Nowhere-zero 5-flows on cubic graphs with oddness 4
1954年Tutte的5-流猜想指出，每个无桥图都有一个无处为零的5-流。2004年，Kochol证明了该猜想等价于其对循环6边连通三次图的限制。本文证明了每一个奇度不超过4的循环6边连通三次图都有一个无处为零的5流。
2014-12-17 math.CO
Decomposition of cubic graphs with cyclic connectivity 5
令$G$是一个循环$5$连通三次图，其中$5$边割将$G$分成两个循环分量$G_1$和$G_2$。证明了除非$G_i$是一个长度为5的圈，否则每个组成部分$G_i$都可以通过添加三个顶点来完成为一个循环$5$连通三次图.我们的工作推广了Andersen等人1988年关于循环连通性$4$的类似结果。
2021-07-20 math.CO
Highly-connected planar cubic graphs with few or many Hamilton cycles
本文研究了具有高圈边连通度的平面三次图中Hamilton圈的个数，回答了Chia和Jassen提出的两个问题（“On the number of longest and almost longest cycles in cubic graphs”，Ars Combin. 104，307- 320，2012）关于这些族中的极值图。特别地，我们发现了一类循环$5$ -边连通平面三次图，它们比广义Petersen图$P(2n,2)$具有更多的Hamilton圈.图本身是富勒烯图，对应于某些被称为纳米管的碳分子-更准确地说，该家族由（固定）宽度$5$和增加长度的锯齿形纳米管组成。为了计算纳米管中的Hamilton圈，我们开发了受统计物理学的转移矩阵启发的方法。我们概述了这些方法如何可以适应计数更大（但仍然固定）的宽度的纳米管中的汉密尔顿周期，与警告，所得到的表达式涉及矩阵的权力。我们还考虑了具有少量Hamilton圈的循环$4$ -边连通的三次可平面图，并给出了一个这样的图的无限族，每个图都恰好具有$4$ Hamilton圈.最后我们考虑了这两类图的“另一个极端”，从而研究了具有多个Hamilton圈的循环$4$ -边连通三次平面图和具有少个Hamilton圈的循环$5$ -边连通三次可平面图.在每一种情况下，我们提出了部分结果，例子和插图关于图的几个或多个Hamilton圈。
2019-02-14 math.CO
Perfect matchings in highly cyclically connected regular graphs
图上的叶匹配操作包括从图中移除度为$1$的顶点及其邻居。对于$k\geq 0$，设$G$是$d$ -正则的偶阶循环$(d-1+2k)$ -边连通图.我们证明了，对于任何给定的集合$X$的$d-1+k$边缘，没有$1$ -因子$G$避免$X$当且仅当一个孤立的顶点可以通过一系列的叶匹配操作在$G-X$，或$G-X$有一个独立的集合，其中包含超过一半的顶点的~ $G$。为了证明如何检查定理的条件，我们证明了关于三次图的$2$ -因子的几个陈述。对于$k\ge 3$，我们证明了：给定一个三次循环$(4k-5)$ -边连通图$G$和三条长度为$k$的路，使得其中任意两条路的距离至少为$8k-17$，存在$G$的一个$2$ -因子包含其中一条路.当$k=3$和$k=4$为两个路径时，我们提供了类似的声明。作为推论，我们表明，给定一个顶点$v$在循环$7$ -边连通三次图，有一个$2$ -因子，使$v$是在电路的长度大于$7$。
2021-03-27 math.CO
Cyclically $5$-edge-connected snarks with resistance $2$ and flow resistance $n$
KU Leuven Kulak（荷语鲁汶大学库勒克校区）；Università Cattolica del Sacro Cuore（天主教神圣之心大学）
本文构造了一类循环5-边连通的snarks，其流电阻与电阻的比值可任意大，回答了Allie等人提出的问题。
2026-04-24 math.CO
Short cycle covers of cubic graphs and intersecting 5-circuits
图的圈覆盖是一组圈的集合，使得图的每条边至少包含在一个圈中。循环覆盖的长度是覆盖中所有循环长度的总和。证明了每一个具有$m$边的无桥三次图都有一个长度至多为$212/135 \cdot m \ (\approx 1.570 m)$的圈覆盖.此外，如果图是循环$4$ -边连通的，我们得到的覆盖的长度至多为$47/30 \cdot m \approx 1.567 m$。
2019-01-30 cs.DM math.CO
Girth, oddness, and colouring defect of snarks
Steffen在2015年引入的三次图的着色缺陷是任何三个完美匹配集合未覆盖的边的最小数量。由于一个三次图有缺陷$0$当且仅当它是$3$ -边列图，这个不变量可以衡量一个三次图与一个$3$ -边列图有多少不同。我们的目的是检查的关系，着色缺陷的奇数，一个广泛研究的措施uncolorability的三次图，定义为最小数量的奇数电路的$2$ -因子。我们证明了存在具有奇性$2$和任意大的着色缺陷的循环$5$ -边连通蛇（没有$3$ -边着色的三次图）。这个结果是通过构造具有奇性$2$和任意大围长的循环$5$ -边连通蛇来实现的。我们的图是循环$5$ -边连通的，这一事实大大加强了Jin和Steffen（2017）的类似结果，该结果仅保证图具有至多$3$的循环连通性。同时，我们的结果改进了Kochol（1996）关于大围长的咆哮的原始构造，因为它提供了无穷多个任意指定围长$g\ge 5$的非平凡咆哮，而不仅仅是围长至少为~ $g$ .
