$k$-Fibonacci 与 $k$-Lucas 数的 Hölder 不等式
$k$-Fibonacci and $k$-Lucas numbers with the Hölder inequality
AI总结：
本文将Hölder与Cauchy不等式及其逆形式的幂和不等式链统一推广到k-Fibonacci与k-Lucas数，利用广义恒等式及交叉恒等式建立连接两族的Cauchy-Schwarz型不等式，并在k=1时得到普通Fibonacci与Lucas数间的显式初等不等式及相应细化。
AI中文摘要：
Dujella、Jak\v setić 和 Pe\v carić 近期在文献 \cite{DJP} 中建立了一串由 Hölder 不等式、Cauchy 不等式及其逆形式构成的幂和不等式链，并利用恒等式 $\sum_{i=1}^nF_i^2=F_nF_{n+1}$ 和 $\sum_{i=1}^nF_iF_{i+1}=F_{n+1}^2-\frac{1+(-1)^n}{2}$ 将其应用于 Fibonacci 序列。我们证明，这一方法可统一应用于 Falcón 和 Plaza 的单参数族 $k$-Fibonacci 数与 $k$-Lucas 数，借助推广的恒等式 \begin{align*} \sum_{i=1}^nL_{k,i}^2=\frac{L_{k,n}L_{k,n+1}-2k}{k},\qquad \sum_{i=1}^nF_{k,i}^2=\frac{F_{k,n}F_{k,n+1}}{k}, \end{align*} 以及 \begin{align*} \sum_{i=1}^nL_{k,i}L_{k,i+1}=\frac{L_{k,n+1}^2}{k}-k+\bigl((-1)^n-1\bigr)\left(\frac{2}{k}+\frac{k}{2}\right), \end{align*} 这些恒等式在 $k=1$ 时恢复经典的 Fibonacci 和 Lucas 恒等式。我们进一步利用交叉恒等式 $F_{k,i}L_{k,i}=F_{k,2i}$（对所有 $k\ge1$ 成立），得到连接这两个族的一个 Cauchy-Schwarz 型不等式，该不等式在仅含 Fibonacci 数的情形中没有对应物。当 $k=1$ 时，该不等式特化为普通 Fibonacci 数与 Lucas 数之间的一个完全显式的初等不等式，同时我们也为普通 Lucas 数获得了相应的 Hölder 和 Cauchy 转换细化。
英文摘要：
Dujella, Jak\v setić and Pe\v carić recently established in \cite{DJP}, a chain of power-sum inequalities, built from Hölder's and Cauchy's inequalities and their converse forms, and applied it to the Fibonacci sequence using the identities $\sum_{i=1}^nF_i^2=F_nF_{n+1}$ and $\sum_{i=1}^nF_iF_{i+1}=F_{n+1}^2-\frac{1+(-1)^n}{2}$. We show that this machinery applies uniformly across the one-parameter family of $k$-Fibonacci and $k$-Lucas numbers of Falcón and Plaza, via the generalized identities \begin{align*} \sum_{i=1}^nL_{k,i}^2=\frac{L_{k,n}L_{k,n+1}-2k}{k},\qquad \sum_{i=1}^nF_{k,i}^2=\frac{F_{k,n}F_{k,n+1}}{k}, \end{align*} and \begin{align*} \sum_{i=1}^nL_{k,i}L_{k,i+1}=\frac{L_{k,n+1}^2}{k}-k+\bigl((-1)^n-1\bigr)\left(\frac{2}{k}+\frac{k}{2}\right), \end{align*} which recover the classical Fibonacci and Lucas identities at $k=1$. We further exploit the cross-identity $F_{k,i}L_{k,i}=F_{k,2i}$, valid for every $k\ge1$, to obtain a Cauchy-Schwarz-type inequality linking the two families that has no counterpart in the Fibonacci-only setting. At $k=1$, this specializes to a fully explicit elementary inequality between ordinary Fibonacci and Lucas numbers, alongside the corresponding Hölder and Cauchy-conversion refinements we obtain for ordinary Lucas numbers.
