Width of codimension two knots

On codimension two embeddings up to link-homotopy

We consider knotted annuli in 4-space, called 2-string-links, which are knotted surfaces in codimension two that are naturally related, via closure operations, to both 2-links and 2-torus links. We classify 2-string-links up to link-homotopy by means of a 4-dimensional version of Milnor invariants. The key to our proof is that any 2-string link is link-homotopic to a ribbon one; this allows to use the homotopy classification obtained in the ribbon case by P. Bellingeri and the authors. Along the way, we give a Roseman-type result for immersed surfaces in 4-space. We also discuss the case of ri…

Width of a satellite knot and its companion

In the paper we prove the conjecture by Alexander Zupan that $w(K) \geqslant n^2w(J)$ where w denote the width and $K$ and $J$ are satellite knot and its companion with winding number $n$. Also we proved that for satellite knot with braid pattern, the equality holds.

On the tree-width of knot diagrams

We show that a small tree-decomposition of a knot diagram induces a small sphere-decomposition of the corresponding knot. This, in turn, implies that the knot admits a small essential planar meridional surface or a small bridge sphere. We use this to give the first examples of knots where any diagram has high tree-width. This answers a question of Burton and of Makowsky and Mariño.

关于纽结宽度的可加性

On the additivity of knot width

证明了三维空间中纽结的几何不变量宽度是近似可加的。也就是说，设N中的w（K）表示S ^3中的纽结K的宽度，则猜想w（K #K '）= w（K）+ w（K'）- 2。我们给出了一个纽结K_1的例子，使得对于K_2的任何2-桥纽结，似乎w（K_1 # K_2）= w（K_1），与猜想相矛盾。

卫星纽结宽度的一个下界

A lower bound on the width of satellite knots

3-球面中节点的薄位置由Gabai引入，并已在各种上下文中使用。我们猜想一个类似的定理舒伯特和Schultens关于桥数的卫星节。对于卫星纽结K，我们利用伴环T给出了w（K）的一个下界，证明了K有2-桥伴环的猜想.作为一个推论，我们发现薄的位置，任何卫星结的编织模式和2桥同伴。

MP-小被加数增加结的宽度

Mp-small summands increase knot width

Scharlemann和Schultens证明了对于任意一对纽结K_1和K_2，w（K_1 # K_2）大于或等于max{w（K_1），w（K_2）}。Scharlemann和Thompson给出了一个可能的例子，其中等式成立。利用Scharlemann-Schultens，Rieck-Sedgwick和Thompson的结果，证明了对于mp-小纽结的连通和K与任意非平凡纽结的连通和K'，w（K #K'）>w（K）.

Gabai宽度的算法定义

An Algorithmic Definition of Gabai Width

本文定义了纽结的Wirtinger宽度并证明其等于Gabai宽度，利用该算法性质高效计算了约50000个列表纽结的Gabai宽度上界。

3-具有平面表示的流形和伴纽结的宽度

3-manifolds with planar presentations and the width of satellite knots

我们考虑紧致3-流形M具有到R的浸没h，其中每个泛点逆是平面。三维球面子流形上的标准高度函数就是一个很好的例子。对于（M，h），我们关联一个连通图G。对于3-球面中的M，G是树当且仅当存在M的Fox再嵌入，其携带水平圆到互补子午线圆的完全集合。另一方面，如果M的补图的连通图是树，则存在M的保水平再嵌入，使得其补图是一个连通的多体和。推论：卫星结的宽度不小于其图案结的宽度。特别地，K_1 # K_2的宽度不小于K_1和K_2的宽度的最大值。

Seifert hypersurfaces of 2-knots and Chern-Simons functional

For a given smooth $2$-knot in $S^4$, we relate the existence of a smooth Seifert hypersurface of a certain class to the existence of irreducible $ SU(2)$-representations of its knot group. For example, we see that any smooth $2$-knot having the Poincaré homology $3$-sphere as a Seifert hypersurface has at least four irreducible $SU(2)$-representations of its knot group. This result is false in the topological category. The proof uses a quantitative formulation of instanton Floer homology. Using similar techniques, we also obtain similar results about codimension-$1$ embeddings of homology $3$…