2022-03-16 math.CO
On covering cubic graphs with three perfect matchings
Comenius University（布拉迪斯拉发康斯坦丁神学家大学）
研究了立方图用三个完美匹配覆盖的效率，证明了对于特定范围内的比值，存在无限多个立方图满足该比值。
2026-02-20 cs.DM math.CO
On sublinear approximations for the Petersen coloring conjecture
如果$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$是一个函数，那么让我们说$f$是次线性的，如果\[\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{f(n)}{n}=0.\]如果$G=(V,E)$是一个三次图和$c:E\rightarrow \{1,...,k\}$是一个正确的$k$ -边染色的$G$，那么边$e=uv$的$G$是穷人（丰富）在$c$，如果边事件$u$和$v$是三（五）色。如果一个边既不富也不穷，那么它就是不正常的。Jaeger的Petersen着色猜想指出，任何无桥三次图都有一个正常的5-边着色$c$，使得$G$关于$c$没有异常边。对于$G$的正确5-边着色$c$，设$N_G(c)$是$G$关于$c$的异常边的集合。本文证明了：（a）Petersen着色猜想等价于存在一个次线性函数$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$，使得所有无桥三次图都有一个具有$|N_G(c)|\leq f(|V|)$的真5-边着色$c$;（b）对于$k=2,3,4$，存在次线性函数$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$的陈述，使得所有（循环）$k$ -边连通三次图允许具有$|N_G(c)|\leq f(|V|)$的真5-边着色$c$等价于所有（循环）$k$ -边连通三次图允许一…
2021-04-19 cs.DM math.CO
On two consequences of Berge-Fulkerson conjecture
经典的Berge-Fulkerson猜想指出，任何无桥三次图$G$都有一个六个完美匹配的列表，使得$G$的每条边属于列表中的两个完美匹配.在这个简短的说明中，我们讨论了两个陈述，这是这个猜想的后果。我们证明了第一个陈述等价于Fan-Raspaud猜想。我们还证明了第二个的最小反例是循环$4$ -边连通三次图。
2018-05-17 cs.DM math.CO
Decycling cubic graphs
本文研究三次图的去圈问题，证明在循环4-边连通三次图中总存在近独立去圈集且其补集诱导一棵树，并将该结果推广到更弱的连通性条件，方法借助去圈数与最大亏格之间的深层联系。
2023-09-20 cs.DM math.CO
Odd 2-factored snarks
一个{ \em snark}是一个边色数为4且围长至少为5的三次循环4-边连通图.我们说一个图$G$是{ \em odd 2-factored}，如果对于G的每个2-因子F，F的每个圈都是奇数。本文提出了一种构造奇2-因子化蛇的方法。特别是，我们构建了两个家庭的奇数2因子的咆哮，反驳了一些作者的猜想。此外，我们接近的问题，奇2-因子的咆哮提供循环4-边连接的奇2-因子的咆哮的部分特征。最后，我们提出了一个新的猜想奇2因子的咆哮。
2013-01-21 cs.DM math.CO
Small snarks with large oddness
在给定奇性和循环连通度的条件下，我们估计了一个三次图的最少顶点数。证明了具有不同于Petersen图的奇度$ω(G)$的无桥三次图$G$至少有$5.41\cdotω(G)$顶点，并对每个具有$2\le k\le 6$的整数$k$构造了一类具有循环连通度$k$和小奇度比$|V(G)|/ω(G)$的三次图.特别是，对于循环连通性2，4，5，和6，我们提高了上界的奇数比的snarks到7.5，13，25，和99从已知的值9，15，76，和118，分别。此外，我们还构造了一个周长为5，44个顶点上的奇数为4的循环4-连通蛇，改进了以前的最佳值46。
2012-12-14 cs.DM math.CO
Berge's conjecture for cubic graphs with small colouring defect
本文证明所有着色缺陷为 3 的无桥三次图均可由至多五个完美匹配覆盖，并对循环 4-边连通情形加强为四个（Petersen 图除外）。
2025-01-09 math.CO
Berge-Fulkerson coloring for infinite families of snarks
Berge和Fulkerson证明了每一个无桥三次图都有6个完美匹配，使得每条边恰好包含在其中的两个中. H $\ddot{a}$ gglund构造了两个图Blowup $(K_4, C)$和Blowup $(Prism, C_4)$ .在这两个图的基础上，Chen构造了无限族无桥三次图$M_{0,1,2, \ldots,k-2, k-1}$，它是由循环4-边连通的具有Fulkerson覆盖的三次图$G_0,G_1,\ldots, G_{k-1}$通过递归过程得到的.如果$1\leq i\leq k-1$的每个$G_i$是一个循环的4-边连通的snark，其超额指数至少为5，Chen证明了这些无限族是snark。他证明了$M_{0,1,2,3}$中的每个图都有Fulkerson-覆盖，并给出了$M_{0,1,2, \ldots,k-2, k-1}$中的每个图是否都有Fulkerson-覆盖的公开问题.本文解决了这个问题，证明了$M_{0,1,2, \ldots,k-2, k-1}$中的每个图都有Fulkerson覆盖.
