An Improved Bound for the Linear Arboricity Conjecture
1980年，Akiyama，Exoo和Harary提出了线性荫度猜想，即任何最大度为$Δ$的图$G$最多可以分解为$\left\lceil \fracΔ{2}\right\rceil$线性森林。（如果森林的所有组成部分都是路径，则该森林是线性的。）1988年，阿隆证明了这个猜想的渐近成立性。目前的最佳界限是由Ferber、Fox和Jain在2020年提出的，他们证明了$\fracΔ{2}+ O(Δ^{.661})$足以满足足够大的$Δ$。在这里，我们表明，$G$承认分解到最多$\fracΔ{2}+ 3\sqrtΔ \log^4 Δ$线性森林提供$Δ$是足够大的。此外，我们的结果也适用于更一般的列表设置，其中边缘具有（可能不同的）允许的线性森林集合。因此，我们的界限也适用于列表线性荫度猜想，这是最近才证明，持有渐近金和第二作者。事实上，我们的证明方法将线性荫度猜想和著名的列表着色猜想联系在一起;因此，我们的线性荫度猜想的误差项与Molloy和Reed在2000年提出的列表着色猜想的最著名的误差项相匹配。这是因为我们对每种颜色做了两个副本，然后寻找一个合适的边缘着色，避免了颜色和副本之间的双色循环;我们通过巧妙地修改nibble方法来实现这一点。
2023-01-17 math.CO
Equitable vertex arboricity of planar graphs
设$G_1$是一个平面图，使得所有长度不超过4的圈都是独立的，$G_2$是一个可平面图，不含3-圈和相邻的4-圈.证明了对于每个$t\geq 3$，$G_1$和$G_2$的顶点集都可以被公平地划分为$t$子集，使得每个子集都导出一个森林.这些结果部分证实了吴、张和李的一个猜想。
2014-03-12 cs.DM math.CO
Fractional vertex-arboricity of planar graphs
我们对可平面图的分数顶点荫度进行了系统的研究，并证明了与可平面图中分数着色和最大诱导森林的大小有关的开放问题的联系。特别地，以下三个长期存在的命题涉及可平面图中的最大诱导森林的大小，并且我们猜想这些命题中的每一个都可以推广到分数顶点荫度的设置。1979年，Albertson和Berman证明了每个可平面图至少有一半的顶点上有诱导森林，1987年，Akiyama和Watanabe证明了每个二分可平面图至少有八分之五的顶点上有诱导森林，2010年，Kowalik，Lužar，Škrekovski证明了围长至少为5的可平面图至少在十分之七的顶点上有诱导森林。我们取得了进展，对后者的分数推广，通过证明，每个平面图的围长至少为5有分数顶点荫度至多$2 - 1/324$。
2020-09-25 math.CO
On an $f$-coloring generalization of linear arboricity of multigraphs
给定一个多重图$G$及其顶点上的函数$f : V(G) \rightarrow \mathbb{Z}_{\ge 2}$，$G$的度- $f$子图是一个生成子图，其中每个顶点$v$的度至多为$f(v)$ . $G$的度$f$荫度$a_f(G)$是将$G$边缘着色到度$f$林中所需的最小颜色数。至少对于常数$f$，Truszczyoski证明了对每个重图$G$都有$a_f(G) \le \max \{Δ_f(G) + 1, a(G)\}$，其中$Δ_f(G) = \max_{v \in V(G)} \lceil d(v)/f(v) \rceil$和$a(G)$是$G$的通常荫度.这是对秋山、Exoo和Harary提出的线性荫度猜想的有力推广。在本文中，我们在一般重图的强意义下，证明了Truszczyplski猜想是错误的。另一方面，推广了线性荫度的已知结果，证明了该猜想对围长足够大的简单图成立，并且对所有简单图渐近成立。更强烈地，我们证明了这些部分结果的设置有向图，其中的颜色类需要类似定义的程度- $f$分支。
2023-01-24 math.CO
Linear arboricity of robust expanders
本研究证实了鲁棒扩张图的线性森林分解猜想，适用于密集准随机图和高最小度数的大型图。
2026-01-04 math.CO
Bounded Diameter Arboricity
我们引入了\emph{bounded diameter arboricity}的概念。具体地，图的\emph{diameter-$d$ arboricity}是使得图的边可以被划分成$k$森林的最小数目$k$，每个$k$森林的分量具有至多$d$的直径。一类图具有有界直径荫度$k$，如果存在一个自然数$d$，使得该类图中的每个图至多具有直径- $d$荫度$k$ .我们猜想荫度至多为$k$的图类具有有界直径荫度至多为$k+1$ .我们证明了这个猜想$k\in \{2,3\}$证明了更强的断言，森林和星森林的工会可以划分成两个森林的直径最多为18。我们利用这些结果来刻画围长至少为$g$的平面图的有界直径荫度，对于所有$g\ne 5$。作为一个应用，我们证明了每个6-边连通平面（多）图都包含两个边不相交的$\frac{18}{19}$ -瘦生成树.