宽度不是相加的

Width is not additive

我们发展了Scharlemann和Thompson提出的一种构造方法，得到了一个无限族的结点对$K_α$和$K'_α$，使得$w(K_α # K'_α)=max{w(K_α), w(K'_α)}$。这是第一个已知的例子，一对结，使$w(K#K')<w(K)+w(K')-2$和它建立的下界$w(K#K')\geq max{w(K),w(K')}$获得的Scharlemann和Schultens是最好的可能。此外，结$K_α$提供了一个结的例子，其中在薄位置的结的临界点的数量大于在桥位置的结的临界点的数量。

unknot和宽度可加性的同伴

Companions of the unknot and width additivity

已证实，对于$S^3$中的结$K$和$K'$，$w(K#K')= w(K)+w(K')-2$。Scharlemann和Thompson提出了这个猜想的潜在反例。对于每一个$n$，他们提出了一个结族${K^n_i}$，他们证明了$w(B^n#K^n_i)=w(K^n_i)$，其中$B^n$是桥号$n$结。我们表明，$n>2$没有结在${K^n_i}$产生这样的反例。

关于纽结宽度近似可加性的一个注记

A note on the nearly additivity of knot width

设k是S3中的一个纽结。在[8]中，H.N. Howards和J. Schultens介绍了一种从k的一个薄位置构造（S3，k）的双分枝覆盖的流形分解的方法。本文证明了：如果k的一个薄位置用Howards和Schultens的方法诱导了（S3，k）的双分枝覆盖的一个薄分解，则该薄位置是k的一个素和项的薄位置叠加在另一个素和项的薄位置上的素和项的和，以此类推，从而在这种情况下，k保持纽结宽度的近似可加性（即，对于k = k1·k2，w（k）= w（k1）·w（k2）-2）。此外，我们将把这个假设推广到这样的性质：一个薄的位置诱导一个流形分解，其厚的表面由强不可约或临界表面组成（因此拓扑最小）。

3-球面中纽结的圆薄位置

Circular thin position for knots in the 3-sphere

纽结补集C（K）= S^3 \K上的正则圆值莫尔斯函数是从C（K）到S^1的函数f，它分离临界点，并且在纽结的邻域中表现良好。这样一个函数在纽结外部E（K）= S^3 \N（K）上引起一个柄分解，其性质是每个正则水平曲面都包含纽结的一个塞弗特曲面。我们重新排列控制柄，使规则曲面尽可能简单。为了使这一点更精确，引入了E（K）的圆宽度的概念。当E（K）被赋予实现圆宽度的柄分解时，我们将说纽结K处于圆薄位置。我们用这个来表明，许多节点有一个以上的非同位素不可压缩塞弗特表面。我们还分析了一些纽结操作下的循环宽度的行为。

最小平结丝带

Minimal Flat Knotted Ribbons

本文给出了平面结带的数学模型，并对打三叶结和8字结所需的最小丝带长度（给定宽度）作了具体的计算。第一个猜想指出（对于宽度1），系一个开放式三叶结所需的最小丝带长度为L = 4（F + 1）/Sqrt[2 + F]，其中F =（1 + Sqrt[5]）/2是黄金分割率。第二个猜想指出，8字结的最小长度（在相同的意义上）是32/Sqrt[15]。

Natural properties of the trunk of a knot

The trunk of a knot in $S^3$, defined by Makoto Ozawa, is a measure of geometric complexity similar to the bridge number or width of a knot. We prove that for any two knots $K_1$ and $K_2$, we have $tr(K_1 \# K_2) = \max\{tr(K_1),tr(K_2)\}$, confirming a conjecture of Ozawa. Another conjecture of Ozawa asserts that any width-minimizing embedding of a knot $K$ also minimizes the trunk of $K$. We produce several families of probable counterexamples to this conjecture.

流形余维2-嵌入的余圈不变量

Cocycle invariants of codimension 2-embeddings of manifolds

考虑了n维流形M在R^{n+2}中的位置的经典问题。我们证明了对于一个纽结M到R^{n+2}的基本quandle，我们可以定义基本（n+1）-圈和影子基本（n+2）-圈.特别地，我们证明了对于嵌入R^{n+2}的图M的任何固定quandle、quandle着色和阴影quandle着色，我们有（n+1）-和（n+2）-（co）循环不变量（即在Roseman移动下不变量）。我们推测一个类似的建设一般杨巴克斯特运营商。

结和k宽度

Knots and k-width

研究了三维空间中曲线的几种整数不变量。我们证明了这些不变量的交叉数和全曲率的关系。

关于纽结Floer宽度与Turaev亏格

On knot Floer width and Turaev genus

对于每一个纽结$K\subset S^3$，我们可以把它的纽结弗洛尔同调调$\hat{HFK}(K)$，一个可生成的二阶阿贝尔群联系起来。一般来说，这些同调群的非零秩位于关于二分次的有限个斜率为1的直线上。同调的宽度实质上是两条这样的线之间的最大水平距离。此外，对于$K$的每个图$D$，都有一个相关联的Turaev曲面，并且Turaev亏格是$K$的所有Turaev曲面的最小亏格。我们证明了纽结弗洛尔同调的宽度受Turaev亏格加1的限制.给出了生成纽结弗洛尔同调的复形的Turaev曲面的亏格和宽度的Skein关系。

