Circuits through prescribed edges
Paul Knappe, Max Pitz
本文证明连通图存在通过任意k条指定边且不重复边的回路，当且仅当图中不存在大小不超过k的奇割。
我们证明，一个连通图包含一条回路——即不重复边的闭行走——通过任意$k$条指定边，当且仅当它不包含大小至多为$k$的奇割。
We prove that a connected graph contains a circuit---a closed walk that repeats no edges---through any $k$ prescribed edges if and only if it contains no odd cut of size at most $k$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Even circuits of prescribed clockwise parity
我们证明了一个图有一个方向下，每个电路的偶数长度是顺时针奇数当且仅当该图不包含子图，这是在收缩后，最多一个电路的奇数长度，甚至细分K_{2,3}。事实上，我们给出了一个更一般的图形，有一个方向下，每一个甚至电路有一个规定的顺时针奇偶性的特点。这个问题的动机是研究的Pfavian图，这是图，有一个方向下，每一个交替电路是顺时针奇数。它们的意义在于，它们正是Kasteleyn列举完美匹配的强大方法可以应用的图。
Flips on homologous orientations of surface graphs with prescribed forbidden facial circuits
设$G$是嵌入在可定向曲面上的图。给定$G$的面回路类${\cal C}$为禁止类，给出了$G$的一个$α$ -定向（具有规定出度的定向）可通过非禁止回路上的一系列翻转变换为另一个定向的充必要条件，并进一步给出了此类翻转的最小数目的显式公式.通过定义一个有向图${\bf D}({\cal C})$，即${\cal C}$ -禁止翻转图，我们还考虑了所有$α$ -方向之间的联系.我们证明了如果${\cal C}\not=\emptyset$，则${\bf D}({\cal C})$恰好有$|O(G,{\cal C})|$分量，每个分量都是分配格的覆盖图，其中$|O(G,{\cal C})|$是除了${\cal C}$中没有逆时针面回路的$α$ -取向的个数.如果是${\cal C}=\emptyset$，则${\bf D}({\cal C})$的每个分支都是强连通的。这推广了Felsner和Propp在${\cal C}$由单个面部电路组成的情况下的相应结果。
Matchings with Prescribed Color Counts
本文研究了完全二部图在特定红蓝边染色条件下的完美匹配问题，并证明了一个相关有趣结果。
On Tutte cycles containing three prescribed edges
本文证明了2-连通平面图中包含面圈三条指定边的Tutte圈存在性定理的定量版本，界定了删除Tutte圈后图的连通分支数量，并据此在本质4-连通平面图中找到了包含三条指定边的长圈。
Optimal edge fault-tolerant-prescribed hamiltonian laceability of balanced hypercubes
目的：证明$n$维平衡超立方体$BH_n$是$(2n-2)$ -容错-指定Hamilton可删性.方法：在$n$上进行诱导验证。已知该断言对$n\in\{1,2\}$成立。假设它对$n-1$成立，并证明它对$n$成立，其中$n\geq 3$。如果存在$2n-3$故障链路并且它们都与一个公共节点关联，则我们选择某个维度使得在该维度中存在一个或两个故障链路并且没有指定链路;否则，我们选择某个维度使得故障链路和指定链路的总数不超过$1$。无论哪种情况，沿着上述选择的维度将$BH_n$分割成$BH_{n-1}$的$4$不相交副本。结果如下：在对$BH_n$进行上述划分的基础上，本文完成了在上述所选维中至多存在一个故障链的情形的证明。
Nut graphs with a prescribed number of vertex and edge orbits
本文研究了具有指定顶点和边轨道数的坚果图，证明了对于任何k≥2，存在无限多个具有k个边轨道和k个弧轨道的Cayley坚果图。
Hitting cycles through prescribed vertices or edges
研究通过指定顶点或边击中循环，证明有向图的有向树宽与循环宽的线性关系，并探讨了双向图中相关性质的成立情况。
Graphs with few paths of prescribed length between any two vertices
我们使用一个变种的Bukh的随机代数方法，以显示，对于每个自然数$k \geq 2$存在一个自然数$\ell$，使每个$n$，有一个图的$n$顶点和$Ω_k(n^{1 + 1/k})$边与最多$\ell$路径的长度$k$之间的任何两个顶点。Faudree和Simonovits的一个结果表明，边数的界紧到隐含常数。
A note on shortest circuit cover of 3-edge colorable cubic signed graphs
符号图$(G, σ)$的{符号电路覆盖} $\mathcal{F}$是覆盖$(G, σ)$所有边的符号电路族。最短符号电路覆盖问题由Má $\check{\text{c}}$ ajová、Raspaud、Rollová和Škoviera（JGT 2016）提出，近年来受到了很多关注。本文证明了每一个流容许的3边可着色三次符号图$(G, σ)$都有一个长度至多为$\frac{20}{9} |E(G)|$的符号圈覆盖.
