Matrix Sequences of Tribonacci and Tribonacci-Lucas Numbers
Yüksel Soykan
本文定义了Tribonacci矩阵序列和Tribonacci-Lucas矩阵序列，并研究了它们的性质。
In this paper, we define Tribonacci and Tribonacci-Lucas matrix sequences and investigate their properties.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Tribonacci and Tribonacci-Lucas Matrix Sequences with Negative Subscripts
本文定义了具有负指数的Tribonacci和Tribonacci-Lucas矩阵序列，并研究了它们的性质。
On the properties of circulant matrices involving Generalized Tribonacci and Generalized Tribonacci-Lucas numbers
本文首先定义了广义Tribonacci-Lucas数。另外，通过定义元素为广义Tribonacci数和广义Tribonacci-Lucas数的循环矩阵C_{n}（G）和C_{n}（S），我们计算了这些矩阵的谱范数和行列式.
Incomplete Tribonacci-Lucas numbers and polynomials
本文定义了Tribonacci-Lucas多项式，并将Tribonacci-Lucas数与多项式表示为二项式和。然后，我们引入了不完全Tribonacci-Lucas数和多项式。此外，我们还导出了这些数和多项式的递推关系、一些性质和生成函数。另外，我们还找到了文献[12]中作为公开问题给出的不完全Tribonacci多项式的母函数。
On properties of Tribonacci-Lucas polynomials
本文研究了推广Tribonacci-Lucas数的Tribonacci-Lucas多项式的性质。在此基础上，我们还得到了这些数和多项式的一些新的代数性质，如比内公式、求和、二项式和、生成函数等。
Tribonacci-Lucas numbers that are palindromic concatenations of two distinct repdigits
本文利用 Baker 理论和连分数约化方法，完整确定了所有可表示为两个不同重复数字串回文拼接的 Tribonacci-Lucas 数。
Tribonacci Numbers That Are Products of Two Lucas Numbers
本文研究了Tribonacci数作为两个Lucas数乘积的条件，并证明了相关结论。
Convolution identities for Tribonacci numbers with symmetric formulae
关于Bernoulli数、Euler数、Genocchi数、Cauchy数、Stirling数和斐波那契数，人们已经研究了许多卷积恒等式。关于伯努利数的著名的基本结果是由于欧拉。研究了卷积恒等式。本文给出了无二项式系数和有二项式系数的Tribonacci数的卷积恒等式。Fibonacci数或Lucas数的卷积恒等式只能表示为斐波那契数和Lucas数的线性组合的形式。斐波那契数和卢卡斯数是成对的，具有不同的值。Tribonacci数的卷积恒等式可以表示为几个不同值的Tribonacci数的线性组合。对称公式是这些表达式的基本工具。
On the $p$-adic zeros of the Tribonacci sequence
本文反驳了Marques和Lengyel关于Tribonacci序列成员的$p$ -adic赋值的一些论断.
Generalizing the Wythoff Array and other Fibonacci Facts to Tribonacci Numbers
在本文中，我们从John Conway和Alex Ryba的论文\textit{The extra Fibonacci series and the Empire State Building}中推广了许多事实，其中我们用Tribonacci序列代替Fibonacci序列。我们研究了Tribonacci阵列，我们也称之为\textit{the Trithoff array}，以强调与Wythoff阵列的连接。我们描述了13个新的序列。
The Tribonacci and ABC Representations of Numbers are Equivalent
证明了正整数用tribonacci数表示的唯一性与用tribonacci字定义的迭代A、B、C序列表示的唯一性是等价的.引入两个辅助表示来证明这个双射。它将直接建立在一个节点和边标记tribonacci树以及正式。系统地研究了Tribonacci词的A、B和C序列。