2016-08-18 math.CO
The linear arboricity conjecture for graphs of low degeneracy
本文研究低退化度图的线性荫度，证明3-退化图在最大度至少为9时达到下界，并给出该猜想的新证明，同时确定最大度至少为5的2-退化图的线性荫度。
2023-08-14 cs.DM math.CO
Equitable list point arboricity of graphs
一个图$G$是列表点$k$ -可分树的，如果，无论何时我们被给予每个顶点$v\in V(G)$的颜色的$k$ -列表分配$L(v)$，我们可以为每个顶点$v$选择一个颜色$c(v)\in L(v)$，使得每个颜色类导出$G$的一个非循环子图，并且如果$G$是列表点$k$，则是公平列表点$k$ -可仲裁的。分支，并且每种颜色出现在$G$的最多$\lceil |V(G)|/k\rceil$顶点上。本文证明了图$G$对每个$k\geq \lceil(Δ(G)+1)/2\rceil$都是等价列表点$k$ -可荫的，并证明了最大度至少为4的完全图、2-退化图、3-退化无爪图和最大度至少为8的可平面图都是等价列表点$k$-可荫的.
2014-03-12 cs.DM math.CO
Equitable List Vertex Colourability and Arboricity of Grids
一个图$G$是公平$k$ -列表可分树的，如果对于任何$k$ -均匀列表分配$L$，存在$G$的公平$L$ -着色，其每个色类诱导一个无圈图.允许这种着色的最小数$k$被称为公平列表顶点荫度，记为$ρ_l^=(G)$。Zhang在2016年提出了一个猜想，如果$k \geq \lceil (Δ(G)+1)/2 \rceil$，那么$G$是公平的$k$ -list arborable。我们给出了一些新的工具，有助于确定值的$k$，一般图是公平的$k$ -列表arborable。我们利用它们证明了$d$ -维网格的张猜想，其中$d \in \{2,3,4\}$和$ρ_l^=(G)$给出了新的界限$ρ_l^=(G)$一般图和$d$ -维网格与$d\geq 5$。
2018-09-21 math.CO
Orientation-based edge-colorings and linear arboricity of multigraphs
关于$f$ -着色的Goldberg-Seymour猜想指出无环重图的$f$ -色指数本质上由最大度或最大密度参数决定。我们引入了一个定向版本的$f$ -着色，现在每个颜色类的边着色被要求是定向在这样一种方式，每个顶点$v$有入度和出度在最多一些指定的值$g(v)$和$h(v)$。我们证明了相关的面向$(g,h)$的色指数满足Goldberg-Seymour公式。然后，我们提出了简单的应用程序，这一结果的变化$f$着色。特别是，我们发现，线性荫度猜想持有$k$退化无环多重图时，最大程度至少是$4k-2$，改善了界最近宣布陈，郝，于单图。最后，我们证明了面向$(g,h)$的色指数总是等于它的列表着色模拟。
2021-08-26 math.CO
On Equitable List Arboricity of Graphs
Zhang在2016年引入的公平列表荫度，通过要求每个颜色类诱导的子图是非循环的（而不是无边的），以及每个颜色类大小的通常上界来推广公平列表着色的概念。如果对于与$G$中的每个顶点关联的$k$可用颜色列表的$G$的每个列表分配，存在$G$的公平的可分支列表着色，则图$G$是公平的$k$ -列表可分支。Zhang证明了对于满足$k \geq \lceil (1+Δ(G))/2 \rceil$的每个$k$，任何图$G$都是$k$ -列表可分的.我们验证了这个猜想的权力的循环应用一个新的引理，这是一个通用的工具，扩展部分公平，树列表着色。对于某些连通图，我们还提出了张氏猜想的一个更强的版本：对于满足$k \geq \lceil Δ(G)/2 \rceil$的每个$k$，只要$G$既不是圈，也不是奇阶的完全图，任何连通图$G$都是公平的$k$ -列表可分支的.我们验证了这个强版本的张猜想的权力的道路，2-退化图，和某些其他的图形。我们还表明，如果$G$是公平的$k$ -列表arborable，它不一定遵循$G$是公平的$(k+1)$ -列表arborable，这解决了Drgas-Burchardt，Furmanczyk和Sidorowicz（2018）的问题。