Circuit Preserving Edge Maps
证明了从一个3-连通图G到一个图H，G和H可能是无限的，且满足f（C）是H中的一个圈，只要C是G中的一个圈的任何一对一边映射f是由一个顶点同构导出的.这推广了Whitney的一个结果，即假设f（C）是H中的圈当且仅当C是G中的圈。
On the spectral radius of graphs: nonregular distance-hereditary graphs with given edge-connectivity, graphs with tree-width $k$ and block graphs with prescribed independence number $α$
图的边连通度是指删除使图断开的边的最小数目。设$Δ(G)$是图$G$的最大度，$ρ(G)$是图$G$的谱半径.本文利用$G$的边连通度给出了$Δ(G)-ρ(G)$的一个下界，其中$G$是一个非正则距离遗传图.证明了当$\vert V(G)\vert = n$和$\mathcal G$属于树宽有界的图类或属于独立数给定的块图类时，$ρ(G)$在$\mathcal G$中的唯一图处达到最大值.
Prescribed matchings extend to Hamiltonian cycles in hypercubes with faulty edges
Ruskey和Savage提出了以下问题：$Q_{n}$对$n\geq2$的每一个匹配是否都扩展到$Q_{n}$的一个哈密顿圈？J. Fink证明了这个问题对所有完美匹配都成立，并解决了Kreweras猜想。在本文中，我们考虑的问题，超立方体的故障边缘。我们证明了对于$n\geq2$，每个至多$2n-1$边的匹配$M$都可以扩展为$Q_{n}$的一个哈密顿圈.此外，我们可以证明，当$n\geq4$和$M$是非空的，即使$Q_{n}$最多有$n-1-\lceil\frac{|M|}{2}\rceil$故障边缘的一个例外，这个结果仍然成立。
Saturated Graphs of Prescribed Minimum Degree
一个图$G$是$H$ -饱和的，如果它不包含$H$的副本作为子图，但是向$G$添加任何新的边都会创建$H$的副本.本文研究了函数sat $_{t}(n,p)$，它定义为当一个$K_{p}$ -饱和图的最小度至少为$t$时，该图在$n$上所能拥有的最小边数.我们证明了sat $_{t}(n,p) = tn - O(1)$，其中极限取为$n$趋于无穷大。这证实了一个猜想Bollobás时，$p = 3$。我们还提出了建设图，给新上界为饱和$_{t}(n,p)$，并讨论了类似的饱和超图的问题。
Maximizing copies of a fixed graph in graphs with a prescribed number of edges
研究在规定边数的图中最大化固定图副本数的问题，通过相关结果确定了特定图\(H\)的\(\operatorname{emb}(H,{\binom{n}{2}})\)值，还证明除匹配图外，\(K_n\)是使嵌入数最大的唯一图，刻画了\(K_n\)达最大嵌入数的图。
Maximizing the signless Laplacian spectral radius of simplicial 2-complexes with a prescribed second Betti number
本文研究了二维简单复形在给定第二贝蒂数下的无符号拉普拉斯谱半径的渐近公式及最大值复形的结构特征。
The minimal density of triangles in tripartite graphs
在给定边密度的三部图中，确定了三角形的最小密度。这扩展了以前的结果邦迪，沈，Gillassé和Gillassen特征的边密度保证存在的三角形在一个三分图。为了更准确地说，我们表明，适当的加权副本的图形形成删除某个9-圈从$K_{3,3,3}$具有最小的三角形密度之间的所有加权三部图与规定的边缘密度。
On uniquely 3-colorable plane graphs without prescribed adjacent faces
一个图$G$是\emph{uniquely k-colorable}，如果$G$的色数是$k$，并且$G$只有一个$k$ -染色直到颜色的置换.对于平面图$G$，如果$d(f_1)=i$，$d(f_2)=j$和$f_1$和$f_2$有公共边，则$G$的两个面$f_1$和$f_2$是\emph{adjacent $(i,j)$-faces}，其中$d(f)$是面$f$的次数。本文证明了每一个唯一3-可染平面图都有相邻的$(3,k)$ -面，其中$k\leq 5$。$k$的边界5是最好的。进一步证明了存在一类唯一3-可着色的平面图，其中$i,j\in \{3,4,5\}$和$i \neq j$既不具有相邻的$(3,i)$-面，也不具有相邻的$(3,j)$ -面.我们的一个构造意味着存在一个无限族的边临界的唯一3-可着色的平面图，其中$n(\geq 11)$是奇数且$n\equiv 2\pmod{3}$具有$n$顶点和$\frac{7}{3}n-\frac{14}{3}$边.
