Equitable vertex arboricity of planar graphs
设$G_1$是一个平面图，使得所有长度不超过4的圈都是独立的，$G_2$是一个可平面图，不含3-圈和相邻的4-圈.证明了对于每个$t\geq 3$，$G_1$和$G_2$的顶点集都可以被公平地划分为$t$子集，使得每个子集都导出一个森林.这些结果部分证实了吴、张和李的一个猜想。
2014-03-12 cs.DM math.CO
An Improved Bound for the Linear Arboricity Conjecture
1980年，Akiyama，Exoo和Harary提出了线性荫度猜想，即任何最大度为$Δ$的图$G$最多可以分解为$\left\lceil \fracΔ{2}\right\rceil$线性森林。（如果森林的所有组成部分都是路径，则该森林是线性的。）1988年，阿隆证明了这个猜想的渐近成立性。目前的最佳界限是由Ferber、Fox和Jain在2020年提出的，他们证明了$\fracΔ{2}+ O(Δ^{.661})$足以满足足够大的$Δ$。在这里，我们表明，$G$承认分解到最多$\fracΔ{2}+ 3\sqrtΔ \log^4 Δ$线性森林提供$Δ$是足够大的。此外，我们的结果也适用于更一般的列表设置，其中边缘具有（可能不同的）允许的线性森林集合。因此，我们的界限也适用于列表线性荫度猜想，这是最近才证明，持有渐近金和第二作者。事实上，我们的证明方法将线性荫度猜想和著名的列表着色猜想联系在一起;因此，我们的线性荫度猜想的误差项与Molloy和Reed在2000年提出的列表着色猜想的最著名的误差项相匹配。这是因为我们对每种颜色做了两个副本，然后寻找一个合适的边缘着色，避免了颜色和副本之间的双色循环;我们通过巧妙地修改nibble方法来实现这一点。
2023-01-17 math.CO
Vertex Arboricity of Toroidal Graphs with a Forbidden Cycle
图$G$的顶点荫度$a(G)$是最小$k$，使得$V(G)$可以被划分为$k$集合，其中每个集合诱导一个森林。对于平面图$G$，已知$a(G)\leq 3$ .在最近的两篇论文中，证明了对于某些$k\in\{3, 4, 5, 6, 7\}$，不含$k$ -圈的平面图的点荫度至多为2。对于环形图$G$，已知$a(G)\leq 4$ .让我们考虑下面的问题：没有$k$ -圈的环形图的点荫度是否至多为2？众所周知，这个问题对于k=3是成立的，最近，Zhang证明了这个问题对于$k=5$也是成立的。由于一个5点完全图是一个没有任何$k$ -圈的环面图，并且$k\geq 6$的顶点荫度至少为3，唯一未知的情况是k=4。我们解决了这种情况下，肯定的，即，我们表明，没有4圈的环形图的顶点荫度最多为2。
2013-04-06 math.CO
On an $f$-coloring generalization of linear arboricity of multigraphs
给定一个多重图$G$及其顶点上的函数$f : V(G) \rightarrow \mathbb{Z}_{\ge 2}$，$G$的度- $f$子图是一个生成子图，其中每个顶点$v$的度至多为$f(v)$ . $G$的度$f$荫度$a_f(G)$是将$G$边缘着色到度$f$林中所需的最小颜色数。至少对于常数$f$，Truszczyoski证明了对每个重图$G$都有$a_f(G) \le \max \{Δ_f(G) + 1, a(G)\}$，其中$Δ_f(G) = \max_{v \in V(G)} \lceil d(v)/f(v) \rceil$和$a(G)$是$G$的通常荫度.这是对秋山、Exoo和Harary提出的线性荫度猜想的有力推广。在本文中，我们在一般重图的强意义下，证明了Truszczyplski猜想是错误的。另一方面，推广了线性荫度的已知结果，证明了该猜想对围长足够大的简单图成立，并且对所有简单图渐近成立。更强烈地，我们证明了这些部分结果的设置有向图，其中的颜色类需要类似定义的程度- $f$分支。
2023-01-24 math.CO
Linear arboricity of robust expanders
Lanzhou University（兰州大学）；Auburn University（奥本大学）
本研究证实了鲁棒扩张图的线性森林分解猜想，适用于密集准随机图和高最小度数的大型图。
2026-01-04 math.CO
Some Results on incidence coloring, star arboricity and domination number
建立了连接关联色数、星荫度和控制数三个孤立图不变量的两个不等式。由此，我们得到了所有图的关联色数的上界和下界。利用这些界，我们进一步降低了可平面图的关联色数的上界，并证明了阶数不可被4整除的三次图是不可4-关联着色的。确定了图的笛卡儿积、并、并的关联色数。
2012-03-28 math.CO
Strong arboricity of graphs