2017-08-23 math.CO
Intersecting 1-factors and nowhere-zero 5-flows
设$G$是无桥三次图，$μ_2(G)$是使$G$的两个1-因子相交于$k$边的最小数$k$.一个循环边连通三次图$n$有无零5-流，如果（1）$n \geq 6$和$μ_2(G) \leq 2$或（2）如果$n \geq 5 μ_2(G)-3$
2013-06-24 math.CO
Perfect Pseudo-Matchings in cubic graphs
三次图G中的完美伪匹配M是G的一个生成子图，使得M的每个分支同构于K_2或K_1，3。鉴于具有控制圈C的咆哮G，这是完美匹配的自然推广，因为G-E（C）是完美伪匹配。特别感兴趣的是这样的M，其中图G/M是平面的，因为这样的G有圈双覆盖。我们表明，各种著名的类的咆哮包含平面化完美的伪匹配，并有至少有尽可能多的咆哮与平面化完美的伪匹配，因为有循环5-边连接的咆哮。
2019-05-11 math.CO
Covering cubic graphs with matchings of large size
设m是正整数，G是2n阶三次图.本文考虑G的边集的最小匹配数m的覆盖问题。这个数在文献中称为G的过剩[m]-指数。情况m=n，这是一个覆盖与完美匹配，是已知的严格相关的一个杰出的猜想的Berge和Fulkerson。本文详细研究了m=n-1的情形。我们展示了这个参数对于低连通度的三次图是如何变大的，并且我们提供了一些证据证明每个2n阶的循环4连通三次图都有过多的[n-1]-指数至多为4。最后讨论了图的[n-1]-指数与奇度、周长等图的参数之间的关系。
2012-10-15 math.CO
The Minimality of the Georges-Kelmans Graph
1971年，Tutte在一篇文章中写道：“很容易猜想每个3-连通二部三次图都是Hamilton的”。受此启发，霍顿在96个顶点上构造了一个反例。在不同作者的一系列文章中，提出了几个较小的反例。这些图中最小的是一个50个顶点的图，由Georges和Kelmans独立发现。在这篇文章中，我们证明了没有更小的反例。由于文献中所有的非哈密尔顿3连通二部三次图都有循环4割即使它们的围长是6很自然地要问这是否是一个必要的先决条件。在这篇文章中，我们回答了这个问题的否定，并给出了一个无限族的非哈密尔顿循环5-连通二部三次图的结构。在1969年，Barnette给出了一个较弱的版本的猜想，说明3-连通平面二部三次图是哈密尔顿的。我们证明了Barnette猜想在至少90个顶点上是正确的。我们还报告说，搜索小的非汉密尔顿3-连通二部三次图没有发现任何亏格小于4。
2021-10-24 cs.DM math.CO
Hamiltonian cycles in planar cubic graphs with facial 2-factors, and a new partial solution of Barnette's Conjecture
研究了具有面2-因子Q的平面三次图G中哈密顿圈的存在性。从而G中的Hamilton性转化为收缩G/Q中面的（拟）生成树的存在性。特别地，我们研究了G是蛙跳扩展（在（Discrete Math.，309（14）：4793-4809，2009））。作为结果，我们证明了平面三次循环4-边连通二部图的蛙跳扩张的Hamilton性。本文的这一结果和其他结果建立了巴内特猜想的部分解，根据巴内特猜想，每个3连通三次平面二部图都是汉密尔顿的。这些结果大大超过了Goodey关于这个主题的结果（Israel J. Math.，22：52-56，1975）。
2019-11-27 math.CO
On snarks that are far from being 3-edge colorable
本文构造了两个具有高奇性和低周长的无穷snark族。使用这种结构，我们还给出了一个反例，建议加强Fulkerson的猜想表明，彼得森图是不是唯一的循环4-边连通的三次图，需要至少五个完美匹配，以覆盖其边缘。此外，给出的反例有一个有趣的性质，即没有2-因子可以是循环双覆盖的一部分。
2012-03-09 cs.DM math.CO
On 3-Connected Cubic Planar Graphs and their Strong Embeddings on Orientable Surfaces
本文通过刻画三次平面图强嵌入与对偶图子图轨道的关系，构建了顶点数不超过22的3-连通三次平面图在射影平面、环面和克莱因瓶上的强嵌入同构类数据库，并证明3-连通三次平面图在正亏格可定向曲面上无强嵌入当且仅当其为阿波罗尼奥斯网络的对偶图。
2025-09-18 cs.DM math.CO
2-cell embeddings of cubic graphs I. The unstable dual
