Derivations and identities for Fibonacci and Lucas polynomials
本文引入了多项式代数的Fibonacci和Lucas导子的概念，证明了导子核的任何元素都定义了Fibonacci和Lucas多项式的多项式恒等式。证明了Appel多项式的任何多项式恒等式都能得到Fibonacci多项式和Lucas多项式的多项式恒等式，并给出了相应的交织映射。
2012-07-26 math.CO math.NT math.RA
Fibonacci Numbers and Their Lucas Coefficients
本文建立 Fibonacci 数与 Lucas 数之间的卷积恒等式，将 Fn 表示为 Lucas–Fibonacci 乘积和除以 n-1，并通过归纳法与数值示例加以验证。
2025-08-26 math.NT
Complementary Families of the Fibonacci-Lucas Relations
在本文中，我们提出了两个家庭的Fibonacci-Lucas身份，与苏里的身份是最有名的代表之一的家庭。虽然这些结果可以证明的基本身份有关的斐波那契和卢卡斯序列，我们也提供了一个双射证明。这两个家庭，然后处理生成函数。
2016-06-29 math.CO math.NT
More Fibonacci-Bernoulli relations with and without balancing polynomials
我们继续研究了伯努利多项式与平衡（Lucas-balancing）多项式之间的关系。从这些多项式的关系，我们推导出新的组合身份与Fibonacci（卢卡斯）和Bernoulli数。此外，我们证明了一个特殊的身份涉及伯努利多项式和斐波那契数的等差数列。特殊情况和一些推论将突出我们发现的有趣方面。我们的结果补充和推广了Frontczak（2019）的结果。
2020-07-29 math.NT
Fibonacci sums and divisibility properties
本文利用 Sury 多项式恒等式的变体推导有限斐波那契与卢卡斯和的新表达式，并将其推广到相关多项式及 Horadam 序列，进而用于发现和证明整除性质。
2023-12-03 math.NT
Transcendental Series of Reciprocals of Fibonacci and Lucas Numbers
设$F_1=1,F_2=1,\ldots$为斐波那契数列。受到$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{F_{2^k}}=\frac{7-\sqrt{5}}{2}$这个恒等式的启发，埃尔德什和格雷厄姆提出了一个问题：对于任何正整数序列$n_1,n_2,\ldots$和$\frac{n_{k+1}}{n_k}\geq c>1$，$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{F_{n_k}}$是否是无理数。我们解决了他们的问题的超越对应：作为我们的主要定理的特殊情况下，我们有，$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{F_{n_k}}$是超越时，$\frac{n_{k+1}}{n_k}\geq c>2$。绑定的$c>2$是最好的，这要归功于开头的标识。本文提供了一种应用子空间定理获得超越结果的新方法，推广了以前仅用Mahler方法获得的$n_k=d^k+r$形式的特殊序列的非平凡结果.
2020-09-05 math.NT
A determinant of generalized Fibonacci numbers
我们评估一个行列式的广义斐波那契数，从而提供了一个共同的概括的几个行列式的评估结果，以前已经出现在文献中，所有这些扩展卡西尼的身份斐波那契数。
2012-04-03 math.CO math.NT
Generalization of an Identity of Andrews
我们考虑一个由G. G发现的将斐波那契数与帕斯卡三角形联系起来的恒等式。E.安德鲁斯几位作者提供了证明这一身份，他们都相当参与或依赖于复杂的数论参数。不仅给出了一个简单初等的证明，而且证明了该恒等式推广到了Pascal三角形以外的数组。作为应用，我们得到的身份三项式系数和加泰罗尼亚的三角形斐波那契数。
2006-10-05 math.CO math.NT
Matrix Powers of Column-Justified Pascal Triangles and Fibonacci Sequences
如果L和R分别是元素为binom{i-1，j-1}和binom{i-1，n-j}的矩阵，则已知L^2 = I（mod 2），R^3 = I（mod 2），其中I是n维> 1的单位矩阵（参见P10735- 1999年5月的《美国数学月刊》）。我们将它推广到任何素数p，并给出了一个美丽的连接到斐波那契数。
2000-10-18 math.CO math.NT
Partial Sums of the Fibonacci Sequence
设$(F_n)_{n\ge 1}$为斐波那契数列。定义$P(F_n): = (\sum_{i=1}^n F_i)_{n\ge 1}$ ;即，函数$P$给出$(F_n)$的部分和序列。本文首先给出一个涉及$P^k(F_n)$的恒等式，它是将$P$应用于$(F_n)$ $k$次的结果序列.其次，我们提供了一个组合的解释$P^k(F_n)$中的数字。
2021-06-04 math.CO math.NT
The Fibonacci numbers are not an additive uniqueness set for multiplicative functions
Department of Mathematics Education, Kyungnam University（庆南大学数学教育系）