Circuit Covers of Cubic Signed Graphs
有符号图是与映射$σ: E(G)\to \{-1,+1\}$相关联的图$G$，由$(G,σ)$表示。$(G,σ)$的$cycle$是一个连通的2-正则子图。如果循环$C$具有偶数个负边缘，则其为$positive$，否则为负。符号图$(G,σ)$的一个$circuit$是由两个边不相交的负圈通过一条路连接而成的正圈或杠铃，符号图的圈的定义来自符号图拟阵。$(G,σ)$的电路覆盖是覆盖$(G,σ)$的所有边的电路族。具有最小总长度的回路覆盖称为$(G,σ)$的最短回路覆盖，其长度用$\text{scc}(G,σ)$表示。Bouchet证明了一个带圈覆盖的符号图当且仅当它是流容许的（即，具有无处为零的整数流）。马恰约瓦等证明了2-边连通带号图$(G,σ)$若为流容许图，则有$\text{scc}(G,σ)\le 9 |E(G)|$. Cheng et.对于具有偶负性的2-边连通带号图，将其等价于$\text{scc}(G,σ) \le 11|E(G)|/3$，特别是对于具有偶负性的2-边连通三次带号图，将其等价于$\text{scc}(G,σ)\le 3|E(G)|+ε(G,σ)/3$（其中$ε(G,σ)$是$(G,σ)$的负性）。本文证明了2-边连通三次有号图如果是流容许的，则有$\text{scc}(G,σ)\le 26|E(G)|/9$;如果是偶负的，则有$\text{scc}(…
Curvature-Distortion Numbers of Graphs: Prescribed Lin--Lu--Yau Curvature Lower Bounds
该研究针对Lin--Lu--Yau曲率，探讨指定曲率下界下图的最小边权重乘性畸变问题，证明无限图正曲率下畸变无穷、有限树的相关阈值及一般图的扩展结论。
Edge-colorings of graphs avoiding complete graphs with a prescribed coloring
给定图$F$和整数$r \ge 2$，$F$的边集的划分$\widehat{F}$至多分成$r$类，以及图$G$，定义$c_{r, \widehat{F}}(G)$为$G$的边的$r$ -着色的数目，所述$G$的边不包含$F$的副本，使得由着色引起的边划分与$F$的边同构。我们认为$\widehat{F}$是应该避免的着色模式。主要的问题是，对于一个足够大的$n$，找到（极值）图$G$ $n$顶点最大化$c_{r, \widehat{F}}(G)$。这个问题推广了Erd{ \H o}s和Rothschild的问题，他们最初询问了不包含单色团的着色的数量（这等价于$F$是团并且分区$\widehat{F}$包含单个类的情况）。本文利用Hölder不等式和Zykov对称化证明了：对于任何$r \geq 2$，$k \geq 3$和团$K_k$的任何模式$\widehat{K_k}$，存在一个完全多部图是极值图.此外，如果模式$\widehat{K_k}$至少有两个类，除了两个非常小的模式（在三个或四个顶点上），每个极值图必须是一个完全多部图。在$r=3$和$\widehat{F}$是彩虹三角形的情况下（即，其中$F=K_3$和每个部分是单点的），我们证明了一个极图必须是几乎完全图.仍然为$r=3$，我们扩展了Alon，Balogh，Keevash和Sudakov的单色模式的结果，一些模…
Circuit Preserving Edge Maps II
本文所得结果是文[1]主要定理的推广。在那里，它表明，任何电路注入（1-1到边映射f，使得如果C是一个电路，那么f（C）是一个电路）从一个3-连通的，不一定有限的图G到一个图H是由一个顶点同构，其中H被假定为没有任何孤立的顶点。在本文中，我们将考察当1-1条件被放弃时的情形（第1章）。一个有趣的结果是，定理仍然是正确的有限（3-连通）图G，但不无限G。在第二章中，我们保留了1-1条件，但允许f的像首先是任意拟阵，其次是二元拟阵。一个有趣的结果如下。设G是偶数阶图。则“不存在非平凡映射f：=>M，其中M是二元拟阵”等价于“G是Hamilton”。如果G是奇阶图，则“不存在非平凡映射f：G=>M，其中M是二元拟阵”等价于“G是几乎Hamilton的”，这里我们定义一个n阶图G是几乎Hamilton的，如果每个n-1阶顶点子集都包含在G的某个圈中. [1]J.H. Sanders和D. Sanders，Circuit preserving edge maps，J. Combin. Theory Ser. B 22（1977），91 -96.