Toronto Metropolitan University（多伦多都会大学）；Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）
本文通过局部旋转引入描述三次图2-胞腔嵌入空间的新方法，定义不稳定对偶子图，并从不稳定对偶性质恢复嵌入亏格，刻画亏格≤2的3-连通平面三次图的不稳定对偶，用于生成亏格3且连通度≤2的嵌入。
2026-06-04 math.CO
Perfect matching index vs. circular flow number of a cubic graph
三次图$G$的完美匹配指数，记为$π(G)$，是覆盖$G$所有边的完美匹配的最小数目。根据Berge-Fulkerson猜想，对每一个无桥三次图~ $G$，有$π(G)\le5$.具有$π\ge 5$的图的类是特别感兴趣的，因为许多图和公开问题，包括著名的循环双覆盖猜想，可以归结为它。虽然这样的图的非平凡的例子很难找到，一些无限的家庭是已知的，所有的循环流数$Φ_c(G)=5$。因此有人建议[Electron. J. Combin. 23（2016），$\#$ P3.54]，$π(G)\ge 5$可能意味着$Φ_c(G)\ge 5$。在这篇文章中，我们消除这些希望，并提出了一个家庭的循环$4$ -边连通的三次图的围长至少$5$（snarks）与$π\ge 5$和$Φ_c\le 4+\frac23$。
2020-08-09 math.CO
On cubic bridgeless graphs whose edge-set cannot be covered by four perfect matchings
确定覆盖立方无桥图的边集所需的完美匹配数的问题与Berge和Fulkerson的一个著名猜想密切相关。本文证明了对一个给定的立方无桥图判定这个数是否至多为4是NP-完全的。我们还构造了一个无限族$\cal F$的snark（围长至少为5且色指数为4的循环4-边连通三次图），其边集不能被4个完美匹配覆盖.已知的此类图表只有两个。事实证明，家庭$\cal F$也有有趣的性质，最短的周期覆盖问题。任何具有$m$边的三次无桥图的最短圈覆盖的长度至少为$\tfrac43m$，并且证明了这个不等式对$\cal F$图是严格的.我们还构造了第一个已知的snark，没有长度小于$\tfrac43m+2$的循环覆盖。
2013-11-15 math.CO
Hypohamiltonian planar cubic graphs with girth five
如果一个图不是哈密尔顿图，但如果去掉任何一个顶点，它就变成哈密尔顿图，则称它是次哈密尔顿图。从1981年Jassen构造平面三次图开始，人们发现了许多次哈密尔顿平面三次图。然而，到目前为止发现的所有例子都有4个周期。在这篇笔记中，我们提出了第一个例子，亚哈密尔顿平面三次图的循环连通度为5，从而围长为5。通过计算机搜索，我们证明了这类图的最小成员是三个有76个顶点的图。
2015-07-26 math.CO
Three-edge-coloring projective planar cubic graphs: A generalization of the Four Color Theorem
本文证明射影平面上除彼得森图外所有循环4边连通三次图均可3边着色，推广四色定理，并得出着色-流对偶及加强的Tutte 4流猜想结论。
2024-05-26 cs.DM math.CO
Chords of 2-factors in planar cubic bridgeless graphs
我们证明了2-边连通平面三次图的每条边要么包含在2-边割中，要么是包含在图的2-因子中的某个圈的弦。因此，我们证明了循环4-边连通平面三次图中的每一条边，除了$K_2^3$和$K_4$，都包含在完美匹配中，去除完美匹配会使图断开。我们得到了2-边连通平面三次图的一个完整的特征，即边使得包含边的每个2-因子是一个哈密顿圈，以及边使得包含边的每个完美匹配的补是一个哈密顿圈.主要结果的另一个直接结果是，对于2-边连通平面三次图的面圈中包含的任何两条边，存在图中的2-因子，使得两条边包含在2-因子的同一圈中。我们猜想这一性质对2-边连通的平面三次图中的任意两条边都成立，并对平面三次二部图证明了这一性质。主要结果证明了在对偶形式，表明每个平面三角承认顶点3-着色，使没有脸是单色的，并有一个指定的边缘之间的一个指定的对颜色类。
2021-10-25 math.CO
Strictly critical snarks with girth or cyclic connectivity equal to 6
针对循环连通度大于5的严格临界snark图研究空白，本文构造了各偶数阶n≥342的循环6-连通严格临界snark图，还构造了围长6、满足n≡2(mod8)且n≥66的循环5-连通严格临界snark图。