2021-06-02 math.CO
New bounds for linear arboricity and related problems
本文通过将 Pósa 旋转推广为线性森林多端点同时旋转，证明线性森林分解数可达 $Δ/2+\mathcal{O}(\log n)$，并解决相关猜想。
2025-07-28 math.CO
Equitable vertex arboricity of graphs
图$G$的均匀$(t,k,d)$ -树着色是对图$G$的顶点的着色，使得任意两个颜色类的大小相差至多1，并且每个颜色类所诱导的子图是最大度至多为$k$且直径至多为$d$的森林。使$G$对每个$t'\geq t$都有一个公平$(t',k,d)$ -树着色的最小$t$称为强公平$(k,d)$ -顶点荫度，记为$va^{\equiv}_{k,d}(G)$ .在本文中，我们给出了尖锐的上界$va^{\equiv}_{1,1}(K_{n,n})$和$va^{\equiv}_{k,\infty}(K_{n,n})$通过显示$va^{\equiv}_{1,1}(K_{n,n})=O(n)$和$va^{\equiv}_{k,\infty}(K_{n,n})=O(n^{\1/2})$的每一个$k\geq 2$。证明了对围长至少为5的平面图$G$，有$va^{\equiv}_{\infty,\infty}(G)\leq 3$;对围长至少为6的平面图$G$，有$va^{\equiv}_{\infty,\infty}(G)\leq 2$;我们猜想对每个平面图都有$va^{\equiv}_{\infty,\infty}(G)=O(1)$，对每个图$G$都有$va^{\equiv}_{\infty,\infty}(G)\leq \lceil\frac{Δ(G)+1}{2}\rceil$.
2012-11-18 cs.DM math.CO
Decomposition of Sparse Graphs into Forests: The Nine Dragon Tree Conjecture for $k \le 2$
对于无环多重图$G$，分数荫度$Arb(G)$是$\frac{|E(H)|}{|V(H)|-1}$在所有至少有两个顶点的子图$H$上的最大值。推广纳什-威廉姆斯荫度定理，九龙树猜想断言，如果$Arb(G)\le k+\frac{d}{k+d+1}$，则$G$分解成$k+1$森林，其中一个森林在大多数$d$处具有最大度。该猜想以前证明$d=k+1$和$k=1$时，$d \le 6$。当$k \le 2$时，我们证明了所有的$d$，除了$(k,d)=(2,1)$。
2015-02-17 math.CO
Line k-Arboricity in Product Networks
\emph{linear $k$-forest}是一个林，其组成部分是长度最多为$k$的路径。图$G$的\emph{linear $k$-arboricity}，记为${\rm la}_k(G)$，是分解$G$所需的最少线性$k$森林数。最近，Zuo，He和Xue研究了完全图，圈，完全多部图的各种组合的笛卡尔积的线性$(n-1)$荫度的精确值。本文证明了对于一般的$k$，任意两个图$G$和$H$都有$\max\{{\rm la}_{k}(G),{\rm la}_{\ell}(H)\}\leq {\rm la}_{\max\{k,\ell\}}(G\Box H)\leq {\rm la}_{k}(G)+{\rm la}_{\ell}(H)$.分别用$G\circ H$、$G\times H$和$G\boxtimes H$表示两个图$G$和$H$的字典积、直积和强积。本文还给出了${\rm la}_{k}(G\circ H)$、${\rm la}_{k}(G\times H)$和${\rm la}_{k}(G\boxtimes H)$的上、下界.研究了$2$维格图、$r$维网格、$r$维环面、$r$维广义超立方体和$2$维超Petersen网络的线性$k$荫度.
