本文研究了具有奇异低阶项的二阶变系数椭圆型方程解的消失阶和Landis猜想在平面上的一个定量形式.确切地说，我们让$A$是实值的，有界的和椭圆的，但不一定是对称的或连续的，我们假设$V$和$W_i$是实值的，并分别属于$L^p$和$L^{q_i}$。证明了如果$u$是$B_d$中形式为$-\nabla \cdot (A \nabla u + W_1 u) + W_2 \cdot \nabla u + V u = 0$的方程的实值有界正规解，则在适当的低阶项条件下，对任何足够小的$r$，以下消失估计的阶数成立$$\|u\|_{L^\infty(B_r)} \ge r^{C M},$$其中$M$依赖于低阶项的Lebesgue范数.在许多情况下，一个标度参数会产生兰迪斯猜想的一个定量形式，即\[ \inf_{|z_0| = R} \|u\|_{L^\infty(B_1(z_0))} \ge \exp(- C R^β\log R), \]，其中$β$依赖于$p$、$q_1$和$q_2$。我们对$V$和$W_i$所作的可积性假设在尺度参数方面几乎是最优的。我们利用椭圆边值问题的理论建立了与椭圆方程相关的正乘子的存在性。然后，证明依赖于将方程转换为Beltrami系统，并应用Hadamard三圆定理的推广。
英文摘要：
In this article, we study the order of vanishing and a quantitative form of Landis' conjecture in the plane for solutions to second-order elliptic equations with variable coefficients and singular lower order terms. Precisely, we let $A$ be real-valued, bounded and elliptic, but not necessary symmetric or continuous, and we assume that $V$ and $W_i$ are real-valued and belong to $L^p$ and $L^{q_i}$, respectively. We prove that if $u$ is a real-valued, bounded and normalized solution to an equation of the form $-\nabla \cdot (A \nabla u + W_1 u) + W_2 \cdot \nabla u + V u = 0$ in $B_d$, then under suitable conditions on the lower order terms, for any $r$ sufficiently small, the following order of vanishing estimate holds $$\|u\|_{L^\infty(B_r)} \ge r^{C M},$$ where $M$ depends on the Lebesgue norms of the lower order terms. In a number of settings, a scaling argument gives rise to a quantitative form of Landis' conjecture, \[ \inf_{|z_0| = R} \|u\|_{L^\infty(B_1(z_0))} \ge \exp(- C R^β\log R), \] where $β$ depends on $p$, $q_1$, and $q_2$. The integrability assumptions that we impose on $V$ and $W_i$ are nearly optimal in view of a scaling argument. We use the theory of elliptic boundary value problems to establish the existence of positive multipliers associated to the elliptic equation. Then the proofs rely on transforming the equations to Beltrami systems and applying a generalization of Hadamard's three-circle theorem.
Sharp gradient bounds for uniformly elliptic PDE, eigenvalue asymptotics, and the Landis conjecture
PUC-Rio, Departamento de Matematica（天主教巴西里约热内卢大学数学系）；Université Sorbonne Paris Nord, CNRS UMR 7539, Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications（索邦巴黎北大学、法国国家科学研究中心7539联合研究单位分析几何与应用实验室）
On Landis' conjecture in the plane for some equations with sign-changing potentials
本文研究了平面上椭圆型方程实值解的定量唯一连续性。在算子的一般假设下，建立了Landis猜想的定量形式.值得注意的是，我们证明了一个版本的Landis'猜想的解决方案，$-Δu + V u = 0$，其中$V$是一个有界函数的负部分表现出多项式衰减无穷大。证明背后的主要机制是结合迭代方案的消失估计的顺序。为了证明消失结果的阶，我们提出了一种新的构造正乘子的思想，并利用它将方程化为一个Beltrami系统。利用相似原理和阿达玛三准圆定理分析了一阶方程。
