The Landis conjecture on exponential decay
A. Logunov, E. Malinnikova, N. Nadirashvili, F. Nazarov
考虑在$\mathbb{R}^2$上的$u$到$Δu +Vu=0$的解，其中$V$是实值的、可测量的并且是$|V|\leq 1$。如果为$|u(x)| \leq \exp(-C |x| \log^{1/2}|x|)$，$|x|>2$，其中$C$是足够大的绝对常数，则为$u\equiv 0$。
Consider a solution $u$ to $Δu +Vu=0$ on $\mathbb{R}^2$, where $V$ is real-valued, measurable and $|V|\leq 1$. If $|u(x)| \leq \exp(-C |x| \log^{1/2}|x|)$, $|x|>2$, where $C$ is a sufficiently large absolute constant, then $u\equiv 0$.
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Counterexamples to the Landis conjecture in dimensions three and higher
该研究在三维及更高维度构造出满足带有界实值势的定态Schrödinger方程、按$\u200b\exp(-c|x|^{4/3})$衰减的非零函数，给出了Landis猜想的反例。
The Landis conjecture via Liouville comparison principle and criticality theory
该研究借助Liouville比较原理与临界性理论，针对两类线性二阶椭圆算子在全维度下给出Landis猜想的部分肯定答案，提出非负Schrödinger方程平凡解的精确衰减判据，还拓展研究了拟线性问题的对应猜想。
Landis-Oleinik Conjecture in the Exterior Domain
在1974年，Landis和Oleinik证明了如果一个抛物型方程的有界解在某个时刻快速衰减，那么这个解在该时刻之前必定为零，只要方程的系数在无穷远处满足适当的条件。我们证明了这一猜想下的一些合理的假设的系数，改善了早期的结果。
Landis-type conjecture for the half-Laplacian
本文针对带漂移项和势项的分式薛定谔方程，利用Caffarelli-Silvestre延拓与Armitage的Liouville型定理，证明了满足特定指数衰减的解必为零解，从而建立了半拉普拉斯算子的Landis型唯一延拓结论。
On Landis' conjecture for positive Schrödinger operators on graphs
本文证明了图上正薛定谔算子的Landis型衰减准则，在特定方向快衰减下保证调和函数平凡，并给出整数格、正则树及分数阶情形的显式结果。
The Landis conjecture with sharp rate of decay
所谓的Landis猜想指出，如果方程$$Δu+V(x)u=0$$在外部区域中的解衰减得比$e^{-κ|x|}$快，对于某些$κ>\sqrt{\sup |V|}$，则它必须与$0$相同。这个性质可以被看作是一个唯一的无穷远延拓（UCI）的解决方案，满足适当的指数衰减。兰迪斯猜想在复值函数的情况下被梅什科夫证伪，但在实际情况下仍然是开放的。在2000年代，一些论文讨论了实系数线性椭圆算子的UCI问题。已经得到的结果需要某种符号条件，或者是关于方程的解，或者是关于方程的零级系数。Landis猜想的一般形式至今仍是公开的。在本文中，我们首先考虑一个一般的（实）椭圆算子的维数$1$。我们推导出UCI性质的衰减率$κ$是尖锐的系数时，运营商是常数。特别地，我们在$1$维上证明了Landis猜想，并且我们实际上可以达到门限值$κ=\sqrt{\sup |V|}$ .接下来，我们推导出任意维径向算子的UCI性质--然后是Landis猜想。最后，我们用另一种方法证明了一般椭圆型方程正上解的同样结果。
Landis' conjecture: a survey
该论文对孔德拉季耶夫-兰迪斯猜想开展综述，梳理其主要研究进展、所用技术，补充相关背景下该问题的参考文献与表述。
On Landis' conjecture in the plane
本文在平面上证明了Landis猜想的一个定量形式。确切地说，令$W(z)$是可测实向量值函数，$V(z)\ge 0$是实可测标量函数，满足$\|W\|_{L^{\infty}({\mathbf R}^2)}\le 1$和$\|V\|_{L^{\infty}({\mathbf R}^2)}\le 1$。设$u$是${\mathbf R}^2$中$Δu-\nabla(Wu)-Vu=0$的实数解。假设$u(0)=1$和$|u(z)|\le\exp(C_0|z|)$ .则$u$满足$\underset{|z_0|=R}{\inf}\,\underset{|z-z_0|<1}{\sup}|u(z)|\ge \exp(-CR\log R)$，其中$C$取决于$C_0$。除了全平面的情形外，我们还建立了定义在外部区域上的Landis猜想的一个定量形式。
On Landis' conjecture in the plane for some equations with sign-changing potentials
本文研究了平面上椭圆型方程实值解的定量唯一连续性。在算子的一般假设下，建立了Landis猜想的定量形式.值得注意的是，我们证明了一个版本的Landis'猜想的解决方案，$-Δu + V u = 0$，其中$V$是一个有界函数的负部分表现出多项式衰减无穷大。证明背后的主要机制是结合迭代方案的消失估计的顺序。为了证明消失结果的阶，我们提出了一种新的构造正乘子的思想，并利用它将方程化为一个Beltrami系统。利用相似原理和阿达玛三准圆定理分析了一阶方程。