2016-03-14 math.CO
Linear arboricity of degenerate graphs
本文研究 $k$-退化图的线性荫度，证明当最大度满足 $Δ(G)\ge 2k^2-k$ 时，其线性荫度恰好达到下界 $\lceilΔ(G)/2\rceil$。
2022-07-14 math.CO
Strong arboricity of graphs
如果没有圈是单色的，则图$G$的边染色是\emph{woody}。图$G$的\emph{arboricity}，用$\arb (G)$表示，是$G$的木质着色所需的最少颜色数。$G$的着色是\emph{strongly woody}，如果在任何一边收缩后它仍然是木质的。换句话说，不仅$G$中的任何循环可以是单色的，而且任何\emph{broken cycle}，即，从循环中删除一条边所产生的简单路径。$G$的强木质着色中的最少颜色数用$ζ(G)$表示，称为$G$的\emph{strong arboricity}。我们证明了$ζ(G)\leqslant χ_a(G)$，其中$χ_a(G)$是$G$的\emph{acyclic chromatic number}（在没有$2$着色循环的情况下，正常顶点着色中的最少颜色数）。特别地，我们得到了平面图的$ζ(G)\leqslant 5$和超平面图的$ζ(G)\leqslant 4$.我们猜想$ζ(G)\leqslant 4$对所有平面图成立。我们还证明了$ζ(G)\leqslant 4(\arb(G))^2$对任意图$G$成立。强荫性的自然推广\emph{matroids}也进行了讨论，特别侧重于上图拟阵。
2023-03-15 math.CO
The List Linear Arboricity of Digraphs
School of Mathematics, Sun Yat-sen University（中山大学数学学院）
本文研究了有向图的线性树度数问题，提出了一种新的上界，通过引入误差项改进了已有结果。
2025-12-23 math.CO
Fractional balanced chromatic number and arboricity of planar (signed) graphs
本文构造平面符号图，证明其分数平衡色数可大于2，反驳了平面图分数树状度上界为2的猜想，并给出色数上确界至少为83/41、树状度极限为2+2/25的序列。
2025-05-22 math.CO
An Approximate Version of the Strong Nine Dragon Tree Conjecture
强九龙树猜想认为，对于任意整数$k$和$d$，任何分数荫度至多为$k + \frac{d}{d+k+1}$的图都可以分解成$k+1$森林，使得对于至少一个森林，每个连通分支至多包含$d$边。我们证明了这个猜想时，$d \leq k+1$。我们还证明了这个猜想的一个近似版本，即，我们证明了，对于任何正整数$k$和$d$，任何图的分数荫度最多$k + \frac{d}{d+k+1}$分解成$k+1$森林，使得一个至少有一个森林，每个连通组件包含最多$d + \frac{d(k (2\lceil \frac{d}{k+1} +2 \rceil)^{\lceil \frac{d}{k+1} + 2) \rceil} - k)}{k+1} $边缘。
2020-07-14 math.CO
Path degeneracy and applications
该研究建立了次指数扩张类图的围长与路径退化性的关联并给出紧界，推导了高围长图的多个图参数界，还证明了关于K_k minor-free图p-荫度的一个猜想。
2025-03-24 cs.DM math.CO
Efficient Hamilton covers and linear arboricity of random graphs
Bocconi University（博科尼大学）；University of Oxford（牛津大学）；EPF Lausanne（洛桑联邦理工学院）；School of Mathematical Sciences, Tel Aviv University（特拉维夫大学数学科学学院）
研究随机图$G(n,p)$的哈密顿覆盖，在广泛边概率范围证明其大小下界紧性，尤其在稀疏区域有新贡献，开发工具分解图并扩展为哈密顿圈，还证明击中时间结果，且表明该随机图对各$p\leq 1$满足线性荫度猜想。
2026-07-17 math.CO
Complexity of acyclic colorings of graphs and digraphs with degree and girth constraints