Low chromatic spanning sub(di)graphs with prescribed degree or connectivity properties
推广了Erdés和Lovász的著名结果，证明了每个图$G$都包含一个具有$λ(H)\geq \lceil{}\frac{k-1}{k}λ(G)\rceil$的生成$k$ -部子图$H$，其中$λ(G)$是$G$的边连通度.特别是，连同一个众所周知的结果，由于纳什-威廉姆斯和Tutte，这意味着每一个$7$ -边连通图包含一个生成二部图，其边集分解成两个边不相交的生成树。我们证明了这是最好的可能性，因为它不适用于无限多的$6$ -边连通图。对于有向图，文献[6]证明了不存在$k$使得每个$k$ -弧连通有向图都有一个生成强二部子有向图.证明了每个强有向图都有一个生成强三部子有向图，并且每个至少6个顶点的强半完全有向图都有一个生成强二部子有向图。\jbj{We generalize this result to higher connectivities by proving}证明了，对于每个正整数$k$，每个$k$ -弧连通有向图包含一个生成$(2k+1$）-有部子图是$k$ -弧连通的，这是最佳可能的.文[18]中的一个猜想是：每个最小出度$2k-1$的有向图都包含一个最小出度至少为$k$的生成$3$ -部子有向图.通过给出一类具有最小出度$2k-2$的有向图，证明了有界$2k-1$是最佳可能的，这类有向图不包含任何出度至少为$k$的生成$3$ -部子有向图.证明了最小半度至少为…
On the maximum spectral radius of connected graphs with a prescribed order and size
本文研究了具有指定阶数和大小的连通图的最大谱半径问题，给出了在特定条件下谱半径最大化的结果。
Exponentially Many Circuit Double Covers
研究立方图回路双覆盖的计数版本，通过线性方程组系统，证明2边连通3边可着色立方图至少有2^{n/2 - 1}个回路双覆盖，给出围长至少16的3边连通立方图的较弱指数下界，还刻画了立方图平面性及给出5回路双覆盖的流条件。
Shortest circuit covers of signed graphs
无桥图$G$的最短电路覆盖${\cal F}$是覆盖$G$的每条边并且具有最小总长度的电路族。$G$的最短电路覆盖${\cal F}$的总长度由$SCC(G)$表示。对于普通图（无符号图），最短路覆盖问题与Tutte的整数流理论、路双覆盖猜想、Fulkerson猜想等主流领域密切相关。对于符号图$G$，最近由Máčajová，Raspaud，Rollová和Škoviera证明了：如果$G$是s-无桥的，则为$SCC(G) \leq 11|E|$;如果$G$是$2$ -边连通的，则为$SCC(G) \leq 9|E|$.本文对这一结果作了如下改进：$$SCC(G) ~ \leq ~ |E| + 3|V| +z$$其中$z ~=~ \min \{ \frac{2}{3}|E|+\frac{4}{3}ε_N-7,~ |V| + 2ε_N -8\}$和$ε_N$是$G$的负性.如果$G$是具有偶负性的$2$边连接，则上述上界可以进一步减小。
Eulerian circuits and path decompositions in quartic planar graphs
欧拉电路的子循环是电路中连续的边缘序列，并形成一个循环。我们构造了允许欧拉回路避开3-圈和4-圈的四次可平面图。由此，可以得出结论，一个四次可平面图的顺序$n$可以分解成$k_1+k_2+k_3+k_4$许多道路与$P_{i+1}$的$k_i$副本，道路与$i$的边缘，当且仅当$k_1+2k_2+3k_3+4k_4 = 2n$。特别地，每一个偶数阶连通四次可平面图都允许一个$P_5$ -分解。
Asymptotic number of edge-colored regular graphs
本文推导了边着色正则图的渐近数量公式，并应用该结果计算了大随机k-正则图的c-边着色期望数量。
Ramsey numbers of trails and circuits
我们证明了完全图$K_n$的边的每一个双染色都包含一个长度至少为$2n^2/9 +o(n^2)$的单色迹或圈，这是渐近最佳可能的。
