Many proofs that $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{π^2}{6}$ can be found in the conformal invariance of planar Brownian motion
Greg Markowsky
本文给出了欧拉恒等式的一些新的证明，这些证明都是概率性质的，并依赖于平面布朗运动的共形不变性。
A number of recent new proofs of Euler's celebrated identity are presented, all of which are probabilistic in nature and depend on the conformal invariance of planar Brownian motion.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On a Cameron--Martin Type Quasi-Invariance Theorem and Applications to Subordinate Brownian Motion
给出了从属布朗运动的一个Cameron-Martin型拟不变性定理。作为应用，我们在从属布朗运动的道路空间上建立分部积分法公式，构造了梯度算子，并得到了一些典型的Dirichlet型.这些结果推广了布朗运动的相应经典结果。
Hilbert-valued self-intersection local times for planar Brownian motion
本文将平面Wiener过程自相交局部时的Dynkin构造推广到Hilbert值权上。
Some infinite divisibility properties of the reciprocal of planar Brownian motion exit time from a cone
利用平面布朗运动锥的出射时间的拉普拉斯变换，得到了出射时间的倒数的无穷整除性质。
Planar Brownian motion winds evenly along its trajectory
设$D_N$为平面布朗运动至少绕其旋转$N$次的点的集合。证明了当$N$趋于无穷大时，密度为$2 πN 1_{D_N}$的平面上的随机测度关于勒贝格测度几乎必然弱收敛于布朗运动的占有测度.
Invariance of Brownian motion associated with exponential functionals
本文证明了与时间反转兼容的布朗运动的一种新不变性，该不变性通过涉及指数泛函作为预测因子的预测性路径变换来描述。
On conformally invariant subsets of the planar Brownian curve
我们定义和研究了一个家庭的平面布朗运动的广义非相交指数，索引的复平面的子集：对于每个$A\subset\CC$，我们定义了一个指数$ξ(A)$，描述了某些非相交概率的衰减。对于这些指数中的每一个，我们关联了豪斯多夫维数$2-ξ(A)$的平面布朗路径的共形不变子集。这一点和作为$A$的函数的$ξ(A)$的连续性的结果是在平面布朗路径上几乎必然存在任何足够小角度的枢转点。
Rescaled bipartite planar maps converge to the Brownian map
对于任意整数$n\geq 1$，我们考虑一个均匀分布在所有带$n$边的有根二部平面映射类上的随机平面映射$\mathcal{M}_n$.证明了图距离由因子$(2n)^{-1/4}$重新标度后的$\mathcal{M}_n$的顶点集在Gromov-Hausdorff意义下按分布收敛于布朗映射.这补充了最近的几个结果给出了收敛的各类随机平面映射的布朗映射。
An invariance principle for Brownian motion in random scenery
本文用特征函数的方法证明了高斯或泊松随机场景中布朗运动的一个不变原理。退火的渐近极限推导出在所有的维度，重点放在尺寸$d=2$，这是主要的新贡献的文件的情况下。
Invariance properties of Brownian motion via Lie's symmetries
本文通过李群对称性方法研究布朗运动的不变性性质，并利用积分分部公式恢复其显著特性。
An invariance principle for fractional Brownian sheets
建立了具有相依新息的平稳线性随机场部分和的中心极限定理和各向异性分数布朗单的不变原理。我们的结果是Dedecker等人（2011）的分数布朗运动的不变原理在高维的推广。他们的论点的一个关键组成部分，鞅近似，被替换为m-近似参数。我们的方法的一个重要工具是最近由El Machkouri et al.（2011）建立的平稳随机场的矩不等式。
On the expected diameter of planar Brownian motion
已知的结果表明，平面布朗运动单位时间运动轨迹的直径$d_1$满足$1.595 \leq \mathbb{E} d_1 \leq 2.507$。本文将这些界改进为$1.601 \leq \mathbb{E} d_1 \leq 2.355$。模拟结果表明，$\mathbb{E} d_1 \approx 1.99$ .
