A Hopf algebra without modular pair in involution
Sebastian Halbig, Ulrich Kraehmer
这个简短的说明的目的是交流一个有限维霍普夫代数的例子，不允许一个模对在Connes和Moscovici意义上的对合。
The aim of this short note is to communicate an example of a finite-dimensional Hopf algebra that does not admit a modular pair in involution in the sense of Connes and Moscovici.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Generalised Taft algebras and pairs in involution
研究了一类有限维霍普夫代数，它推广了Taft代数的概念.给出了这些霍普夫代数在对合中省略一对的充要条件，即不具有类群和实现对极平方的特征标.作为结果，我们证明了有限维霍普夫代数的例子没有这样的对的无限集的存在性。这对反Yetter-Drinfeld模理论以及霍普夫代数表示的双对偶性都有影响。这篇文章已被接受发表在代数通信，由泰勒和弗朗西斯出版。
Weak Hopf algebras and the distribution of involutions in symmetric groups
通过计算弱霍普夫代数模的Frobenius-Schur指标，给出了关于给定Young子群的陪集所包含的对称群的对合个数的计算公式.
A note on cohomology for multiplier Hopf algebras
本文讨论了构造乘子霍普夫代数的余单复形和推广循环算子以得到其霍普夫-循环上同调的可能性。给出了乘子霍普夫代数的模对的定义，并给出了离散群上函数代数的霍普夫-循环上同调的定义.
Modular quasi-Hopf algebras and groups with one involution
在前一篇文章中，作者构造了一类与有限群$G$相关的拟霍普夫代数$D^ω(G, A)$，推广了扭曲量子偶构造.给出了模范畴$Rep(D^ω(G, A))$是模张量范畴的上同调充要条件.本文证明了群类$G$是\emph{contain a unique involution}的上同调条件，从而得到了一类新的模拟霍普夫代数的显式构造.我们发展了一般有限群$G$的基本理论，同时也发展了一个平行的理论，讨论了当$Rep(D^ω(G, A))$是超模而不是模时的问题。我们给出了一些涉及二元多面体群和零星单群的显式例子。
Constructing Modular Tensor Categories with Hopf Algebras
本文通过研究Hopf代数的中心扩张、商代数可因子化条件及ribbon元构造方法，得到两类非半单和一族半单的ribbon可因子化Hopf代数，证明其表示范畴为素模张量范畴且无法通过常规张量积构造，为模张量范畴的构建提供了新途径。
Chevalley involutions for Lie tori and extended affine Lie algebras
本文研究 Lie tori 和扩展仿射李代数中 Chevalley 对合的存在性，证明每个约化型无中心 Lie torus 都允许 Chevalley 对合，为建立扩展仿射李代数的模理论奠定基础。
Cyclic Cohomology, Hopf Algebras and the Modular Theory
我们将一个循环模规范地关联到任何具有模对的霍普夫代数上，模对由一个群样元和一个特征标组成。这提供了关键的结构，允许扩展循环上同调的霍普夫代数在非幺模的情况下，并进一步发展一个理论的特征类行动的霍普夫代数兼容，不仅与痕迹，但也与模块化理论的重量。它适用于带状和Corior-algebra代数，也适用于量子群及其子群。
A non-semisimple Kitaev lattice model
本文把 Kitaev 模型的受拓扑保护码空间推广到允许对合对的任意有限维 Hopf 代数，利用带状图、Hopf 双模与模–余模双张量积构造 Yetter-Drinfeld 模，并证明其拓扑不变性及对亏格的依赖。
Hopf-cyclic Cohomology of Quantum Enveloping Algebras
本文计算了Drinfeld-Jimbo量子包络代数$U_q(\mathfrak{g})$的周期和非周期Hopf-循环上同调，其中，半单李代数$\mathfrak{g}$的系数是模对中的对合.我们证明了它的Hochschild上同调集中在由李代数$\mathfrak{g}$的秩决定的单次上.
Modular data of non-semisimple modular categories
本文研究非半单模范畴，通过可分解ribbon Hopf代数的表示扩展半单理论，聚焦Cohen-Westreich模数据及其$S$-矩阵对角化混合融合规则，并详细分析小量子群和Nichols Hopf代数实例。
Module categories, weak Hopf algebras and modular invariants
我们发展了幺半范畴上的模范畴的抽象无意义（这是环上模的直接分类）。作为应用，我们证明了任何具有n个单对象的半单幺半范畴等价于弱霍普夫代数的表示范畴（T. Hayashi），并在正整数水平上对$\hat{sl}(2)$的融合范畴上的模块范畴进行分类，在此我们再次遇到ADE分类模式。
Finite-dimensional pointed Hopf algebras over finite simple groups of Lie type IV. Unipotent classes in Chevalley and Steinberg groups
证明了有限单Chevalley群或Steinberg群中不同于PSL_n（q）和PSp_{2n}（q）的所有幂幺类都是坍缩的（即永远不是有限维Nichols代数的支撑），PSU_n（2 ~ m）中的一类对合可能是例外.