如果没有圈是单色的，则图$G$的边染色是\emph{woody}。图$G$的\emph{arboricity}，用$\arb (G)$表示，是$G$的木质着色所需的最少颜色数。$G$的着色是\emph{strongly woody}，如果在任何一边收缩后它仍然是木质的。换句话说，不仅$G$中的任何循环可以是单色的，而且任何\emph{broken cycle}，即，从循环中删除一条边所产生的简单路径。$G$的强木质着色中的最少颜色数用$ζ(G)$表示，称为$G$的\emph{strong arboricity}。我们证明了$ζ(G)\leqslant χ_a(G)$，其中$χ_a(G)$是$G$的\emph{acyclic chromatic number}（在没有$2$着色循环的情况下，正常顶点着色中的最少颜色数）。特别地，我们得到了平面图的$ζ(G)\leqslant 5$和超平面图的$ζ(G)\leqslant 4$.我们猜想$ζ(G)\leqslant 4$对所有平面图成立。我们还证明了$ζ(G)\leqslant 4(\arb(G))^2$对任意图$G$成立。强荫性的自然推广\emph{matroids}也进行了讨论，特别侧重于上图拟阵。
2023-03-15 math.CO
A conjecture on equitable vertex arboricity of graphs
Wu，Zhang和Li [4]证明了任何单图$G$的顶点集都可以被公平地划分为$\lceil(Δ(G)+1)/2\rceil$子集，使得每个子集都导出一个$G$森林.本文证明了图$G$具有$Δ(G)\geq |G|/2$的猜想。
2012-11-21 cs.DM math.CO
Equitable List Vertex Colourability and Arboricity of Grids
一个图$G$是公平$k$ -列表可分树的，如果对于任何$k$ -均匀列表分配$L$，存在$G$的公平$L$ -着色，其每个色类诱导一个无圈图.允许这种着色的最小数$k$被称为公平列表顶点荫度，记为$ρ_l^=(G)$。Zhang在2016年提出了一个猜想，如果$k \geq \lceil (Δ(G)+1)/2 \rceil$，那么$G$是公平的$k$ -list arborable。我们给出了一些新的工具，有助于确定值的$k$，一般图是公平的$k$ -列表arborable。我们利用它们证明了$d$ -维网格的张猜想，其中$d \in \{2,3,4\}$和$ρ_l^=(G)$给出了新的界限$ρ_l^=(G)$一般图和$d$ -维网格与$d\geq 5$。
2018-09-21 math.CO
Orientation-based edge-colorings and linear arboricity of multigraphs
关于$f$ -着色的Goldberg-Seymour猜想指出无环重图的$f$ -色指数本质上由最大度或最大密度参数决定。我们引入了一个定向版本的$f$ -着色，现在每个颜色类的边着色被要求是定向在这样一种方式，每个顶点$v$有入度和出度在最多一些指定的值$g(v)$和$h(v)$。我们证明了相关的面向$(g,h)$的色指数满足Goldberg-Seymour公式。然后，我们提出了简单的应用程序，这一结果的变化$f$着色。特别是，我们发现，线性荫度猜想持有$k$退化无环多重图时，最大程度至少是$4k-2$，改善了界最近宣布陈，郝，于单图。最后，我们证明了面向$(g,h)$的色指数总是等于它的列表着色模拟。
2021-08-26 math.CO
On Equitable List Arboricity of Graphs
Zhang在2016年引入的公平列表荫度，通过要求每个颜色类诱导的子图是非循环的（而不是无边的），以及每个颜色类大小的通常上界来推广公平列表着色的概念。如果对于与$G$中的每个顶点关联的$k$可用颜色列表的$G$的每个列表分配，存在$G$的公平的可分支列表着色，则图$G$是公平的$k$ -列表可分支。Zhang证明了对于满足$k \geq \lceil (1+Δ(G))/2 \rceil$的每个$k$，任何图$G$都是$k$ -列表可分的.我们验证了这个猜想的权力的循环应用一个新的引理，这是一个通用的工具，扩展部分公平，树列表着色。对于某些连通图，我们还提出了张氏猜想的一个更强的版本：对于满足$k \geq \lceil Δ(G)/2 \rceil$的每个$k$，只要$G$既不是圈，也不是奇阶的完全图，任何连通图$G$都是公平的$k$ -列表可分支的.我们验证了这个强版本的张猜想的权力的道路，2-退化图，和某些其他的图形。我们还表明，如果$G$是公平的$k$ -列表arborable，它不一定遵循$G$是公平的$(k+1)$ -列表arborable，这解决了Drgas-Burchardt，Furmanczyk和Sidorowicz（2018）的问题。
2021-06-02 math.CO
The Linear Arboricity Conjecture for Graphs with Large Girth
National Institute of Technology, Rourkela（国家理工学院鲁尔克拉分校）
本文证明了大环长图的线性林度上界，通过分解图并构造流网络来验证猜想。
2025-12-12 cs.DM math.CO
Equitable vertex arboricity conjecture holds for graphs with low degeneracy
公平树着色可以将通信网络上的结构分解问题公式化，同时考虑到安全性。图的均匀树- $k$ -着色是指图的顶点使用$k$不同的颜色着色，使得每个颜色类都诱导出一个森林，并且任意两个颜色类的大小相差至多1.本文证明了图的公平树着色的一些理论结果，证明了对于任意整数$k\geq (Δ+1)/2$，最大度至多为$Δ$的$d$ -退化图都是公平树- $k$ -可着色的，只要$Δ\geq 9.818d$满足，从而证实了低退化度图的公平点荫度猜想.