Cycle Double Covers and Semi-Kotzig Frame
设$H$是一个三次图，允许3-边着色$c: E(H)\to \mathbb Z_3$，使得0和$μ\in\{1,2\}$着色的边诱导$H$的Hamilton回路，1和2着色的边诱导2-因子$F$ .若图$H$的任意偶数子图的边的颜色交换得到$H$的一个新的3-边染色，且其性质与$c$相同，则称图$H$是半Kotzig图.如果三次图$G$的收缩图$G/H$是偶图，并且$H$的每个非圈分支都是半Kotzig图的一个剖分，则称三次图$G$的生成子图$H$为{ \em semi-Kotzig框架}.本文证明了一个三次图$G$有圈双覆盖，如果它有一个至多有一个非圈分支的半Kotzig框架。我们的结果推广了Goddyn（1988），Häggkvist和Markström [J. Combin.理论系列B（2006）]。
Higher dimensional electrical circuits and the matroid dual of a nonplanar graph
在本文中，我们描述了一个物理问题，电磁场的基础上，其拓扑约束是高维版本的基尔霍夫定律，涉及$2-$单纯复形嵌入在$\mathbb{R} ^3$，而不是图形。然而，我们表明，这个复杂的骨架，只涉及三角形和边缘，我们可以建立一个拟阵对偶，这是一个图。在这个图上，我们建立了一个“普通”电路，解决了这个问题，我们就得到了原来问题的解决方案。该图的构造是通过“滑动”算法，该算法模拟在三角形的表面上滑动，从一个三角形移动到另一个三角形，该另一个三角形与该三角形共享一个边，但是该另一个三角形也相对于在$\mathbb{R} ^3.$中的复合体的嵌入是相邻的。为此目的，唯一需要的信息是我们遇到在边处入射的三角形的顺序，当我们相对于边缘的方向顺时针旋转时。对偶图的构造是关于$2-$复合体的大小的线性时间。
Short cycle covers on cubic graphs using chosen 2-factor
证明了每一个具有$m$边的无桥三次图$G$都有一个长度至多为$1.6 m$的圈覆盖.此外，如果$G$不包含任何长度为$5$的交叉回路，则$G$具有长度为$212/135 \cdot m \approx 1.570 m$的循环覆盖，并且如果$G$不包含$5$ -回路，则它具有长度至多为$14/9 \cdot m \approx 1.556 m$的循环覆盖。为了证明我们的结果，我们证明了每个$2$ -边连通三次图$G$的$n$顶点有一个$2$ -因子包含最多$n/10+f(G)$电路长度$5$，其中$f(G)$的值只取决于存在的几个子图所产生的彼得森图。作为推论，我们得到每个$n$顶点上的$3$ -边连通三次图都有一个$2$ -因子，它包含最多个长度为$5$的$n/9$圈;每个$n$顶点上的$4$ -边连通三次图都有一个$2$ -因子，它包含最多个长度为$5$的$n/10$圈.
Circuit Walks in Integral Polyhedra
电路在线性规划理论中起着基础性的作用，因为它们与组合优化算法和单纯形法的效率密切相关。我们感兴趣的是更好地理解积分多面体中的回路行走的性质。在本文中，我们介绍了一个层次的积分多面体的基础上表现出不同类型的行为，他们的电路走。组合优化中的许多问题都属于这个层次中最有趣的类别-回路行走的步骤只停在整数点，顶点或沿着实际的边。我们分类的几个经典家庭的多面体的层次，包括0/1-多面体，多面体定义的完全幺模矩阵，更具体的拟阵多面体，运输多面体，分区多面体。最后，我们证明了三个特征的简单的多面体出现在底层的层次结构中，所有的电路走边走，这样的多面体构成了一个推广的单纯形和parallelotopes。
A sharp extension of Halin's removable-edge theorem to matchings
该研究将Halin可去边定理推广到匹配，证明满足特定最小度条件的k-连通图存在指定大小的k-可去匹配，证实相关猜想，明确严格最小度阈值并给出证明方法。
Spanning $H$-subdivisions with Prescribed Path Lengths