Construction of factorizable Hopf algebras
研究了由霍普夫代数产生新的模张量范畴的问题。为此，我们首先给出了构造可因子分解霍普夫代数的一般方法。然后我们应用该方法构造了两类带可因子分解的霍普夫代数，它们不是量子群或Drinfel'd double.一类是给出非半单模张量范畴的点霍普夫代数，另一类是给出新的酉模张量范畴的C^*-霍普夫代数.最后，我们确定了这些酉模张量范畴的融合环。
The relative modular object and Frobenius extensions of finite Hopf algebras
对于某种张量函子$F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$，我们定义相对模对象$χ_F \in \mathcal{D}$为$F$的左伴随和右伴随之间的“差”.我们的主要结果是，如果$\mathcal{C}$和$\mathcal{D}$是有限张量范畴，那么$χ_F$可以用Hopf代数上的模函数的范畴模拟来表示.将这一结果应用于有限维霍普夫代数的扩张$A/B$的限制函子，我们恢复了Fischman，Montgomery和Schneider关于$A/B$的Frobenius型性质的结果.我们还应用我们的结果，以获得一个“编织”的版本和“玻色子化”的版本的结果Fischman等人。
Cyclic homology of Hopf Galois extensions and Hopf algebras
设H是一个霍普夫代数.根据定义，模交叉H-模是H以相容方式作用和共作用于其上的向量空间M。对于每个模交叉H-模M，我们关联一个循环对象Z（H，M）。Z（H，M）的循环同调推广了H的代数结构的通常的循环同调和H-Galois扩张的相对循环同调.对于一个Hopf子代数K，在一定的假设下，我们计算了诱导模交叉模的循环同调.作为这个计算的直接应用，我们描述了强分次代数的相对循环同调。特别地，我们计算了群代数和量子环面的（通常的）循环同调。最后，当H是李代数的包络代数时，我们构造了一个谱序列，它收敛于H的循环同调，系数在任意模交叉模中。我们还证明了几乎对称代数的循环同调同构于系数在某个模交叉模中的H的循环同调.
Hopf cyclic cohomology in braided monoidal categories
我们推广的形式主义的Hopf循环上同调的背景下，辫子范畴。对于辫子monoidal阿贝尔范畴中的霍普夫代数，我们引入了稳定反Yetter-Drinfeld模的概念.在Connes和Moscovici的对合意义下，我们将一个仿上循环对象和一个上循环对象关联到一个具有一个辫子模对的辫子霍普夫代数上.当辫子是对称的时，具有系数的Hopf循环上同调的完整形式可以推广到我们的范畴设置。
New Modular Hopf Algebras related to rational $k$ $\widehat {sl(2)}$
我们发现，一组适当的有限维表示的$ U_q SL(2)$的霍普夫链接不变量是相同的，整体规范化，以模块化的S矩阵的Kac和Wakimoto合理的$k$ $\widehat {sl(2)}$表示。我们利用这一观察来构建新的模块化的Hopf代数，任何根的单位$q=e^{-iπm/r}$，通过采取适当的替代品的$U_q SL(2)$，产生3-流形不变量根据Reshetikin和Turaev的方法。在这些不变量中校正“成帧异常”的相位因子等于$ e^{- {{i π} \over 4} ({ {3k} \over {k+2}})}$，即整数$k$处的异常的解析延拓。正如预期的那样，Verlinde公式给出了与模Hopf代数一致的融合规则多重性。这导致了一个建议，$(k+2)=r/m$合理的奇数分母，为一组$\widehat {sl(2)}$表示通过丢弃一些最高的权重表示在Kac-Wakimoto集，并取代它们与最低的权重表示。对于这组表示，Verlinde公式给出非负整数融合规则多重性。讨论了共形场论中最高权表示和最低权表示截断的一致性。
Modular quantizations of Lie algebras of Cartan type $H$ via Drinfeld Twists
构造了广义Cartan型$H$李代数在特征$0$上的显式Drinfel'd twists，并得到了相应的量子化及其积分形式.通过模约化（包括模$p$约化和模$p$ -限制性约化）和基变换，得到了限制泛包络代数$\mathbf u(\mathbf{H}(2n;\underline{1}))$在特征$p$下的模量子化.它们是素幂维数$p^{p^{2n}-1}$的截断$p$多项式非交换和非余交换变形的新的非点霍普夫代数，它包含了著名的Radford代数作为Hopf子代数.作为副产品，我们还得到了$\mathfrak {sp}_{2n}$的约旦量子化。
Coribbon Hopf (face) algebras generated by lattice models
通过研究余拟三角Hopf（面）代数的“底层量子群的点”，我们构造了每个格模型的带范畴，而不需要顶点和面型的谱参数.此外，我们还给出了量子化典型群上的辫状结构和带状结构的分类以及与3-流形的量子SU（N）_L-不变量密切相关的模张量范畴.
