Connectivity of cubical polytopes
一个立方多面体是一个多面体的所有方面是组合等价的立方体。本文讨论了三次多面体图的连通性。我们首先证明了，对任何$d\ge 3$，具有最小度$δ$的三次$d$ -多面体的图是$\min\{δ,2d-2\}$ -连通的.其次，我们证明，对于任何$d\ge 4$，在这样的图中，每个最小的基数分隔符至多$2d-3$由一些顶点的所有邻居组成，并从图中删除分隔符的顶点只留下两个组件，其中一个是顶点本身。
2019-07-15 math.CO
Cubic bipartite graphs with minimum spectral gap
图$G$的邻接矩阵的两个最大特征值之差称为$G.$的谱间隙。如果$G$是正则图，则它的谱间隙等于代数连通度。Abdi，Ghorbani和Imrich，在[European J. Combin. 95（2021）103328]，证明了三次连通图在$2n$顶点上的最小代数连通度是$(1+o(1))\frac{π^{2}}{2n^{2}}$，这是在非二部图上得到的.受上述结果的启发，本文研究了三次二部图的代数连通度。证明了$2n$顶点上的三次二部图的最小代数连通度为$(1+o(1))\frac{π^{2}}{n^{2}}$ .此外，还刻画了唯一的具有最小代数连通度的三次二部图。基于正则图的代数连通度与谱间隙之间的关系，给出了具有最小谱间隙的三次二部图及其渐近值.在[J. Graph Theory 99（2022）671--690]中，Horak和Kim用Fibonacci数建立了完美匹配数的精确上界。通过证明一个三次二部图具有最大完美匹配数当且仅当它使代数连通度最小化，得到了极图的谱刻画。
2022-12-05 math.CO
On Cyclic Edge-Connectivity of Fullerenes
一个图被称为循环$k$ -边连通的，如果至少$k$的边必须被删除，以断开它成两个组件，每个组件包含一个循环。这样的一组$k$边称为循环$k$边割集，如果得到的两个分量中的至少一个引起单个$k$ -循环，则称为平凡循环$k$ -边割集。众所周知，富勒烯，即所有面都是五边形和六边形的3-连通立方可平面图，是循环5-边连通的。本文证明了含有非平凡循环5边割集的富勒烯$F$有两个对映五边形面，即两个对映五边形面的相邻面也是五边形。此外，它表明，$F$有一个Hamilton圈，因此至少$15\cdot 2^{\lfloor \frac{n}{20}\rfloor}$完美匹配，其中$n$是$F$的顺序。
2007-02-17 math.CO
Strictly critical snarks with girth or cyclic connectivity equal to 6
针对循环连通度大于5的严格临界snark图研究空白，本文构造了各偶数阶n≥342的循环6-连通严格临界snark图，还构造了围长6、满足n≡2(mod8)且n≥66的循环5-连通严格临界snark图。
2024-06-24 math.CO
The planar cubic Cayley graphs of connectivity 2
我们对连通度为2的平面三次Cayley图进行了分类，为它们中的每一个提供了明确的表示和嵌入。与[9]相结合，这给出了所有平面三次Cayley图的完整描述。
2011-03-02 math.CO math.GR
Nowhere-zero 5-flows on cubic graphs with oddness 4
1954年Tutte的5-流猜想指出，每个无桥图都有一个无处为零的5-流。2004年，Kochol证明了该猜想等价于其对循环6边连通三次图的限制。本文证明了每一个奇度不超过4的循环6边连通三次图都有一个无处为零的5流。
2014-12-17 math.CO
Vertex connectivity of the power graph of a finite cyclic group
设$n=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\ldots p_r^{n_r}$，其中$r,n_1,\ldots, n_r$是正整数，$p_1,p_2,\ldots,p_r$是与$p_1<p_2<\cdots <p_r$不同的素数.对于阶为$n$的循环群$C_n$，设$\mathcal{P}(C_n)$是$C_n$的幂图，$κ(\mathcal{P}(C_n))$是$\mathcal{P}(C_n)$的点连通度.已知$κ(\mathcal{P}(C_n))=p_1^{n_1} -1$是$r=1$。对于$r\geq 2$，我们确定了当$2ϕ(p_1\ldots p_{r-1})\geq p_1\ldots p_{r-1}$时$κ(\mathcal{P}(C_n))$的精确值，并给出了当$2ϕ(p_1\ldots p_{r-1}) < p_1\ldots p_{r-1}$时$κ(\mathcal{P}(C_n))$的上界，这对于$n$的许多值是尖锐的，但等式不一定总是成立。