Reflected planar Brownian motions, intertwining relations and crossing probabilities
通过临界渗流中的一个例子，我们研究了对称平面区域中的一些反射布朗运动，并表明它们与一维扩散相互交织。在楔的情况下，反射的布朗运动与三维贝塞尔过程交织在一起。这意味着一些简单的首中分布，并揭示了一些由瓦茨提出的公式在临界渗流的双重交叉概率。
On the density of the winding number of planar Brownian motion
我们得到了平面布朗运动绕原点的卷绕数的密度公式，并由此导出了时间平方对数的反幂的渐近展开，它在角变量中是显式的.特别是，我们得到的任何顺序的斯皮策定律的修正，也局部极限定理的绕组。
Invariance principle for the maximal position process of branching Brownian motion in random environment
本文研究了随机空间环境中分枝布朗运动的极大位置过程。随机环境由满足一定条件的过程$ξ= \left(ξ(x)\right)_{x\in\mathbb{R}}$给出。我们表明，粒子的最大位置$M_t$活在时间$t$满足淬火强大数律和退火不变原理。
Critical exponents, conformal invariance and planar Brownian motion
在这篇综述论文中，我们首先讨论了一些开放的问题，二维自避免路径和临界渗流。然后，我们回顾了一些密切相关的结果（联合工作与格雷格劳勒和Oded Schramm）的临界指数为二维简单的随机游动，布朗运动和其他共形不变的随机对象。
Brownian symmetrization of planar domains
本文介绍源于平面 Skorokhod 嵌入问题的 Brownian 对称化，并通过其与 Steiner 对称化的性质比较，证明二者是不同且互不影响的变换。
Hitting distributions of planar Brownian motion
本文的目的是求二维布朗运动击中负水平轴的首中时和击中位置的联合分布。我们提供了格林函数和条件分布的各种公式。最后，我们讨论了垂直分量有负漂移时的一个类似问题。
Growth-fragmentation process embedded in a planar Brownian excursion
本文的目的是提出一个自相似的增长-破碎过程链接到布朗漂移的上半平面$\mathbb{H}$，通过削减在水平的偏移。我们证明了相关的增长-碎裂是有关的增长-碎裂过程介绍的Bertoin，Budd，Curien和Kortchemski。
Brownian Convergence of Planar Domains and Stability of the Planar Skorokhod Embedding Problem
本文提出一个数值框架来近似平面Skorokhod嵌入问题中的μ-域，并证明在概率测度序列弱收敛下，相应的μ-域序列在适当意义下收敛到极限测度μ的域，同时给出实现策略、收敛速率估计和数值例子。
Obliquely reflected Brownian motion in non-smooth planar domains
在所有有界单连通平面域（包括非光滑域）中构造了斜反射布朗运动，其边界上具有一般反射向量场。共形映射和漂移理论是我们的主要技术工具。一个关键的中间步骤，这可能是独立的兴趣，是一个替代的特征反射布朗运动在光滑的有界平面域与一个给定的领域的角度斜反射的边界上的一对数量，即一个可积的正调和函数，它代表的平稳分布的过程，和一个实数，代表，在适当的意义上，该过程围绕域中的参考点旋转的渐近速率。此外，我们还证明了单连通Jordan域上的任何斜反射布朗运动都可以作为光滑域上斜反射布朗运动的一个适当的极限.