2021-04-12 cs.DM math.CO
Towards the linear arboricity conjecture
图$G$的线性荫度，记为$\text{la}(G)$，是指$G$中边不相交的线性森林（即每个连通分支都是一条路的森林）的最小数目，其并集覆盖$G$的所有边。Akiyama、Exoo和Harary在1980年提出了一个著名的猜想：$\text{la}(G)\leq \lceil (Δ(G)+1)/2 \rceil$，其中$Δ(G)$表示$G$的最大度。这个严格的上界是最可能的，这可以通过将$G$看作一个正则图来容易地看出。在本文中，我们表明，对于每个图$G$，$\text{la}(G)\leq \fracΔ{2}+O(Δ^{2/3-α})$的一些$α> 0$，从而提高了以前最有名的界限，由于阿隆和斯宾塞从1992年。对于图是足够好的谱扩展，我们甚至更好的界限。我们的证明，这些结果进一步给出概率多项式时间算法找到这样的分解成线性森林。
2018-09-13 cs.DM math.CO
New bounds for linear arboricity and related problems
本文通过将 Pósa 旋转推广为线性森林多端点同时旋转，证明线性森林分解数可达 $Δ/2+\mathcal{O}(\log n)$，并解决相关猜想。
2025-07-28 math.CO
Decomposition of Sparse Graphs into Forests: The Nine Dragon Tree Conjecture for $k \le 2$
对于无环多重图$G$，分数荫度$Arb(G)$是$\frac{|E(H)|}{|V(H)|-1}$在所有至少有两个顶点的子图$H$上的最大值。推广纳什-威廉姆斯荫度定理，九龙树猜想断言，如果$Arb(G)\le k+\frac{d}{k+d+1}$，则$G$分解成$k+1$森林，其中一个森林在大多数$d$处具有最大度。该猜想以前证明$d=k+1$和$k=1$时，$d \le 6$。当$k \le 2$时，我们证明了所有的$d$，除了$(k,d)=(2,1)$。
2015-02-17 math.CO
Equitable vertex arboricity of graphs
图$G$的均匀$(t,k,d)$ -树着色是对图$G$的顶点的着色，使得任意两个颜色类的大小相差至多1，并且每个颜色类所诱导的子图是最大度至多为$k$且直径至多为$d$的森林。使$G$对每个$t'\geq t$都有一个公平$(t',k,d)$ -树着色的最小$t$称为强公平$(k,d)$ -顶点荫度，记为$va^{\equiv}_{k,d}(G)$ .在本文中，我们给出了尖锐的上界$va^{\equiv}_{1,1}(K_{n,n})$和$va^{\equiv}_{k,\infty}(K_{n,n})$通过显示$va^{\equiv}_{1,1}(K_{n,n})=O(n)$和$va^{\equiv}_{k,\infty}(K_{n,n})=O(n^{\1/2})$的每一个$k\geq 2$。证明了对围长至少为5的平面图$G$，有$va^{\equiv}_{\infty,\infty}(G)\leq 3$;对围长至少为6的平面图$G$，有$va^{\equiv}_{\infty,\infty}(G)\leq 2$;我们猜想对每个平面图都有$va^{\equiv}_{\infty,\infty}(G)=O(1)$，对每个图$G$都有$va^{\equiv}_{\infty,\infty}(G)\leq \lceil\frac{Δ(G)+1}{2}\rceil$.