2018-02-12 math.CO
Cages and cyclic connectivity
本研究针对笼图的循环边连通性问题，证明了当$(k,g)$-笼图顶点数不超过2倍Moore界减$g^2$时，其循环边连通度为$(k-2)g$且对应分离$g$-环，该结论适用于多组未知笼图及潜在缺失Moore图。
2025-09-04 math.CO
Highly-connected planar cubic graphs with few or many Hamilton cycles
本文研究了具有高圈边连通度的平面三次图中Hamilton圈的个数，回答了Chia和Jassen提出的两个问题（“On the number of longest and almost longest cycles in cubic graphs”，Ars Combin. 104，307- 320，2012）关于这些族中的极值图。特别地，我们发现了一类循环$5$ -边连通平面三次图，它们比广义Petersen图$P(2n,2)$具有更多的Hamilton圈.图本身是富勒烯图，对应于某些被称为纳米管的碳分子-更准确地说，该家族由（固定）宽度$5$和增加长度的锯齿形纳米管组成。为了计算纳米管中的Hamilton圈，我们开发了受统计物理学的转移矩阵启发的方法。我们概述了这些方法如何可以适应计数更大（但仍然固定）的宽度的纳米管中的汉密尔顿周期，与警告，所得到的表达式涉及矩阵的权力。我们还考虑了具有少量Hamilton圈的循环$4$ -边连通的三次可平面图，并给出了一个这样的图的无限族，每个图都恰好具有$4$ Hamilton圈.最后我们考虑了这两类图的“另一个极端”，从而研究了具有多个Hamilton圈的循环$4$ -边连通三次平面图和具有少个Hamilton圈的循环$5$ -边连通三次可平面图.在每一种情况下，我们提出了部分结果，例子和插图关于图的几个或多个Hamilton圈。
2019-02-14 math.CO
A note on cycles in cyclically $4$-edge-connected cubic planar graphs
School of Mathematical Sciences, Key Laboratory of Intelligent Computing and Applications (Tongji University), Ministry of Education, Tongji University（同济大学数学科学学院，智能计算与应用教育部重点实验室，同济大学）
研究通过删除两个相邻顶点得到的图H，证明当H的周长至少为k时，存在长度在k到3k/2之间的循环，并展示线图G中可避免特定顶点的循环长度。
2026-05-09 math.CO
Splitting groups with cubic Cayley graphs of connectivity two
如果$G$是带有合并$A \underset{C}{\ast} B$的自由积或HNN扩展$G=A \underset{C}{\ast} (t)$，则组$G$在子组$C$上拆分。我们调用Bass-Serre理论和分类的所有无限群，承认立方Cayley图的连通性2在分裂的子群。
2021-04-19 math.CO math.GR
On finite groups whose power graphs satisfy certain connectivity conditions
本文研究了有限群幂图的循环顶点连通性，确定了循环群、二面体群和双循环群幂图可循环分离的阶条件，并依据群阶刻画了顶点连通度与循环顶点连通度相等的条件。
2025-04-01 math.CO math.GR
Difference sets and positive exponential sums II: cubic residues in cyclic groups
本文通过构造非负指数和，给出了循环群中差集避免三次剩余的集合基数的上界。
2025-04-22 math.CO math.NT
Improved bounds for the shortness coefficient of cyclically 4-edge connected cubic graphs and snarks
本文给出了一个构造，证明了对于$c_4=\frac{12}{13}$，在$n$顶点上存在无限集循环4-边连通三次图集，且其圈不长于$c_4 n$，同时证明了不能利用某个自然三次图族使短度系数$c_4$降为0.我们所构造的图都是蛇，所以我们得到了蛇的短度系数的相同的上界，并且我们证明了所构造的图的奇性随顶点数线性增长。
2014-01-07 cs.DM math.CO
Characterizations of $p$-groups whose power graphs satisfy certain connectivity conditions