On the most visited sites of planar Brownian motion
设（B_t：t > 0）为平面布朗运动，定义了$α>0$的度规函数$ϕ_α(s)=log(1/s)^{-α}$.如果$α<1$，我们表明，几乎肯定存在一个点x在平面上，使$H^{ϕ_α}({t > 0 : B_t=x})>0$，但如果$α>1$几乎肯定$H^{ϕ_α} ({t > 0 : B_t=x})=0$同时为所有$x\in R^2$。这解决了S.，泰勒，1986年。
Some Estimates for Planar Random Walk and Brownian Motion
本文的目的是把简单随机游动和布朗运动的一些常用结果集中起来。这些包括标准的结果，如Beurling估计，大偏差估计，和一种方法耦合的两个过程，以及解决方案的离散狄利克雷问题在各个领域，据作者所知，尚未公布的任何地方。主要关注的是二维过程。
Coverage probability of the planar Brownian convex hull
本文精确计算了平面布朗运动凸包包含给定点的概率，通过径向函数与支撑函数的关系及高斯椭圆比较，并推广至布朗桥，给出渐近结果。
On the planar Brownian Green's function for stopping times
一段时间以来，人们已经知道平面区域的格林函数可以用布朗运动的退出时间来定义，并且这个定义已经扩展到比退出时间更一般的停时。本文将格林函数共形不变性的概念推广到非内射的解析函数，并利用这一推广计算了由布朗运动的缠绕定义的停时的格林函数.这些考虑导致黎曼映射定理的一个新的证明。我们还展示了如何这种不变性可以用来推导出几个身份，包括标准的无穷乘积表示的几个三角函数。
Planar Brownian Motion and Complex Analysis
关于复分析和布朗运动之间相互作用的研究生水平教科书。
Hitting distribution of a correlated planar Brownian motion in a disk
本文研究了圆周$C_R$对相关布朗运动$\underline{B}(t)=\left(B_1(t), B_2(t)\right)$的命中概率，其中$ρ$为相关系数.分析首先将圆$C_R$映射到半轴取决于$ρ$的椭圆$E$中，并将控制首中分布的微分算子变换为经典的拉普拉斯算子。通过两种不同的方法（一种通过应用椭圆坐标获得），我们获得所需的分布作为一系列的泊松核。
Self-intersection local time of planar Brownian motion based on a strong approximation by random walks
这项工作的主要目的是定义平面自相交当地时间的替代方法，这是基于一个几乎必然的路径近似的平面布朗运动简单的，对称的随机游动。结果得到布朗自相交局部时作为简单随机游动自相交局部时的局部平均的几乎必然极限。一个重要的工具是一个离散版本的田中-罗森-Yor公式;连续版本的公式是作为一个几乎必然限制的离散版本。作者希望这种求自相交局部时的方法比现有的方法更透明、更简单。
Convex hull of Brownian motion and Brownian bridge
本文研究平面布朗运动与独立布朗桥轨迹并集的凸包，给出其周长与面积期望的精确值及联合最大值时刻密度，并推广到多个独立过程。
Bounds on the size of the convex hull of planar Brownian motion and related inverse processes
本文研究了标准平面布朗运动凸包的外接圆半径与内切圆半径期望值上下界，并给出相关逆过程界限以揭示凸包尺寸增长速度。
The critical 2D delta-Bose gas as mixed-order asymptotics of planar Brownian motion