本文通过构造反例，否证了 Spiro 关于斐波那契数构成乘法函数加法唯一性集合的猜想，并给出 AI 辅助搜索与验证方法。
2026-09-09 math.NT
Generalized Identities of Certain Continued Fractions
在这篇文章中，我们将发现关于连分数的一些新的广义恒等式。我们将把结果与斐波那契数和卢卡斯数联系起来。对于所有的证明，我们将使用归纳法。
2019-07-30 math.NT
A method for obtaining Fibonacci identities
Lomonosov Moscow State University（莫斯科国立罗蒙诺索夫大学）
本文讨论了卢卡斯序列的恒等式，提出了一种获取递推序列恒等式的方法，并发现了一种插值类型的二阶线性递推关系恒等式。
2018-05-16 cs.IT cs.NA math.IT
On Sum of a Polynomial Multiplied by Generalized Fibonacci Numbers
本文研究广义Fibonacci序列与多项式乘积的部分和，证明其可表示为三项多项式组合，并给出解的唯一性与无穷性条件。
2025-05-09 math.NT
$k$-Lucas Annulus for Polynomial Zeros
该研究证明关联$k$-卢卡斯与$k$-斐波那契序列的二项式恒等式，结合环域原理得到含$n$次复多项式零点的$k$-卢卡斯环域，补充相关基于$k$-斐波那契的界。
2026-10-06 math.NT
Further Extensions of Sury's Identity
Washington & Lee University（华盛顿与李大学）；Ürümqi Bayi High School（乌鲁木齐八一中学）
本文通过简单方法扩展Sury恒等式，推导出多个新的求和公式，连接卢卡斯数、斐波那契数和2的幂。
2026-05-09 math.CO math.NT
Generalized Fibonacci polynomials and Fibonomial coefficients
The focus of this paper is the study of generalized Fibonacci polynomials and Fibonomial coefficients. The former are polynomials {n} in variables s and t given by {0} = 0, {1} = 1, and {n} = s{n-1}+t{n-2} for n ge 2. The latter are defined by {n choose k} = {n}!/({k}!{n-k}!) where {n}! = {1}{2}...{n}. These quotients are also polynomials in s and t, and specializations give the ordinary binomial coefficients , the Fibonomial coefficients, and the q- binomial coefficients . We present some of their fundamental properties, including a more general recursion for {n}, an analogue of the binomial …
2013-07-26 math.CO math.NT
Gap-Sums via Quasi-Arithmetic Means with Applications to Fibonacci and Lucas Sequences
University of Evansville（伊文斯维尔大学）；Kenyon College（肯扬学院）
本文通过拟算术均值统一研究递增整数序列中缺失整数的和，推广了Barry的算术间隙和到几何与调和情形，并应用于斐波那契和卢卡斯序列，得到调和间隙和指数收敛到ln(α)以及倒数和渐近展开式。
2026-06-28 math.CO math.NT
Solutions for $k$-generalized Fibonacci numbers using Fuss-Catalan numbers
该研究提出k-广义斐波那契数Fₖ(n)的新表达式，利用Fuss-Catalan数给出其特征多项式根的显式形式，量化渐近近似精度，提供任意初始条件下的递推基，扩展前人结果并发现多变量Dickson多项式关联及伴随矩阵新恒等式。
2025-08-26 math.CO math.NT
An identity relating $n$-nacci numbers, partitions, and products of binomial coefficients
本文通过研究最终类型和其相关划分，推导出n-nacci数的恒等式，并比较了不同偏序关系。
2026-01-24 math.CO math.NT
Sums of Squares: Methods for Proving Identity Families
本文提出了一种方法和结果。结果给出了序列$F^{(k)}$的前$m+1,m \ge 0,$平方和的封闭公式，其中每个成员是前一个$k$成员的和，初始条件为$k-1$ 0后跟1。推广的结果包括已知的结果总和平方的斐波那契数和最近的结果Schumaker的总和平方的Tribonacci数。为了统一证明所有$k,$的身份的代数验证方法，它减少了身份的证明，以验证的平等的许多对有限次多项式，可能在几个变量。其他几个文件证明家庭的身份进行检查，并建议，收集统一的证明方法，在这些文件中使用的可能会产生一个新的趋势，说明和证明身份。
2022-05-01 math.NT