该研究针对稠密图中生成H-细分图的路径长度问题，证明了满足最小度条件的图可构造出符合规定路径长度的生成H-细分图，且h的线性加项是必要的。
Extremal Graphs with Prescribed Parameters for the Spectral Radius of Weighted Adjacency Matrices with Property $P^{\ast}$
本文研究满足性质 $P^{*}$ 的加权邻接矩阵谱半径，刻画了在指定顶点割集、割边数、连通度和独立数条件下达到最大谱半径的极图，发展了统一框架。
A Higher-Order Clique Density Theorem
研究在规定\(K_s\)密度下\(K_r\)密度的相关问题，通过证明高阶团密度定理确定最小\(K_r\)密度，还证明了分布正分支的稳定性，揭示了边到团分布及相关性质。
Disjoint odd circuits in a bridgeless cubic graph can be quelled by a single perfect matching
设$G$是一个无桥三次图. Berge-Fulkerson猜想（1970年代）指出，$G$允许一个六个完美匹配的列表，使得$G$的每条边恰好属于这些完美匹配中的两个。如果答案是肯定的，那么最近的另外两个猜想也是正确的：Fan-Raspaud猜想（1994），它指出$G$允许三个完美匹配，使得$G$的每条边最多属于其中的两个; Mazzuoccolo猜想（2013），它指出$G$允许两个完美匹配，它们的删除产生$G$的一个二部子图。它可以表明，给定一个任意完美匹配的$G$，它并不总是可能将其扩展到一个列表的三个或六个完美匹配满足声明的Fan-Raspaud和Berge-Fulkerson的配置，分别。本文证明了：给定$G$的任意一个$1^+$ -因子$F$（$G$的一个生成子图，其顶点的度至少为1）和$G$的任意一条边$e$，总存在$G$的一个完美匹配$M$，其中包含$e$，使得$G\setminus (F\cup M)$是二部的.我们的结果暗示了Mazzuoccolo猜想，但不仅如此。它还意味着，给定$G$中不相交奇电路的任何集合，存在$G$的完美匹配，该完美匹配包含该集合中每个电路的至少一个边缘。
Periodic discrete graphs with prescribed spectrum
通过构造刷状几何的周期加权图，其离散拉普拉斯算子谱恰好有n个带隙，并证明通过适当选择权重可使带隙端点和谱上界达到指定值。
Euler's idoneal numbers and an inequality concerning minimal graphs with a prescribed number of spanning trees
设$α(n)$是存在一个$k$顶点具有精确的$n \geq 3$生成树的简单图的最小数目$k$。类似地，将$β(n)$定义为存在具有$k$边的简单图的最小数目的$k$，所述$k$边具有精确的$n \geq 3$生成树。由于$n$ -循环恰好具有$n$生成树，因此可以得出$α(n),β(n) \leq n$。本文证明了$α(n) \leq \frac{n+4}{3}$和$β(n) \leq \frac{n+7}{3} $当且仅当$n \notin {3,4,5,6,7,9,10,13,18,22}$是Euler恒等式数的子集.此外，如果$n \not \equiv 2 \pmod{3}$和$n \not = 25$，我们表明，$α(n) \leq \frac{n+9}{4}$和$β(n) \leq \frac{n+13}{4}.$这改善了一些以前已知的界限。
Decomposing a signed graph into rooted circuits
本文研究 Eulerian 图中边集划分为非零 b-迹的最大数目问题，给出精确最小—最大定理，并据此推出 Máčajová 与 Škoviera 的两个猜想。
On the probability that a random subgraph contains a circuit
设$μ> 2$和$ε> 0$。证明了：如果$G$是一个平均度至少为$μ$的足够大的单图，且$H$是$G$的随机生成子图，它以概率$p \ge \tfrac{1}{μ-1} + ε$独立包含每条边，则$H$包含一个概率至少为$1 - ε$的圈.