Unimodular graded Poisson Hopf algebras
设$A$是特征为零的代数闭域上的Poisson Hopf代数.如果$A$是代数的连续生成和连通分次的，并且它的泊松括号是$d \geq 0$次齐次的，则$A$是幺模的;也就是说，$A$的模导子是零。这是一个泊松模拟最近的结果有关霍普夫代数连接分次代数。
Lie-Hopf algebras and their Hopf cyclic cohomology
李代数、李群和代数群之间的对应关系，一边是交换霍普夫代数，另一边是Hochschild-Mostow等人的著作，这在很长一段时间内都是已知的。我们通过将非交换的非余交换的霍普夫代数与任何匹配的李代数、李群和仿射代数群相关联来扩展这种对应。我们将对合模对正则地关联到这些霍普夫代数中的任何一个。更准确地说，对于上述匹配对对象的任何局部有限表示，我们将SAYD模与相应的霍普夫代数相关联。最后，利用匹配对对象所对应的李代数相对于由原表示导出的一个适当的系数Levi子代数的李代数上同调，计算了相应的系数为SAYD模的霍普夫代数的Hopf循环上同调.
Compact coalgebras, compact quantum groups and the positive antipode
在这篇文章中-也有意图调查一些已知的结果在理论上的紧凑量子群使用的方法不同的标准和具有强烈的代数风味-我们考虑紧凑的o-余代数和霍普夫代数。在o-Hopf代数的情况下，我们证明了紧性的特征在于正定积分的存在性，并利用我们的方法给出了文献[4]中出现的紧对合的唯一性的初等证明--直到霍普夫代数的自同构共轭为止.研究了对极平方的正平方根的基本性质，它是一个霍普夫代数的自同构，我们称之为正对极。我们使用它-以及酉对极和中山自同构-以加强我们对对极本身的理解。
Modular Hecke Algebras and their Hopf Symmetry
我们介绍并开始分析一类代数，相关的同余子群，既扩展了代数的模形式的所有水平和环的经典Hecke运营商。在直观的水平上，这些是代数的“多项式坐标”的“横向空间”的格模的行动的赫克对应。其基本的对称性被证明是由相同的霍普夫代数控制的余维1叶理的横向几何编码。它的行动是跨越“全纯切空间”的非交换空间，和它的三个基本的Hopf循环上圈的每一个获得了特定的意义。Schwarzian 1-上循环给出了一个内导子，它由权为4的一级Eisenstein级数实现。表示横截基本类的Hopf循环2-上圈提供了第一个Rankin-Cohen括号到模Hecke代数的自然扩张。最后，Godbillon-Vey上循环的霍普夫循环形式在PSL（2，Q）上产生了一个1-上循环，其值在重量为2的爱森斯坦级数中，当与“周期”上循环耦合时，产生了欧拉类的代表。
Modular Quantizations of Lie Algebras of Cartan Type K via Drinfeld Twists of Jordanian Type
本文构造了特征为0的广义Cartan型K李代数的Jordan型Drinfel'd twists，并得到了相应的量子化，特别是它们的积分形式.通过进行模约简，包括模p和模p限制性约简，以及基变化，本文给出了特征为p的Cartan型K限制单李代数的限制泛包络代数$\mathbf u(\mathbf{K}(2n{+}1;\underline{1}))$的模量子化，它们是维数为$p^{p^{2n+1}+1}$的非交换和非余交换的新的点霍普夫代数（如果$2n+4\not\equiv0 \; (\mod p)$）或$p^{p^{2n+1}}$（如果$2n+4\equiv0 \; (\mod p))$），该环也包含著名的Radford代数作为Hopf子代数.提出了一些有待解决的问题。
Rankin-Cohen Brackets and the Hopf Algebra of Transverse Geometry
本文解决了“模Hecke代数及其Hopf代数”一文中的一个未解决的问题，给出了如何将Rankin-Cohen括号从模形式推广到模Hecke代数的方法.更一般地说，我们的程序产生这样的括号上的任何结合代数赋予了一个行动的霍普夫代数的横截几何在余维1，使导子对应的施瓦茨导数是内部的。此外，我们在充分的一般性，这些Rankin-Cohen括号引起联想变形。
Pivotality, twisted centres and the anti-double of a Hopf monad
该研究将有限维Hopf代数中对合对、反Yetter–Drinfeld模与Drinfeld double同构的对应推广到刚性幺半范畴，构造研究Hopf单子的反Drinfeld double并给出单子论解释，还探讨了其与Drinfeld中心枢轴性的关联。
On Generalized Symmetries and Structure of Modular Categories
追求推广的组对称性的模块范畴的范畴对称性的拓扑阶段的问题，我们研究线性霍普夫单子。主要目标是推广的扩展和规范群对称的范畴对称的模范畴，其中也包括范畴霍普夫代数作为特殊情况。作为一个应用，我们提出了一个类似的分类有限单群的模范畴，其中我们定义简单的模范畴作为素没有任何非平凡的中心代数正规代数。
Generalized (anti) Yetter-Drinfeld modules as components of a braided T-category
如果H是一个具有双射对极和α，β \in Aut_{Hopf}（H）的霍普夫代数，我们引入范畴_H{ \cal YD}^H（α，β），推广了Yetter-Drinfeld和anti-Yetter-Drinfeld模.我们构造了一个辫子T-范畴{ \cal YD}（H），它以所有这些范畴为分支，如果H是有限维的，则它与我们构造的某个拟三角T-余代数DT（H）的表示一致.我们还证明了：如果（α，β）在对合中允许所谓的对，则_H{ \cal YD}^H（α，β）同构于通常的Yetter-Drinfeld模范畴_H{ \cal YD}^H.