本文刻画了有限 $p$-群的幂图满足循环可分离性及顶点连通度等于循环顶点连通度的条件，用极大循环子群给出特征。
2024-05-27 math.CO math.GR
Vertex connectivity of the power graph of a finite cyclic group II
给定有限群$G$的幂图$\mathcal{P}(G)$是简单无向图，其顶点是$G$的元素，其中两个不同的顶点相邻当且仅当它们中的一个可以作为另一个的整数幂获得。$\mathcal{P}(G)$的点连通度$κ(\mathcal{P}(G))$是指为了使$\mathcal{P}(G)$的导出子图在剩余的点上不连通或只有一个顶点而需要从$G$中删除的最少顶点数。对于正整数$n$，令$C_n$为阶为$n$的循环群。设$n$的素数幂分解为$n =p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_r^{n_r}$，其中$r\geq 1$，$n_1,n_2,\ldots, n_r$为正整数，$p_1,p_2,\ldots,p_r$为素数，且有$p_1<p_2<\cdots <p_r$ . $\mathcal{P}(C_n)$的顶点连通性$κ(\mathcal{P}(C_n))$已知用于$r\leq 3$，参见\cite{panda, cps}。本文对$r\geq 4$，给出了$κ(\mathcal{P}(C_n))$的一个新的上界，并确定了当$n_r\geq 2$时$κ(\mathcal{P}(C_n))$.当$n$是不同素数的乘积时，我们还确定了$κ(\mathcal{P}(C_n))$。
2018-10-25 math.CO
On the minimum degree, edge-connectivity and connectivity of power graphs of finite groups
群$G$的幂图是其顶点集为$G$且两个不同顶点相邻的图，如果一个顶点是另一个的幂。本文得到了某些循环群、交换$p$ -群、二面体群和双循环群的最小幂度。确定了幂图的边连通度与最小度相等，从而确定了上述群的幂图的最小不连通集。然后研究了有限群的连通度和幂图的最小度的相等性，并给出了若干必要条件。得到了有限循环群的连通度与幂图的最小度相等的一个充要条件。此外，还研究了交换$p$ -群、二面体群和双圈群的幂图的等价性。
2017-05-11 math.CO
Characterizing finite groups whose order supergraphs satisfy a connectivity condition
本文基于循环顶点割集和可循环分离的图论概念，刻画了有限幂零群及多种非幂零群（如二面体群、对称群等），明确了其阶超图满足可循环分离连通性条件的特征。
2025-04-26 math.CO
Berge's conjecture for cubic graphs with small colouring defect
本文证明所有着色缺陷为 3 的无桥三次图均可由至多五个完美匹配覆盖，并对循环 4-边连通情形加强为四个（Petersen 图除外）。
2025-01-09 math.CO
On conditional fault tolerance of hierarchical cubic networks
本文考虑了层次立方体网络$HCN_n$的条件容错性，$h$ -超连通性$κ^{h}$和$h$ -超边连通性$λ^{h}$，并给出了任意具有$0\leq h\leq n-1$的$h$的$κ^h(HCN_n)=λ^h(HCN_n)=2^h(n+1-h)$.结果表明，要使$HCN_n$不连通，且不存在度小于$h$的点，至少要去掉$2^h(n+1-h)$点或边，推广了一些已知结果.
2017-09-06 math.CO
Girth, oddness, and colouring defect of snarks
Steffen在2015年引入的三次图的着色缺陷是任何三个完美匹配集合未覆盖的边的最小数量。由于一个三次图有缺陷$0$当且仅当它是$3$ -边列图，这个不变量可以衡量一个三次图与一个$3$ -边列图有多少不同。我们的目的是检查的关系，着色缺陷的奇数，一个广泛研究的措施uncolorability的三次图，定义为最小数量的奇数电路的$2$ -因子。我们证明了存在具有奇性$2$和任意大的着色缺陷的循环$5$ -边连通蛇（没有$3$ -边着色的三次图）。这个结果是通过构造具有奇性$2$和任意大围长的循环$5$ -边连通蛇来实现的。我们的图是循环$5$ -边连通的，这一事实大大加强了Jin和Steffen（2017）的类似结果，该结果仅保证图具有至多$3$的循环连通性。同时，我们的结果改进了Kochol（1996）关于大围长的咆哮的原始构造，因为它提供了无穷多个任意指定围长$g\ge 5$的非平凡咆哮，而不仅仅是围长至少为~ $g$ .
