任何嵌入的单调拉格朗日环面有一个典型的非平凡覆盖，这是一个玻尔-索末菲浸入。我们绘制了二维Clifford和Chekanov环面（前者是Harvey-Lawson特殊拉格朗日锥的Legendrian链）的三重覆盖的接触达布球内相应Legendrian升力的前投影，并计算了相关的Chekanov-Eliashberg代数。虽然这些Legendrians是不宽松的，我们表明，他们都承认确切的拉格朗日配边宽松的Legendrian领域，因此，他们承认确切的拉格朗日帽的symplectisation，这是非正规的拉格朗日配边。一路上，我们还计算bilinearised Legendrian接触的同源性的一般Legendrian表面在标准的接触向量空间时，所有的Reeb弦是积极的程度，以及增强品种的情况下，环面。
Floer homology on the universal cover, a proof of Audin's conjecture and other constraints on Lagrangian submanifolds
本文建立了单调拉格朗日子流形的弗洛尔同调的一个新形式，并应用它证明了Audin猜想的一个推广形式：若$L$是一个非球面流形，且在${\bf C^{n}}$中有一个单调拉格朗日嵌入，则它的Maslov数等于$2$ .我们还证明了最大Maslov数的单调拉格朗日子流形$L\subset M$在Hamilton合痕可置换的假设下的拓扑的其他结果。
Chekanov torus and Gelfand--Zeitlin torus in $S^2 \times S^2$
切卡诺夫环面是第一个已知的\emph{exotic}环面，一个不是标准单调拉格朗日环面的哈密顿同位素的单调拉格朗日环面。我们探讨之间的关系的Chekanov环面$S^2 \times S^2$和单调拉格朗日环面已被引入之前Chekanov的建设\cite{Chekanov}。证明了Gelfand-Zeitlin系统中的单调Lagrange环面纤维与$S^2 \times S^2$中的Chekanov环面是Hamilton同位素的.
Noncommutativity of monotone Lagrangian cobordisms
本文在CP^7中构造了从L到(L_1, L_2)的单调自旋拉格朗日配边，证明其反向配边不存在，揭示了单调拉格朗日配边的非交换性。
Monodromy and isotopy of monotone Lagrangian tori
我们定义了新的哈密顿同痕不变量的单调拉格朗日环面嵌入辛4-流形。我们表明，在标准的辛4-空间，这些不变量区分单调的克利福德环面从切卡诺夫环面。
On linking of Lagrangian tori in $\mathbb{R}^4$
本文证明了辛向量空间$(\mathbb{R}^4, ω)$中拉格朗日环的环链的一些结果。我们表明，某些枚举计数的全息光盘提供有用的信息链接。这使我们能够证明，例如，任何两个克利福德环面是在一个强意义上不链接。本文推广了Dimitroglou Rizell和Evans关于$\mathbb{R}^4$中单调Lagrange环面与一类非单调环面的联系的工作，并加强了他们在$\mathbb{R}^4$中单调情形下的结论.
Remarks on monotone Lagrangians in $\mathbf{C}^n$
通过对$L$上具有边界的Maslov 2全纯圆盘的模空间的拓扑的观察，然后利用Damian定理给出了从该模空间到$L$的求值映射具有非零度的条件，得到了单调拉格朗日子流形$L\subset\mathbf{C}^n$的拓扑的一些限制.特别地，我们证明了一个可定向的3-流形允许一个单调拉格朗日嵌入$\mathbf{C}^3$，只有当它是一个产品，这是一个变化的定理的一个定理。最后证明了单调拉格朗日浸入的一个h-原理。
Unlinking and unknottedness of monotone Lagrangian submanifolds
该研究在特定拓扑假设下证明了同单调性常数的单调拉格朗日子流形的无环绕性与纽结类型由同伦论数据决定，并推导出复维数≥5的奇数维辛向量空间中所有单调拉格朗日环面光滑同痕。
Families of monotone Lagrangians in Brieskorn--Pham hypersurfaces
我们目前的技术，灵感来自monodromy的考虑，在某些仿射超曲面，主要是Brieskorn-Pham型的构造紧凑的单调拉格朗日。我们专注于2维和3维，尽管这些结构可以推广到更高的维度。该技术提供了显着的纬度在控制的同调类，马斯洛夫类和单调常数的拉格朗日，和一系列可能的同形类型，他们也是明确的，足以服从伪全纯曲线不变量的计算。应用程序包括无限家庭的单调拉格朗日$S^1 \times Σ_g$在$\mathbb{C}^3$，区分软不变量的任何属$g \geq 2$ ;和固定的软不变量，一系列的无限家庭的拉格朗日在Brieskorn-Pham超曲面。它们通常是不同的，直到哈密尔顿合痕。在特定的情况下，我们还建立了明确的计数的马斯洛夫零全纯环，区分拉格朗日到紧支撑的辛同胚。除其他外，这些家庭的确切单调拉格朗日环面相关的几何突变，也不是companies支持symplectomorphisms。