Hopf algebras and Frobenius algebras in finite tensor categories
讨论了辫子张量范畴C中满足一定有限性条件的代数和表示论结构。这样一个范畴的许多有趣的结构被编码在C中的一个霍普夫代数H中。特别地，霍普夫代数H给出了模群SL（2，Z）在各种态射空间上的表示。我们还解释了每一个对称的特殊Frobenius代数在半单模范畴提供了额外的结构，这些表示。
Modular Group Representations in Combinatorial Quantization with Non-Semisimple Hopf Algebras
设$Σ_{g,n}$是亏格为$g$的紧致定向曲面，其中去掉了$n$的开圆盘.代数$\mathcal{L}_{g,n}(H)$由Alekseev-Grosse-Schomerus和Buffenoir-Roche引入，是$Σ_{g,n}$上平坦联络的模空间的组合量子化。在这里，我们专注于两个积木$\mathcal{L}_{0,1}(H)$和$\mathcal{L}_{1,0}(H)$的规范Hopf代数$H$是有限维的，可因子分解和带状，但不一定是半单的假设下。我们构造了一个投影表示$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$，映射类组的环面，$\mathcal{L}_{1,0}(H)$的基础上，我们研究了它明确的$H = \overline{U}_q(\mathfrak{sl}(2))$。我们还表明，它是等价的表示构造Lyubashenko和马吉德。
Quantum Superalgebras at Roots of Unity and Topological Invariants of Three-manifolds
根据Reshetikhin和Turaev的一般方法，从一类称为伪模霍普夫代数的新代数出发，得到了闭连通可定向3-流形的拓扑不变量.伪模霍普夫代数是一类Z_2-分次带霍普夫代数，它推广了模霍普夫代数的概念.量子超代数U_q（osp（1| 2n）），其中q是N >= 3的N次本原单位根.对于这样的q，U_q（osp（1））的某个左理想I| 2n））也是双边Hopf理想，并且商代数U_q^（N）（osp（1| 2n））= U_q（osp（1| 2n））/ I是Z_2-分次带霍普夫代数。对所有n和所有N >= 3，U_q^（N）（osp（1））的有限维表示的有限集合|（2）定义。U_q^（N）（osp（1））的每个这样的表示|2n））由属于截断的显性Weyl室的积分显性权重标记。这些表示的性质被认为是：每个表示的量子超维计算，每个表示被证明是自对偶的，更重要的是，分解的张量积的任意数量的这样的表示得到偶数N。证明了商代数U_q^（N）（osp（1| 2n））与上面讨论的有限维表示的集合一起，当N >= 6是奇数的两倍时，形成伪模霍普夫代数。利用这个伪模霍普夫代数，我们构造了3-流形的一个拓扑不变量.这个不变量被证明是不同的拓扑不变量的3-流形所产生的量子so（2n+1）在单位根。
Hochschild Cohomology and the Modular Group
在以前的工作中已经表明，模群投射地作用在一个可因子分解带霍普夫代数的中心上。中心是第零Hochschild上同调群。本文将模群的投射作用推广到可分解带状霍普夫代数的任意Hochschild上同调群，实际上推广到同伦，甚至推广到整个Hochschild上链复形上的投射作用.