2012-11-18 cs.DM math.CO
Linear arboricity of degenerate graphs
本文研究 $k$-退化图的线性荫度，证明当最大度满足 $Δ(G)\ge 2k^2-k$ 时，其线性荫度恰好达到下界 $\lceilΔ(G)/2\rceil$。
2022-07-14 math.CO
The List Linear Arboricity of Digraphs
School of Mathematics, Sun Yat-sen University（中山大学数学学院）
本文研究了有向图的线性树度数问题，提出了一种新的上界，通过引入误差项改进了已有结果。
2025-12-23 math.CO
Equitable list point arboricity of graphs
一个图$G$是列表点$k$ -可分树的，如果，无论何时我们被给予每个顶点$v\in V(G)$的颜色的$k$ -列表分配$L(v)$，我们可以为每个顶点$v$选择一个颜色$c(v)\in L(v)$，使得每个颜色类导出$G$的一个非循环子图，并且如果$G$是列表点$k$，则是公平列表点$k$ -可仲裁的。分支，并且每种颜色出现在$G$的最多$\lceil |V(G)|/k\rceil$顶点上。本文证明了图$G$对每个$k\geq \lceil(Δ(G)+1)/2\rceil$都是等价列表点$k$ -可荫的，并证明了最大度至少为4的完全图、2-退化图、3-退化无爪图和最大度至少为8的可平面图都是等价列表点$k$-可荫的.
2014-03-12 cs.DM math.CO
An Approximate Version of the Strong Nine Dragon Tree Conjecture
强九龙树猜想认为，对于任意整数$k$和$d$，任何分数荫度至多为$k + \frac{d}{d+k+1}$的图都可以分解成$k+1$森林，使得对于至少一个森林，每个连通分支至多包含$d$边。我们证明了这个猜想时，$d \leq k+1$。我们还证明了这个猜想的一个近似版本，即，我们证明了，对于任何正整数$k$和$d$，任何图的分数荫度最多$k + \frac{d}{d+k+1}$分解成$k+1$森林，使得一个至少有一个森林，每个连通组件包含最多$d + \frac{d(k (2\lceil \frac{d}{k+1} +2 \rceil)^{\lceil \frac{d}{k+1} + 2) \rceil} - k)}{k+1} $边缘。
2020-07-14 math.CO
The linear arboricity conjecture for graphs of low degeneracy
本文研究低退化度图的线性荫度，证明3-退化图在最大度至少为9时达到下界，并给出该猜想的新证明，同时确定最大度至少为5的2-退化图的线性荫度。
2023-08-14 cs.DM math.CO
Efficient Hamilton covers and linear arboricity of random graphs
Bocconi University（博科尼大学）；University of Oxford（牛津大学）；EPF Lausanne（洛桑联邦理工学院）；School of Mathematical Sciences, Tel Aviv University（特拉维夫大学数学科学学院）
研究随机图$G(n,p)$的哈密顿覆盖，在广泛边概率范围证明其大小下界紧性，尤其在稀疏区域有新贡献，开发工具分解图并扩展为哈密顿圈，还证明击中时间结果，且表明该随机图对各$p\leq 1$满足线性荫度猜想。
2026-07-17 math.CO
A note on the vertex arboricity of signed graphs
符号图$(G,σ)$的符号树着色是顶点着色$c$使得$G^{c}(i,\pm)$是每个$i\in c(u)$和$u\in V(G)$的森林，其中$G^{c}(i,\pm)$是$(G,σ)$的子图，其顶点集是被$i$或$-i$着色的顶点集，边集是具有两个端点都被$i$或都被$-i$着色的正边集，以及一个端顶点由$i$着色而另一个由$-i$着色的负边集。如果$c$是从$V(G)$到$M_n$的函数，其中如果$n=2k$，则$M_n$是$\{\pm 1,\pm 2,\ldots,\pm k\}$，如果$n=2k+1$，则$\{0,\pm 1,\pm 2,\ldots,\pm k\}$，则$c$是$(G,σ)$的带符号树- $n$ -着色。使得$(G,σ)$允许符号树- $n$ -着色的最小整数$n$是$(G,σ)$的符号顶点荫度，记为$va(G,σ)$。本文首先证明了两个交换等价的符号图具有相同的符号顶点荫度，然后证明了对每个平衡符号三角剖分和对每个具有平衡符号的边极大$K_5$ -minor自由图，都有$va(G,σ)\leq 3$.这推广了平面图的顶点荫度至多为3的著名结果。
2017-08-10 cs.DM math.CO
Partitioning edges of a planar graph into linear forests and a matching