我们考虑图和有向图中的无圈r-着色：它们用r种颜色着色顶点，每一种颜色诱导一个无圈图或有向图。(This包括有向图的二色数和图的荫度。）对于任何围长和足够高的程度，我们证明了NP-完全的非循环r-着色，我们的方法也意味着已知的类似经典着色。证明使用高围长图与高荫度和二色数。高围长图和具有高色数和二色数的有向图已经得到了很好的研究，我们从关系系统的一个一般性结果重新推导了结果，这也暗示了在证明中使用的关于高围长和高荫度的类似事实。这些事实涉及图和有向图的高围长和低程度，我们通过考虑非循环染色的比赛（具有低围长和高程度）来对比它们。我们证明了，即使非循环的两个着色比赛是NP-完全的，随机的非循环r-着色比赛允许恢复一个非循环r-着色在确定性的线性时间，具有高概率。
2020-11-23 cs.DM math.CO
Optimal Hamilton covers and linear arboricity for random graphs
本文证明了当 $p\geq C\log n/n$ 时，可用恰好 $\lceilΔ(G)/2\rceil$ 个哈密顿圈覆盖随机图 $G(n,p)$，在圈数和边概率阈值上均达最优，解决了该领域的长期遗留问题。
2023-10-17 math.CO
Partitioning edges of a planar graph into linear forests and a matching
证明了任意最大度至多为$9$的可平面图的边都可以划分为$4$线性森林和一个匹配.结合已有的结果，这意味着任何最大度为奇数的可平面图$G$的边都可以划分为$\tfrac{Δ-1}{2}$线性森林和一个匹配.这加强了著名的结果，指出在这类图有色指数$Δ$ [Vizing，1965]和线性荫度最多$\lceil(Δ+1)/2\rceil$ [吴，1999]。
2023-02-26 cs.DM math.CO
A Conjecture on Rainbow Hamiltonian Cycle Decomposition
本文完全解决了Wu于1999年提出的关于完全图$K_{2n+1}$中子图边分布于不同哈密顿圈的彩虹哈密顿圈分解猜想，并指出其在线性荫度猜想和受限尺寸Ramsey数中的应用。
2024-03-26 math.CO
Partition density, star arboricity, and sums of Laplacian eigenvalues of graphs
该研究提出图的划分密度概念，通过分析满足划分密度小于k的图的星森林分解性质，证明了Brouwer关于图拉普拉斯前k个特征值和上界猜想的弱版本，并给出了含最大匹配数的另一上界。
2024-10-06 math.CO
Constraints on Brouwer's Laplacian Spectrum Conjecture
Brouwer猜想指出，对于任何图$G$，$k$的最大（组合）拉普拉斯特征值之和至多为$|E(G)| + \binom{k+1}{2}$，$1 \leq k \leq n$。我们提出了几个相互关联的结果建立Brouwer猜想$\text{BC}_k(G)$的广泛的图$G$和参数$k$。特别地，我们证明了：（1）当$k \geq 11$时，$\text{BC}_k(G)$对低荫度图成立，特别是对平面$G$成立;（2）当度序列的方差不是很高时，$\text{BC}_k(G)$成立，推广了以前关于$G$正则或随机的结果;（3）$\text{BC}_k(G)$为真，如果$G$属于遗传谱有界类并且$k$作为$k$的函数足够大，特别是二分图的$k \geq \sqrt{32n}$;（4）$\text{BC}_k(G)$成立，除非$G$与分裂图具有边编辑距离$< k \sqrt{2n} = O(n^{3/2})$;（5）没有$G$违反所述上界超过$O(n^{5/4})$，二分图的$G$违反所述上界不超过$O(n)$ ;以及（6）$\text{BC}_k(G)$对长度为$O(n^{3/4})$的区间之外的所有$k$成立。此外，我们提出了一个令人惊讶的否定结果：渐近几乎必然地，一个均匀的随机符号完全图违反了$Ω(n)$的约束界。
2020-03-06 math.CO
Graph Treewidth and Geometric Thickness Parameters
考虑在平面上绘制一个图$G$，使得交叉边的颜色不同。在$G$的所有图纸上采用的最小颜色数是经典的图形参数“厚度”。通过将边缘限制为直的，我们获得“几何厚度”。通过进一步限制顶点在凸位置，我们得到了“书厚”。本文研究了这些参数与树宽的关系。我们的第一个主要结果表明，对于树宽$k$的图，最大厚度和最大几何厚度都等于$\lceil{k/2}\rceil$。这意味着厚度的下界可以由上界匹配，即使在更严格的几何设置中。我们的第二个主要结果表明，对于树宽为$k$的图，如果$k \leq 2$，则最大书厚等于$k$，如果$k \geq 3$，则最大书厚等于$k+1$。这反驳了Ganley和Heath的一个猜想[Discrete Appl. Math.109（3）：215-221，2001]。类似的结果被证明为outerthickness，荫度，和星荫度。