The Landis Conjecture For Nonlocal Elliptic Operators: Polynomial Decay
该研究针对满足极大极小原理的完全非线性椭圆型积分-微分算子，在特定无穷远衰减假设下获得无穷远处的唯一延拓结果，揭示兰迪斯猜想中衰减从指数到多项式的非局部性质，成果对分数阶拉普拉斯算子情形也具创新性。
On the Landis Conjecture for Positive Quasi-linear Operators on Graphs
本文证明了图上正拟线性算子的Landis型唯一延拓定理，通过衰减准则和简化能量方法，应用于模型图与正则树。
On Landis' conjecture in the plane when the potential has an exponentially decaying negative part
本文继续研究平面上椭圆型方程实值解的唯一连续性。更确切地说，我们进一步证明了定量版本的兰迪斯猜想，建立独特的延续在无穷远估计的形式$- Δu + V u = 0$方程的解$\mathbb{R}^2$，其中$V = V_+ - V_-$，$V_+ \in L^\infty$，和$V_-$是一个非平凡的功能，表现出指数衰减在无穷远。证明这个定理的主要工具是一个阶消失估计结合迭代方案。为了证明消失估计的阶，我们建立了向量值Beltrami系统的相似原理。
The Landis Conjecture for variable coefficient second-order elliptic PDES
本文研究了平面上二阶椭圆型方程的Landis猜想。准确地说，假设$V\ge 0$是满足$\|V\|_{L^\infty({\mathbb R}^2)} \le 1$的可测实值函数。让$u$成为${\mathbb R}^2$中$\mbox{div}(A \nabla u) - V u = 0$的真正解决方案。假设$|u(z)| \le \exp(c_0 |z|)$和$u(0) = 1$。然后，对于任何足够大的$R$，\[ \inf_{|z_0| = R} \|u\|_{L^\infty(B_1(z_0))} \ge \exp(- C R \log R). \]-除了与电势方程，我们也得到类似的估计与磁势方程。证明依赖于将方程转化为Beltrami系统和Hadamard的三准圆定理。
On Landis' conjecture in the plane for potentials with growth
本文证明了平面上具有无穷远处增长位势的 Schrödinger 方程实值解满足显式依赖于增长阶数的指数衰减估计，推广了 Landis 猜想。
On the Fractional Landis Conjecture
本文研究了具有势的分数阶幂$s\in(0,1)$的分数阶薛定谔方程的Landis型猜想.我们讨论的情况下，可微和不可微的潜力。一方面，对于具有某些先验边界的\emph{differentiable}势，如果解以$e^{-|x|^{1+}}$的速率衰减，则该解是平凡的。另一方面，对于$s\in(1/4,1)$和仅仅是有界的\emph{non-differentiable}势，如果一个解以$e^{-|x|^α}$和$α>4s/(4s-1)$的速率衰减，那么这个解也必定是平凡的。请注意，当$s\to 1$，$4s/(4s-1)\to 4/3$，这是标准拉普拉斯算子的最佳指数。对于非微分势和$s\in(1/4,1)$的情形，我们也得到了一个定量的估计，模拟了Bourgain和Kenig的经典结果。
On Landis Conjecture for the Fractional Schrödinger Equation
本文研究一般分数阶薛定谔方程的 Landis 型猜想，利用 Carleman 估计证明可微与不可微势下解的特定指数衰减必导致解平凡，并推广了 Rüland-Wang (2019) 的工作。
The Vázquez maximum principle and the Landis conjecture for elliptic PDE with unbounded coefficients
本文对椭圆型偏微分方程中的两个经典问题：非Lipschitz非线性方程的强最大值原理，以及解在整个空间或外部区域至多指数衰减，提出了一种新的统一的方法.我们的结果适用于发散和非发散算子与局部无界的低阶系数，在一些情况下，所有以前的结果需要有界成分。我们的方法，它允许相对简单和简短的证明，是基于一个（弱）Harnack不等式与最佳依赖的常数在低阶项的方程和域的大小，我们建立。
On Landis' conjecture in the plane for real-valued potentials with decay
本文研究了平面Schrödinger方程中实值解的定量唯一延续性质，证明了在特定衰减势函数条件下解的指数衰减估计，并探讨了Landis猜想及相关情况的证明方法。
Landis' conjecture for general second order elliptic equations with singular lower order terms in the plane
本文研究了具有奇异低阶项的二阶变系数椭圆型方程解的消失阶和Landis猜想在平面上的一个定量形式.确切地说，我们让$A$是实值的，有界的和椭圆的，但不一定是对称的或连续的，我们假设$V$和$W_i$是实值的，并分别属于$L^p$和$L^{q_i}$。证明了如果$u$是$B_d$中形式为$-\nabla \cdot (A \nabla u + W_1 u) + W_2 \cdot \nabla u + V u = 0$的方程的实值有界正规解，则在适当的低阶项条件下，对任何足够小的$r$，以下消失估计的阶数成立$$\|u\|_{L^\infty(B_r)} \ge r^{C M},$$其中$M$依赖于低阶项的Lebesgue范数.在许多情况下，一个标度参数会产生兰迪斯猜想的一个定量形式，即\[ \inf_{|z_0| = R} \|u\|_{L^\infty(B_1(z_0))} \ge \exp(- C R^β\log R), \]，其中$β$依赖于$p$、$q_1$和$q_2$。我们对$V$和$W_i$所作的可积性假设在尺度参数方面几乎是最优的。我们利用椭圆边值问题的理论建立了与椭圆方程相关的正乘子的存在性。然后，证明依赖于将方程转换为Beltrami系统，并应用Hadamard三圆定理的推广。