证明了任意最大度至多为$9$的可平面图的边都可以划分为$4$线性森林和一个匹配.结合已有的结果，这意味着任何最大度为奇数的可平面图$G$的边都可以划分为$\tfrac{Δ-1}{2}$线性森林和一个匹配.这加强了著名的结果，指出在这类图有色指数$Δ$ [Vizing，1965]和线性荫度最多$\lceil(Δ+1)/2\rceil$ [吴，1999]。
2023-02-26 cs.DM math.CO
The $k$-strong induced arboricity of a graph
图$G$的诱导荫度是覆盖图$G$的边的诱导森林的最小数目。这是一个定义明确的参数，当覆盖中的每个森林仅由一条边组成时，该参数由$G$的边数限定。不是图的所有边都必然属于具有较大分量的导出森林。对于$k\geq 1$，如果边包含在$k$边上的导出树中，则我们称其为$k$ -valid。$G$的$k$ -强诱导荫度（由$f_k(G)$表示）是具有至少$k$大小的分量的诱导森林的最小数目，其覆盖$G$中的所有$k$ -有效边。该参数是高度非单调的。然而，我们证明了，对于任何适当的小闭图类$\mathcal{C}$，更一般地为任何类的有界扩展，和任何$k \geq 1$，$f_k(G)$的最大值为$G \in \mathcal{C}$是有界的，从上面的一个常数只取决于$\mathcal{C}$和$k$。这意味着来自一类有界扩张的图的相邻闭点可区别数被一个仅依赖于该类的常数所限制。进一步证明了树宽为$t$的图$G$有$f_2(G) \leq 3\binom{t+1}{3}$，树深为$d$的图有$f_k(G) \leq (2k)^d$.此外，我们还证明了当$G$是平面的时，$f_2(G) \leq 310$是平面的.
2017-05-31 cs.DM math.CO
Variable degeneracy on toroidal graphs
本文研究环面图与平面图的严格$f$-退化横贯，通过结构分析证明若干禁止构型下图的DP-$4$-可染色性及列表顶点树性度至多2，改进了已有结果。
2025-02-27 cs.DM math.CO
The Three Tree Theorem
证明不同于棱柱的2-球面图可4着色使Kempe链为森林，得出离散2-球面树荫度为3，且三棵树可覆盖所有三角形，推论平面图树荫度≤3。
2023-09-05 cs.DM math.CO
A Conjecture on Rainbow Hamiltonian Cycle Decomposition
本文完全解决了Wu于1999年提出的关于完全图$K_{2n+1}$中子图边分布于不同哈密顿圈的彩虹哈密顿圈分解猜想，并指出其在线性荫度猜想和受限尺寸Ramsey数中的应用。
2024-03-26 math.CO
WDM and Directed Star Arboricity
一个有向图是$m$ -标号的，如果在$\{1, \dots,m\}$中每个弧都用一个整数标号.受光网络中多播波长分配的启发，我们引入并研究了标记有向图的$n$ -纤维染色。这些是$D$的弧的着色，使得在每个顶点$v$处，并且对于每个颜色$α$，$in(v,α)+out(v,α)\leq n$具有$in(v,α)$，弧的数目着色为进入$v$的$α$，并且$out(v,α)$具有标记$l$的数目，使得存在至少一个标记$l$的弧离开$v$并且用$α$着色。问题是要找到最少的颜色数$λ_n(D)$，使得$m$标记的有向图$D$具有$n$纤维染色。在$D$被$1$标记的特定情况下，$λ_1(D)$被称为$D$的有向星荫度，并由$dst(D)$表示。我们首先证明了$dst(D)\leq 2Δ^-(D)+1$，并猜想，如果$Δ^-(D)\geq 2$，那么$dst(D)\leq 2Δ^-(D)$。我们还证明了，对于一个次立方有向图$D$，那么$dst(D)\leq 3$，并且，如果$Δ^+(D), Δ^-(D)\leq 2$，那么$dst(D)\leq 4$。最后，我们研究了$λ_n(m,k)=\max\{λ_n(D) \tq D \mbox{is $ m $-labelled} \et Δ^-(D)\leq k\}$。我们表明，如果$m\geq n$，那么$\ds \left\lceil\fr…
2010-07-15 cs.NI math.CO
Partition density, star arboricity, and sums of Laplacian eigenvalues of graphs
该研究提出图的划分密度概念，通过分析满足划分密度小于k的图的星森林分解性质，证明了Brouwer关于图拉普拉斯前k个特征值和上界猜想的弱版本，并给出了含最大匹配数的另一上界。
2024-10-06 math.CO
Induced and Weak Induced Arboricities