我们考虑二维δ玻色气体的δ势的光滑软化，其中耦合常数是在临界窗口。主要结果证明了在初始条件下，对于两个粒子，原点具有奇异相互作用的薛定谔算子在$\mathscr B_b(\Bbb R^2)$上的近似半群是逐点收敛的.这种收敛性扩展了早期的功能分析结果的收敛性在$L_2$规范预解式的意义。本文介绍的中心方法应用了二维贝塞尔过程的游程理论和平面布朗运动的卷绕数的遍历性。因此，极限半群既表现出平面布朗运动的加性泛函的Kallianpur-Robbins定律，又表现出涨落的Kasahara二阶定律。作为应用，将收敛模式推广到$N$粒子δ玻色气体中的所有$N\geq 3$。
On hitting times of the winding processes of planar Brownian motion and of Ornstein-Uhlenbeck processes, via Bougerol's identity
建立了包含平面布朗运动的平面复值Ornstein-Uhlenbeck过程$(Z_{t}=X_{t}+iY_{t},t\geq0)$的几个定理恒等式，并证明了它们等价于线性布朗运动的著名Bougerol恒等式：$(β_{t},t\geq0)$：对于任何固定的$u>0$：\sinh（β_{u}）\stackrel{(law)}{=} \hat β_{（\int^{u}_{0} ds \exp（2β_{s}））}.这些身份的法律为2维过程允许研究的分布首中时$T^θ_{c}\equiv\inf\{t:θ_{t} =c \}, (c>0)$，$T^θ_{-d,c}\equiv\inf\{t:θ_{t}\notin(-d,c) \}, (c,d>0)$和更具体的$T^θ_{-c,c}\equiv\inf\{t:θ_{t}\notin(-c,c) \}, (c>0)$的连续缠绕过程$θ_{t}=\mathrm{Im}(\int^{t}_{0}\frac{dZ_{s}}{Z_{s}}), t\geq0$的复杂Ornstein-Uhlenbeck过程。
Conformal invariance, universality, and the dimension of the Brownian frontier
本文介绍了联合工作与Oded Schramm和Wendelin Werner建立的价值观的平面布朗相交指数从其中一个推导出豪斯多夫维数的某些例外集的平面布朗运动。特别地，我们证明了Mandelbrot的一个猜想，即边界的维数是4/3。证明共形不变测度和一个新的过程，随机Loewner进化（$SLE$），介绍了Schramm的普遍性原则。这些思想可用于研究其他临界统计物理平面晶格模型。我将讨论应用临界渗流的三角形格子，循环擦除随机游动，和自我避免行走。
On occupation times of the first and third quadrants for planar Brownian motion
1988年，Bingham和Doney的工作（参见\cite{Bingham}）首次将一个有趣的开放问题注入应用概率界，该问题如下：找到平面布朗运动的象限占据时间的分布。在这个简短的交流中，我们研究了这个长期存在的开放问题的另一种表述：让$X(t), Y(t), t \geq 0$分别是从$x,y$开始的标准布朗运动。求总时间$T=Leb\{t \in [0,1]: X(t) \times Y(t) >0\}$的分布，当$x=y=0$，即，第一象限和第三象限的并集的占用时间。如果使用两个相邻的象限，则问题变得容易得多，并且$T$的分布遵循反正弦定律。
Planar Brownian motion and Gaussian multiplicative chaos
通过对小圆局部时的平方根取幂，构造了平面布朗运动局部时的高斯乘性混沌测度的模拟。我们还考虑了一个平坦的措施支持的点，其本地时间是在所需的厚度水平的一个常数，并显示两个对象之间的简单关系。我们的研究结果扩展了巴斯，Burdzy和Khoshnevisan，特别是涵盖了整个$L^1$阶段或亚临界制度。这些结果使我们能够获得一个非退化的限制适当重新缩放大小的厚点，从而大大细化估计Dembo，佩雷斯，罗森和Zeitouni。
Non-existence of several random fractals in Brownian motion and Brownian loop soup