2022-03-16 math.CO
Perfect matchings in highly cyclically connected regular graphs
图上的叶匹配操作包括从图中移除度为$1$的顶点及其邻居。对于$k\geq 0$，设$G$是$d$ -正则的偶阶循环$(d-1+2k)$ -边连通图.我们证明了，对于任何给定的集合$X$的$d-1+k$边缘，没有$1$ -因子$G$避免$X$当且仅当一个孤立的顶点可以通过一系列的叶匹配操作在$G-X$，或$G-X$有一个独立的集合，其中包含超过一半的顶点的~ $G$。为了证明如何检查定理的条件，我们证明了关于三次图的$2$ -因子的几个陈述。对于$k\ge 3$，我们证明了：给定一个三次循环$(4k-5)$ -边连通图$G$和三条长度为$k$的路，使得其中任意两条路的距离至少为$8k-17$，存在$G$的一个$2$ -因子包含其中一条路.当$k=3$和$k=4$为两个路径时，我们提供了类似的声明。作为推论，我们表明，给定一个顶点$v$在循环$7$ -边连通三次图，有一个$2$ -因子，使$v$是在电路的长度大于$7$。
2021-03-27 math.CO
Cyclically five-connected cubic graphs
一个三次图$G$是循环5-连通的，如果$G$是简单的，3-连通的，至少有10个顶点，并且对于每一个至多4条边的$F$，$G\backslash F$的至多一个分支包含电路。证明了：若$G$和$H$是循环5连通三次图，且$H$拓扑包含$G$，则$G$和$H$同构，或存在循环5连通三次图$G'$，使得$H$拓扑包含$G'$，且$G'$由$G$以下列两种方式之一得到.或者通过细分$G$的两个不同的边并通过边连接两个新顶点从$G$获得$G'$，或者通过细分长度为5的电路的每个边并通过匹配到与$G$不相交的长度为5的新电路来连接新顶点从$G$获得$G'$，使得两个电路的循环顺序一致。我们证明了一个同伴的结果，通过稍微增加$H$的连接，我们能够消除第二个建设。我们还证明了当$G$几乎是循环5连通时这两个结果的版本，即它满足定义，除了4边切割使得一侧是长度为四的电路。在这种情况下，要求$G'$几乎是循环5-连接的，并且长度为4的电路比$G$少。特别地，如果$G$最多有一个长度为4的电路，则要求$G'$循环5-连接。然而，在这种更一般的设置中，描述可能的图$G'$的操作更复杂。
2017-03-25 cs.DM math.CO
Smallest snarks with oddness 4 and cyclic connectivity 4 have order 44
snarks族--不能是3边着色的连通无桥三次图--是图论中几个重要和长期存在的理论的潜在反例来源。这些包括循环双覆盖猜想，Tutte的5-flow猜想，Fulkerson猜想和其他几个猜想。接近这些构造的一种方法是通过研究snarks的结构性质和构造具有给定性质的小例子。在本文中，我们处理的问题，确定一个非平凡的snark（即，这是循环4-边连接，围长至少为5）的奇数至少为4的最小阶。结合结构分析和大量的计算，我们证明了奇度至少为4且循环连通度为4的snark的最小阶为44。以前它是已知的，这样的咆哮必须有至少38个顶点[J. Combin。Theory Ser.B103（2013），468- 488]，并且Lukot'ka等人[Electron. J. Combin. 22（2015），#P1.51]。证明需要确定36个顶点上的所有循环4-边连接的咆哮，这将先前编译的所有此类咆哮的列表扩展到34个顶点[J. Combin. Theory Ser. B，loc. cit.]。作为一个副产品，我们使用这个新的列表来测试几个假设的有效性，其中咆哮可以是最小的反例。
2019-01-10 cs.DM math.CO
Counterexamples to the Cubic Graph Domination Conjecture
设v（G）和dom（G）表示图G的顶点数和控制数，r（G）= dom（G）/v（G）$. Let [x] and ]x[ be the floor and the ceiling of a number x. In 1996 B. Reed conjectured that if G is a cubic graph, then dom(G) is at most ]v(G)/3[. In 2005 A. Kostochka and B. Stodolsky disproved this conjecture for cubic graphs of connectivity one and maintained that the conjecture may still be true for 2-connected cubic graphs. Their minimum counterexample C has 4 bridges, v(C) = 60, anddom (C) = 21. In this paper we disprove Reed's conjecture for 2-connected cubic graphs by providing a sequence (R(k): k > 2) of cubic graphs of connectivity two w…