定义图$G$的诱导荫度，记为${\rm ia}(G)$，即使$G$中的$k$诱导森林覆盖$G$的边的最小$k$.这个概念推广了经典的荫度和强色指数概念。对于图的类$\mathcal{F}$和图参数$p$，设$p(\mathcal{F}) = \sup\{p(G) \mid G\in \mathcal{F}\}$。我们证明了${\rm ia}(\mathcal{F})$是有界的，从上面的一个绝对常数只取决于$\mathcal{F}$，即${\rm ia}(\mathcal{F})\neq\infty$当且仅当$χ(\mathcal{F} \nabla \frac{1}{2}) \neq\infty$，其中$\mathcal{F} \nabla \frac{1}{2}$是类的$\frac{1}{2}$ -浅子图从$\mathcal{F}$和$χ$是色数。进一步，当$\mathcal{F}$是平面图类、$d$ -退化图类或树宽至多为$d$的图类时，我们给出了${\rm ia}(\mathcal{F})$的界.具体地说，我们表明，如果$\mathcal{F}$是平面图类，那么$8 \leq {\rm ia}(\mathcal{F}) \leq 10$。此外，我们建立了类似的结果，所谓的弱诱导荫度和星荫度的类图。
2018-03-06 cs.DM math.CO
Finite planar emulators for K_{4,5} - 4K_2 and K_{1,2,2,2} and Fellows' Conjecture
在1988年研究员提出，如果一个有限的，连通图承认有限的平面仿真器，那么它承认有限的平面覆盖。我们为K_{4,5} - 4K_2构造了一个有限平面仿真器。Archdeacon证明了K_{4,5} - 4K_2不允许有限平面覆盖;因此K_{4,5} - 4K_2提供了一个对费洛斯猜想的反例。Negami平面覆盖猜想成立的充要条件是K_{1,2,2,2}不存在有限平面覆盖.我们构造了一个K_{1,2,2,2}的有限平面仿真器。K_{1,2,2,2}的有限平面覆盖的存在性问题仍然是开放的。
2009-06-26 math.CO
On a Conjecture on the Wiener Index of a Maximal Planar Graph
证明了顶点为$n$的极大可平面图$G$的Wiener指标$W(G)$满足$3 \leq n \leq 18$的$W(G) \leq \Big{\lfloor} \frac{1}{18}(n^3 + 3n^2) \Big{\rfloor}$.
2019-12-06 math.CO
Strong $3$-Flow Conjecture for Projective Planar Graphs
1972年，Tutte提出了$3$ -流猜想：所有的$4$ -边连通图都有无处为零的$3$ -流.这是由Jaeger等人扩展的。（1992）以允许顶点在流入和流出之间具有规定的、可能非零的差（模$3$）。他们证明了所有具有有效处方函数的$5$边连通图都有一个无处为零的$3$流满足该处方. Kochol（2001）表明，用$5$-edge-connected代替$4$-edge-connected就足以证明$3$ -Flow猜想，Lovász等人也证明了这一点。（2013）表明，如果边连通度条件放宽到$6$ -边连通，则两个定理都成立。这两个问题对于$5$ -边-连通图仍然是开放的。已知$3$ -流猜想对可平面图成立，因为它是Grötzsch着色定理的对偶。Steinberg和Younger（1989）提供了第一个使用流对可平面图的直接证明，以及对投射可平面图的证明。Richter等人（2016）提供了第一个直接证明使用流的强$3$ -流猜想的可平面图。证明了关于射影可平面图的强$3$ -流猜想。
2020-11-02 math.CO
The Gamma-Theta Conjecture holds for planar graphs
本文证明了Gamma-Theta猜想对平面图成立，即当平面图的支配数等于永恒支配数时，它也等于团覆盖数。
2025-06-28 math.CO
Counterexamples to a conjecture of Merker on 3-connected cubic planar graphs with a large cycle spectrum gap
Merker证明了，如果$k \ge 2$是一个整数，$G$是一个周长至少为$k$的3连通三次可平面图，那么$G$的圈长集必须包含区间$[k, 2k+2]$中的至少一个元素.本文证明了对每一个偶数$k \ge 6$都有无穷多个反例。
2020-08-30 math.CO
Three Theorems on Negami's Planar Cover Conjecture
La Trobe University（拉筹伯大学）
研究根上关于连通图有限平面覆盖的猜想，通过证明三个定理，揭示图\(K_{1,2, 2, 2}\)不存在特定结构的平面覆盖，其最小平面覆盖若存在则为\(4 -\)连通，为该猜想研究提供新成果。
2026-07-20 math.CO
Jones' conjecture for Halin graphs and a bit more
Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文证明了琼斯猜想在哈林图及更广泛图类中的成立，通过删除特定数量的顶点使图变为无环图。