2015-06-15 math.CO
Path Odd-Covers of Graphs
本文研究了图的路径奇覆盖问题，提出路径奇覆盖数的概念，并给出了基于最大度和奇度顶点数的上界，探讨了相关放松问题及与其它图参数的联系。
2023-06-10 math.CO
Refuting conjectures in extremal combinatorics via linear programming
我们应用简单的线性规划方法和LP求解器来反驳极值组合学中的一些开放式命题。
2019-03-13 cs.DM math.CO
The Non-Cancelling-Intersections Conjecture Fails for Left-Linear Trees
Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
Amarilli等人提出的非消去交集（NCI）猜想的两种强化中，仅用左线性树时该猜想不成立，研究通过非构造性论证证明存在规模极大的反例。
2026-08-21 cs.DM math.CO
A Proof of the 2004 Albert-Grossman-Nowakowski-Wolfe Conjecture on Alternating Linear Clobber
本文证明了2004年Albert等人关于偶数长度交替线性Clobber游戏（除oxoxox外）先手必胜的猜想。
2025-09-10 cs.DM math.CO
Equitable tree colouring of graphs
Lanzhou University（兰州大学）；University of Birmingham（伯明翰大学）；Auburn University（奥本大学）
研究图的树着色问题，证明当顶点数足够大时，存在公平的树着色方案，验证了相关猜想。
2026-04-15 math.CO
Proving the Pressing Game Conjecture on Linear Graphs
黑白图上的按压游戏如下：给定一个图$G(V,E)$，其顶点被着色为黑色和白色，任何黑色顶点$v$都可以被按压，其效果如下：（a）$v$的所有邻居改变颜色，即白色邻居变成黑色，而\emph{vice versa}，（b）$v$的所有邻居对改变连通性，即连接对变成不连接，未连接的顶点变成连接的，（c）最后，$v$变成一个分离的白色顶点。游戏的目的是将$G$转换为一个全白的空图。已知的一个结果是：在压制对策中，如果$G$的每个分支至少包含一个黑顶点，并且对于一个固定图，任何成功的变换都具有相同的压制顶点数，则全白空图是可达的.挤压博弈的猜想是，任何成功的挤压路径都可以通过微小的改变转化为任何其他成功的挤压路径。在这里，我们证明猜想的线性图。连接到基因组重排和排序有符号的排列与逆转也进行了讨论。
2013-03-27 cs.DM math.CO
The Strong Nine Dragon Tree Conjecture is true for $d \leq k+1$
本文证明了强九龙树猜想对于 $d \leq k+1$ 成立，给出了 $d \leq 2(k+1)$ 时的近似划分上界，并应用该定理证明了每个 $5$-边连通平面图均存在 $\frac{5}{6}$-thin 生成树，改进了已有结果。
2023-07-28 math.CO
The Strong Nine Dragon Tree Conjecture is True for $d \leq 2(k+1)$
本文证明强九树猜想在 $d\leq 2(k+1)$ 时成立，并通过更弱的 $(k,d)$-稀疏性条件给出更强的分解定理，进而改进平面图中细树存在性的结果。
2024-06-29 math.CO
Linear Hypergraph List Edge Coloring - Generalizations of the EFL Conjecture to List Coloring
受超图的Erdens-Faber-Lovász（EFL）猜想的启发，研究了线性超图的列表边染色问题.本文讨论了线性超图的列表边染色的几个定理，它们推广了图的EFL和Vizing定理。例如，我们猜想在秩为3的线性超图中，列表边的色数至多为最大度的2倍加1。我们证明了，对于足够大的固定秩和足够大的度，该定理成立。
2017-01-03 math.CO