The Maslov class of Lagrangian tori and quantum products in Floer cohomology
利用Floer上同调证明了Audin的一个猜想的单调版本：C^n中单调拉格朗日环面的最小Maslov数为2。我们的方法是基于研究的量子上积的Floer上同调，特别是行为的哦的谱序列就这个产品。作为进一步的应用，我们证明了存在的全纯磁盘的边界上的拉格朗日以及新的结果拉格朗日相交。
Singularities of Lagrangian mean curvature flow: monotone case
本文研究了$\C^n$中单调拉格朗日函数的中曲率流的奇异性。更确切地说，我们表明，如果奇点发生在一个临界时间之前，那么切流可以分解成一个有限的面积最小化拉格朗日锥（渣锥）的工会。当$n=2$时，我们可以通过显示重新缩放的流的连接分量收敛到面积最小化锥来改进该结果，而不是可能的非面积最小化炉渣锥的并集。在最后一节中，我们给出了这种奇点形成的具体例子。
Non-displaceable Lagrangian submanifolds and Floer cohomology with non-unitary line bundle
我们证明了在许多例子中，拉格朗日子流形的Hamilton合痕的不可约性可以通过具有非酉线丛的拉格朗日Floer上同调来证明。例子包括复曲面Fano流形中的所有单调拉格朗日环面纤维（Entov和Polterovich也通过辛拟态理论证明了这一点），一些非单调拉格朗日环面纤维。我们还将Oh和作者关于Lagrange环面纤维的Floer上同调的计算结果推广到所有环面Fano流形的情况，去掉了以前工作中的凸性假设。
Symplectic topology of Lagrangian submanifolds of CP^n with intermediate minimal Maslov numbers
研究了CP^n中一类单调拉格朗日子流形的辛拓扑特征.首先，我们给出了CP^n中首次积分同调为3-挠的拉格朗日子流形的上同调限制。特别地，当n= 5，8时，我们证明了这类拉格朗日子流形的系数在Z_2上的上同调分别同构于SU（3）/（SO（3）Z_3）和SU（3）/Z_3的上同调.其次，利用Biran-Cornea理论计算了CP^{p^2-1}中单调拉格朗日子流形SU（p）/Z_p的系数在Z_2上的Floer上同调.
Displacing Lagrangians in the manifolds of full flags in C^3
在辛几何中，一个非常重要的问题是一个（拉格朗日）子流形是否是可置换的，也就是说，它是否可以通过一个哈密尔顿合痕而与自身不相交。在这些注记中，我们分析了SU（n）及其作为Gelfand-Tsetlin映射纤维的拉格朗日子流形的余伴随轨道。我们用余伴随作用来置换大量的这些纤维。然后，我们集中在n=3的情况下，并应用McDuff的方法的探针，以表明“大多数”的通用Gelfand-Tsetlin纤维是可替换的。“大多数”在非单调情况下意味着“除了一个之外的所有”，并且在单调情况下意味着“除了1参数族之外的所有”。在非单调满旗流形的情况下，我们明确地给出了唯一的不可位移拉格朗日纤维（S^1）^[3]。该纤维已被证明在\cite{NNU}中不可置换。我们的贡献是取代了其他纤维，从而证明了它的独特性。
Monotone Lagrangian Floer theory in smooth divisor complements: III
这是第三篇论文中的一系列论文研究交叉Floer理论的拉格朗日补充光滑因子。我们完成了这种拉格朗日量的弗洛尔同调的构造。
The Z-graded symplectic Floer cohomology of monotone Lagrangian sub-manifolds
定义了一个整数分次辛Floer上同调和一个Fintushel-Stern型谱序列，它们是单调Lagrange子流形和正合同位素的新的不变量. Z-分次辛Floer上同调是通常的Z_Sigma（L）-分次Floer-Oh上同调的积分提升。证明了谱序列的Kunneth公式及其上的环结构，并通过谱序列由Lagrange子流形的上同调环结构导出了Z_Sigma（L）-分次Floer上同调环结构.利用Z-分次辛Floer上同调，我们给出了嵌入拉格朗日量的H_∞能量e_H（L）、拉格朗日量L的收敛谱序列的最小辛作用量σ（L）、最小Maslov指数σ（L）$ and the smallest integer k(L, phi$之间的一些相互交织的关系.