2026-08-13 math.CO
The Total Coloring Conjecture holds for planar graphs without three special subgraphs
本文证明全染色猜想对最大度为六且不含蘑菇、帐篷和锥体三种子结构的平面图成立，从而推广了此前关于禁止4-扇的结果。
2025-07-17 math.CO
Two Strong $3$-Flow Theorems for Planar Graphs
1972年，Tutte提出了$3$ -流猜想：所有的$4$ -边连通图都有无处为零的$3$ -流.这是由Jaeger等人扩展的。（1992）以允许顶点在流入和流出之间具有规定的、可能非零的差（模$3$）。他们证明了所有具有有效处方函数的$5$ -边连通图都有一个无处为零的$3$ -流满足该处方（我们称之为强$3$ -流猜想）. Kochol（2001）表明，用$5$-edge-connected代替$4$-edge-connected就足以证明$3$ -Flow猜想，Lovász等人也证明了这一点。（2013）表明，如果边连通度条件放宽到$6$ -边连通，则$3$ -流和强$3$ -流猜想成立。这两个问题对于$5$ -边-连通图仍然是开放的。已知$3$ -流猜想对可平面图成立，因为它是Grötzsch着色定理的对偶。Steinberg和Younger（1989）提供了第一个使用流对可平面图的直接证明，以及对投射可平面图的证明。Richter等人（2016）提供了第一个直接证明使用流的强$3$ -流猜想的可平面图。为了证明投影可平面图的强$3$ -流猜想，我们对他们的结果做了两个推广.
2020-11-02 math.CO
Equitable Colorings of Planar Graphs without Short Cycles
图的\emph{equitable coloring}是图的一个正常顶点染色，使得每两个色类的大小相差至多1。Chen，Lih，and Wu证明了每个连通图$G$具有最大度$Δ\geq 2$都具有与$Δ$颜色相等的着色，除非$G$是完全图或奇圈或$Δ$是奇的，并且$G=K_{Δ,Δ}.$ Nakprasit证明了该猜想对最大度至少为9的可平面图成立。Zhu和Bu证明了对于每个最大度至少为8的无$C_3$的平面图和对于每个最大度至少为7的无$C_4$和$C_5$的平面图，该猜想成立.本文证明了该猜想对各种情况下的可平面图都成立，特别是对最大度至少为6的无$C_3$的平面图和最大度至少为7的无$C_4$的平面图都成立，改进或推广了朱和卜关于均匀着色的结果.此外，我们还证明了对于围长至少为6且最大度至少为5的平面图，该猜想成立。
2012-03-02 math.CO
Putting Tutte's counterexample to Tait's conjecture in perspective to hamiltonicity and non-hamiltonicity in certain planar cubic graphs
TU Wien（维也纳工业大学）
本文通过棱柱图和Tutte碎片构造无限家族的哈密顿图与非哈密顿图，其中Tutte的反例作为最小元素出现，同时包含Holton和McKay对Tait猜想的最小边数反例的推广。
2025-10-09 math.CO
The chromatic number of the square of subcubic planar graphs
Wegner在1977年证明了最大度至多为$3$的可平面图的平方是$7$ -可着色的。我们证明了这个猜想使用放电方法和计算技术来验证可约配置。
2016-04-21 math.CO
Wheels in planar graphs and Hajós graphs
Hajós证明了不含$K_5$ -细分的图是4-可着色的。已有的结果表明，Hajós猜想的任何可能的最小反例，称为Hajós图，是4-连通的，但不是5-连通的。本文证明了：如果Hajós图允许4-割或5-割且其边为平边，则其平边一定很小或包含一个特殊轮.这是我们努力将Hajós猜想简化为四色定理的一步。
2019-11-24 math.CO
Triangle-free planar graphs with at most $64^{n^{0.731}}$ 3-colorings
Rassen证明了无三角形的可平面图有指数多的3-着色。最近，他通过提供具有$n$顶点和至多$2^{15n/\log_2 n}$ 3-着色的图的例子来反驳他的猜想。我们改进了他的建设，给这样的图的例子，最多$64^{n^{log_{9/2} 3}}<64^{n^{0.731}}$ 3-着色。我们推测这个指数是最优的。
2021-08-28 math.CO
Constraints on Brouwer's Laplacian Spectrum Conjecture