2024-06-24 math.CO
Smallest snarks with oddness 4 and cyclic connectivity 4 have order 44
snarks族--不能是3边着色的连通无桥三次图--是图论中几个重要和长期存在的理论的潜在反例来源。这些包括循环双覆盖猜想，Tutte的5-flow猜想，Fulkerson猜想和其他几个猜想。接近这些构造的一种方法是通过研究snarks的结构性质和构造具有给定性质的小例子。在本文中，我们处理的问题，确定一个非平凡的snark（即，这是循环4-边连接，围长至少为5）的奇数至少为4的最小阶。结合结构分析和大量的计算，我们证明了奇度至少为4且循环连通度为4的snark的最小阶为44。以前它是已知的，这样的咆哮必须有至少38个顶点[J. Combin。Theory Ser.B103（2013），468- 488]，并且Lukot'ka等人[Electron. J. Combin. 22（2015），#P1.51]。证明需要确定36个顶点上的所有循环4-边连接的咆哮，这将先前编译的所有此类咆哮的列表扩展到34个顶点[J. Combin. Theory Ser. B，loc. cit.]。作为一个副产品，我们使用这个新的列表来测试几个假设的有效性，其中咆哮可以是最小的反例。
2019-01-10 cs.DM math.CO
List strong and list normal edge-coloring of (sub)cubic graphs
Faculty of Information Studies in Novo mesto（诺沃梅斯托信息研究学院）；Rudolfovo - Science and Technology Centre Novo mesto（鲁道尔福夫-诺沃梅斯托科学与技术中心）；Comenius University, Faculty of Mathematics, Physics and Informatics（布拉迪斯拉发康斯坦丁神学家大学数学、物理与信息学院）
研究了立方图的强边着色和正常边着色的列表版本，证明了最大度数为3的图的列表强色数不超过10，并展示了存在具有不同强色数和其列表版本的图。
2025-07-18 cs.DM math.CO
On The Number of Edge-3-Colourings of A Snipped Snark
对于给定的角G和G的边e，我们可以用一种称为“边减法”的运算来构成一个三次图G_e。对于某个非负整数ψ（G，e），G_e的3边着色数为18 * ψ（G，e）。给定snark G_1和G_2，我们可以使用Isaacs和Kochol给出的技术来形成新的snark G。本文给出了G_1，G_2和G中的特殊边e_1，e_2和e分别对应的<$（G_1，e_1），<$（G_2，e_2）和<$（G，e）之间的关系。因此，如果g，h，i，j，k，l均为非负整数，则存在具有边e的循环5-边连通的snark G，使得n（G，e）=5^g * 7^h，以及具有边e_0的循环4-边连通的snark G_0，使得n（G_0，e_0）=2^i * 3^j * 5^k * 7^l。
2013-04-19 math.CO
Cubic graphs with colouring defect 3
本研究针对着色亏格为3的蛇形图（不可3-边着色的立方图）建立约化理论，证明其可约化为非平凡亏格3蛇形图或由高亏格非平凡蛇形图顶点膨胀得到的图，并探讨了结果在Berge与Fulkerson猜想中的应用。
2023-10-02 math.CO
Packing 3-vertex Paths In Cubic 3-connected Graphs
图G的一个子图（一个生成子图）的所有分支都是3-顶点路，称为图G的一个L-填充（或称一个L-因子）.我们讨论下面的老问题（A）。Kelmans，1984）。下面的说法是真的吗？(C)若G是3-连通图，则G有一个L-填充，使G最多避开两个顶点.特别地，我们证明了主张（C）等价于某些似乎更强的主张（见下面的定理3.1）。例如，如果G是一个3-连通图，且G的顶点数可被3整除，则下列权利要求等价：G有一个L-因子，对G的每一条边e都有一个G的L-因子避开（包含）e，G - {e，f}对G的每两条边e和f都有一个L-因子，G-P对G的每一条3-顶点路P都有一个L-因子.由此可见，如果（C）为真，则Reed的控制图猜想对三次3-连通图为真.我们还证明了定理3.1中的某些主张是最佳可能的。本文给出了一个构造，它提供了无穷多个具有两条不相交的3-顶点路P和P'的6-连通图G，使得G的顶点数可被3整除且G-P- P'没有L-因子。关键词：三次3-连通图、3-顶点路径填充、3-顶点路径因子、支配。