Modularization of small quantum groups
构造了一类与小量子群相关的带拟霍普夫代数，其R-矩阵是可分解的。我们的主要目的是获得量子群在偶数单位根上的非半单模张量范畴，其中通常初始表示范畴甚至不是辫子。我们的拟霍普夫代数是由扭曲Drinfeld对偶上的模通过一个通用的构造而成的，但我们也给出了显式的生成元和关系，并证明了这些代数是[LO 17]中所列的具有R-矩阵的量子群扩张的模化.作为应用，我们分别对任意有限根系和任意偶数阶单位单位根找到了一个可分解的拟霍普夫代数。可被4或6整除，取决于根的长度）。在相同的可除性条件下，相应的格顶点算子代数包含一个VOA W，定义为筛选算子的核。然后我们猜想W表示范畴是辫等价的杰出的可因子分解的拟霍普夫代数的表示范畴。对于A_1根系，我们的构造专门针对[GR 17 b，CGR 17]中的拟霍普夫代数，这里的答案是肯定的，类似于[FGR 17 b，FL 17]中的四阶单位根上的B_n。
Lattices, Vertex Algebras and Modular Categories
本文介绍了全纯顶点代数作为循环orbifolds的构造以及格和模范畴中的相关问题的最新进展。我们提出了一种新的计算Schur指标的格对合轨道使用有限海森堡群和判别形式。
Making nontrivially associated modular categories from finite groups
证明了由有限群的子群的左陪集表示构成的非平凡结合张量范畴是模范畴。我们还定义了带状范畴中对象的特征标，带状范畴是辫子霍普夫代数在带状范畴中的表示范畴。定义示出是伴随不变和乘法。给出了一个详细的例子。最后，我们证明了非平凡结合的double D与群D（X）的double的表示范畴之间的范畴等价性。
Modular invariant Frobenius algebras from ribbon Hopf algebra automorphisms
对任意有限维可因子分解带霍普夫代数H和H的任意带自同构Ω，我们证明了以下结构的存在性：H-双模F_Ω和来自Lyubashenko的霍普夫代数对象K的双模态射Z_Ω.该态射在从K到F_ω的双模态射空间上的单穿孔环面的映射类群的自然作用下是不变的。进一步证明了H-双模的幺半范畴范畴中的双模F_omega可以被赋予交换对称Frobenius代数的自然结构，并且它是一个特殊的Frobenius代数当且仅当H是半单的.双模K和F_omega都可以刻画为合适的双函子的余。态射Z_omega是通过对F_omega的余积应用单值运算而得到的; F_omega的乘积也存在类似的构造。我们的研究结果的动机是寻求了解体状态空间和体分拆函数在二维共形域论与手征代数，不一定是半单的。
Tannaka-Krein reconstruction and a characterization of modular tensor categories
我们证明了弱霍普夫代数的每一个模范畴都等价于有限维余模范畴的一个可加带范畴。这类弱霍普夫代数是有限维的、可裂余半单的、弱余因子分解的、可余分解的、平凡相交的基代数。为了得到模范畴的这种特征，我们将Tannaka-Krein重构推广到长版本的正则遗忘函子，它是lax和oplax monoidal，但不是一般的强monoidal，从而避免了与非整数Frobenius-Perron维数相关的所有困难。
Hopf Algebras and Congruence Subgroups
证明了半单霍普夫代数的Drinfel'd二重化中心上的模群的自然作用的核是同余子群.为此，我们引入了一类广义Frobenius-Schur指标，并赋予它与原来的兼容的模群的作用。
On the braided Connes-Moscovici construction
在$1998$中，Connes和Moscovici定义了霍普夫代数的循环上同调.在$2010$中，Khalkhali和Pourkia提出了一个辫状推广：对于辫状范畴$\mathcal B$中的任何霍普夫代数$H$，他们在$\mathcal B$中关联一个仿循环对象。在本文中，我们显式地计算这个仿循环对象的仿循环算子的幂。同时，我们还引入了$H$的对合扭模偶，并由此导出了（余）循环模。最后，我们将与$H$相关的仿循环对象通过Connes-Moscovici迹的范畴化版本与一个$H$ -模余代数相关。
Regular multiplier Hopf algebroids II. Integration on and duality of algebraic quantum groupoids
量子群的一个基本特征是，许多量子群是成对的相互对偶对象，如有限维的霍普夫代数及其子代数，或者函数代数的量子化和泊松-李群的泛包络代数的量子化。在各种环境下对量子群胚也研究了同样的现象。在纯代数体系中，对偶对象的构造由绍恩堡、凯迪逊和斯拉卡尼给出，但要求量子群胚关于基是有限的。度量量子群胚的一个复杂的对偶性是由Enock，Lévilles和Vallin在von Neumann代数的背景下发展的。我们提出了一个纯粹的代数对偶理论，没有任何有限性假设，推广范代尔的对偶理论的乘数霍普夫代数和借用的思想，从理论的测量量子群胚。我们的方法是基于乘数的Hopf代数最近推出的Van Daele和作者，并在一个新的方法来整合代数量子群胚。主要概念是左和右积分的经常乘子的Hopf代数体，适应准不变的重量的基础上。鉴于这样的积分，我们表明，他们是唯一的重新缩放，承认模块化自同构，以及左，右相关的模块化元素。然后，在没有任何有限性和Frobenius假设的情况下，构造了一个带积分的对偶乘子Hopf代数体，并证明了它的对偶性.