Only finitely many Tribonacci Diophantine triples exist
取递归序列值的丢番图三元组最近得到了大量的研究。特别是提出的问题是否有许多丢番图三元组的特里波纳奇序列。我们在这里对这个问题的回答是肯定的。我们证明了只有1000个整数三元组$1\le u<v<w$使得$uv+1,uw+1,vw+1$是Tribonacci数.证明依赖于子空间定理。
Products of Tribonacci Numbers that are the Products of Factorials
本文推广了Tribonacci数与阶乘乘积方程的解，给出了连续Tribonacci项乘积等于阶乘乘积的所有解。
On periods of the Tribonacci sequence modulo primes
本文研究 Tribonacci 序列模素数的周期，完善了 p=11 情形的分析，并在 abc 猜想推广假设下证明了存在无穷多个素数不使前两个可被 p 整除的项同时被 p^2 整除。
Repdigits as Product of Consecutive Shifted Tribonacci Numbers
研究连续移位Tribonacci数乘积中的repdigits，通过求解指数丢番图方程，完全刻画了所有解。
A note on the bi-periodic Fibonacci and Lucas matrix sequences
本文引入了双周期Lucas矩阵序列，并给出了这种广义矩阵序列的一些基本性质。此外，我们研究了双周期Fibonacci和Lucas矩阵序列之间的重要关系。我们表示，双周期Lucas数的一些行为也可以通过考虑这个新的矩阵序列的性质得到。最后，我们说Lucas，$k$ -Lucas和Pell-Lucas等矩阵序列是这种广义矩阵序列的特殊情况。
Convolutions of Tribonacci, Fuss-Catalan, and Motzkin sequences
我们介绍了一类序列，定义的部分贝尔多项式，包含一个基础的空间的线性递归序列的常系数以及其他著名的序列，如加泰罗尼亚语和Motzkin。对于本文所考虑的Bell序列族，我们给出了一个一般的多重卷积公式，并用几个例子说明了我们的结果。
Solutions to a Pillai-type equation involving Tribonacci numbers and S-units
本文研究了涉及 Tribonacci 数与 S-单位 的指数 Diophantine 方程 $T_n-2^x3^y=c$，并证明了不存在具有至少六种此类表示形式的整数 $c$。
Powers in Lucas Sequences via Galois Representations
设$u_n$为非退化Lucas序列.我们推广了Bugeaud，Mittette和Siksek，2006的结果，给出了一个系统的方法来确定任何特定卢卡斯序列的所有完美幂的问题。然后，我们证明了一个一般的界限，在卢卡斯序列假设的Frey-Mazur猜想同构模$p$伽罗瓦表示的椭圆曲线。
On Squares in Lucas Sequences
在这篇短文中，我们证明，仅使用初等工具，一般情况下，当$U_n(P,Q) \neq \square$，其中$U_n(P,Q)$是卢卡斯序列的第一类。
The congruence of Wolstenholme and generalized binomial coefficients related to Lucas sequences
利用关于基本Lucas序列的广义二项式系数，我们建立了推广经典的Wolstenholme同余和其他相关的强同余的同余.
The $p$-adic Valuations of Möbius Duals of Lucas Sequences
本文研究了Möbius双曲Lucas序列的p进估值，并探讨了其与Wall-Sun-Sun素数存在的关系。
Iterated binomial transform of the k-Lucas sequence
在这项研究中，我们应用“r”倍的二项式变换的k-Lucas序列。利用递推关系，得到了该变换的比内公式、求和公式和母函数.最后给出了经典Lucas序列的迭代二项式变换的性质。
Zsigmondy's theorem and primitive divisors of the Lucas and Lehmer sequences in polynomial rings
本文得到了多元多项式环中Lucas序列和Lehmer序列的Zsigmondy定理和原因子结果的类似结果。
Primitive divisors of Lucas and Lehmer sequences, III
本文证明了：若$n > 30,030$，则任何Lucas或Lehmer序列的第$n$个元素有本原因子.
