AI 中文总结
该研究针对稠密图中生成H-细分图的路径长度问题，证明了满足最小度条件的图可构造出符合规定路径长度的生成H-细分图，且h的线性加项是必要的。
AI 中文摘要
我们研究稠密图中每一条细分路径长度预先给定的生成H-细分图问题，该问题部分源于Pavez-Signé[《组合论、概率与计算》第33卷（2024年），第121-128页]提出的一个问题：生成H-细分图中的细分路径能否被要求具有相近的长度。设h≥3为整数，0<β≪α≪1/h，我们证明：对于所有足够大的n，每个n顶点图G若满足最小度δ(G)≥n/2+⌊h/3⌋，则具有如下性质：对于每个有h条边且无孤立顶点的图H，记E(H)={e₁,…,e_h}，以及每个满足以下条件的整数选择ℓ₁,…,ℓ_h≥4：∑ᵢ₌₁^hℓᵢ=n−|V(H)|+h，且∑_{ℓᵢ<αn}ℓᵢ≤βn，图G中存在一个生成H-细分图，其中H的第i条边被替换为长度恰好为ℓ_i的路径。我们还给出了一组例子，表明h的线性加项在一般情况下是必要的。
英文摘要
We study spanning $H$-subdivisions in dense graphs where the length of every subdivision path is prescribed in advance. This problem is motivated in part by a question of Pavez-Signé [Combin. Probab. Comput. 33 (2024), 121--128], who asked whether the subdivision paths in a spanning $H$-subdivision can be required to have similar lengths. Let $h\ge3$ be an integer and let $0<β\llα\ll1/h$. We prove that, for all sufficiently large $n$, every $n$-vertex graph $G$ with $δ(G)\ge n/2+\lfloor h/3\rfloor$ has the following property. For every graph $H$ with $h$ edges and no isolated vertices, write $E(H)=\{e_1,\ldots,e_h\}$, and every choice of integers $\ell_1,\ldots,\ell_h\ge4$ satisfying $\sum_{i=1}^h\ell_i=n-|V(H)|+h$ and $\sum_{\ell_i<αn}\ell_i\leβn$, the graph $G$ contains a spanning $H$-subdivision in which the $i$th edge of $H$ is replaced by a path of length exactly $\ell_i$. We also give a family of examples showing that a linear additive term in $h$ is necessary in general.
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