Invariants of Knots and 3-manifolds from Quantum Groupoids
我们使用有限维量子群胚（弱霍普夫代数）的表示类别来构造带状和模类别，从而产生结和3-流形的不变量。
Weak Hopf Algebras unify the Hennings-Kauffman-Radford and the Reshetikhin-Turaev invariant
本文在弱霍普夫代数H的基础上，利用适当的左积分，给出了连通定向闭三维流形的一个不变量.我们的不变量可以被理解为推广到弱霍普夫代数的Hennings-Kauffman-Radford评估的无定向框架链接使用的对偶量子迹。该量子迹满足使得链接评估在Kirby移动下不变的条件。如果H是一个合适的有限维霍普夫代数（非弱），则我们的不变量退化为H的对偶的Kauffman-Radford不变量.若H是由模范畴C重构的弱霍普夫代数Tannaka-Krein，则我们的不变量与Reshetikhin-Turaev不变量一致.特别是，Reshetikhin-Turaev不变量的不变性证明变得像考夫曼-雷德福不变量一样简单。C的模性只使用一次，以表明不变量是非零的;除此之外，具有带状结构的融合范畴就足够了。我们对弱霍普夫代数H的考夫曼-雷德福不变量的推广和其有限维余模范畴C=M^H的Reshetikhin-Turaev不变量在构造上总是一致的。有没有必要考虑商的表示范畴模“可忽略态射”在任何阶段，我们的建设包含Reshetikhin-Turaev不变量的任意模范畴C，无论其与某些量子群的关系是已知的或没有。
The Cardy-Cartan modular invariant
利用可分解的Hopf代数，我们构造了电荷共轭的模不变配分函数，或Cardy型，作为与对数CFT中出现的那些具有本质特征的范畴中的余端的特征.这种配分函数的系数由理论的Cartan矩阵给出。
Cyclic Cohomology and Hopf Symmetry
循环上同调最近被用来处理非交换几何中的Hopf对称性。由此得到的霍普夫代数的特征类理论及其在代数上的作用，可以扩大循环上同调的应用范围。本文的目的是说明这些最近的发展，特别强调横向指数理论的应用，并指出未来的发展方向。特别是，我们强调显着的协议，我们的框架之间的循环上同调的霍普夫代数一方面和代数以及解析理论的量子群的另一方面，体现在建设的模块化广场。
Generalized Twisted Quantum Doubles of a Finite Group and Rational Orbifolds
在以前的工作中，作者引入了一类新的模拟霍普夫代数$D^ω(G, A)$，它对应于一个有限群$G$，一个中心子群$A$和一个$3$ -上循环$ω\in Z^3(G, C^x)$ .在本文中，我们提出了一个描述类的有理顶点算子代数的orbifold模型，其模范畴是张量等价于$D^ω(G, A)$ -mod。本文包括背景的准霍普夫代数和一些相关的orbifold的讨论。
A topological origin of quantum symmetric pairs
编织幺半范畴范畴是二维小圆盘算子的范畴代数。我们介绍了对合小圆盘操作，这是Z/2 Z-orbifold版本的小圆盘操作。我们分类的范畴代数，并明确描述这些方面的一个有限列表的函子，自然同构和相干方程。在二维中，范畴代数是具有反对合的辫状幺半范畴范畴和具有（扭曲）反射方程的普适解的点模范畴。主要的例子是从一类带对合的带状霍普夫代数和一个拟三角共理想子代数的表示中得到的，如一个量子群和一个量子对称对共理想子代数.