Cyclotomic Congruences and Lucas Sequences
本文研究了卢卡斯序列中素数进入点行为的限制，并推测存在强切比雪夫偏倚。
On members of Lucas sequences which are products of factorials
在这里，我们表明，如果$\{U_n\}_{n\ge 0}$是一个卢卡斯序列，那么最大的$n$，使$|U_n|=m_1!m_2!\cdots m_k!$与$1<m_1\le m_2\le \cdots\le m_k$满足$n<3\times 10^5$。我们也给出了更好的界限的情况下，卢卡斯序列的根是真实的。
On Tribonacci Sequences
设一个tribonacci序列是一个整数序列，它对所有$k\ge 4$都满足$a_k=a_{k-1}+a_{k-2}+a_{k-3}$。对于任何正整数$k$和$n$，用$f_k(n)$表示具有$a_1, a_2, a_3>0$和$a_k=n$的tribonacci序列的数量。对于所有$n$，存在最大$k$，使得$f_k(n)$非零。对Spiro的一个问题\cite{Spiro}，我们证明了对于任意正整数$n\ge 3$和这个最大$k$，存在一个关于$f_k(n)$的有限上界（我们特别证明了561001）.我们这样做，表明$f_k(n)$在$n$中有过渡周围的$ϕ^{3k/2}$的常数倍数（其中$ϕ$是$ϕ^3=ϕ^2+ϕ+1$的实根）：存在一个常数$C$，使得$f_k(n)>0$每当$n>Cϕ^{3k/2}$和任何常数$T$，$f_k(n)$与$n<Tϕ^{3k/2}$的值有一个独立于$k$的上限。
On the problem of Pillai with Fibonacci numbers, Padovan numbers, and Tribonacci numbers and powers of $3$
考虑序列：由$ F_0=0 $、$ F_1 =1$和$ F_{n+2}=F_{n+1}+ F_{n} $为所有$ n\geq 0 $定义的斐波那契数的$ \{F_{n}\}_{n\geq 0} $;由$ P_0=0 $、$ P_1 =1 = P_2 $和$ P_{n+3}=P_{n+1}+ P_{n} $为所有$ n\geq 0 $定义的Padovan数的$ \{P_{n}\}_{n\geq 0} $;以及由$ T_0=0 $、$ T_1 =1= T_2$和$ T_{n+3}=T_{n_2}+T_{n+1}+ T_{n} $为所有$ n\geq 0 $定义的Tribonacci数的$ \{T_{n}\}_{n\geq 0} $。在本文中，我们发现所有整数$ c $至少有两个表示之间的差异：斐波那契数和$ 3 $的幂;帕多万数和$3$的幂;和Tribonacci数和$3$的幂。
The Jacobsthal and Jacobsthal-Lucas sequences associated with pseudo graphs
在本文中，我们定义了两个有向伪图。然后，我们研究了所定义图的邻接矩阵，证明了邻接矩阵的积和式是Jacobsthal数和Jacobsthal-Lucas数。
Log-concavity of Lucas Sequences of first kind
在这些注记中，我们研究了作用于第一类Lucas序列的对数凹算子。我们将找出一般卢卡斯序列在哪些初始值下是对数凹的，并利用这一点证明了同一序列何时是无限对数凹的。主要结果将有助于找到一些著名的递归序列，如Fibonacci和Mersenne的对数。对对数凹算子应用于一般线性递归序列的完全分类提出了一些可能的推广。
On the Lucas Property of Linear Recurrent Sequences
我们说一个数论函数$S:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}$具有Lucas性质，如果对任何素数$p$，\begin{equation*} S(n)\equiv S(n_{0})S(n_{1})\ldots S(n_{r})\pmod p, \end{equation*}，其中$n=\sum_{i=0}^{r}n_{i}p^{i}$，有$0 \leq n_{i} \leq p-1,n,n_{i}\in\mathbb{N}$ .本文讨论了Fibonacci数列和Lucas数的Lucas性质。同时，我们发现了一些其他有趣的结果。
On arithmetic progressions in Lucas sequences
本文研究了第一类和第二类Lucas序列中的等差数列。我们证明了几乎所有的序列，只有两个，它们的数量可以有效地有界。我们还表明，只有少数序列包含无穷多个和一个可以明确列出的序列和级数在他们。对具有优势根的序列给出了更精确的描述。
Integers represented by Lucas sequences
该研究刻画可由 Lucas 序列第 n 项表示的整数集合，给出其大小的精确上下界，并提出独立于序列参数的项增长阶界。
Relationship between Vieta-Lucas polynomials and Lucas sequences
设$w_n=w_n(P,Q)$是满足递归关系\begin{equation*} w_{n+2}=Pw_{n+1}-Qw_n. \end{equation*}的数值序列，我们考虑了$(w_0,w_1)=(0,1)$和$(w_0,w_1)=(2,P)$两种特殊情况，分别用$U_n$和$V_n$表示. Vieta-Lucas多项式$V_n(X,1)$是次数为$n$的多项式。证明了同余方程$V_n(X,1)\equiv C \mod p$有解当且仅当$U_{(p-ε)/d}(C+2,C+2)$可被$p$整除，其中$ε\in\{\pm 1\}$依赖于$C$和$p$，以及$d=\gcd(n,p-ε)$ .