2006-07-20 math.CO
Cyclically $5$-edge-connected snarks with resistance $2$ and flow resistance $n$
KU Leuven Kulak（荷语鲁汶大学库勒克校区）；Università Cattolica del Sacro Cuore（天主教神圣之心大学）
本文构造了一类循环5-边连通的snarks，其流电阻与电阻的比值可任意大，回答了Allie等人提出的问题。
2026-04-24 math.CO
Cyclic Subsets and Barnette's Conjecture
本文引入了图论中循环子集的概念。一个有趣的定理，涉及到这些循环子集的集体Hamilton图。本文利用这一定理构造了Barnette猜想的一个归纳证明，该猜想提出了是否所有立方、多面体、二部图都是Hamilton图的问题。寻找一类确定是哈密尔顿图的图是当今哈密顿图论中最大的未解决问题之一。
2014-04-06 math.CO
Every 2-connected, cubic, planar graph with faces of size at most 6 is Hamiltonian
本文证明面大小至多为6的2-连通、三次、平面图均为哈密顿图且6-面条件紧致，从而将Barnette-Goodey猜想的连通性条件推至最弱可能。
2025-04-29 math.CO
Hypohamiltonian planar cubic graphs with girth five
如果一个图不是哈密尔顿图，但如果去掉任何一个顶点，它就变成哈密尔顿图，则称它是次哈密尔顿图。从1981年Jassen构造平面三次图开始，人们发现了许多次哈密尔顿平面三次图。然而，到目前为止发现的所有例子都有4个周期。在这篇笔记中，我们提出了第一个例子，亚哈密尔顿平面三次图的循环连通度为5，从而围长为5。通过计算机搜索，我们证明了这类图的最小成员是三个有76个顶点的图。
2015-07-26 math.CO
Small snarks with large oddness
在给定奇性和循环连通度的条件下，我们估计了一个三次图的最少顶点数。证明了具有不同于Petersen图的奇度$ω(G)$的无桥三次图$G$至少有$5.41\cdotω(G)$顶点，并对每个具有$2\le k\le 6$的整数$k$构造了一类具有循环连通度$k$和小奇度比$|V(G)|/ω(G)$的三次图.特别是，对于循环连通性2，4，5，和6，我们提高了上界的奇数比的snarks到7.5，13，25，和99从已知的值9，15，76，和118，分别。此外，我们还构造了一个周长为5，44个顶点上的奇数为4的循环4-连通蛇，改进了以前的最佳值46。
2012-12-14 cs.DM math.CO
Cubic Time Recognition of Cocircuit Graphs of Uniform Oriented Matroids
本文提出了一个算法，它以一个图作为输入，在立方时间内判定该图是否是一个均匀定向拟阵的余圈图。在肯定的情况下，该算法返回定向拟阵的带符号余圈集。这改进了由Babson，Finschi和Fukuda提出的算法。进一步加强了Montellano-Ballesteros和Strausz关于一致定向拟阵上圈图的斜连通性的一个结果.
2010-01-20 math.CO
Cubic graphs with large circumference deficit
图$G$的周长$c(G)$是最长圈的长度。利用我们最近的一些结果，我们构造了无限类循环$4$ -，$5$ -和$6$ -边连通三次图，它们的周长比$c(G)/|V(G)|$分别由$0.876$，$0.960$和$0.990$从上界.与此相反，支配圈猜想暗示循环$4$ -边连通三次图的周长比至少为$0.75$。此外，我们构造了具有大周长和大周长亏损的咆哮，解决了[J. Hägglund和K. Markström，关于具有大周长的图的稳定圈和圈双覆盖，Disc。312（2012），2540- 2544]。
2013-11-09 cs.DM math.CO
Classification of cubic vertex-transitive tricirculants
一个有限图称为三圈图，如果允许一个自同构的循环群在图的顶点集上恰好有三个轨道，且轨道大小相等。我们分类了所有有限连通三次顶点可迁三环。我们表明，除了一些小的例外情况下，顺序小于54，这些图要么是一个棱镜的顺序为6k与k奇数，莫比乌斯梯，或它落入两个无限的家庭，每个家庭包含一个图的形式为6k与k奇数的每一个订单。
2018-12-10 math.CO
Cubic planar bipartite graphs are dispersable
一个图被称为可分散的，如果它有一个书嵌入，其中每一页的最大度为1，页数是最大度。Bernhart和Kainen证明了每个k-正则二部图都是可分散的。40年后，Alam、Bekos、Gronemann、Kaufmann和Pupyrev证明了这个猜想是错误的，他们发现了非平面的3-和4-正则二部图是不可分散的。他们还证明了所有的三次平面二部3-连通图都是可分散的，并证明了连通性条件是可以放宽的。证明了每一个三次平面二部多重图都是可分散的。添加了一个附言，其中包括新的参考文献。