Lagrangian Quantum Homology for Lagrangian cobordism
我们将拉格朗日量子同调的定义推广到单调拉格朗日配边，并建立了它的一般代数性质。特别是，我们开发了一个相对版本的拉格朗日量子同源性相关的协边相对于其边界的一部分，并研究这种不变量的环境量子同源性的关系。
Cluster algebras and monotone Lagrangian tori
本文研究簇代数与单调Lagrangian环面的联系，给出充分条件构造无穷多个互不等价的单调Lagrangian环面，并应用于旗流形。
Monotone Lagrangian Floer theory in smooth divisor complements: II
本文的第一部分研究了开辛流形中的全纯圆盘和带的模空间，它同构于闭辛流形中光滑因子的补。特别地，我们引入了这个模空间的紧化，称为RGW紧化。本文的目的是证明RGW紧化允许Kuranishi结构。这一结果提供了关键成分的主要建设这一系列的文件：弗洛尔同调单调拉格朗日在一个光滑的除数补充。
Spectral diameter of negatively monotone manifolds
本研究针对闭负单调辛流形，在含不可压缩重拉格朗日子流形的条件下构造欧氏空间到其哈密顿微分同胚群的拟等距嵌入，并证明其骨架相对Donaldson超曲面的超重性，推进辛拓扑谱直径相关研究。
Quantum cohomology and Fukaya summands from monotone Lagrangian tori
针对紧辛流形内的单调拉格朗日环面，证明几何闭开映射诱导量子上同调分解为含雅可比环局部化的乘积，通过描述福卡亚范畴直和项验证镜像对称预期并建立生成准则，为理解量子上同调结构和约束超势提供支撑。
Fixed point Floer cohomology of disjoint Dehn twists on a w+-monotone manifold with rational symplectic form
本文显式描述了 w+-单调有理辛流形中不相交 Lagrangian 球面 Dehn 扭曲的 Floer 上同调，通过计数半带条在单调辛流形中定义并证明了一类不动点 Floer 上同调的消失性，计划借此为 Seidel 长正合序列提供新的几何证明。
Zoo of monotone Lagrangians in $\mathbb{C}P^n$
本文将 Delzant Fano 多面体关联为 $\mathbb{C}P^{n-1}$ 中的单调 Lagrange 子流形，提出量子上同调计算方法并构造宽窄实例，同时以辛拓扑反向研究实二次曲面交的上同调环。
Discrete and continuous symmetries in monotone Floer theory
研究了辛流形$X$的单调拉格朗日子流形$L$在各种对称性下的自Floer理论.首先假设$L$是$K$ -齐次的，并计算了$X$的低余维$K$ -不变子簇在长度为零的闭开弦映射下的象.接下来，我们考虑组$\mathrm{Symp}(X, L)$保$L$ setwise的$X$的辛同胚，并延长其作用在哦谱序列的系数的任意特征，将其作用在类的全纯光盘。这对微分施加了限制，迫使它们在某些情况下消失。结合这些技巧研究了射影空间乘积空间中的一类齐次拉格朗日量，它们具有一些不寻常的性质。
Monotone Lagrangian Floer theory in smooth divisor complements: I
本文讨论了开辛流形中作为光滑因子的补的拉格朗日子流形的弗洛尔同调。这种构造的主要新特征是我们不对除数的正性或负性做任何假设。为了实现这一目标，我们使用一个紧化的模空间的伪全纯光盘到因子补满足拉格朗日边界条件，是强于稳定的映射紧化，并受到启发的紧化，用于相对Gromov-Witten理论。这是第一个一系列的三篇论文，这紧的介绍和一些基本性质作为一个拓扑空间，必不可少的定义拉格朗日弗洛尔同调，建立。
On Exotic Lagrangian Tori in CP^2
我们利用镜像对称的技巧在CP^2中构造了一个奇异的单调拉格朗日环面。我们表明，它的边界10个家庭的Maslov指数2全纯磁盘，它遵循的是，这种异国情调的环面不是哈密顿同位素已知的克利福德和Chekanov环面。
Real Lagrangian Tori and Versal Deformations
一个给定的拉格朗日子流形能被实现为一个反辛对合的不动点集吗？如果是，则称为\emph{real}。给出了闭的拉格朗日子流形成为实子流形的一个障碍，它依赖于附近拉格朗日量的位移能。应用这个障碍环面纤维，我们得到的许多（可能是所有）环面单调辛流形的中心纤维是真正的，只有当相应的时刻多面体是中心对称的。此外，我们嵌入Chekanov环面在所有的环面单调辛流形，并表明它是奇异的，而不是真正的，推广金的结果（arXiv：1909.09972）$S^2 \times S^2$。在$S^2$的内积中，我们证明了Chekanov环面的所有乘积是两两不同的，也不是实数.这些结果表明，真正的环面是罕见的。我们的方法是初等的，因为我们不使用~ $J$ -全纯曲线。相反，我们依赖于辛约化和$\mathbb{R}^{2n}$中乘积环面的位移能。