Integer sequences with conjectured relation with certain graph parameters of the family of linear Jaco graphs
本文通过实验发现若干整数序列与线性Jaco图族的图参数存在猜想关系，并指出黄金比例型取整函数项在分析中起关键作用，同时认为证明或证伪这些猜想具有挑战性。
2025-07-22 math.CO
Coloring linear hypergraphs: the Erdős-Faber-Lovász conjecture and the Combinatorial Nullstellensatz
长期存在的Erdens-Faber-Lovász猜想指出，每个具有$n$边的$n$ -均匀线性超图都有一个使用$n$颜色的适当顶点着色。在本文中，我们提出了一个代数框架的问题，并制定了相应的更强的猜想。利用组合零点定理，我们将Erdens-Faber-Lovász猜想归结为某些多项式中存在非零系数。这些系数又与一些辅助图的具有规定入度序列的方向的数量有关。我们证明了某些方向的存在性，这验证了我们的代数方法工作的必要条件。
2020-07-01 math.CO
On the Linear Cycle Cover Conjecture of Gyárfás and Sárközy
超图$H$中的线性圈是一个超边的循环序列，使得两个连续的超边相交于一个元素，两个不连续的超边不相交，$α(H)$表示$H$的最大独立集的大小.本文证明了每个$3$ -一致超图$H$的顶点集最多能被$α(H)$两两边不交的线性圈覆盖（这里我们接受一个顶点和一个超边作为线性圈），从而证明了Gyárfás和Sárközy猜想的一个弱版本.
2016-09-15 math.CO
A linear algebraic proof of the Laplacian spread conjecture
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学学院）
研究拉普拉斯谱展猜想，即\(\alpha(G)+\alpha(\overline{G}) \geq 1\)，核心方法是线性代数，主要贡献是给出更简洁的新证明。
2026-07-07 math.CO
A proof of the linearity conjecture for k-blocking sets in PG(n, p3), p prime
本文证明了PG（n，q3），q = p^h，h >= 1，p素，p >=7中与每个（n-k）-空间相交于1（mod q）点的极小k-块集是线性的.作为推论，这个结果表明PG（n，p^3），p素数，p >=7中的所有极小k-分块集都是FP-线性的，证明了在PG（n，p3），p素数，p >= 7的情况下的线性猜想（见[7]）。
2012-01-16 math.CO
Resolving a Conjecture on Degree of Regularity of Linear Homogeneous Equations
一个线性方程是$r$ -正则的，如果对正整数的每一个$r$ -染色，都存在满足该方程的同色正整数.在2005年，Fox和Radoicic证明了方程$x_1 + 2x_2 + \cdots + 2^{n-2}x_{n-1} - 2^{n-1}x_n = 0$，对于任何$n \geq 2$，都有一个正则度$n-1$，这验证了Rado在1933年提出的一个猜想。拉多的猜想已经被另一个方程族所证实。本文证明了Fox和Radoicic方程族确实具有$n-1$的正则度.我们还提供了一些扩展这个结果。
2014-04-13 math.CO
On Ryser's Conjecture for Linear Intersecting Multipartite Hypergraphs
Ryser证明了对于$r$ -部超图的$τ\le(r-1)ν$，其中$τ$是覆盖数，$ν$是匹配数.我们证明了这个猜想$r\le9$的特殊情况下的线性相交超图，换句话说，每对线恰好在一个顶点。Aharoni制定了一个更强的版本Ryser的猜想，其中规定，每个$r$ -部超图应该有一个覆盖的大小$(r-1)ν$的一个特定的形式。利用$r=13$和$ν=1$给出了Aharoni猜想的一个反例.我们还报告了一些计算结果。对于$r=7$，我们发现没有线性相交超图达到Ryser猜想中的等式$τ=r-1$，尽管非线性的例子是已知的。我们展示了交叉的非线性的例子实现平等的$r\in\{9,13,17\}$。另外，我们还发现$r=8$是$r$的最小值，使得存在一个线性交$r$ -部超图，它达到$τ=r-1$，并且不同构于一个射影平面的子超图.