本文通过统一方法证明了三种随机分形的不存在性，包括平面布朗运动的先驱三重点、平面和三维布朗运动的先驱双断点，以及临界强度下平面布朗循环汤簇边界上的双点，解决了相关开放问题。
An Invariance Principle of G-Brownian Motion for the Law of the Iterated Logarithm under G-expectation
经典重对数律作为概率论的基本极限定理，在概率论的发展及其应用中起着重要的作用。Strassen（1964）将LIL推广到大类泛函随机变量，它被称为LIL的不变原理，它为概率和统计推断提供了一个非常有力的工具。但近年来的许多现象表明，概率的线性性限制了它在金融、统计等领域的应用。随着一种非线性期望--G-期望引起了数学家和经济学家的广泛关注，越来越多的人开始研究G-期望空间的性质。一个很自然的问题是：LIL的经典不变原理能否在G-期望空间下推广？本文给出了肯定的回答。给出了G-期望下G-布朗运动对重对数律的不变原理。
On the convex hull of a planar Brownian bridge with a random Gaussian endpoint
研究一类各向同性平面高斯过程，计算其凸包的期望周长和面积，得到关于参数σ的闭式公式，并推广到多个独立过程的情形。
Brownian geometry
我们提出了近年来引入和研究的随机几何的不同连续模型。特别地，我们考虑布朗映射，这是在Gromov-Hausdorff意义下的大平面映射的普遍标度极限，以及布朗圆盘，它表现为具有边界的平面映射的标度极限。我们讨论了这些模型的建设，我们强调的布朗树索引的布朗运动所发挥的作用。
Isoperimetric inequalities in the Brownian plane
我们考虑布朗平面的模型，它是一个点的非紧随机度量空间，具有复平面的拓扑。布朗平面可以作为均匀无限平面三角剖分或均匀无限平面四边形剖分的标度极限，并证明它是许多其它随机平面格的普适标度极限。我们建立了明确的边界上的概率，有一个短的周期分离的半径$r$球中心的区别点从无穷大。然后证明了布朗平面的空间马尔可夫性的一个强形式。结合我们的研究短周期与这个强大的空间马尔可夫性，我们得到尖锐的布朗平面的等周界。
A Weak Limit Shape Theorem For Planar Isotropic Brownian Flows
不同的作者在不同的假设下证明了在随机流作用下有界非平凡集$γ$的直径随时间线性增长。我们证明了渐近线性展开速度如果适当地定义是确定的，即我们证明了对于具有正的李雅普诺夫指数的$2$维各向同性布朗流$Φ$，存在一个非随机集$\mathcal{B}$，使得对于$ε>0$，我们有由至少两个不同点组成的任意连通$γ\subset\subset\R^2$和任意大的$T$，$$(1-ε)T\mathcal{B}\subset \cup_{0\leq t\leq T}\cup_{x\inγ} Φ_{0,t}(x)\subset(1+ε)T\mathcal{B}.$$
Invariance principles for random walks in cones
我们证明了多维随机游动的条件是留在一个锥的不变原理。我们的第一个结果涉及收敛到布朗曲流的锥。进一步证明了$h$ -变换随机游动到布朗运动的相应$h$ -变换的泛函收敛性.最后证明了锥上随机游动桥的一个不变原理。
The Mean First Rotation Time of a planar polymer
我们估计的平均第一次，称为平均旋转时间（MRT），平面随机聚合物绕一个点。该聚合物被建模为n个杆的集合，其中每个杆由布朗角参数化。我们被引导去研究i.i.d.的总和。以一维布朗运动为自变量的虚指数。我们发现，自由端的聚合物满足一个新的随机方程的非线性时间函数。最后，我们得到一个渐近公式的MRT，其领先的顺序项取决于n的平方根，有趣的是，弱依赖于平均初始配置。我们的分析结果得到了布朗模拟的证实。
How round are the complementary components of planar Brownian motion?