On Zeckendorf Related Partitions Using the Lucas Sequence
Zeckendorf证明了每一个正整数都有一个唯一的分区作为非连续斐波那契数的和。类似地，每个自然数可以被划分为卢卡斯序列的非连续项的和，尽管这样的划分不需要是唯一的。本文证明了一个自然数在Lucas序列中至多可以有两个不同的非连续分拆，求出了所有在其分拆中有固定项的正整数，并计算了Lucas序列中不唯一分拆为非连续项之和的自然数的比例的极限值。
On a divisibility relation for Lucas sequences
本文研究了整除关系$U_m\mid U_{n+k}^s-U_n^s$，其中${\bf U}:=\{U_n\}_{n\ge 0}$是特征多项式$x^2-ax\pm 1$的Lucas序列，$k,m,n,s$是正整数.
The Lucas Numbers and other Gibonacci Sequences mod $m$
本文研究了模$m$的Gibonacci序列，特别关注Lucas数.已知哪种$m$具有斐波那契序列包含所有模$m$的残基的性质。当$m$具有这个性质时，我们说斐波那契数列是模$m$的完备数列。我们将这项工作扩展到所有的Gibonacci序列，最后确定的一组$m$中的一个通用的Gibonacci序列包含互素连续的条款$a, b$是完整的模$m$。
Shifted powers in Lucas-Lehmer sequences
我们开发了一个通用的框架，找到所有完美的权力，通过移动非退化的二次卢卡斯-莱默二进制递归序列由一个固定的整数序列。通过结合这一设置与边界的线性型的曲线和结果的基础上的模块化椭圆曲线定义的全实领域，我们能够回答一个问题的Bugeaud，卢卡，Mittette和第三作者明确找到所有完美的权力的形状$F_k \pm 2 $其中$F_k$是$k$ -th长期在斐波那契序列。
Primitive divisors of Lucas and Lehmer sequences
斯图尔特减少了确定所有卢卡斯和莱默序列的问题，其$n$ -th元素没有一个原始因子，以解决某些图厄方程。利用Tzanakis和de Weger求解Thue方程的方法，我们确定了$n \leq 30$的这类序列.进一步的计算使我们猜想，对于$n > 30$，这种序列的第$n$个元素总是有一个本原因子。
Almost Repdigits in $ k-$generalized Lucas Sequences
设$ k \geq 2 $和$ ( L_{n}^{(k)} )_{n \geq 2-k} $是初始条件为$ L_{2-k}^{(k)} = \cdots = L_{-1}^{(k)}=0 ,$ $ L_{0}^{(k,}=2,$ $ L_{1}^{(k)}=1$的$k-$广义Lucas序列，其后的每一项是$ k $的前一项之和.一个正整数是一个几乎repdigit，如果它的数字都是相等的，除了最多一个数字。本文研究了确定几乎是r位数的$k-$广义Lucas序列的所有项的问题。特别地，我们发现所有的$k-$广义Lucas数是$10$的幂，几乎repdigits的一个特殊情况。
On the Lucas and Lehmer sequences in Dedekind domains
该研究将 Lucas 与 Lehmer 序列的强整除性推广到 Dedekind 整环，并在函数域中证明相应的 Zsigmondy 型定理与本原素因子结果。
A Note on Sun's Conjectures on Apéry-like Sums Involving Lucas Sequences and Harmonic Numbers
本文利用Davydychev--Kalmykov的相关结果，证明了Zhi-Wei Sun提出的关于涉及Lucas序列与调和数的类Apéry和的四个猜想恒等式。
Lucas sequences whose 12th or 9th term is a square
设P和Q是非零的互素整数。卢卡斯序列{U_n（P，Q）}定义为U_0=0，U_1=1，U_n = P U_{n-1} -Q U_{n-2}（n>1）。数列{U_n（1，-1）}是常见的Fibonacci数列，Cohn证明了该数列中唯一大于1的完满平方是$U_{12}=144$。这就产生了一个问题，对于哪些参数P，Q，U_n（P，Q）可以是完满平方？本文推广了Ribenboim和MacDaniel最近的结果。在唯一的限制条件GCD（P，Q）=1下，我们确定了所有U_{12} = square的Lucas序列{U_n（P，Q）}.事实证明，斐波那契序列提供了唯一的例子。此外，我们还确定了所有的Lucas序列{U_n（P，Q），其中U_9= square.