Brouwer猜想指出，对于任何图$G$，$k$的最大（组合）拉普拉斯特征值之和至多为$|E(G)| + \binom{k+1}{2}$，$1 \leq k \leq n$。我们提出了几个相互关联的结果建立Brouwer猜想$\text{BC}_k(G)$的广泛的图$G$和参数$k$。特别地，我们证明了：（1）当$k \geq 11$时，$\text{BC}_k(G)$对低荫度图成立，特别是对平面$G$成立;（2）当度序列的方差不是很高时，$\text{BC}_k(G)$成立，推广了以前关于$G$正则或随机的结果;（3）$\text{BC}_k(G)$为真，如果$G$属于遗传谱有界类并且$k$作为$k$的函数足够大，特别是二分图的$k \geq \sqrt{32n}$;（4）$\text{BC}_k(G)$成立，除非$G$与分裂图具有边编辑距离$< k \sqrt{2n} = O(n^{3/2})$;（5）没有$G$违反所述上界超过$O(n^{5/4})$，二分图的$G$违反所述上界不超过$O(n)$ ;以及（6）$\text{BC}_k(G)$对长度为$O(n^{3/4})$的区间之外的所有$k$成立。此外，我们提出了一个令人惊讶的否定结果：渐近几乎必然地，一个均匀的随机符号完全图违反了$Ω(n)$的约束界。
2020-03-06 math.CO
Relaxation of Wegner's Planar Graph Conjecture for maximum degree 4
Hankuk University of Foreign Studies（韩国外国语大学）；Iowa State University（爱荷华州立大学）
针对平面图最大度数为4的情况，研究提出了一种新的着色方法，证明使用9种颜色即可正确着色其平方图。
2022-12-20 math.CO
Decomposing planar cubic graphs
3-分解猜想指出，每一个连通的三次图都可以分解成一个生成树、一个2-正则子图和一个匹配。我们证明了这个猜想对连通平面三次图类成立。
2017-10-27 math.CO
On a conjecture about the strong odd chromatic number of planar graphs
Cochin University of Science and Technology（科钦科技大学）
本文研究了平面图的强奇数染色数，通过构造反例验证了一个关于其上界猜想的假设。
2026-02-03 math.CO
Hamiltonian cycles in planar cubic graphs with facial 2-factors, and a new partial solution of Barnette's Conjecture
研究了具有面2-因子Q的平面三次图G中哈密顿圈的存在性。从而G中的Hamilton性转化为收缩G/Q中面的（拟）生成树的存在性。特别地，我们研究了G是蛙跳扩展（在（Discrete Math.，309（14）：4793-4809，2009））。作为结果，我们证明了平面三次循环4-边连通二部图的蛙跳扩张的Hamilton性。本文的这一结果和其他结果建立了巴内特猜想的部分解，根据巴内特猜想，每个3连通三次平面二部图都是汉密尔顿的。这些结果大大超过了Goodey关于这个主题的结果（Israel J. Math.，22：52-56，1975）。
2019-11-27 math.CO
Cubic planar bipartite graphs are dispersable
一个图被称为可分散的，如果它有一个书嵌入，其中每一页的最大度为1，页数是最大度。Bernhart和Kainen证明了每个k-正则二部图都是可分散的。40年后，Alam、Bekos、Gronemann、Kaufmann和Pupyrev证明了这个猜想是错误的，他们发现了非平面的3-和4-正则二部图是不可分散的。他们还证明了所有的三次平面二部3-连通图都是可分散的，并证明了连通性条件是可以放宽的。证明了每一个三次平面二部多重图都是可分散的。添加了一个附言，其中包括新的参考文献。
2021-07-10 math.CO
A computer-assisted proof of Barnette-Goodey conjecture: Not only fullerene graphs are Hamiltonian
富勒烯图，即，3-连通的平面三次图，具有五角面和六角面，被证明是哈密尔顿图。这是Barnette和Goodey猜想的一个特例，即3-连通可平面图的面数不超过6的图是哈密尔顿图。我们证明了这个猜想。
2017-08-16 math.CO
Gallai's path decomposition in planar graphs
1968年，Gallai证明了任何具有$n$顶点的连通图的边都可以划分为$\lceil \frac{n}{2} \rceil$路.我们证明了这个猜想对任何可平面图都成立。更精确地说，我们证明了除了$K_3$和$K_5^-$（$K_5$减去一条边）之外的每个连通可平面图都可以分解为$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$路。
2022-06-21 math.CO