2021-07-10 math.CO
Reliability evaluation of Cayley graph generated by unicyclic graphs based on cyclic fault pattern
School of Mathematics and Statistics, Qinghai Normal University（青海师范大学数学与统计学院）；Academy of Plateau Science and Sustainability, People’s Government of Qinghai Province and Beijing Normal University（青藏高原科学与可持续发展研究院（青海省人民政府与北京师范大学））；The State Key Laboratory of Tibetan Intelligent Information Processing and Application（西藏智能信息处理与应用国家重点实验室）
本文研究了由无三角形单环图生成的Cayley图的循环连通性，证明当 $n\ge 4$ 时其精确值为 $\kappa_{c}(UG_{n})=4n-8$，为互连网络在循环故障模式下的可靠性与容错性提供了理论依据。
2025-11-03 cs.DM math.CO
Maximizing algebraic connectivity for certain families of graphs
本文研究了边数、顶点数和拓扑数受限的图的代数连通性的界。证明了在$n$顶点上的任意树的代数连通度和最大度$d$是由$2(d-2) \frac{1}{n}+O(\frac{\ln n}{n^{2}}) .$上界的。然后研究了三次图的代数连通度的上界。本文证明了围长为$g$的三次图的代数连通度上有界于$3-2^{3/2}\cos(π/\lfloor g/2\rfloor) ,$，这是对Nilli [A. Nilli，Electron.J.Combin.，11（9），2004]。最后，我们提出了几个建议和开放的问题。
2014-12-17 cs.DM math.CO math.SP
Connectivity for square percolation and coarse cubical rigidity in random right-angled Coxeter groups
我们研究随机右角Coxeter群的几何，解决方形渗透连通性猜想，并证明在广泛参数范围内（含p=1/2）其具有唯一的立方粗中值结构，即立方粗刚性典型成立。
2025-02-25 math.CO math.GR math.GT
On Arc-Transitive Regular Covers of Cubic Edge-Primitive Graphs
Guangxi University（广西大学）；Nankai University（南开大学）
本文确定了三次边本原图在循环或初等阿贝尔覆盖变换群下的弧传递正则覆盖，给出了完整分类，并指出初等阿贝尔情形下仅${\rm K_{3,3}}$和${\rm DC_{14}}$可作为基图。
2026-09-24 math.CO
Minimal cut-sets in the power graphs of certain finite non-cyclic groups
群的幂图是以顶点为群元素的单图，其中两个不同的顶点相邻当且仅当其中一个顶点可以作为另一个顶点的整幂得到。本文研究了有限非循环幂零群的幂图的（极小）割集，这些割集与它的极大循环子群有关。设$G$是阶至少能被两个不同素数整除的有限非循环幂零群.如果$G$有一个Sylow子群既不是循环的，也不是广义四元数$2$ -群，并且$G$的所有其他Sylow子群都是循环的，则在一定条件下，我们证明了$G$的幂图只有一个最小割集.我们应用这一结果来寻找某些有限的非循环阿贝尔群的幂图的顶点连通性，这些群的阶最多可被三个不同的素数整除。
2019-03-23 math.CO
Group Connectivity under $3$-Edge-Connectivity
设$S,T$是两个不同的有限阿贝尔群，它们具有$|S|=|T|$ . Tutte的一个基本定理证明了一个图允许无零$S$ -流当且仅当它允许无零$T$ -流. Jaeger，Linial，Payan和Tarsi在1992年引入了群连通性作为流理论的扩展，他们问这样的关系是否适用于群连通性类比。Hušek、Mohelníková和Šámal在2017年对$S=\mathbb{Z}_4$和$T=\mathbb{Z}_2^2$这两个组的边连通度为2的图给出了否定的回答。在本文中，我们将他们的结果推广到$3$ -边连通图（包括三次图和一般图），这回答了Hušek，Mohelníková和Šámal（2017）和Lai，Li，Shao和Zhan（2011）提出的公开问题。结合已有的一些结果，刻画了$3$ -边连通度下群连通度的等价性，证明了每个$3$ -边连通的$S$ -连通图是$T$ -连通的当且仅当$\{S,T\}\neq \{\mathbb{Z}_4,\mathbb{Z}_2^2\}$ .