2011-07-25 math.CO
Graphs with few Hamiltonian Cycles
我们描述了一个算法的非同构图的一个给定的数量$k \ge 0$的哈密顿圈，这是特别有效的小$k$的穷举生成。我们的主要发现，结合应用程序的算法和现有的算法与新的理论结果，围绕图包含恰好一个哈密尔顿圈（1H）或恰好三个哈密顿圈（3 H）。受Smith的一个经典结果和Royle的近期工作的启发，我们证明了存在阶为$n$的近立方1H图当且仅当$n \ge 18$是偶图.这给出了Entringer和Swart定理的最强形式，并揭示了Fleischner最初由Escherichone解决的一个问题。我们证明等价的公式的猜想的邦迪和杰克逊，每一个平面1H图包含两个顶点的度2，验证它的顺序16，并表明其环面模拟不成立。我们对待Hellassen的猜想，每一个最小度至少$3$的哈密尔顿图包含一个边缘，使其删除和收缩产量哈密顿图。我们还验证了Sheehan的猜想，即不存在4-正则1H图。扩展Schwenk的工作，我们描述了所有的阶为立方3 H三角形自由图存在。证明了$48$ Cantoni关于平面三次3 H图中含有三角形的猜想，并证明了存在无穷多个平面循环4-边连通三次图，它们恰好含有4个哈密顿圈，从而回答了Chia和Pastassen的一个问题.最后，作为Sheehan关于最大尺寸1H图的工作的补充，我们确定了含有恰好一条Hamilton路的图的最大尺寸，并对每一阶$n$给出了在$n$顶点上具有最…
2019-07-15 cs.DM math.CO
Counterexamples to the Cubic Graph Domination Conjecture
设v（G）和dom（G）表示图G的顶点数和控制数，r（G）= dom（G）/v（G）$. Let [x] and ]x[ be the floor and the ceiling of a number x. In 1996 B. Reed conjectured that if G is a cubic graph, then dom(G) is at most ]v(G)/3[. In 2005 A. Kostochka and B. Stodolsky disproved this conjecture for cubic graphs of connectivity one and maintained that the conjecture may still be true for 2-connected cubic graphs. Their minimum counterexample C has 4 bridges, v(C) = 60, anddom (C) = 21. In this paper we disprove Reed's conjecture for 2-connected cubic graphs by providing a sequence (R(k): k > 2) of cubic graphs of connectivity two w…
2006-07-20 math.CO
Ricci-flat cubic graphs with girth five
本文分类了所有围长至少为5的连通简单3-正则Ricci平坦图，证明仅有Petersen图、Triplex和十二面体图，并更正了Lin-Lu-Yau在2014年遗漏Triplex的分类。
2018-02-08 math.CO
Covering a cubic graph with perfect matchings
设G是无桥三次图。Berge和Fulkerson的一个著名猜想可以表述如下：存在G的五个完美匹配，使得G的每条边至少包含在其中一个中。在这里，我们证明了在每个无桥三次图中，存在5个完美匹配覆盖至少等于215/231的一部分边。通过推广这一结果，我们降低了图G的边集所需的完美匹配数的最佳已知上界（用图的大小表示）。
2013-06-05 math.CO
Total coloring of (sub)cubic Halin graphs
LaBRI, CNRS, University of Bordeaux（拉布里实验室，法国国家科学研究中心，波尔多大学）；Department of Computer Science, Faculty of Mathematics, Physics and Informatics, Comenius University（布拉迪斯拉发康斯坦丁神学院数学物理与信息学院计算机科学系）
研究了(sub)cubic Halin图的完全着色问题，证明此类图仅有限个需要五种颜色，解决了四色猜想在该类图中的难题。
2026-03-24 math.CO
Three-cuts are a charm: acyclicity in 3-connected cubic graphs