2015-09-29 math.CO
A Proof of the Linear Hadwiger Conjecture
McGill University（麦吉尔大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文证明了存在常数C使得不含K_t子式的图可被Ct种颜色染色，该证明由GPT-6 Astra在作者指导下发现。
2026-10-06 math.CO
Extensions of the linear bound in the Furedi-Hajnal conjecture
本文给出了Marcus和Tardos关于n × n 0-1矩阵中1个数的线性界的两个推广，避免了固定的置换矩阵.我们首先扩展的线性界限超图的有序顶点集，并使用以前的结果Klazar，我们证明了指数界的数量的超图的n个顶点，避免了一个固定的置换。这反过来又解决了Klazar的各种猜想以及Branden和Mansour的猜想。然后，我们将原来的Furedi-Hajnal问题从普通矩阵扩展到d维矩阵，并证明了避免d维置换矩阵的边长为n的d维0-1矩阵中1的个数为O（n^{d-1}）。
2005-07-08 math.CO
Proofs of Conjectures about Pattern-Avoiding Linear Extensions
本文证明了两类关于避免模式的线性扩展的猜想：一类是k-元堆的特殊情况，另一类是矩形偏序集上的猜想。
2019-09-27 math.CO
Two conjectures in spectral graph theory involving the linear combinations of graph eigenvalues
本文证明了谱极值图论中涉及图特征值的线性组合的两个定理。设$λ_1(G)$是图$G$的邻接矩阵的最大特征值，$\bar{G}$是图$G$的补图.一个很好的猜想指出，$n$顶点上的图最大化$λ_1(G) + λ_1(\bar{G})$是一个团和一个独立集的连接，分别具有$\lfloor n/3\rfloor$和$\lceil 2n/3\rceil$（也称为$\lceil n/3\rceil$和$\lfloor 2n/3\rfloor$，如果$n \equiv 2 \pmod{3}$）顶点。我们解决这个猜想足够大的$n$使用解析方法。我们的第二个结果涉及图$G$的$Q$ -扩展$s_Q(G)$，它被定义为$G$的无符号拉普拉斯算子的最大特征值和最小特征值之间的差。Cvetković，Rowlinson和Simić在$2007$中证明了唯一的最大$Q$ -扩展的$n$ -点连通图是在$K_{n-1}$上加一条悬挂边所形成的图.我们证实了这一猜想足够大的$n$。
2022-06-08 math.CO
Componentwise linear symbolic powers of edge ideals and Minh's conjecture
本文研究了边理想符号幂的分量线性性质，提出关于cochordal图边理想符号幂的分量线性猜想，验证了部分图族并证明了Minh猜想，同时证明任意cochordal图的二次符号幂是分量线性的。
2024-11-18 math.AC math.CO
A Proof of Green's Conjecture Regarding the Removal Properties of Sets of Linear Equations
在p个未知数Mx=b中的\ell线性方程的系统被称为具有移除性质，如果每个集合S \subseteq {1，.，通过去掉o（n）个元素，可以将包含Mx=b的o（n^{p- \ell }）个解的集合S '转化为不包含Mx=b的解的集合S'. Green [GAFA 2005]证明了单个齐次线性方程总是具有去除性，并证明了每一组齐次线性方程都具有去除性。我们证实了格林猜想，证明了每一组线性方程（甚至非齐次）具有移除性质。
2008-08-21 math.CO math.NT
Counterexamples to conjectures about Subset Takeaway and counting linear extensions of a Boolean lattice
我们开发了一个算法，有效地计算递归定义的函数偏序集。我们说明了这个算法的反证有关的游戏子集Takeaway（Chomp的超立方体）和计算的线性扩展的7-立方体的格和相关的格的数量。
2017-07-10 cs.GT math.CO
Linear Hypergraph Edge Coloring
基于超图的Erdos-FaberLovasz猜想，我们研究了线性超图的边着色问题。特别是，我们能够增加类的超图EFL是真的。
2016-03-16 math.CO
Linear Algebraic Method and the Erdős-Heilbronn Conjecture
Imperial College London（帝国理工学院）
本文通过发展Das的线性代数方法，给出了受限和集的Alon-Nathanson-Ruzsa定理的新初等证明，从而证明了埃罗什-海林浓猜想。
2026-05-19 math.CO math.RA