Gessel-Lucas congruences for sporadic sequences
对于每一个$15$已知的零星Apéry样序列，我们证明了同余模$p^2$是自然扩张卢卡斯同余模$p$。这扩展了结果Gessel的数字所使用的Apéry在他的证明的非理性的$ζ(3)$。此外，我们证明了这些序列满足模$p^{2r}$的两项超同余。使用特殊的常数项表示最近发现的Gorodetsky，我们证明了这些超同余在两种情况下，以前保持开放。
Writing pi as sum of arctangents with linear recurrent sequences, Golden mean and Lucas numbers
本文研究圆周率表示为弧切和的问题。特别地，我们利用线性递归序列得到了新的恒等式。此外，我们提供了一种方法，以表示圆周率为弧切线的总和，涉及黄金平均值，卢卡斯数，更一般地说，任何二次无理性。
Primitive divisors of Lucas and Lehmer sequences, II
设$\al$和$\be$是生成Lucas或Lehmer序列的共轭复代数整数。我们提出了一个算法，以寻找这种序列的元素，没有原始因子。我们用这个算法证明了对于所有的$\al$和具有$\hgt(\be/\al) \leq 4$的$\be$，这些序列的第$n$个元素对于$n > 30$有一个本原因子。在证明这个结果的过程中，我们改进了Stewart关于更一般序列的一个结果。
Tribonacci numbers that are palindromic concatenations of two distinct repdigits
本文研究 tribonacci 序列中可表示为两个不同重复数字回文拼接的数，结合对数线性型下界、Baker-Davenport 归约方法与有限计算验证，证明不存在此类 tribonacci 数。
Combinatorial Sums $\sum_{k\equiv r(\mbox{mod } m)}{n\choose k}a^k$ and Lucas Quotients
本文研究了组合和$$\sum_{k\equiv r(\mbox{mod }m)}{n\choose k}a^k.$$.通过研究这一和，得到了两个无限Lucas序列族的Lucas同余式.仅对三个Lucas序列，有这样的已知结果。
Representations with k-generalized Fibonacci numbers
该研究探讨整数的k阶广义斐波那契数表示，给出系数为{-1,0,1}的零表示计数的递推关系，构造系数为{0,1}的 tribonacci 表示的二叉树模型，揭示其与自相似测度的联系。
Markoff-Rosenberger triples and generalized Lucas sequences
本文考虑Markoff-Rosenberger方程$$ax^2+by^2+cz^2=dxyz$$与$(x,y,z)=(U_i,U_j,U_k),$，其中$i$表示第一/第二类广义Lucas数.我们提供了上界的指数的最小值，我们将结果完全解决具体的方程，例如，我们确定的解决方案只包含平衡数和Jacobsthal数，分别。
The Discriminant of the Characteristic Polynomial of the $k$th Fibonacci sequence is not a member of the $k$th Lucas sequence
本文研究了$k$次Lucas序列的数论性质，证明了$k$次Fibonacci序列特征多项式的判别式不属于$k$次Lucas序列。
On members of Lucas sequences which are products of Catalan numbers
证明了若$\{U_n\}_{n\geq 0}$是Lucas序列，则最大的$n$使得$|U_n|=C_{m_1}C_{m_2}\cdots C_{m_k}$与$1\leq m_1\leq m_2\leq \cdots\leq m_k$，其中$C_m$是$m$的第n个Catalan数满足$n<6500$ .在卢卡斯序列的根是实数的情况下，我们有$n\in \{1,2, 3, 4, 6, 8, 12\}$。因此，我们证明了，如果$\{X_n\}_{n\geq 1}$是一个Pell方程$X^2-dY^2=\pm 1$的$X$坐标的序列与非平方整数$d>1$，那么$X_n=C_m$意味着$n=1$。
On the divisibility of the rank of appearance of a Lucas sequence
令$U = (U_n)_{n \geq 0}$是卢卡斯序列，并且对于每个素数$p$，令$ρ_U(p)$是$p$在$U$中出现的秩，即，无论何时$p$存在，都是使得$p$整除$U_k$的最小正整数$k$。此外，令$d$为奇数正整数。在一些温和的假设下，我们证明了一个关于素数$p \leq x$的个数的渐近公式，使得$d$整除$ρ_U(p)$，为$x \to +\infty$ .