针对Mazzuoccolo 2013年提出的三个猜想中更强的第二个猜想（存在两个完美匹配的并的补集为无环子图），证明其虽有2-割反例，但在循环3-边连通立方图中成立。
2025-02-13 math.CO
Normal edge-colorings of cubic graphs
三次图的正常$k$ -边染色是具有$k$颜色的边染色，具有附加性质，即当查看分配给任何边$e$和与其相邻的四条边的颜色集合时，我们恰好有五种不同的颜色或恰好有三种不同的颜色。我们用$χ'_{N}(G)$表示最小的$k$，对于它$G$允许正规的$k$ -边染色。正规$k$ -边着色是Jaeger为了研究他著名的Petersen着色猜想而引入的。更确切地说，已知对于每个无桥三次图证明$χ'_{N}(G)\leq 5$等价于证明Petersen着色猜想，然后证明圈双覆盖猜想和Berge-Fulkerson猜想。考虑到所有简单三次图（不一定是无桥的）的较大类，自然会出现一些有趣的问题。例如，存在具有$χ'_{N}(G)=7$的简单三次图，而不是无桥图。另一方面，$χ'_{N}(G)$的已知最佳通用上限是$9$。在这里，我们通过证明，$χ'_{N}(G)\leq7$的任何简单的三次图$G$，这是最好的可能。我们通过证明在$4$ -边连通图中存在特定的no-where零$\mathbb{Z}_2^2$ -流来得到这个结果。
2019-03-13 cs.DM math.CO
Covering Bridgeless Claw-Free Cubic Graphs with Perfect Matchings
School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou University（郑州大学数学与统计学院）
本文证明Berge猜想对无桥无爪三次图成立，并给出四个完美匹配覆盖至少299/315边数的结果。
2026-10-12 math.CO
Normal 6-edge-colorings of some bridgeless cubic graphs
在一个三次图的边着色中，如果一条边和与之相邻的四条边的颜色集分别恰好有五种或恰好三种不同的颜色，则该边是贫边或富边。在边着色中，如果边的着色是丰富的或贫乏的，则该边是正常的。三次图的正规$k$ -边染色是用$k$颜色进行边染色使得图的每条边都是正规的。我们用$χ'_{N}(G)$表示最小的$k$，对于它$G$允许正常的$k$ -边染色。正规边着色是Jaeger为了研究他著名的Petersen着色猜想而引入的。证明无桥三次图的$χ'_{N}(G)\leq 5$等价于证明Petersen着色猜想。此外，Jaeger能够证明它包含了经典的猜想，如循环双覆盖猜想和Berge-Fulkerson猜想。最近，两个作者能够证明，任何简单的立方图允许正常的$7$ -边染色，这个结果是最好的可能。本文证明了任意无爪无桥三次图、置换蛇、树型蛇都有正规的$6$ -边染色。最后，我们证明了任何无桥三次图$G$都允许$6$ -边染色，使得$G$的至少$\frac{7}{9}\cdot |E|$边是正规的。
2019-10-27 cs.DM math.CO
The Frank number and nowhere-zero flows on graphs
本文研究了3-边连通图的Frank数，将所有3-边连通图的Frank数上界从7降至4，将3-边可着色图的界降至2，并计算证明了Petersen图是顶点不超过36的唯一例外。
2024-12-20 cs.DM math.CO
An enumeration of certain projective ternary two-weight codes and their relationship to the cubic Segre variety
我们详细地列举了3阶域上的五维射影空间中在7阶元素下不变的所有两交集，其中包括Hill（1973）和Gulliver（1996）的例子。直到射影等价，有6635个这样的两交集。
2014-06-26 math.CO
Multiple Petersen subdivisions in permutation graphs
一个置换图是一个三次图，它允许一个1-因子M，其补图由两个无弦圈组成。推广了Ellingham和Goldwasser与Zhang的结果，证明了：如果e是M的一条边，使得每一个包含M的一条边的4-圈都包含e，则e包含在Petersen图的一个特殊类型的细分图中.特别地，如果图是循环5-边连通的，则M的每条边都包含在这样的细分中。我们的证明是基于双顶点的上图的特征。本文给出了不含4-圈的置换图中Petersen细分数的一个线性下界，并给出了一个构造，证明了这个线性下界紧到一个常数因子.