2020-09-15 math.CO
Hamiltonian cycles in planar cubic graphs with facial 2-factors, and a new partial solution of Barnette's Conjecture
研究了具有面2-因子Q的平面三次图G中哈密顿圈的存在性。从而G中的Hamilton性转化为收缩G/Q中面的（拟）生成树的存在性。特别地，我们研究了G是蛙跳扩展（在（Discrete Math.，309（14）：4793-4809，2009））。作为结果，我们证明了平面三次循环4-边连通二部图的蛙跳扩张的Hamilton性。本文的这一结果和其他结果建立了巴内特猜想的部分解，根据巴内特猜想，每个3连通三次平面二部图都是汉密尔顿的。这些结果大大超过了Goodey关于这个主题的结果（Israel J. Math.，22：52-56，1975）。
2019-11-27 math.CO
Perfect Pseudo-Matchings in cubic graphs
三次图G中的完美伪匹配M是G的一个生成子图，使得M的每个分支同构于K_2或K_1，3。鉴于具有控制圈C的咆哮G，这是完美匹配的自然推广，因为G-E（C）是完美伪匹配。特别感兴趣的是这样的M，其中图G/M是平面的，因为这样的G有圈双覆盖。我们表明，各种著名的类的咆哮包含平面化完美的伪匹配，并有至少有尽可能多的咆哮与平面化完美的伪匹配，因为有循环5-边连接的咆哮。
2019-05-11 math.CO
Covering cubic graphs with matchings of large size
设m是正整数，G是2n阶三次图.本文考虑G的边集的最小匹配数m的覆盖问题。这个数在文献中称为G的过剩[m]-指数。情况m=n，这是一个覆盖与完美匹配，是已知的严格相关的一个杰出的猜想的Berge和Fulkerson。本文详细研究了m=n-1的情形。我们展示了这个参数对于低连通度的三次图是如何变大的，并且我们提供了一些证据证明每个2n阶的循环4连通三次图都有过多的[n-1]-指数至多为4。最后讨论了图的[n-1]-指数与奇度、周长等图的参数之间的关系。
2012-10-15 math.CO
On the smallest snarks with oddness 4 and connectivity 2
Snark是一个非3-边列的无桥三次图。无桥三次图的奇性是指该图的任意2-因子中奇分支的最小数目。Lukot'ka，Mácajová，Mazák and Škoviera showed in [Electron. J. Combin. 22（2015）]，最小的snark与奇数4有28个顶点，并指出，正好有两个这样的图的顺序。然而，这种说法是不正确的-使用详尽的计算机搜索-我们表明，实际上有三个snark与奇数4 28顶点。在这篇文章中，我们提出了缺失的咆哮，并确定了所有奇数4到34个顶点的咆哮。
2018-04-27 cs.DM math.CO
Intersecting 1-factors and nowhere-zero 5-flows
设$G$是无桥三次图，$μ_2(G)$是使$G$的两个1-因子相交于$k$边的最小数$k$.一个循环边连通三次图$n$有无零5-流，如果（1）$n \geq 6$和$μ_2(G) \leq 2$或（2）如果$n \geq 5 μ_2(G)-3$
2013-06-24 math.CO
2-cell embeddings of cubic graphs I. The unstable dual
Toronto Metropolitan University（多伦多都会大学）；Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）
本文通过局部旋转引入描述三次图2-胞腔嵌入空间的新方法，定义不稳定对偶子图，并从不稳定对偶性质恢复嵌入亏格，刻画亏格≤2的3-连通平面三次图的不稳定对偶，用于生成亏格3且连通度≤2的嵌入。
2026-06-04 math.CO
Berge-Fulkerson coloring for infinite families of snarks
Berge和Fulkerson证明了每一个无桥三次图都有6个完美匹配，使得每条边恰好包含在其中的两个中. H $\ddot{a}$ gglund构造了两个图Blowup $(K_4, C)$和Blowup $(Prism, C_4)$ .在这两个图的基础上，Chen构造了无限族无桥三次图$M_{0,1,2, \ldots,k-2, k-1}$，它是由循环4-边连通的具有Fulkerson覆盖的三次图$G_0,G_1,\ldots, G_{k-1}$通过递归过程得到的.如果$1\leq i\leq k-1$的每个$G_i$是一个循环的4-边连通的snark，其超额指数至少为5，Chen证明了这些无限族是snark。他证明了$M_{0,1,2,3}$中的每个图都有Fulkerson-覆盖，并给出了$M_{0,1,2, \ldots,k-2, k-1}$中的每个图是否都有Fulkerson-覆盖的公开问题.本文解决了这个问题，证明了$M_{0,1,2, \ldots,k-2, k-1}$中的每个图都有Fulkerson覆盖.
2017-08-23 math.CO
A novel view: edge isoperimetric methods and reliability evaluation of several kinds of conditional edge-connectivity of interconnection networks
在不同的$\mathcal{P}$ -条件边连通度下，分别讨论了若干并行和分布式系统互连网络在不同链路故障假设下的可靠性评估和容错性。借助组合数学中边等周问题的方法，给出了一种新的、统一的观点来研究Hamming图$K_{L}^{n}$的$\mathcal{P}$-条件边连通度，如$L^{t}$ -额外边连通度、$t$ -嵌入边连通度、循环边连通度、$(L-1)t$ -超边连通度，$(L-1)t$ -平均边连通度和$L^{t}$ -等周边连通度。它们以$(L-1)(n-t)L^{t}$的形式共享相同的值（除了循环边连通度），其等于导致来自$K_{L}^{n}$的$L$ -元- $n$ -维子层的链路故障的最小数量。此外，我们还得到了汉明图$K_{L}^{n}$对每个$h\leq L^{\lfloor {\frac{n}{2}} \rfloor}$的$h$ -额外边连通度和$h$ -次等周边连通度的精确值.对于$L=2$，$K_2^n=Q_n$是$n$维超立方体.我们的结果可以应用于更广泛的网络类，称为PDMATHAMT-维双射连接网络，它包含超立方体，扭曲立方体，交叉立方体，Möbius立方体，局部扭曲立方体等，我们的结果改进了以前关于这个主题的一些结果.