An in-Depth Look at Quotient Modules
有限群和子群的陪集$G$ -空间是舒尔和其他人在1930年左右研究的一个基本模块;例如，它的自同态代数是双陪集的赫克代数。我们研究并回顾了它在Hopf子代数上的推广$Q$，特别是霍普夫代数上的模的张量幂幂和相似性，以及自同态代数的Morita等价.证明了$Q$有非零积分当且仅当模函数限制于Hopf子代数的模函数.我们还研究和组织知识的$Q$和它的张量幂方面的零化子理想，西格玛类别，迹理想，伯恩赛德环公式，并考虑半单霍普夫代数时，深度的$Q$方面的麦凯和格林环。
Quantizations of generalized Cartan type $S$ Lie algebras and of the special algebra $\mathbf{S}(n;\underline{1})$ in the modular case
对具有李双代数结构的广义Cartan型$\mathbf{S}$李代数进行量子化，证明了所用的Drinfel'd扭是Jordan扭的一种变形.作为从char 0到char p的过渡，给出了它们的量子化积分形式.通过模约化和基变换，得到了限制泛包络代数$\mathbf u(\mathbf{S}(n;\underline{1}))$（对于$\mathbf{S}$型的Cartan型单模限制李代数$\mathbf{S}(n;\underline{1})$）的某些量子化.它们是维数为$p^{1+(n-1)(p^n-1)}$的截断$p$ -多项式非交换和非余交换变形的新的Hopf代数，它包含著名的Radford代数（\cite{DR}）作为一个Hopf子代数.作为一个副产品，我们还得到了$\mathfrak {sl}_n$的一些约旦量子化，这些量子化是由$\mathbf S(n;\underline1)$的水平量子化导出的。
Equivariant categories from categorical group actions on monoidal categories
g-等变模范畴为构造三维同伦域论的标准方法提供了输入。Virelizier利用群G在霍普夫代数H上的作用，通过霍普夫代数的自同构构造了一个G-等变范畴.他的范畴的中性分支是H-模范畴的德林费尔德中心。利用（可能非严格的）monoidal自等价，将这一构造推广到群G在任意幺半范畴C上的弱作用，得到了一个G-等变范畴，其中立分支为C的Drinfeld中心.
Quantum and braided ZX calculus
我们重新讨论了量子计算中ZX-演算的相互作用Frobenius霍普夫代数的概念，重点是允许代数是非交换的，余代数是非余交换的。我们在这个代数层次上引入了ZX演算中的 *-结构的概念，并基于单位根上的量子群u_q（sl_2）构造了例子。我们提供了一个抽象的阿达玛门在这个水平上，并澄清其关系的霍普夫代数自对偶。然后，我们解决的问题，扩展的概念相互作用的霍普夫代数和ZX-演算发生在一个编织张量范畴。在带的情况下，来自编织自对偶的阿达玛门服从模恒等式。我们给出了u_q（sl_2）的自对偶编织形式b_q（sl_2）的例子。
On Coquasitriangular Bialgebras
本文讨论了余拟三角双代数的三个问题。利用Yetter-Drinfeld模给出了泛r-形式的一个刻画。给出了量子群GL_q（N），SL_q（N），O_q（N）和Sp_q（N）的坐标霍普夫代数的所有泛r-形式.具有泛r-形式r的余拟三角霍普夫代数A的对极的平方可以用线性泛函f_r（a）=r（a_{(1)} \otimes S（a_{(2)}））表示，a \in A.对于标准紧矩阵群，泛函f_r与Woronowicz模特征标f_{-2}有关.
Logarithmic conformal field theory, log-modular tensor categories and modular forms
有理共形域论和有理顶点算子代数的两大支柱是特征的模块性和它对作为模张量范畴中的对象的模块的解释。在这些支柱之上的是Verlinde公式。本文考虑更一般的对数共形域论和$C_2$ -余有限顶点算子代数。我们认为它们的模柱是插入对应于真空的投射覆盖的交织的迹函数，而范畴柱是有限张量范畴$\mathcal C$，它是带状的，其二重同构于Deligne积$\mathcal C\otimes \mathcal C^{opp}$ .覆盖这些支柱，然后是Verlinde公式的对数变体。实现这一点的数值数据是模块化的$S$ -矩阵和开放的霍普夫链的修改的轨迹。$C_2$ -余有限和对数共形域论的表示范畴是$\mathcal W_p$ -三重代数和辛费米子的表示范畴。我们说明了这些例子中的想法，特别是对数霍普夫链接和模块化变换之间的关系明确。
Star product realizations of kappa-Minkowski space
定义了一类与$κ$ -Minkowski空间相关的星积和对合.应用相应的量子化映射，我们表明，这些星产品限制到一定的空间的施瓦茨功能同构的Banach代数完成。对于两个特殊的星产品，它表明，它们可以扩展到一类多项式有界光滑函数，允许实现的完整的Hopf代数结构的$κ$ -Minkowski空间。此外，我们给出了$κ$ -Poincaré代数作为对合Hopf代数在$κ$ -Minkowski空间的这种表示上的作用的一个显式实现，并开始研究它的性质.