2012-04-09 math.CO
Cubic graphs that cannot be covered with four perfect matchings
Berge的一个猜想表明，每一个无桥立方图的边最多可以被5个完美匹配覆盖。由于只有当图是$3$ -edge-college时，三次完美匹配才足够，其余的三次图分为两类：可以覆盖四个完美匹配的图，以及需要至少五个完美匹配的图。需要四个以上完美匹配来覆盖其边的三次图作为几个深刻而长期存在的猜想（包括著名的循环双覆盖猜想）的潜在反例特别有趣。然而，到目前为止，它们非常难找到。本文建立了一个理论，将具有四个完美匹配的覆盖描述为流，其流值和流出模式形成由三维射影空间$\mathbb{P}_3(\mathbb{F}_2)$中的四个点在一般位置上跨越的六条线的构形.这一理论为研究不允许这种覆盖的图提供了强有力的工具，并为它们的构造提供了各种各样的方法。作为一个说明性的例子，我们产生了一个丰富的家庭snark（非平凡的三次图没有$3$ -边着色），不能覆盖四个完美匹配。该族包含所有已知的具有此属性的图。
2020-08-04 math.CO
Three-edge-coloring (Tait coloring) cubic graphs on the torus: A proof of Grünbaum's conjecture
本文证明可嵌入环面的循环4边连通立方体图除类Petersen图外均可3边着色，刻画了环面snark的点积构造，并推出环面图上的强化版Tutte 4流结论。
2025-05-11 math.CO
Cubic graphs with no eigenvalues in the interval (-2,0)
本文完整刻画了在区间(-2,0)内无特征值的三次图，证明其仅包含一个无限族和五个零星图，并通过围长情形分析结合计算机验证完成分类。
2025-06-06 math.CO
Petersen cores and the oddness of cubic graphs
该研究针对无桥三次图，证明了3个1-因子对应的最小未覆盖边数$μ_3(G)$可约束图的奇性$ω(G)$，提出Petersen核概念，构造了满足等号条件的图及差值任意大的实例，还证明了$μ_3(G)$可取所有不小于3的整数。
2017-02-24 math.CO
Excluded minors in cubic graphs
设G是一个围长至少为5的三次图，使得对G的顶点集的每一个划分X，Y满足|X|，|Y| >6，X与Y之间至少有6条边.证明了如果Petersen图在G中没有同胚嵌入，且G不是一个特殊的20-顶点图，则G \v对于某个顶点v是平面的，或者G可以画成在平面上有交叉，但只有两个交叉，都在无限区域上.我们还证明了其他几个同类定理。
2014-03-09 math.CO
Disproving the Petersen Coloring Conjecture: Theoretical Analysis and an Infinite Family of Counterexamples
KU Leuven（荷语鲁汶大学）；Ghent University（根特大学）；Leiden University（莱顿大学）；Comenius University（布拉迪斯拉发康斯坦丁哲学者大学）；University of Modena and Reggio Emilia（摩德纳和雷焦艾米利亚大学）
针对Putman提出的112顶点彼得森着色猜想反例，本文给出不依赖大规模SAT计算的人类可验证证明，简化矛盾为彼得森图线图的结构性质，深化了对构造小装置的理解。
2026-10-01 math.CO
A construction for a counterexample to the pseudo 2-factor isomorphic graph conjecture
一个允许$2$ -因子的图$G$是\textit{pseudo $2$-factor isomorphic}，如果它的所有$2$ -因子中的圈数的奇偶性是相同的.在[M. Abreu，A.A.迪万湾杰克逊，D。Labbate和J. Sheehan。伪$2$ -因子同构正则二部图。Journal of Combinatorial Theory，Series B，98（2）（2008），432-444.]本文的一些作者给出了伪$2$ -因子同构二部三次图的一个部分刻画，并证明了$K_{3,3}$、Heawood图和Pappus图是仅有的本质$4$ -边连通图。在[J. Goedgebeur.伪$2$ -因子同构图猜想的一个反例。Discr.应用数学，193（2015），57-60.] Jan Goedgebeur通过计算找到了一个关于$30$顶点的图$\mathscr{G}$，它是伪$2$ -因子同构的三部图和二部图，本质上是$4$ -边连通图和循环$6$ -边连通图，从而反驳了上述猜想.在本文中，我们描述了如何从Heawood图和广义Petersen图$GP(8,3)$构造这样的图，它们分别是Fano $7_3$组态和Möbius-Kantor $8_3$组态的Levi图。这样的描述$\mathscr{G}$，使我们能够理解它的自同构群，其中有顺序$144$，同时使用几何和图论的方法…
2022-07-22 math.CO
High-girth cubic graphs are homomorphic to the Clebsch graph
我们给出了一个（计算机辅助）证明，每个图的最大度为3，围长至少为17的边缘可能是5色的（可能不正确），使每个颜色类的补充是二分的。等价地，每一个这样的图承认一个同态的Clebsch图。Hopkins、Staton、Bondy和Locke证明了每一个围长至少为4的（次）三次图都有一个至少包含4/5条边的边割。这样的边割的存在性直接来自于上面描述的5-边着色的存在性，所以我们的定理可以被看作是他们结果的着色扩展（在更强的围长假设下）。每个与长度为5的圈同态的图都有上述的5-边染色;因此我们的定理也可以被看作是Nesetril的五角大楼问题的一个弱版本（该问题询问是否每个足够高围长的立方图都与C_5同态）。
2009-10-23 math.CO