Coincidences in generalized Lucas sequences
对于整数$k\geq 2$，令$(L_{n}^{(k)})_{n}$为$k-$广义Lucas序列，其以$0,\ldots,0,2,1$（$k$项）开始，之后的每个项都是$k$前面项的总和。在本文中，我们找到了出现在不同广义Lucas序列中的所有整数;即，用$k, \ell\geq 2$研究了非负整数的丢番图方程$L_n^{(k)}=L_m^{(\ell)}$.我们的主要定理的证明使用的线性形式的代数数和贝克-达文波特减少方法的一个版本的下界。本文是前人工作的继续[4]。
The sequences of Fibonacci and Lucas for each real quadratic fields $\mathbb{Q}(\sqrt{d}\ )$
我们在任何二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d}\ )$上构造斐波那契和卢卡斯的序列，其中$d>0$无平方，注意到一般情况下，对于$d = 5$的情况，斐波那契和卢卡斯的经典序列在各自的变体下仍然有效。对于这种结构，我们使用的基本单位$\mathbb{Q}(\sqrt{d}\ )$，然后我们观察到的推广的任何单位的$\mathbb{Q}(\sqrt{d}\ )$，在一定条件下，这种结构对应于$k$ -Fibonacci序列的一些$k\in \mathbb{N}$。当然，对于这两种序列，我们得到了它们的生成函数、黄金分割比、Binet公式以及它们所保持的一些恒等式。
On the exponential Diophantine equation related to powers of two consecutive terms of Lucas sequences
令$r\ge 1$是整数，${\bf U}:=(U_{n})_{n\ge 0} $是由$U_0=0$、$U_1=1, $和$U_{n+2}=rU_{n+1}+U_n$给出的Lucas序列，对于所有$ n\ge 0 $。本文证明了不存在正整数$r\ge 3,~x\ne 2,~n\ge 1$使得$U_n^x+U_{n+1}^x$是${\bf U}$的成员.
On a question of Luca and Schinzel over Segal-Piatetski-Shapiro sequences
我们推广到Segal-Piatetski-Shapiro序列以前的结果Luca-Schinzel问题整值多项式序列。也就是说，我们证明了对于任何大于$1$的实$c$，序列$(\sum_{m\le n} φ(\lfloor m^c \rfloor) /\lfloor m^c \rfloor)_n$是稠密模$1$，其中$φ$表示欧拉函数。证明的主要部分在于表明，当$R$是一个大整数，序列的剩余$\lfloor m^c \rfloor$模$R$包含块的连续值是在一个等差数列。
Lucas sequences whose 8th term is a square
设P和Q为非零整数。Lucas序列U_n（P，Q），n= 0，1，2，…定义为U_0=0，U_1=1，U_n= P U_{n-1} -Q U_{n-2}，n>1。对于每个正整数n<8，我们描述了所有（P，Q）=1的Lucas序列具有U_n（P，Q）是完满平方的性质.这些论点是基本的。本文的主要部分是寻找所有的Lucas序列使得U_8（P，Q）是完满平方。这减少到一些类似类型的问题，即，找到所有点的椭圆曲线上定义的四次数域受到"Q-合理性“条件的X坐标。这是通过使用椭圆曲线的形式群的p-adic计算（对于合适的素数p）来实现的。
Multiplicative independence in the sequence of $k$-generalized Lucas numbers
本文研究了$k$-广义Lucas数列的乘法独立性问题，通过分析数列的递推关系，找出了所有乘法相关的数对。
Construction of helices from Lucas and Fibonacci sequences
利用两个复值函数（依赖于一个整数参数P>=1），我们构造了与P-Lucas和P-Fibonacci序列的所谓Binet公式有关的整数比R>=1的螺旋.基于这些功能的一个新的地图定义，我们表明，它的三维表示也是一个螺旋。在证明晶格点的这些后来的螺旋满足某些丢番图佩尔方程，我们称之为佩尔的螺旋。我们证明，P-斐波那契和佩尔的螺旋各自的比例是一个不变的，对比的P-卢卡斯螺旋的比例取决于P.它还表明，适当的线性组合某些复值映射导致新的螺旋卢卡斯/斐波那契/佩尔数。为了说明基本理论，给出了图形例子。
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