Circuit diameter and Klee-Walkup constructions
考虑一个多面体的图直径的变体，其中两个顶点之间的行走中的每一步最大限度地沿着回路方向而不是沿着入射边行进。这里的电路方向是非平凡的解决方案，以最小相关的子系统的介绍多面体。这些可以被理解为所有可能的边缘方向的集合，包括可能由小平面的平移产生的边缘。考虑图直径的赫希猜想的电路模拟是很有吸引力的，正如Borgwardt等人所建议的那样。[BFH 15]。他们问，赫希猜想的已知反例是否能为这个放松的回路直径概念提供反例。我们表明，最基本的反例无界赫希猜想，Klee-Walkup多面体，没有一个电路直径，满足赫希界，无论表示。我们还研究了有界Klee-Walkup多面体的回路直径。
On the Circuit Diameter of some Combinatorial Polytopes
多面体$P$的组合直径是$P$的两个顶点之间的最短路径的最大值，其中该路径仅使用$P$的边。与组合直径相反，$P$的电路直径被定义为$P$的两个顶点之间的最短路径的最大值，其中该路径使用$P$的潜在边缘方向，即，通过平移$P$的一些小平面可以产生的所有边缘方向。本文研究了经典组合最优化问题对应的多面体的圈直径，如匹配多面体、旅行商多面体和分式独立集多面体。
Central Limit Theorem of Maximum Weight Matching on Random Graphs with Prescribed Degrees
本文证明了具有给定度数的随机图（包括d-正则图）上最大权匹配权重的退火中心极限定理，通过分离边权重与图的波动，并利用更强的微扰相关性衰减估计和方差界，归结为配置模型局部统计量的中心极限定理。
Minimum $T$-Joins and Signed-Circuit Covering
设$G$是一个图，$T$是$G$的偶基数顶点子集. $G$的$T$ -连接是边的子集$J$，使得当且仅当$G$的顶点属于$T$时，该顶点与$J$中的奇数条边关联。最小$T$ -连接在组合优化中有许多应用。本文证明了连通图$G$的最小$T$ -联至多有$|E(G)|-\frac 1 2 |E(\widehat{\, G\,})|$条边，其中$\widehat{\,G\,}$是$G$的最大无二叉子图.进一步地，我们可以利用这个结果来证明每个流容许符号图$(G,σ)$都有一个长度至多为$\frac{19} 6 |E(G)|$的符号回路覆盖。特别地，具有偶数负性的2-边连通符号图$(G,σ)$具有长度至多为$\frac 8 3 |E(G)|$的符号回路覆盖。
Edges vs Circuits: a Hierarchy of Diameters in Polyhedra
多面体图直径的研究是多面体几何和线性最优化理论中的一个经典公开问题。在本文中，我们继续[4]中发起的研究，对图直径的概念引入了大量的概括层次。这个层次结构为通常的图直径提供了一些有趣的下界。在解释了层次结构并讨论了这些界限之后，我们将重点放在清楚地解释层次结构中许多直径概念之间的差异和相似之处。最后，我们充分刻画了层次结构的二维。它可以分解成更少的类别，我们展示了可以实现为直径的值的范围。
Short cycle covers of cubic graphs and intersecting 5-circuits
图的圈覆盖是一组圈的集合，使得图的每条边至少包含在一个圈中。循环覆盖的长度是覆盖中所有循环长度的总和。证明了每一个具有$m$边的无桥三次图都有一个长度至多为$212/135 \cdot m \ (\approx 1.570 m)$的圈覆盖.此外，如果图是循环$4$ -边连通的，我们得到的覆盖的长度至多为$47/30 \cdot m \approx 1.567 m$。
Making multigraphs simple by a sequence of double edge swaps
我们证明了任何具有图的度序列的有圈重图都可以通过双边交换的有限序列转化为单图，其中每个交换至少涉及一个圈或重边。我们的结果回答了Janson的一个随机图论问题，丰富了双边交换可达性的文献，并将其应用于马尔可夫链Monte Carlo抽样中.