Some Properties of Finite-Dimensional Semisimple Hopf Algebras
Kaplansky证明，如果H是特征为0的代数闭域k上的有限维半单Hopf代数，则H是Frobenius型的（即如果V是H的不可约表示，则dimV整除dimH）。蒙哥马利和威瑟斯彭证明了这个猜想对维数为p^n，p素数的H成立，尼科尔斯和里士满证明了如果H有一个二维表示，那么dimH是偶数。本文首先证明了：如果V是D（H）的不可约表示，则dimV整除dimH（而不仅仅是dimD（H）=（dimH）^2）.在做这件事时，我们使用模张量范畴理论（特别是Verlinde公式）。然后，我们使用这个声明来证明Kaplansky猜想是正确的有限维半单拟三角Hopf代数在k。因此，我们很容易证明朱的结果，Kaplansky猜想的素数维Hopf代数在k是真的，通过传递到他们的德林费尔德双。其次，我们利用Deligne关于tannakian范畴特征的定理证明了k上三角半单Hopf代数等价于群代数的拟Hopf代数。
Cyclic cohomology of Hopf algebras, and a non-commutative Chern-Weil theory
修订版：我们重新组织了论文，并包括一些新的结果。最重要的是，我们证明了（截断）Weil复形计算霍普夫代数的循环上同调（见新定理7.3）。我们还包括一个简短的讨论，对单模的情况下，和计算$H= U_q(sl_2)$。老摘要：我们给出了任何具有扭对极的霍普夫代数的Connes-Moscovici循环上同调的一个构造。此外，我们还引入了一个非交换的Weil复形，它将Gelfand和Smirnov的工作与循环上同调联系起来。我们展示了如何自然产生的韦尔复杂时，看着霍普夫代数的行动和不变的更高的痕迹，给一个非交换的版本通常的陈-韦尔理论。
The Young Tableaux Hopf algebra and multiple Schur series
研究引入多重舒尔级数，通过构建杨表格霍普夫代数研究其代数结构，建立多种关系并关联对称函数环，得到多项式约化公式，还恢复了舒尔多重zeta值等并讨论其（拟）模性。
Quantizations of generalized-Witt algebra and of Jacobson-Witt algebra in the modular case
利用Song-Su（\cite{GY}）发现的特征为0的广义Witt代数的李双代数结构，构造了广义Witt代数.通过模p约化和模“p-限制性”约化过程，得到Jacobson-Witt代数\mathbf{W}（n; \underline{1}）（对于W型Cartan型单模限制李代数）的限制泛包络代数的2 ^n {-}1族截断p-多项式非余交换变形.我们的结果推广了Grunspan（J. Algebra 280（2004），145- 161，\cite{CG}）在秩n=1，特征为0的情形下的工作.在模化的情况下，一个改进版本的论点遵循模化约简方法（不同于\cite{CG}），并使用了模李代数理论中的一些技术。
3-Dimensional TQFTs From Non-Semisimple Modular Categories
我们使用修改后的迹重新正规化Lyubashenko的封闭3-流形不变量来自扭曲非退化有限幺模带类别。我们的构造产生了新的拓扑不变量，在可因子分解的额外假设下，我们将其升级为2+1-TQFT。所得到的函子提供了Lyubashenko的映射类群表示的monoidal扩展，如arXiv：2010.14852中所讨论的。这个一般框架包含了来自准霍普夫代数的表示论的非半单模范畴的重要例子，这些例子在以前的非半单TQFT构造中被忽略了。
Connes-Moscovici characteristic map is a Lie algebra morphism
设$H$是一个模对在对合$(\Character,1)$中的Hopf代数.设$A$是$H$上的（模）代数，它具有非退化的$\Character$ -不变$1$ -迹$τ$ .证明了Connes-Moscovici特征映射$φ_τ:HC^*_{(\Character,1)}(H)\rightarrow HC^*_λ(A)$是分次李代数的态射.我们还得到了Batalin-Vilkovisky代数的一个态射$Φ$，它是$H$的余挠积$\text{Cotor}_H^*({\Bbbk},{\Bbbk})$到$A$的Hochschild上同调$HH^*(A,A)$ .设$K$是一个Hopf代数和一个对称Frobenius代数.假设它的对极的平方是一个类群元的内自同构。则Batalin-Vilkovisky代数$Φ:\text{Cotor}_{K^\vee}^*(\mathbb{F},\mathbb{F})\cong \text{Ext}_{K}(\mathbb{F},\mathbb{F}) \hookrightarrow HH^*(K,K)$的这个态射是单射的。
On the Central Charge of a Factorizable Hopf Algebra
对于特征为零的域上的半单可因子分解的霍普夫代数，我们证明了一个积分在逆Drinfel'd元上的值与它在Drinfel'd元上的值最多相差一个单位的四次方根单位根.这可以通过说霍普夫代数的中心电荷是一个整数来重新表述。如果霍普夫代数的维数是奇数，我们证明了这两个值最多相差一个符号，这可以通过说中心电荷是偶数来重新表述。我们给出了一个精确的条件，确定是否出现加号或减号的尺寸。为了表达我们的结果，我们使用模块化数据的语言。
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