2022-03-24 cs.DM math.CO
Cubic arc-transitive $k$-circulants
对于整数$k\geq 1$，如果一个图的自同构群包含一个顶点上有$k$轨道的循环半正则子群，则称该图为$k$ -循环图.我们证明了，如果$k$是偶数，存在无穷多个三次弧传递$k$ -循环。我们猜想，如果$k$是奇的，则三次弧传递$k$ -循环至多有$6k^2$阶.当$k$与$6$互质且无平方数时，我们的主要结果证明了这个猜想.
2016-03-04 math.CO math.GR
Perfect matching index vs. circular flow number of a cubic graph
三次图$G$的完美匹配指数，记为$π(G)$，是覆盖$G$所有边的完美匹配的最小数目。根据Berge-Fulkerson猜想，对每一个无桥三次图~ $G$，有$π(G)\le5$.具有$π\ge 5$的图的类是特别感兴趣的，因为许多图和公开问题，包括著名的循环双覆盖猜想，可以归结为它。虽然这样的图的非平凡的例子很难找到，一些无限的家庭是已知的，所有的循环流数$Φ_c(G)=5$。因此有人建议[Electron. J. Combin. 23（2016），$\#$ P3.54]，$π(G)\ge 5$可能意味着$Φ_c(G)\ge 5$。在这篇文章中，我们消除这些希望，并提出了一个家庭的循环$4$ -边连通的三次图的围长至少$5$（snarks）与$π\ge 5$和$Φ_c\le 4+\frac23$。
2020-08-09 math.CO
On cubic bridgeless graphs whose edge-set cannot be covered by four perfect matchings
确定覆盖立方无桥图的边集所需的完美匹配数的问题与Berge和Fulkerson的一个著名猜想密切相关。本文证明了对一个给定的立方无桥图判定这个数是否至多为4是NP-完全的。我们还构造了一个无限族$\cal F$的snark（围长至少为5且色指数为4的循环4-边连通三次图），其边集不能被4个完美匹配覆盖.已知的此类图表只有两个。事实证明，家庭$\cal F$也有有趣的性质，最短的周期覆盖问题。任何具有$m$边的三次无桥图的最短圈覆盖的长度至少为$\tfrac43m$，并且证明了这个不等式对$\cal F$图是严格的.我们还构造了第一个已知的snark，没有长度小于$\tfrac43m+2$的循环覆盖。
2013-11-15 math.CO
On cubic polycirculant nut graphs
本文研究三次ℓ-循环核图的存在性，通过计算机辅助证明排除ℓ=4和5的情形，并构造性证明当ℓ∈{6,7}或ℓ≥9时存在无穷多个此类图。
2024-11-25 math.CO
Laplacian spectra of power graphs of certain finite groups
本文研究了有限循环群、双循环群和有限$p$ -群的幂图的Laplacian谱。研究了上述群的幂图的代数连通性，并完全确定了有限$p$ -群的幂图的代数连通性。进一步研究了上述群的幂图的Laplacian谱半径的重数，并完全确定了双圈和有限$p$ -群的Laplacian谱半径的重数。对上述所有群的幂图，刻画了它们的点连通度与代数连通度相等的性质。确定了幂图为Laplacian积分的双循环群的阶。证明了双循环群的幂图的顶点连通度与代数连通度相等的概念与Laplacian积分的概念是等价的。得到了有限$p$ -群的幂图的Laplacian特征值的所有可能值。这表明有限$p$ -群的幂图是Laplacian积分的。
2018-11-10 math.CO
On partition functions for 3-graphs
一个{ \em循环图}是在每个顶点上与它关联的边的循环顺序被指定的图。我们刻画了三次循环图集合上的哪些实值函数是实顶点模型的分拆函数（P. de la Harpe，V.F.R. Jones，与统计力学模型相关的图不变量：实例和问题，组合理论杂志，系列B 57（1993）207- 227）。它们的特征在于“弱反射正性”，这相当于基于三次循环图的“$k$ -连接”的矩阵的半正定性（对于所有$k\in\oZ_+$）。基本工具是表示论的对称群和几何不变理论，特别是汉隆-威尔士定理的分解布劳尔代数和Procesi-Schwarz定理的不平等定义轨道空间。
2016-08-01 math.CO math.QA math.RT