Hypertopes with prescribed diagram symmetries
本文构造有限正则超拓扑，其图对称性群与任意给定连通简单图的自同构群同构，方法基于对合生成且幂零类为二、指数为四的群。
Trees with maximum $σ$-irregularity under a prescribed maximum degree 6
研究在最大度数6限制下，确定最大σ不规则性树的结构和度数分布。
4-valent plane graphs with 2-, 3- and 4-gonal faces
称{ \em i-hedrite}为任意4-阶n-顶点平面图，其面仅为2-、3-和4-顶点，且为$p_2+p_3=i$ . i-多面体的边，如任何欧拉平面图的边一样，由它的{ \em中心回路}划分，即从一条边开始，在每个顶点处由与进入的边相对的边继续得到的那些。因此，任何i-hedite都是交替链接的投影，其组件对应于其中心电路。称一个i-多面体{ \em irreducible}，如果它没有{ \em rail-road}，即一个4-边形面的回路，其中每一个4-边形都与它的两个相邻边相邻。我们给出了最多有15个顶点的所有i-hedrites的列表。其他结果的例子：（i）所有的i-hedrites，这不是3-连通的，被识别。(ii)任何不可约的i-黝铜矿最多有i-2个中央回路。(iii)列出了所有没有自相交中心电路的i-hedrites。(iv)列出了i-面心石的所有对称群。
Cyclically five-connected cubic graphs
一个三次图$G$是循环5-连通的，如果$G$是简单的，3-连通的，至少有10个顶点，并且对于每一个至多4条边的$F$，$G\backslash F$的至多一个分支包含电路。证明了：若$G$和$H$是循环5连通三次图，且$H$拓扑包含$G$，则$G$和$H$同构，或存在循环5连通三次图$G'$，使得$H$拓扑包含$G'$，且$G'$由$G$以下列两种方式之一得到.或者通过细分$G$的两个不同的边并通过边连接两个新顶点从$G$获得$G'$，或者通过细分长度为5的电路的每个边并通过匹配到与$G$不相交的长度为5的新电路来连接新顶点从$G$获得$G'$，使得两个电路的循环顺序一致。我们证明了一个同伴的结果，通过稍微增加$H$的连接，我们能够消除第二个建设。我们还证明了当$G$几乎是循环5连通时这两个结果的版本，即它满足定义，除了4边切割使得一侧是长度为四的电路。在这种情况下，要求$G'$几乎是循环5-连接的，并且长度为4的电路比$G$少。特别地，如果$G$最多有一个长度为4的电路，则要求$G'$循环5-连接。然而，在这种更一般的设置中，描述可能的图$G'$的操作更复杂。
Two-connected graphs with prescribed three-connected components
我们将任何2-连通图的经典3-分解应用到单图（无圈或重边）的情形。通过与连通图的块割点树的类比，我们从这种分解中推导出与任何2-连通图g相关联的一棵双色树tc（g），其白色顶点是g的3-连通分量（3-连通分量或多边形），其黑色顶点是将g的顶点对分离而产生的将这些3-连通分量连接在一起的键。图和网络上的两个基本关系从这个结构中得出。第一个是不对称性定理，它给出了所有3-连通分支都属于给定的3-连通图类F的2-连通图类B=B（F）的表示式，即B的各种根。第二个是一个函数方程，它描述了三连通分量都在F中的二极点网络的相应类R=R（F）。B的所有根都用F和R表示。对于所有相关联的系列，特别是边缘索引系列，下面是相应的恒等式。许多枚举的后果进行了讨论。
Framed 4-Valent Graphs: Euler Tours, Gauss Circuits and Rotating Circuits
本文给出了一个显式公式，只要高斯回路存在，就可以从图上的任意欧拉回路直接描述框架4-价图（具有对边结构的图）上的唯一高斯回路。该公式仅依赖于Euler环的邻接矩阵，同时也能给出框架4-度图上是否存在Gauss环。事实证明，这些结果对所有的对称矩阵都是有效的（不仅仅是用弦图可以实现的）。
The Ricci flow with prescribed curvature on graphs
本文研究了图上预设曲率的里奇流，证明了在一般图上该方程的解存在唯一性，并在图的圈长至少为6时，证明了流收敛到预设曲率的权重当且仅当预设曲率可实现。
Exact sampling of graphs with prescribed degree correlations
许多现实世界的网络都表现出节点度之间的相关性。例如，在社交网络中，节点倾向于连接到相似度的节点。相反，在生物和技术网络中，高度节点往往与低度节点相连。度相关性也会影响网络结构所支持的过程的动态性，例如意见或流行病的传播。这些系统的正确建模，即，在没有不受控制的偏差的情况下，需要对具有指定约束集的网络进行采样。我们提出了一个解决方案时，所施加的约束是度相关性的采样问题。特别是，我们开发了一种高效和精确的方法来构建和采样图与指定的联合度矩阵，这是一个矩阵提供的边缘数之间的所有节点集的一个给定的程度，为所有度，从而完全指定所有成对度的相关性，此外，度序列本身。我们的算法总是产生独立的样本没有回溯。图的构造算法的复杂度是O（NM），其中N是节点数，M是边数。
Pseudo-edge unfoldings of convex polyhedra
一个凸多面体K的伪边图是K中的一个3连通嵌入图，它的顶点与K的顶点重合，它的边是距离最小测地线，它的面是凸的。在欧氏三维空间中构造了一个凸多面体K，它具有一个伪边图，K关于该伪边图是不可折叠的.证明是基于Pogorelov的结果凸帽规定的曲率，和展开障碍几乎平坦凸帽由于Tarasov。我们的例子有340个顶点，大大简化了Tarasov早期的构造，并证实了Durer猜想不适用于伪边展开。
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