Sharp gradient bounds for uniformly elliptic PDE, eigenvalue asymptotics, and the Landis conjecture
本文针对一致椭圆方程的三个经典问题，提出尖锐梯度界并改进特征值渐近与Landis猜想，统一方法结合Harnack不等式、对偶与重标度，以反例证明最优性。
On the Landis conjecture in a cylinder
研究周期边界圆柱中实值有界势方程的 Landis 猜想，证明非平凡解沿轴向在低维与高维下分别具有指数及 $4/3$ 次指数的最快衰减速率。
Exponential bounds for gradient of solutions to linear elliptic and parabolic equations
本文证明了线性椭圆型和抛物型方程解的整体梯度估计。对于一个充分光滑的有界凸域$Ω\subset \mathbb{R}^N$，我们证明了一个适当的椭圆型方程$\mathcal{L} ϕ= F$的解$ϕ\in W_0^{1,\infty}(Ω)$，与$F \in L^{\infty}(Ω;\mathbb{R})$，满足$|\nabla ϕ|_{\infty} \leq C |F|_{\infty}$，与一个正的常数$C = \exp(C(\mathcal{L})\text{diam}(Ω))$ .在抛物情形下，我们也得到了类似的估计.这些指数界的证明依赖于由Ben Andrews和Julie Clutterbuck的一系列论文启发的全局梯度估计。这项工作的动机是一个双重版本的兰迪斯猜想。
A Liouville-type theorem for Schrödinger equations with nonnegative potential
本文证明了具有非负势的Schrödinger方程在特定衰减条件下的Liouville型定理，并推广到外域和非线性方程。
Quantitative unique continuation for real-valued solutions to second order elliptic equations in the plane
本文研究了平面上变系数二阶椭圆方程实值解指数衰减的 Landis 猜想的定量形式，通过建立弱定量最大值原理、利用拟共形映射和 Cauchy 变换转化方程，并结合 Carleman 估计，证明了满足特定指数衰减条件的解必为零。
The two-dimensional Lazer-McKenna conjecture for an exponential nonlinearity
考虑Ambrosetti-Prodi型\begin{equation}\label{0}\quad\begin{cases} Δu + e^u = sϕ_1 + h(x) &\hbox{in} Ω, u=0 & \hbox{on} \partial Ω, \end{cases} \nonumber \end{equation}问题，其中$Ω$是$\R^2$中的有界光滑区域，$ϕ_1$是Laplacian在Dirichlet边界条件下的正第一本征函数，而$h\in\mathcal{C}^{0,α}(\barΩ)$ .我们证明，给定$k\ge 1$这个问题至少有$k$解决方案的所有足够大的$s>0$，回答肯定的猜想由Lazer和麦肯纳\cite{LM1}这种情况下。发现的溶液在$ϕ_1$（作为$s\to +\infty$）的最大值附近显示出多个浓度行为。
Trend to Equilibrium for the Becker-Döring Equations: An Analogue of Cercignani's Conjecture
在这项工作中，我们调查的速度收敛到平衡的次临界解的贝克尔-Döring方程与物理相关的凝聚和破碎系数和温和的假设给定的初始数据。利用带权的log-Sobolev不等式的离散形式，证明了在凝聚系数线性增长且细致平衡系数具有典型形式的情况下，可以得到相对自由能耗散的线性泛函不等式.这一结果显示了对贝克尔-杜林方程的Cercignani猜想，并因此以指数速度收敛到平衡点。我们还表明，对于所有其他典型的情况下，可以得到一个“几乎”Cercignani的猜想，结果在代数率收敛到平衡。此外，我们表明，如果一个假设的指数矩条件下，可以恢复Jabin和Niethammer的衰减率平衡，即指数的一些分数幂的$t$。
Exponential mixing by shear flows
我们证明了一个版本的Bressan的混合猜想的平流场被约束为剪切在每个时间。此外，受Blumenthal，Coti Zelati和Gvalani最近工作的启发，我们构建了一个特别简单的剪切流的例子，以最佳速率混合。构造的向量场在两个不同的剪切之间随机交替。
Exponential decay for products of Fourier integral operators
本文包含一个替代介绍，并在某些情况下的改进，“双曲色散估计”，证明了Anantharaman和Nonnenmacher和用于取得进展的量子唯一遍历猜想。主语句是次酉傅里叶积分算子乘积的范数指数衰减的充分条件。在作者今后的工作中也需要改进估计。
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