长n-纽结的位形空间积分、Alexander多项式和纽结空间上同调

Configuration space integral for long n-knots, the Alexander polynomial and knot space cohomology

有一个更高维度的微扰陈-西蒙斯理论的类似物，在这个意义上，一个类似的微扰系列在3维，这是计算通过配置空间积分，产生一个不变量的高维结（Bott-Cattaneo-Rossi不变量），这是由博特构造的程度2和Cattaneo-Rossi为更高的程度。然而，它的特点还不清楚。在本文中，我们限制的研究长带状n-knots和特点的Bott-Cattaneo-Rossi不变量作为一个有限型不变量的长带状n-knots在[HKS]。因此，我们得到了一个非平凡的描述的Bott-Cattaneo-Rossi不变的亚历山大多项式。对于高余维纽结也给出了结果。在这些情况下，定义Bott-Cattaneo-Rossi不变量的类似微分形式产生无穷多个Emb（R^n，R^m）的上同调类，如果m，n>= 3奇数且m>n+2。我们观察到这些类中有一半是非平凡的，沿着类似于Cattaneo-CottaRamusino-Longoni [CCL]的线。

Knots Connected by Wide Ribbons

A ribbon is, intuitively, a smooth mapping of an annulus $S^1 \times I$ in 3-space having constant width $\varepsilon$. This can be formalized as a triple $(x,\varepsilon, \mathbf{u})$ where $x$ is smooth curve in 3-space and $\mathbf{u}$ is a unit vector field based along $x$. In the 1960s and 1970s, G. Calugareanu, G. H. White, and F. B. Fuller proved relationships between the geometry and topology of thin ribbons, in particular the "Link = Twist + Writhe" theorem that has been applied to help understand properties of double-stranded DNA. Although ribbons of small width have been studied ext…

圆宽度的可加性

Additivity of Circular Width

我们证明了在某些情况下，圆的宽度在结点的连通和下是保持的。

二维纽结与双曲群的表示

Two-Dimensional Knots and Representations of Hyperbolic Groups

我们描述了双曲几何和余维两个结之间的关系，或者更确切地说，双曲n-流形M的基本群到$\operatorname{SO}^{\circ} (n+2,1)$和（n-1）维结（n+1）球的离散忠实表示的共轭类之间的品种。这种方法使我们能够发现闭n-流形M，$n\geq 3$，具有足够多的不相交全测地曲面的这些簇的非连通性现象，从而构造处处为野生的具有递归$π_1(M)$ -作用的拟对称无限复合“Julia”纽结$K\subset S^{n+1}$，并研究闭双曲n-流形上的圆丛和2-平面丛（具有几何结构）.

Folded ribbonlength of 2-bridge knots

A ribbon is a two-dimensional object with one-dimensional properties which is related with geometry, robotics and molecular biology. A folded ribbon structure provides a complex structure through a series of folds. We focus on a folded ribbon with knotted core. The folded ribbonlength $Rib(K)$ of a knot $K$ is the infimum of the quotient of length by width among the ribbons representing a knot type of $K$. This quantity tells how efficiently the folded ribbon is realized. Kusner conjectured that folded ribbonlength is bounded by a linear function of the minimal crossing number $c(K)$. In this …

关于嵌入空间的Weiss-Williams定理和长结空间的同伦类型

A Weiss-Williams theorem for spaces of embeddings and the homotopy type of spaces of long knots

本文建立了嵌入空间的伪同调结果，描述了块嵌入与普通嵌入在同伦度范围内的差异，并通过分析得出长结空间的同伦类型，包括同调群的计算。

链节和缠结补片中水平球的切割盘

Cut-disks for level spheres in link and tangle complements

吴已经表明，如果一个链接或结$L$在$S^3$在薄的位置有薄的领域，那么薄领域的最低宽度是一个必要的表面在链接补充。在本文中，我们表明，如果我们进一步假设$L \subset S^3$是素数，那么最低宽度的薄球也没有任何垂直割盘。我们还证明了$S^2 \times [-1,1]$中一种特殊缠结的结果。

链环合流蕴含链环同伦

Link concordance implies link homotopy

本文证明了余维数至少为二时链环合流蕴含链环同伦，通过扩展分层Morse理论与Cerf理论并引入手指移动消除障碍，证明了高维链环的同伦平凡性。

嵌入平面图中的良 quasi-序

Well-quasi-orders on embedded planar graphs

本文研究了嵌入平面图中经典minor关系的变种，证明其在不同约束条件下均为良quasi-序，拓展了拓扑图论的理论基础。