考虑${\bf C}$中的布朗运动$W$从$0$开始并运行时间1。令$A(1),A(2),\dots$表示${\bf C}-W([0,1])$的有界连通分量。令$R(i)$（分别$r(i)$）表示外半径（分别$A(i)$的$i\in\bf N$。我们的主要结果是，${\bf E}[\sum_i R(i)^2|\log R(i)|^θ]<\infty$对任何$θ<1$。我们还证明了$\sum_i r(i)^2|\log r(i)|=\infty$几乎必然.这些结果解释了大多数组分$A(i)$具有相当规则或圆形的形状。
Asymptotic support theorem for planar isotropic Brownian flows
不同的作者已经证明，在具有非负的顶李雅普诺夫指数的各向同性布朗流（IBF）的作用下，给定的非平凡有界连通集$\mathcal{X}$的直径随时间线性增长。在具有正的顶李雅普诺夫指数的平面IBF的情况下，已知存在直径的精确确定性线性增长率K。在本文中，我们将这个结果推广到一个渐近支撑定理的时间标度轨迹的平面IBF $φ$，它有一个积极的顶-李雅普诺夫指数，开始于一个非平凡的紧连通集$\mathcal{X}\subseteq \mathbf{R}^2$ ;也就是说，我们将证明在Hausdorff距离中的时间标度轨迹集依概率收敛到[0，1]，从0开始，Lipschitz常数K。
Critical Drift for Brownian Bees and a Reflected Brownian Motion Invariance Principle
本文研究一维带漂移的$N$-Brownian蜜蜂分支选择系统，确定临界漂移及三种相态，并证明该临界值等于$N$-BBM速度。
Characterisation of planar Brownian multiplicative chaos
本文通过特征化平面布朗乘法混沌测度，揭示了随机游走厚点集的标度极限，并得出了归一化后厚点数量的收敛性结果。
Maximizing the $p$-th moment of exit time of planar Brownian motion from a given domain
本文研究平面布朗运动离开给定区域时的$p$阶矩的最大化点。我们提出了一种几何方法，排除部分域的考虑，利用耦合参数和共形不变性的布朗运动。在许多情况下，最大化点可以定位到相对较小的区域。几个例证。
The Brownian plane
引入并研究了随机非紧度量空间-布朗平面，它是作为均匀无限平面四边形的尺度极限而得到的。或者，布朗平面被标识为布朗映射在其根顶点处的Gromov-Hausdorff切锥分布，并且当比例因子趋于0比n^{-1/4}慢时，它也作为具有n个面的均匀分布（有限）平面四边形的比例极限而出现。我们讨论布朗平面的各种性质。特别地，我们证明了布朗平面是同胚的平面，我们得到了详细的信息测地线到无穷大。
The Characteristic Function of the Renormalized Intersection Local Time of the Planar Brownian Motion
本文研究了一个简单随机游动的点的个数的分布，它访问了给定的次数（k-重点点范围）。在上一篇文章中，我们已经开发了一个图论方法，现在从封闭扩展到非限制性行走。在研究首击行列式解析性质的基础上，给出了定义和计算分布矩母函数为解析函数，并表示为绝对收敛的图贡献级数的一般方法。因此，本文提出了一种计算任意维数d > 1的大长度弯矩的方法。作为应用，对任意阶对数修正的封闭无限制简单随机游动，完全计算了二维分布的中心矩.我们还计算了平面布朗运动的重整化交叉局部时分布的特征函数。它与平面Phi-4理论密切相关。
Multi-window trace connectivity in subcritical planar Brownian loop soups
研究亚临界平面布朗环汤中相交环轨迹簇与固定数量分离收缩体圆盘相交概率，通过多目标布朗环测度估计等方法，得出该概率在对数指数有损失时是单臂概率乘积的结论，部分成果源于前人。
Construction of Liouville Brownian motion via Dirichlet form theory
在\cite{GRV}中引入的Liouville布朗运动是二维Liouville量子引力中与随机度规相联系的自然扩散过程。利用Dirichlet型理论构造了Liouville布朗运动.通过证明Liouville测度在严格意义上是光滑的，得到了Liouville测度在严格意义上的正连续可加泛函$(F_t)_{t \ge 0}$.得到了平面布朗运动$(B_t)_{t \ge 0}$。然后将Liouville布朗运动定义为平面布朗运动的时变过程$B_{F_t^{-1}}$。
On the exit distribution of partially reflected Brownian motion in planar domains
我们证明了平面部分反射布朗运动的出射分布的维数可以任意接近于2。