Elliptic solutions of dynamical Lucas sequences
研究了Lucas序列的两类动力扩张，并给出了它们的椭圆解.第一种类型涉及涉及交换变量的水平依赖（或离散时间依赖）版本。我们证明了这个系统的一个很好的解决方案是由椭圆数。第二种类型涉及卢卡斯序列的非交换版本，它定义了由Johann Schueller引入的非交换（或抽象）斐波那契多项式。如果非对易变量被专门化为椭圆-对易变量，则抽象的Fibonacci多项式成为非对易椭圆Fibonacci多项式。我们得出的一些属性，这些包括他们的显式扩张的规范化单项式和非交换椭圆欧拉-卡西尼身份。
2021-01-28 math.CO math.NT math.QA
Cassini-Catalan Determinants via Ramanujan's Theta Identity
本文利用拉马努金 theta 恒等式统一推导 Fibonacci 数的 Cassini 与 Catalan 行列式，并推广到划分细化版本及高阶递推，揭示其模形式来源与组合意义。
2025-08-16 math.CO math.NT
When Fibonacci and Lucas Meet Smith: A Computational Exploration
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)（巴西联邦技术大学）
本文通过计算搜索，在斐波那契序列和卢卡斯序列中发现新的史密斯数，其中卢卡斯序列在索引小于1000时找到10个，斐波那契序列找到7个，且两序列在索引827处均存在史密斯数。
2026-09-03 math.HO math.NT
Generalized Stirling transform
在本文中，算法开发用于计算斯特林变换和逆斯特林变换，具体地说，我们研究了一类序列满足两项递归。我们导出了一个推广了通常的Stirling变换的一般恒等式，并研究了相应的生成函数。此外，这些结果的一些有趣的后果有关的经典序列，如Fibonacci，Bernoulli和一些乱序已被导出。
2012-12-05 math.CO math.NT
Identities and estimations involving the least common multiple of strong divisibility sequences
本文首先证明了对于任意强整除序列$\boldsymbol{a} = \left(a_n\right)_{n\geq 1}$，我们有恒等式：$\mathrm{lcm} \left\lbrace \binom{n}{0}_{\bf{a}}, \binom{n}{1}_{\bf{a}},\dots, \binom{n}{n}_{\bf{a}} \right\rbrace = \frac{\mathrm{lcm} \left(a_1,\dots , a_n , a_{n+1}\right)}{a_{n+1}}$ $\left(\forall n \geq 1\right)$，推广了Farhi的恒等式（在2009年得到的关于$a_n=n$的恒等式）.然后，我们从这个恒等式推导出一些其他有趣的恒等式。最后，我们应用这些恒等式估计了某些Lucas序列的连续项的最小公倍数。用$\left(F_n\right)_n$表示通常的斐波那契序列，我们证明了例如对于所有的$n \geq 1$，我们有\[ Φ^{\frac{n^2}{4}-\frac{9}{4}} \leq \mathrm{lcm}\left(F_1,\dots,F_n\right) \leq Φ^{\frac{n^2}{3}+\frac{4n}{3}} , \]，其中$Φ$表示黄金分割率。
2020-04-10 math.NT
$k$-Fibonacci and $k$-Lucas numbers with the Hölder inequality
本文将Hölder与Cauchy不等式及其逆形式的幂和不等式链统一推广到k-Fibonacci与k-Lucas数，利用广义恒等式及交叉恒等式建立连接两族的Cauchy-Schwarz型不等式，并在k=1时得到普通Fibonacci与Lucas数间的显式初等不等式及相应细化。
2026-09-29 math.CA math.NT
Transforming Recurrent Sequences by Using the Binomial and Invert Operators
本文研究了二项式算子和逆（内插）算子在线性递归序列集合上的作用。我们证明，这些运营商保持这一套，我们确定他们如何改变的特征多项式。我们表明，这些运营商，与其他两个基本运营商（基本上是左，右移位）的帮助下，可以转换任何脉冲序列（从$(0,...,0,1)$开始的线性递归序列）到任何其他脉冲序列，通过两个过程，我们称之为\emph{construction}和\emph{deconstruction}。最后，我们给出了多项式序列和金字塔数的一些应用。证明了$r$ -斐波那契数数是$(r-1)$--bonacci数的Bell多项式变换.
2011-05-11 math.NT
The sequence of higher order Mersenne numbers and associated binomial transforms
本文提出高阶 Mersenne 整数序列，系统推导其 Binet 公式、恒等式、生成函数、求和关系及矩阵表示，并研究其二项式变换序列。
2023-07-16 cs.DM math.CO math.NT
On an upper bound of the degree of polynomial identities regarding linear recurrence sequences
本文推广了关于线性递推序列多项式恒等式次数的已有结果，证明了在弱假设下多项式次数的上界仅依赖于系数上下界和序列参数，而不依赖于项数 $k$。
2023-09-15 math.NT
