In this paper we study a Landis-type conjecture for fractional Schrödinger equations of fractional power $s\in(0,1)$ with potentials. We discuss both the cases of differentiable and non-differentiable potentials. On the one hand, it turns out for \emph{differentiable} potentials with some a priori bounds, if a solution decays at a rate $e^{-|x|^{1+}}$, then this solution is trivial. On the other hand, for $s\in(1/4,1)$ and merely bounded \emph{non-differentiable} potentials, if a solution decays at a rate $e^{-|x|^α}$ with $α>4s/(4s-1)$, then this solution must again be trivial. Remark that when $s\to 1$, $4s/(4s-1)\to 4/3$ which is the optimal exponent for the standard Laplacian. For the case of non-differential potentials and $s\in(1/4,1)$, we also derive a quantitative estimate mimicking the classical result by Bourgain and Kenig.
Universidad del País Vasco / Euskal Herriko Unibertsitatea（巴斯克大学）；BCAM – Basque Center for Applied Mathematics（巴斯克应用数学中心）；Ikerbasque, Basque Foundation for Science（伊卡巴斯基克，巴斯克科学基金会）；University of Cantabria（坎塔布里亚大学）
On Landis' conjecture in the plane for some equations with sign-changing potentials
本文研究了平面上椭圆型方程实值解的定量唯一连续性。在算子的一般假设下，建立了Landis猜想的定量形式.值得注意的是，我们证明了一个版本的Landis'猜想的解决方案，$-Δu + V u = 0$，其中$V$是一个有界函数的负部分表现出多项式衰减无穷大。证明背后的主要机制是结合迭代方案的消失估计的顺序。为了证明消失结果的阶，我们提出了一种新的构造正乘子的思想，并利用它将方程化为一个Beltrami系统。利用相似原理和阿达玛三准圆定理分析了一阶方程。
Sharp gradient bounds for uniformly elliptic PDE, eigenvalue asymptotics, and the Landis conjecture
PUC-Rio, Departamento de Matematica（天主教巴西里约热内卢大学数学系）；Université Sorbonne Paris Nord, CNRS UMR 7539, Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications（索邦巴黎北大学、法国国家科学研究中心7539联合研究单位分析几何与应用实验室）
Counterexamples to the Landis conjecture in dimensions three and higher
Ludwig-Maximilians Universität München（慕尼黑路德维希-马克西米利安大学）；Munich Center for Quantum Science and Technology（慕尼黑量子科学与技术中心）；Caltech（加州理工学院）；University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）