Random cubic planar graphs converge to the Brownian sphere
本文证明了随机连通三次可平面图（或多重图）的标度极限是布朗球。证明主要包括两个主要步骤。首先，由于三次可平面图到其3-连通分量的已知分解，随机三次可平面图的度量结构被示出为很好地近似于其唯一的3-连通分量的线性大小，与修改的距离。然后，Whitney定理保证了3-连通三次可平面图是简单三角剖分的对偶，已知其标度极限是布朗球。Curien和Le Gall最近开发了一个框架来研究一般三角剖分及其对偶中距离的修改。通过将此框架推广到简单三角剖分，证明了具有修正距离的3连通三次可平面图与其对偶三角剖分联合收敛到布朗球。
Planar aggregation and the coalescing Brownian flow
我们研究了一个平面聚集模型的标度极限。该模型由若干独立随机共形映射组合而成。结果表明，簇边界上的调和测度演化收敛于聚结布朗流。
An invariance principle for semimartingale reflecting Brownian motions in domains with piecewise smooth boundaries
半鞅反射布朗运动（Semimartingale reflecting Brownian motions，SRBM）是一类具有分段光滑边界的域的闭包，由于其作为随机网络的高负荷服务近似，在应用概率中受到广泛关注.本文通过对反射域和反射方向的假设，证明了SRBM的一个扰动结果，即不变原理。这为满足SRBM定义的过程提供了充分条件，除了定义条件中的小随机扰动之外，该过程在分布上接近SRBM。证明这一结果的一个关键因素是一个扰动Skorokhod问题的解的振荡不等式。我们利用不变原理证明了在较弱的条件下SRBM的弱存在性。我们还使用不变原理，结合已知的唯一性结果SRBM，给出了一些充分条件验证近似涉及（i）SRBM在凸多面体与一个常数的反射矢量场的多面体的每一个面，（ii）SRBM在有界区域与分片光滑的边界和可能的非常数反射向量场的边界表面。
A representation for the Expected Signature of Brownian motion up to the first exit time of the planar unit disc
针对平面单位圆盘首离时刻前的布朗运动期望签名问题，受其部分项的贝塞尔函数显式公式启发，通过研究Lyons-Ni偏微分方程推导张量级数表示，简化后得到各张量分量多项式首阶项公式。
Convex hull of n planar Brownian paths: an exact formula for the average number of edges
建立了平面上n条独立布朗路的整体凸包的边界上出现的平均边数的精确公式。这需要引入一个计数标准，这相当于“切断”在特定意义上很小的边缘。主要的论点包括在平面布朗凸包和配置的约束，独立的线性布朗运动之间的映射。这个新的公式是通过恢复平面上布朗凸包边界的平均周长的一个已有的精确结果而得到的。
A collection of results relating the geometry of plane domains and the exit time of planar Brownian motion
我们证明了一些结果有关的平面布朗的退出时间与几何性质的域的问题。其中包括用布朗运动证明矩形和圆环模的共形不变性，Karafyllia关于星形域上调和测度的一些最近结果的类似概率证明，用布朗运动的出射时刻度量时同时为大的域及其补的例子，同时为小的域及其补的例子;利用选择停止定理证明了几个涉及柯西分布的恒等式。
Estimates of the transition densities for the reflected Brownian motion on simple nested fractals
给出了函数$g_M(t,x,y)$和$g_M(t,x,y)-g(t,x,y)$的精确的双边估计，其中$g_M(t,x,y)$是无界平面简单嵌套分形的大小为$M \in \mathbb{Z}$的$M$ -复体上的反射布朗运动的转移概率密度，$g(t,x,y)$是该分形上的“自由”布朗运动的转移概率密度.这是一个很大的一类平面简单嵌套分形具有良好的标签性质。
Windings of planar processes, Exponential Functionals and Asian options
受一个常见的数学金融主题的启发，我们讨论了平面布朗运动的锥的退出时间的倒数，它也对应于相关的布朗运动的指数泛函。我们证明了Vakeroudis和Yor（2012）关于这个随机变量的无穷整除性质的猜想，并给出了De Blassie（1987-1988）关于平面布朗运动的斜积表示中出现的贝塞尔钟分布的渐近行为的结果的一个新的简单证明，对于t大。对Levy过程的指数泛函也讨论了类似的问题。最后，我们使用的绕组的方法，以获得结果的数量相关的亚式期权的定价所获得的结果。
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