Lagrangian Circle Actions
我们考虑保给定的紧单调拉格朗日量的Hamilton自同态在辛流形中的路径，该辛流形扩展到$S^1$ -Hamilton作用。我们计算了相应的拉格朗日Seidel元的首项。我们表明，这样的路径最小化的拉格朗日HALLESS长度。最后，我们应用这些计算拉格朗日unirudness，并给出了一个很好的介绍真正的拉格朗日Fano辛环面流形的量子上同调。
Lagrangian Cobordisms in Liouville manifolds
拉格朗日配边的Floer理论是由Biran和Cornea发展起来的，用来研究单调辛流形的导出的Bracaya范畴的三角结构。本文解释了如何使用停止语言来研究刘维尔流形中的拉格朗日配边和导出的包裹类范畴中的相关正合三角形。此外，我们还计算了有限型非紧Riemann曲面的配边群。
On the extrinsic topology of Lagrangian submanifolds
利用Floer同调方法研究了闭辛流形中的拉格朗日子流形及其子流形的外拓扑.第一个结果断言，置换单调拉格朗日子流形的同调类在环境辛流形的同调中消失。结合这与谱不变量，我们提供了一个新的机制，证明拉格朗日相交的结果，例如，需要任何两个简单连接的拉格朗日子流形在$\CP^n\times\CP^n$必须相交。
Quantum Structures for Lagrangian Submanifolds
我们讨论各种代数量子结构相关的单调拉格朗日子流形，我们提出了一些应用，计算和例子。
Refined disk potentials for immersed Lagrangian surfaces
我们定义了一个细化的Gromov-Witten磁盘潜力的自横置单调浸入拉格朗日曲面在辛4-流形作为一个元素的上限版本的Chekanov-Eliashberg的dg-代数的奇异链接的二重点（一个集合的Legendrian的Hopf链接）。我们给出了一个表示光滑二重点后的势能的手术公式。我们研究了复射影平面中单调浸入拉格朗日球的精化势，发现了不能用辛同胚从复直线和复二次曲线中置换出来的单调球。我们还得到一般限制球势使用勒让德电梯接触5球。
Floer homotopy theory for monotone Lagrangians
本文通过引入N-截断、R-定向流范畴及其模预谱，克服了单调拉格朗日子流形Floer同伦型构造中的曲率障碍，赋予Floer上同调以Steenrod代数作用，并利用Oh-Pozniak型谱序列揭示普通Floer同调无法检测的相交拓扑限制。
Floer Cohomology and Geometric Composition of Lagrangian Correspondences
我们证明了在精确和单调的设置下的几何组成的拉格朗日对应的Floer上同调的同构。
Equivariant Lagrangian displacements
本文通过发展Borel等变量子上同调，证明了标准辛向量空间中某些单调拉格朗日子流形不能被与对径映射交换的哈密顿同痕位移，并揭示了Floer–Euler类在等变微分中的作用。
Lagrangian Cobordism I
本文讨论了拉格朗日子流形的配边性（在单调情形下），并将其构造为一个范畴，它以函子的方式与一个适当的（导）子流形范畴相联系。还讨论了障碍的协边的基础上的性质的拉格朗日量子同源性，关系到拉格朗日手术，以及非同位素，但协边拉格朗日的例子。这是我们2011年9月早期预印本的修订版。
Tropical disk potential for almost toric manifolds
本文基于先前工作，为近toric四流形中的Lagrangian tori推导出热带公式，扩展了Mikhalkin关于射影平面holomorphic sphere的结果，并通过del Pezzo表面的例子验证了该公式。
A Leray-Serre spectral sequence for Lagrangian Floer theory
我们认为辛纤维化在Guillemin-Lerman-Sternberg，并推导出一个谱序列来计算Floer上同调的某些纤维拉格朗日坐在一个紧凑的辛纤维化小单调纤维和合理的基础。我们证明了如果纤维拉格朗日量的场系数的Floer上同调为零，则总拉格朗日量的场系数的Floer上同调也为零。我们给出了一个应用到某些非环面纤维的Gelfand-Cetlin系统在旗流形，并证明了他们的Floer上同调为零。
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